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Stefan
Etschberger
Hochschule
Augsburg
Wirtschaftsmathematik
Wintersemester
2017/
Aufgabensammlung
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1
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Wirtschaftsmathematik Aufgabensammlung
Wintersemester 2017/
Prof. Dr. Stefan Etschberger – Hochschule Augsburg
Anmerkungen zu den Übungsaufgaben:
Nach der Vorlesung finden Sie jeweils auf der Homepage die für die jeweilige Woche zu
bearbeitenden Aufgaben angemerkt; besprochen und gelöst werden die Aufgaben in der
darauf folgenden Woche in den Übungsgruppen.
Die Lösungshilfen haben teilweise nur den Charakter von Kontrollergebnissen und sind
kein Ersatz für eine vollständige Lösung.
Grundlagen in R sind ein wichtiger, obligatorisch zu erlernender Bestandteil des Kur-
ses; alle in den Übungsaufgaben behandelten Lösungen in R sind prüfungsrelevant und
müssen auch bei veränderter Aufgabenstellung (ohne Rechner) gelöst werden können.
Es gibt für die Klausur keine Einschränkung auf nur eine Aufgabe mit R. Klausurauf-
gaben mit R könnten in der Prüfung bei verschiedenen Themen als Teilaufgabe oder als
separate Aufgabe eingebaut sein. R-Teile in der Klausur können, müssen aber nicht als
single choice formuliert sein.
Es gibt kein vorgefertigtes „cheat-sheet“ mit den wichtigsten Funktionen in R für die
Klausur; bitte schreiben Sie sich die wichtigsten Funktionen inkl. Parametern auf Ihre
selbsterstellte Formelsammlung. Vorausgesetzt werden für die Klausur alle in den Lö-
sungshinweisen der Übungsaufgaben verwendeten Funktionen.
(Teil)aufgaben, deren Lösungen (auch) in R erarbeitet werden sollen, sind am rechten
Rand mit dem Symbol R gekennzeichnet.
Stefan
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- 2017/ Wintersemester
- R kennen lernen Inhalt
- Aufgabe 1: Installation und erste Schritte
- Aufgabe 2: Variablen und Zuweisungen
- Aufgabe 3: Vektoren in R
- Aufgabe 4: R als Logbuch
- Aufgabe 5: Funktionen einer reellen Variablen
- Aufgabe 6: Funktionsplots
- Grundlagen
- Aufgabe 7: Zusammenfassung
- Aufgabe 8: Binomische Formeln
- Aufgabe 9: Wurzeln und Potenzen
- Aufgabe 10: Logarithmen
- Aufgabe 11: Summen ausrechnen
- Aufgabe 12: Notation von Summen
- Aufgabe 13: Summen: Indexverschiebung
- Aufgabe 14: Summe mit Trick
- Aufgabe 15: Mitternachtsformel
- Aussagen
- Aufgabe 16: Implikation verbal
- Aufgabe 17: Formulieren von Aussagen
- Aufgabe 18: Wahrheitstabelle
- Aufgabe 19: Eine Tautologie
- Aufgabe 20: All- und Existenzaussagen
- Aufgabe 21: Direkter Beweis
- Aufgabe 22: Verknüpfung: Wahr oder falsch?
- Aufgabe 23: Beweise
- Aufgabe 24: Vollständige Induktion
- Aufgabe 25: Vollständige Induktion: Strecken
- Aufgabe 26: Vollständige Induktion: Fibonacci
- Mengen und Relationen
- Aufgabe 27: Teilmengen?
