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Wirtschaftsmathematik Formelsammlung
Stand M¨arz 2015
Binomische Formeln
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a b)^2 = a^2 2 ab + b^2 (a + b) · (a b) = a^2 b^2
Fakult¨at (Faktorielle)
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · (n 1) · n
Intervalle
Notation Bezeichnung enth¨alt alle x mit
]a, b[ oder (a, b) O↵enes Intervall a < x < b
[a; b] Abgeschlossenes Intervall a x b ]a, b] oder (a, b] Halbo↵enes Intervall a < x b [a, b[ oder [a, b) Halbo↵enes Intervall a x < b
R+ = {x 2 R | x 0 }
R++ = {x 2 R | x > 0 }
Potenzen und Wurzeln
am^ · an^ = am+nA a
m n = n
p am am an^
= am n^
pn a
m = n
p am
(am)n^ = am·n^ n
q m^ pa = n·m^ pa
(a · b)n^ = an^ · bn^ n
p a · b = n
p a · n
p b ⇣ (^) a
b
⌘n
an bn
n
r a b
p na p nb
a 1 = a a 0 = 1
a n^ =
a n
0 x^ = 0 wenn x > 0 und nicht definiert, wenn x 0!
Definition des Logarithmus
logax = u , x = au^ (a > 0 , x 2 R++)
a heißt Basis, x Numerus, u heißt (^) ”Logarithmus von x zur Basis a“.
Rechnen mit Logarithmen (bez¨uglich einer beliebigen Basis)
log (u · v) = log u + log v log
u v
= log u log v
log un^ = n · log u log n
p u =
n
· log u
log1 = 0 logaa = 1
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung der Form
ax 2 + bx + c = 0
mit a 6 = 0 l¨ost man mit
x =
b ±
p b 2 4 ac 2 a
Eine quadratische Gleichung der Form
x 2 + px + q = 0
l¨ost man mit
x =
p 2
r⇣ p 2
q
S¨atze von Vieta
Wenn x 1 und x 2 L¨osungen der Gleichung x^2 + px + q = 0 sind, so gilt:
x 1 + x 2 = p x 1 · x 2 = q x^2 + px + q = (x x 1 ) · (x x 2 )
Kartesisches Produkt
A ⇥ B = {(x, y) | (x 2 A) ^ (y 2 B) }
Gesprochen: ,,A kreuz B“. Die Elemente dieser Menge, (x, y) heißen geordnete Paare.
Das Summenzeichen
a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a (^) n =
X^ n
i=
a (^) i
Determinanten (nur f¨ur quadratische Matrizen)
- Ist A = (a) so ist det (A) = a
- Ist A =
a 11 a 12 a 21 a 22
so ist det (A) = a 11 · a 22 a 21 · a 12
- F¨ur 3 ⇥ 3-Matrizen: Regel von Sarrus
- F¨ur alle Matrizen: Laplac’scher Entwicklungssatz
a) Entwicklung nach der j-ten Spalte: det (A) =
Pn k=
akj · dkj
b) Entwicklung nach der i-ten Zeile: det (A) =
Pn `=
ai· di
dabei ist dij die Adjunkte zum Element aij gegeben durch: dij = ( 1)i+j^ ·det (Dij ) mit der Teilmatrix Dij , die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht.
Wert der Determinante f¨ur bestimmte Arten von Matrizen
- Sind in einer Zeile oder Spalte einer Matrix A alle Elemente gleich Null, so ist: det (A) = 0
- Sind zwei Zeilen oder Spalten ein Vielfaches einer anderen Zeile oder Spalte, so ist: det (A) = 0
- Ist eine Zeile oder Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten, so ist: det (A) = 0
- Ist A eine Dreiecksmatrix, so gilt: det (A) = a 11 · a 22 · · · · · a (^) nn
L¨osen linearer Gleichungssysteme
Ein LGS ist l¨osbar wenn der Rang der Koe zientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.
- Je zwei Gleichungen (= Zeilen des Gleichungssytems) d¨urfen miteinander vertauscht werden
- Jede Gleichung darf mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
- Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert wer- den.
Rang einer Matrix
Unter dem Rang einer Matrix A (Schreibweise: r (A)) versteht man die gr¨oßte Anzahl linear unabh¨angiger Zeilen (oder Spalten) der Matrix A.
Lineare Unabh¨angigkeit von Vektoren
Die n Vektoren a 1 , a 2 ,... , a (^) n aus dem m-dimensionalen Raum R m^ heißen linear unabh¨angig, wenn die lineare Vektorgleichung
1 · a 1 + 2 · a 2 +... + (^) n · a (^) n = 0
nur f¨ur 1 = 2 =... = (^) n = 0 erf¨ullt ist. Dies bedeutet, es ist nicht m¨oglich einen der Vektoren durch die anderen auszudr¨ucken. Ist dies m¨oglich, heißen die Vektoren linear abh¨angig.
