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Zusammenfassung der wichtigsten Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Statistik für das Abitur
Begriff Definition Beispiel
Ergebnis Ausgang eines Zufallsexperimentes bei einem Würfel: {6}
Ereignis Menge/Zusammenfassung von Ergebnissen bei einem Würfel: {2,4,6}
Ergebnisraum Menge aller möglichen Ergebnisse bei einem Würfel: {1,2,3,4,5,6}
mehrstufige
Zufallsexperimente
Mehrstufige Zufallsexperimente können durch ein
Baumdiagramm dargestellt werden.
Pfadregel 1 : Die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses ist gleich dem Produkt aller
Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
Pfadregel 2: Die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses ist gleich der Summe aller
Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.
Urne mit 6 roten und 2 gelben Kugeln; 2maliges Ziehen mit
Zurücklegen
P(eine rote und eine gelbe Kugel) =
3 4
1 4
1 4
3 4
bedingte
Wahrscheinlichkeit/
Vierfeldtafeln
PB(A) bedeutet die Wahrscheinlichkeit von A unter
der Bedingung B
In einer Firma arbeiten 45 % Frauen und 55 % Männer. 60% der Frauen und 10% der Männer arbeiten halbtags. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Halbtagskraft weiblich ist? P = 0 , 27 0 , 325 = 0,8307, d.h. sie ist 83,07%. Frauen Männer halbe Stelle 0,45 ∙ 0,6 = 0, 0,55 ∙ 0,1 = 0, 0, ganze Stelle 0,45 ∙ 0,4 = 0, 0,55 ∙ 0,9 = 0, 0, 0,45 0,55 1
Zufallsgröße X X = a
X ist eine Größe, die jedem Ereignis eines
Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet.
beschreibt das Ereignis a, dessen Ergebnisse alle dazu
führen, dass die Zufallsgröße X den Wert a annimmt
X = Augensumme bei 2maligem Würfeln X = 6 bedeutet die Augensumme 6, d.h. die Würfe (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1); es gehören also 5 Ergebnisse dazu
P(X = a) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses a (das die
Zufallsgröße X annimmt)
X = Augensumme bei 2maligem Würfeln P(X = 6) = 5 36 𝜇 = E(X)
Erwartungswert
einer Zufallsgröße
E(X) = x 1 ∙ P(X= x 1 ) + x 2 ∙ P(X= x 2 )+ … + xn∙ P(X= xn)
E gibt an, mit welchem Wert man langfristig rechnen
kann.
Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln X = Anzahl der roten Kugeln bei 2maligem Ziehen mit Zurücklegen; Ergebnisse: 0,1,2 rote Kugeln E(X) = 0 ∙ 6 10 ∙^ 6 10 + 1∙^ [^ 4 10 ∙^ 6 10 +^ 4 10 ∙^ 6 10 ]^ + 2^ ∙^ 4 10 ∙^ 4 10 = 0, 𝜎(𝑋)
Standardabweichun
g einer Zufallsgröße
𝜎(𝑋) = √(𝑥 1 − 𝜇)^2 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑥 1 ) + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝜇)^2 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑛)
𝜎 gibt an, die verstreut die Werte liegen. Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln X = Anzahl der roten Kugeln bei 2maligem Ziehen mit Zurücklegen 𝜎(𝑋) = √( 0 − 0 , 8 )^2 ∙ 36 100 +^ ( 1 − 0 , 8 )^2 ∙ 48 100 +^ ( 2 − 0 , 8 )^2 ∙ 16 100 ≈0, 𝜇 = E(X)
Erwartungswert
einer Versuchsreihe
E(X) =
𝑥 1 + 𝑥 2 + … + 𝑥𝑛 𝑛 𝜇 ist der normale Mittelwert. 𝜎(𝑋) Standardabweichung
einer Versuchsreihe
𝜎(𝑋) = √^1 𝑛 ∙ [(𝑥 1 − 𝜇)^2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝜇)^2 ]
Erwartungswert von Bernoulli-Ketten Erwartungswert der Zufallsgröße X einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p: 𝜇 = E(X) = n ∙ 𝑝 Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln X = Anzahl der roten Kugeln bei 2maligem Ziehen mit Zurücklegen E(X) = 2 ∙ 4 10 = 0, Standardabweichung von Bernoulli-Ketten Standardabweichung der Zufallsgröße X einer Bernoulli- Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p: 𝜎(𝑋) = (^) √𝑛 ∙ 𝑝 ∙ ( 1 − 𝑝) Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln X = Anzahl der roten Kugeln bei 2maligem Ziehen mit Zurücklegen 𝜎(𝑋) = (^) √ 2 ∙ 0 , 4 ∙ 0 , 6 ≈ 0, Sigmaregeln für binomialverteilte Zufallsgrößen
P(𝜇 − 1 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 1 𝜎) ≈68,3%
P(𝜇 − 1 , 64 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 1 , 64 𝜎) ≈90%
P(𝜇 − 1 , 96 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 1 , 96 𝜎) ≈95%
P(𝜇 − 2 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 2 𝜎) ≈95,4%
P(𝜇 −2,58𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 2 , 58 𝜎) ≈ 99 %
P(𝜇 − 3 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 3 𝜎) ≈99,7%
Die Regeln gelten für 𝜎 > 3. Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln X = Anzahl der roten Kugeln bei 100maligem Ziehen mit Zurücklegen In welchem Intervall liegen 99% aller Werte von X? 𝜇 = 100 ∙ 0 , 4 = 40 𝜎(𝑋) = (^) √ 100 ∙ 0 , 4 ∙ 0 , 6 ≈ 4, [𝜇 −2,58𝜎; 𝜇 + 2 , 58 𝜎] = [40−2,58 ∙ 4,899; 40 + 2,58 ∙ 4,899] = [27,36; 52,64] Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegt die Anzahl X der roten Kugeln bei 100maligem Ziehen zwischen 28 und 52 Kugeln. Konfidenzintervall gegeben:
- eine Stichprobe einer Bernoulli-Kette mit der Länge n und der Trefferzahl k;
- Sicherheitswahrscheinlichkeit (𝜎-Regel) gesucht: verträgliche Wahrscheinlichkeit p (Intervall) Bei einem Würfelspiel werden 30 Sechsen bei 100 Versuchen erzielt. Welche Erfolgswahrscheinlichkeiten sind mit einer Sicherheits- wahrscheinlichkeit von 95,4% mit dem Stichprobenergebnis vereinbar? 𝜇 − 2 𝜎 ≤ 30 ≤ 𝜇 + 2 𝜎 30 = 𝜇 ± 2 𝜎 30 = 100 ∙ p ± 2 ∙ (^) √ 100 ∙ 𝑝 ∙ ( 1 − 𝑝) 100 ∙ p − 30 = ± 2 ∙ √ 100 ∙ 𝑝 ∙ ( 1 − 𝑝) /: p – 0,3 = ± 2 ∙ √ 𝑝∙( 1 −𝑝) 100 /()² (p−0,3)² = 4 ∙ 𝑝∙( 1 −𝑝) 100 p² −0,6p + 0,09 = 0,04p – 0,04p² 1,04p² −0,64p + 0,09 = 0 p 1 ≈ 0,2175 v p 2 ≈ 0, I = [0,2175; 0,3978]