- Aufgabe 28: Schnitt, Vereinigung, Differenz
- Aufgabe 29: Einschluss und Ausschluss
- Aufgabe 30: Potenzmengen
- Aufgabe 31: Relationen
- Aufgabe 32: Relationen und Abbildungen
- Aufgabe 33: Komposition
- Aufgabe 34: Injektivität und Surjektivität
- Folgen
- Aufgabe 35: Rekursiv definierte Folge
- Aufgabe 36: Grenzwertsätze
- Aufgabe 37: Reihenkonvergenz
- Aufgabe 38: Arithmetisch und Geometrisch
- Aufgabe 39: Verknüpfte Folgen
- Aufgabe 40: Konvergenz durch Abschätzen
- Aufgabe 41: Quotientenkriterium
- ReelleFunktionen
- Aufgabe 42: Kurvendiskussion ohne Ableitung
- Aufgabe 43: Definitionsbereich, Extremwerte
- Aufgabe 44: Parameter bestimmen
- Aufgabe 45: Stetigkeit
- Aufgabe 46: Parameter und Stetigkeit
- Differentialrechnung
- Aufgabe 47: Elementare Ableitungsregeln
- Aufgabe 48: Quotientenregel
- Aufgabe 49: Kettenregel
- Aufgabe 50: noch mehr Ableitungen
- Aufgabe 51: Preiselastizität
- Aufgabe 52: Preiselastizität
- Aufgabe 53: Differenzierbarkeit
- Aufgabe 54: Verpackung optimieren
- Aufgabe 55: Minimale Kosten
- Aufgabe 56: Gompertzfunktion
- Aufgabe 57: Optimales Produktionsniveau
- Aufgabe 58: Monotonie und Konvexität
- Aufgabe 59: Kurvendiskussion
- Aufgabe 60: Graph deuten
- Aufgabe 61: Grenzumsatz, Grenzkosten
- Integralrechnung
- Aufgabe 62: Fläche zwischen Kurven
- Aufgabe 63: Nochmal Flächen
- Aufgabe 64: Grenzkosten
- Aufgabe 65: Produktlebenszyklus
- Aufgabe 66: Umsatz, Kosten und Gewinn
- Aufgabe 67: Absatzverlauf
- Aufgabe 68: Gamma ganz groß
- Aufgabe 69: Ableiten und Integrieren
- Finanzmathematik
- Aufgabe 70: Einfach
- Aufgabe 71: Girokonto: Quartalsabrechnung
- Aufgabe 72: Gemischt
- Aufgabe 73: Unterjährig
- Aufgabe 74: Durchschnittlicher Zins
- Aufgabe 75: Durchschnittliche Inflation
- Aufgabe 76: Kaufkraft und Realwert
- Aufgabe 77: Doppelt so viel
- Aufgabe 78: Wie lange?
- Aufgabe 79: Waldwert
- Aufgabe 80: effektiv und nominal
- Aufgabe 81: Maschine
- Aufgabe 82: Rente auf einmal
- Aufgabe 83: Bausparer
- Aufgabe 84: Einholen mit Vorsprung
- Aufgabe 85: Sparen für die Rente
- Aufgabe 86: Achtung: unterjährige Zinsen
- Aufgabe 87: Betriebsrente: Rückstellungen
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R kennen lernen
Aufgabe 1 R: Installation und erste Schritte (1)
Installation und Kennenlernen von R und RStudio
(Sofern Sie über keinen eigenen Rechner verfügen, können Sie im Rechnerraum im W-Gebäude arbei-
ten; dort sind R und Rstudio installiert)
a) Installieren Sie R von http://goo.gl/ALaUXu (für Windows) bzw. von http://cran.
r-project.org/bin/ für andere Plattformen.
R ist das Programm, das in der Vorlesung verwendet wird, um Daten zu verarbeiten und Ergebnisse
als Text oder Grafik auszugeben; es ist in der Rohfassung nicht sehr komfortabel zu bedienen. Des-
wegen arbeiten wir in diesem Kurs mit RStudio, einer sehr komfortablen und mächtigen integrierten
Entwicklungsumgebung.
b) Installieren Sie RStudio von http://goo.gl/RX11dj.
c) Öffnen Sie RStudio. Klicken Sie in den linken unteren Bereich des Fensters („Console“),
tippen Sie
und schließen Sie die Eingabe mit Enter ab.
In der Kommandozeile der Konsole werden alle Anweisungen eingegeben und Textrückmeldungen des
Programms ausgegeben; dazu gehören Ergebnisse, aber auch Hinweise, Warnungen und Fehlermel-
dungen, falls etwas nicht geklappt hat. Die Kommandzeile eignet sich auch prima als Taschenrechner.
Kennt man die Bedeutung einer Funktion nicht, kann man ein Fragezeichen voranstellen und bekommt
eine Erklärung (rechts im Hilfebereich).
Bei Rechenoperationen gelten die Vorrangregeln der Mathematik (Potenz vor Punkt vor Strich). Der
Dezimaltrenner ist ein Punkt (kein Komma). Exponential-, Logarithmus- bzw. Quadratwurzeln berech-
net man über Funktionsaufrufe, das Argument steht in runden Klammern. Groß- und Kleinschreibung
macht einen Unterschied. Stellt man einer Zeile ein #-Zeichen voran, wird die Zeile von R nicht ausge-
führt.
d) Geben Sie folgende Ausdrücke ein und erklären Sie jeweils das Ergebnis
2^3^
(2^3)^
exp(1) ?exp
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log(exp(1)) sqrt(16) 16^(1/2) Sqrt(16)
Das ist ein Kommentar.
e) Suchen Sie die Hilfefunktionen zu den verwendeten Operationen und lesen Sie diese.