Arithmetische und geometrische Folge
Arithmetische Folge
an+1 an = d an = a 1 + (n 1) · d
sn =
n 2
· (a 1 + an)
Geometrische Folge
a (^) n+ a (^) n
= q
a (^) n = a 1 · q n ^1
s (^) n = a 1 ·
1 q n 1 q
Beginnt man bei Null zu z¨ahlen ergibt sich:
P^ n i=
a 0 · q i^ = a 0 + a 0 · q + · · · + a 0 · q n^ =
= a 0 · 1 q^
n+ 1 q
Definition Grenzwert einer Folge
Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a (^) n ) (^) n 2 N geschrieben lim n!
(a (^) n ), wenn gilt:
8 " > 0 9 n(")so, dass a (^) k 2 ]a ", a + "[ f¨ur alle k n(")
Reihen
F¨ur eine Folge (a (^) n ) (^) n 2 N heißt die Summe
S (^) n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a (^) n =
X^ n
i=
a (^) i
die n-te Partialsumme der Folge (a (^) n ) (^) n 2 N. Die Folge der Partialsummen (S (^) n ) (^) n 2 N heißt Reihe. Man schreibt mit Hilfe des Summenzeichens – unabh¨angig davon, ob (S (^) n ) (^) n 2 N konvergiert – symbolisch X^1
i=
a (^) i
Ableitungsregeln
(f ± g) 0 = f 0 ± g 0 (k · f ) 0 = k · f 0 k 2 R (f · g) 0 = f 0 · g + f · g 0 ✓ f g
f 0 · g f · g 0 g 2 [f (g (x))] 0 = f 0 (g (x)) · g 0 (x)
Regel von de l‘Hospital
Wenn f und g di↵erenzierbar an einer Stelle x 0 sind und f (x 0 ) = 0 und g (x 0 ) = 0 ist, gilt:
xlim!x 0
f (x) g (x)
= (^) xlim!x 0
f 0 (x) g 0 (x)
Auch anwendbar f¨ur unbestimmte Ausdr¨ucke der Form 11. Kann auch mehrfach angewendet werden, solange die Voraussetzungen
0 ,^
1 1
erf¨ullt sind.
Elastizit¨at
" (^) f (x) =
f 0 (x) · x f (x) " (^) f (x) gibt zu jeder Inputmenge n¨aherungsweise an, wie stark der Output prozentual auf eine einprozentige Erh¨ohung dieser Inputmenge reagiert.
Grundintegrale
k · dx = k · x + c ˆ x n^ dx =
x n+ n + 1
- c f¨ur n 6 = 1 ˆ x ^1 dx = ln |x | + c f¨ur x 6 = 0 ˆ e x^ dx = e x^ + c ˆ e a·x^ dx =
a
· e a·x^ + c ˆ a x^ dx =
ln (a)
· a x^ + c f¨ur a > 0 , a 6 = 1 ˆ ln (x) dx = x · ln (x) x + c
Integrationsregeln
(f ± g) · dx =
f dx ±
g dx ˆ (k · f ) dx = k ·
f dx
Taylorreihe
f (x) =
X^1
k=
f (k)^ (x 0 ) k!
· (x x 0 )k^ = f (x 0 ) +
f 0 (x 0 ) 1!
· (x x 0 ) +
f 00 (x 0 ) 2!
· (x x 0 )^2 +...
N¨aherungsweise Darstellung einer Funktion an einer Stelle x 0.
Homogenit¨at
Eine Funktion f : R n^! R heißt homogen vom Grad r, wenn es eine Zahl r 2 R gibt, sodass f¨ur alle 2 R gilt: f ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) = r^ · f (x 1 .x 2 ,... , x (^) n )
Gradient
Die Zusammenfassung aller n m¨oglichen ersten partiellen Ableitungen in einem n- dimensionalen Zeilenvektor nennt man Gradient von f:
grad (f ) =
@f @x (^1)
@f @x (^2)
@f @x (^) n
= (f (^) x 1 , f (^) x 2 ,... , f (^) x (^) n )
Der Gradient gibt die Richtung des gr¨oßten Anstiegs von f an.
Richtungsableitung (normiert)
in Richtung des Vektors z 2 R n
@f @z
(x) =
|z |
· grad (f ) · z
Totales Di↵erential
df =
@f @x 1
(x) · dx 1 + · · · +
@f @xn
(x) · dxn
Partielle Elastizit¨at
" (^) i (x) =
@f @x (^) i
x (^) i f