Lösungshinweis:
## [1] 14
## [1] 20
## [1] -0,
0,2 * 3 # Fehler, ',' wird nicht als Dezimalkomma
akzeptiert
2^3^
[1] 512
(2^3)^
[1] 64
exp(1)
[1] 2,
log(exp(1))
[1] 1
sqrt(16)
[1] 4
16^(1/2)
[1] 4
Sqrt(16) # Fehler, sqrt() schreibt man mit kleinem 's'
Error in Sqrt(16): konnte Funktion "Sqrt" nicht finden
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Tricks zur Ein- und Ausgabe:
Ist eine Eingabe in einer Zeile nicht vollständig, kann R das mit einem „+“-Zeichen anzeigen; die
Eingabe kann dann vervollständigt werden.
Sofortige Hilfe bei der Eingabe einer Funktion erhält man, wenn man nach Eingabe der ersten
Buchstaben des Funktionsbezeichners die Tabulator-Taste betätigt. Die möglichen Funktionen wer-
den dann zur Auswahl aufgelistet und können dann ausgewählt werden.
Mit der "-Taste auf der Tastatur kann der letzte (oder bei zweimaligem Drücken der vorletzte usw.)
Befehl wieder sichtbar gemacht und dann nochmals ausgeführt oder verändert werden.
Im RStudio-Fenster finden Sie (meistens rechts oben) einen Reiter History. Auch dort werden alle
eingegebenen Befehle abgespeichert.
Im Reiter Environment werden alle Objekte der aktuellen Sitzung aufgelistet.
d) Probieren Sie die angesprochenen Tricks zur Ein- und Ausgabe aus.
Lösungshinweis:
x = 4 x.2 = sqrt(3 * x^2 + log(1/exp(x)) + 5) x.
[1] 7
X
Error in eval(expr, envir, enclos): Objekt ’X’ nicht gefunden
x + x.
[1] 11
x.Produkt = x * x. x.Produkt
[1] 28
x.Produkt = x.Produkt * x rm(x) x # Fehler: x gibt's ja nicht mehr, kann deswegen auch nicht ausgegeben werden
Error in eval(expr, envir, enclos): Objekt ’x’ nicht gefunden
tubby.1 = "Tinky-Winky" tubby.2 = "Dipsy" Zahl = 10 keine.Zahl = "10" Zahl + 1 # Ergebnis: 11
[1] 11
keine.Zahl + 1 # Fehler: das geht nicht...
Error in keine.Zahl + 1: nicht-numerisches Argument für binären Operator
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Aufgabe 3 R: Vektoren in R (3)
Daten: Vektoren
Eine Urliste von Daten eines Merkmals wird in R durch einen Vektor repräsentiert. Zur Erzeugung eines
Vektors dient die Funktion c(). die Einträge der Urliste werden dann zum Beispiel als Argumente von
c() durch Kommata getrennt angegeben. Als Ausprägungen sind Zahlen oder Zeichenketten möglich.
R versucht dann durch die Art der Argumente automatisch zu entscheiden, ob es sich um ein nominales
oder ein metrisches Markmal handelt.
a) Legen Sie eine Urliste für das Merkmal x an, das die Werte 1, 4, 2, 1.5 enthält. Geben
Sie x aus. Legen Sie ein weiteres Merkmal Geschlecht mit den Werten Mann, Frau,
Frau, Frau an. Geben Sie auch Geschlecht aus. Das dritte Merkmal z soll die Wer-
te 1, 2, 1, "1" enthalten. Ist z für R nominal oder metrisch? Überprüfen Sie Ihre
Entscheidung.
Vektoren aufeinanderfolgender ganzer Zahlen werden mit dem Doppelpunkt-Operator gebildet. 2:
steht zum Beispiel für den Vektor mit den Zahlen 2, 3, 4, 5. Mit der Funktion seq() kann man genauer
Vektoren als Folgen von Zahlen erzeugen. seq(from=2, to=3, by=0.2) erzeugt zum Beispiel den
Vektor (2, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8, 3). Mit rep() werden Werte oder ganze Vektoren vervielfacht als Vektor
ausgegeben. Zum Beispiel ergibt rep(c(1,2), 3) den Vektor (1,2,1,2,1,2). Die Hilfe-Seiten (Aufruf
über ?seq bzw. ?rep) erklären die Details.
b) Erzeugen Sie folgende Vektoren in R:
## [1] 5 6 7 8 9
## [1] 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
## [1] -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,
## [1] 10000 12500 15000 17500 20000
## [1] -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1
## [18] 2
## [1] 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 10,1 10,2 10,3 10,
## [11] 10,
Rechenoperationen können zwischen (numerischen) Vektoren elementweise ausgeführt werden. Hat ein
Vektor weniger Elemente als ein anderer, werden die Elemente vom Beginn des kürzeren Vektors ein-
fach solange wiederholt, bis die Länge der beiden Vektoren gleich ist. Die Länge eines Vektors kann
mir der Funktion length() ausgelesen werden. Die Summe aller Elemente eines Vektors wird mit
sum() errechnet. Beispielsweise ergibt mit x=1:5 und y = c(10.1, 10.5) die Summe x+y den Vek-
tor (11.1, 12.5, 13.1, 14.5, 15.1). Analog funktioniert -, *, /.
c) Gegeben sind die Vektoren
x = 4: y = seq(from = 0.1, to = 0.5, by = 0.1)
Erklären Sie, was folgende Ausdrücke ergeben und überprüfen Sie Ihr Ergebnis in R:
x + y x * y x^3 + 1 2 * x - 3 * y n = length(x + y) sum(x + y)/n
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z
[1] "1" "2" "1" "1"
b) 5:
## [1] 5 6 7 8 9
## [1] 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
seq(from = -0.1, to = 0, by = 0.02)
[1] -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,
seq(from = 10000, to = 20000, length.out = 5)
[1] 10000 12500 15000 17500 20000
rep(-3:2, 3)
[1] -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1
[18] 2
c(5:10, seq(from = 10.1, by = 0.1, to = 10.5))
[1] 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 10,1 10,2 10,3 10,
[11] 10,
c) x = 4:
y = seq(from = 0.1, to = 0.5, by = 0.1)
x + y
[1] 4,1 3,2 2,3 4,4 3,
x * y
[1] 0,4 0,6 0,6 1,6 1,
x^3 + 1
[1] 65 28 9
2 * x - 3 * y
[1] 7,7 5,4 3,1 6,8 4,
n = length(x + y) sum(x + y)/n
[1] 3,
d) x = seq(from = 0, to = 100, by = 2)
y = 100:
x[3]
[1] 4
y[c(1, 3, 10)]
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## [1] 100 98 91
x[1:4]
[1] 0 2 4 6
x[x > 91]
[1] 92 94 96 98 100
x[x > 20 & x <= 30]
[1] 22 24 26 28 30
y[y == 5 | y > 95 | y < 3]
[1] 100 99 98 97 96 5 2 1
e) x = seq(from = 0.2, to = 2, by = 0.3)
y = -3: x < y
[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE
x^2 < x
[1] TRUE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE
Index = x^2 < x x[Index]
[1] 0,2 0,5 0,
y[Index]
[1] -3 -2 -
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2^3^2 # entspricht 2^(3^2) (2^3)^ exp(1) # das ist e^ log(exp(1)) # log() entspricht dem ln; e^x und ln heben sich auf sqrt(16) # Quadratwurzel 16^(1/2) # auch QW
Sqrt(16) # Fehler, sqrt() schreibt man mit kleinem 's'
Aufgabe 2 ...
c) # -------------------------------------------------------- 22.3.2016,
Max Maier R-Skript zur Statistik Übung im SS 2016
--------------------------------------------------------
Aufgabe 1
2 + 3 * 4 # hier gilt Punkt vor Strich
[1] 14
(2 + 3) * 4 # Klammer zuerst
[1] 20
0.2 * 3 - 1.
[1] -0,
0,2 * 3 # Fehler, ',' wird nicht als Dezimalkomma akzeptiert
2^3^2 # entspricht 2^(3^2)
[1] 512
(2^3)^
[1] 64
exp(1) # das ist e^
[1] 2,
log(exp(1)) # log() entspricht dem ln; e^x und ln heben sich auf
[1] 1
sqrt(16) # Quadratwurzel
[1] 4
16^(1/2) # auch QW
[1] 4
Sqrt(16) # Fehler, sqrt() schreibt man mit kleinem 's'
Aufgabe 2 ...
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Aufgabe 5 R: Funktionen einer reellen Variablen (9)
Funktionen einer reellen Variablen
In R können Funktionen einer reellen Variable mit dem Aufruf function(Variable) {Funktionsterm}
definiert werden. Diese Funktionen können beliebien Bezeichnern zugewiesen werden. Soll beispiels-
weise die Funktion
f W R! R mit f .x/ D
x
C 1
definiert werden, kann man schreiben:
f = function(x) { x/2 + 1 }
Die Funktion kann dann mit Konstanten sowie Variablen Skalaren bzw. Vektoren aufgerufen werden.
Der Funktionswert wird zurückgegeben bzw. am Bildschirm ausgegeben:
f(2)
[1] 2
x = 3. y = f(x) # Funktionswert von f(3.2) wird in Variable y abgespeichert. y
[1] 2,
x = -2:2 # Mehr als ein x-Wert x
[1] -2 -1 0 1 2
f(x)
[1] 0,0 0,5 1,0 1,5 2,
Wertetabellen können über die Funktion data.frame() generiert bzw. ausgegeben werden.
Tabelle = data.frame(x, f(x)) # f(x) wird zu f.x., Spaltenname damit Bezeichner Tabelle # Standardausgabe, durchnumerierte Zeilen
x f.x.
1 -2 0,
2 -1 0,
3 0 1,
4 1 1,
5 2 2,
Mit print() als Wrapper können beispielsweise die Zeilennummern unterdrückt werden.
print(Tabelle, row.names=FALSE) # Ausgabe ohne Zeilennummern
x f.x.
-2 0,
-1 0,
0 1,
1 1,
2 2,
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Aufgabe 6 R: Funktionsplots (9b_Funktionsplots)
Graphen von Funktionen einer reellen Variablen
Mit der Funktion curve() kann in R sehr komfortabel der Graph einer Funktion einer reellen Variablen
gezeichnet werden. Als Argument wird eine selbstdefinierte Funktion oder ein Text eines Funktionsterms
(in Abhängigkeit von x) akzeptiert.
f = function(x) { x/2 + 1 } curve(f) curve(1 - exp(-x^2))
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
x
f(x)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
x
1 − exp(−x^2)
curve() hat einige nützliche Parameter:
from, to für den Definitionsbereich,
add für die Überlagerung mehrerer Kurven,
col für die Farbe der Kurve,
xlab, ylab, main für die Beschriftung der Abszisse, Ordinate, der Überschrift
lwd für die Strichdicke der Kurve
Mit grid() kann man ein Gitter in den Graphen einzeichnen.
curve(1 - exp(-x^2), from = -2, to = 5, lwd = 2, col = "red", xlab = "x", ylab = "f(x), g(x)", main = "Graph zweier Funktionen") curve(f, add = TRUE, col = "green", lwd = 2) grid(lwd = 2)
−2 −1 0 1 2 3 4 5
0,
0,
0,
0,
0,
1,
x
f(x), g(x)
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−2 −1 0 1 2 3 4 5
0,
1,
2,
3,
x
f(x)
Graph zweier Funktionen
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Grundlagen
Aufgabe 7
Grundlagen: Zusammenfassung (A1.1)
Lösen Sie in den nachstehenden Aufgaben die Klammern auf und fassen Sie soweit wie mög-
lich zusammen:
a) .3s C 2t/.4s 3t/.5s 7t/
b)
.5a 2b/.5a C 2b/
25a^2 4b^2
.7a 3b/.7a 3b/
49a^2 C 9b^2 42ab
c) 8x .x C ..3x 2y/ .5x C 3y// .. x C 6y///
Lösungshinweis:
a) 60s^3 89s^2 t 23st^2 C 42t^3
b) 1 1 D 0
c) 8x C 11y
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Aufgabe 8 Grundlagen: Binomische Formeln (A1.2)
Wenden Sie die binomischen Formeln zur Vereinfachung folgender Ausdrücke an:
a)
9a^2 2b^2
p
2a 2b
b)
s^2 t^2
2s^2 C 4st C 2t^2
c) a^2 x^4 2ayx^2 b^2 C b^4 y^2
d)
p
xy 1
p
xy
e) 4a C 12
p
ab C 9b
Lösungshinweis:
a)
3a
p
C b
b)
s t
2.s C t/
c)
ax^2 yb^2
d) 1 xy
e)
p
a C 3
p
b
