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Dieses Skript enthält die wichtigsten mathematischen Definitionen und Methoden, die für das Mathematik-Abitur benötigt werden. Es ist grob unterteilt in Analysis, Geometrie und Stochastik, jeweils unter- gliedert in die zugehörigen Themen. Nicht alle mathematischen Grundlagen aus der Unterstufe werden hier wiederholt, insgesamt bietet das Skript aber einen guten Überblick über die zu lernenden Themen.
Art: Zusammenfassungen
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Dieses Skript enthält die wichtigsten mathematischen Definitionen und Me- thoden, die für das Mathematik-Abitur benötigt werden. Es ist grob unterteilt in Analysis, Geometrie und Stochastik, jeweils unter- gliedert in die zugehörigen Themen. Nicht alle mathematischen Grundlagen aus der Unterstufe werden hier wiederholt, insgesamt bietet das Skript aber einen guten Überblick über die zu lernenden Themen.
Letztes Update: Mai 2025
Thema 1
Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f ( x ) = mx + n , wobei m und n reelle Zahlen sind (d.h. m, n ∈ R). m ist die Steigung der Geraden, n ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Der Definitionsbereich Df einer linearen Funktion ist Df = R, es kann also jede relle Zahl für x eingesetzt werden. Nullstellen ergeben sich durch gleichsetzten von f ( x ) = 0 und umstellen nach x. Für den Steigungswinkel α der Geraden gilt nach den Winkelbeziehungen im rechtwink- ligen Dreieck tan( α ) = m.
Eine Funktion der Form f ( x ) = ax^2 + bx + c ; a, b, c ∈ R , a ̸= 0 ist eine quadratische Funktion. Auch hier ist die Definitionsmenge Df = R. Der Funktionsgraph ist eine Parabel. Wenn a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, wenn a < 0 ist sie nach unten geöffnet. Die Funktionsgleichung kann in die Scheitelpunktform umgewandelt werden, sodass di- rekt der Scheitelpunkt abgelesen werden kann. Scheitelpunktform: f ( x ) = a ( x − d )^2 + e mit d = − 2 ba und e = c − b 2 4 a , dann hat der Scheitel- punkt die Koordinaten S( d | e ). Die Scheitelpunktform kann man auch durch quadratische Ergänzung erhalten. Dabei wird zum Beispiel eine Funktion der Form f ( x ) = x^2 + 2 bx + c mit dem Term + b^2 − b^2 ergänzt, sodass man eine binomische Fromel rückwärts anwenden kann: f ( x ) = x^2 + 2 bx + c + b^2 − b^2 = ( x + b )^2 − b^2 + c, (1.1)
sodass man den Scheitelpunkt S (− b | − b^2 + x ) erhält. Die Nullstellen einer quadratischen Funktion lassen sich mit der abc-Formel berechnen:
x 1 , 2 =
− b ±
b^2 − 4 ac 2 a
Alternativ kann die pq-Formel angewendet werden, dazu muss aber a = 1 gelten (was durch dividieren des Funktionsterms durch a erreicht werden kann, also ist dabei p = b/a und q = c/a ):
x 1 , 2 = −
p 2
√( p 2
) 2 − q (1.3)
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.1. ELEMENTARE FUNKTIONEN
Eine ganzrationale Funktion, auch Polynom oder Polynomfunktion genannt, hat folgende allgemeine Form:
f ( x ) = anxn^ + an − 1 xn −^1 + · · · + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 =
∑^ n
i =
aixi^ (1.4)
Die höchste Potenz nennt man dabei den Grad oder die Ordnung einer solchen Funk- tion, hier also Grad( f )= n. Eine quadratische Funktion ist ein Polynom vom Grad 2, eine lineare Funktion hat Grad 1 etc. Funktionen der Form f ( x ) = xn^ nennt man auch Potenzfunktionen. Die Nullstellen eines Polynoms mit hohem Grad zu bestimmen ist generell schwieriger, es gibt hierfür kein universelles Konzept. Dafür muss man beispielweise überlegen, raten oder annähern (z.B. mit dem Newton-Verfahren). Hat man so eine Nullstelle gefunden, kann man Polynomdivision anwenden, um den Grad des Polynoms zu verringern und dann weitere Nullstellen zu erhalten. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen, sie kann aber auch weniger haben (auch gar keine).
Eine Wurzelfunktion hat die Form f ( x ) = n
x = x
1 n (^) ; n ∈ N. x wird dann Radikand genannt und muss immer größer oder gleich 0 sein. Daher ist der Definitionsbereich Df = R+ 0. Nullstellen hat eine Wurzelfunktion nur dort, wo der Radikand gleich 0 wird. Achtung: Bei Funktionsgleichungen, die Wurzelterme enthalten, muss auf den Definitionsbereich ge- achtet werden. Das gilt auch für andere Funktionstypen, bei denen der Defintionsbereich eingeschränkt ist.
| f ( x )| ist die Betragsfunktion von f ( x ). Der Definitionsbereich entspricht dem Definiti- onsbereich von f ( x ), die Wertemenge sind im Allgemeinen für ein bestimmtes f ( x ) die positiven reellen Zahlen inklusive der 0 (R+ 0 ). Der Funktionsgraph liegt für eine Betragsfunktion immer überhalb (oder auf) der x- Achse. Achtung: Dadurch kann es zu „Knicken“ im Graphen kommen. An solchen Punkten ist eine Funktion nicht differenzierbar, d.h. man kann dort keine Ableitung berechnen.
Die trigonometrischen Funktionen sind sin( x ) und cos( x ) bzw mit Faktoren etc. in allge- meiner Form
f ( x ) = a · sin( bx + c ) + d , f ( x ) = a · cos( bx + c ) + d ,
mit a, b, c, d ∈ R; a ̸= 0 , b ̸= 0. Dabie sorgt a für eine Streckung/Stauchung in y-Richtung, also für eine Änderung der Amplitude. b verändert die Periode p einer Schwingung (es gilt
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.2. GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN
Eine Funktion kann in y-Richtung um einen Wert b verschoben werden, indem f ( x )+ b gerechnet wird. Eine Verschiebung um a in x-Richtung erhält man durch f ( x − a ). Gestreckt oder gestaucht wird eine Funktion in y-Richtung durch Multiplikation mit einem Faktor k · f ( x )( k > 0 : Streckung, 0 < 1 < k : Stauchung). Eine Streckung oder Stau- chung um 1 /k in x-Richtung ergibt sich durch die Multiplikation f ( k · x ). Eine Spiegelung an der x-Achse ergibt sich mit − f ( x ), an der y-Achse mit f (− x ).
Ein Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:
f ( x ) = f (− x ) (1.8)
Eine solche Funktion nennt man gerade Funktion. Beispiele für gerade Funktionen sind x^2 oder cos( x ). Ein Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:
− f ( x ) = f (− x ) (1.9)
Eine solche Funktion nennt man ungerade Funktion. Beispiele für ungerade Funktionen sind x^3 oder sin( x ).
Als gebrochenrational bezeichnet man eine Funktion, die sich als Quotient zweier Poly- nome darstellen lässt, also folgende Form hat:
f ( x ) =
p ( x ) q ( x )
amxm^ + · · · + a 1 x + a 0 bnxn^ + · · · + b 1 x + b 0
Eine solche Funktion hat dort Nullstellen, wo das Zählerpolynom p ( x ) Nullstellen besitzt. Gleichzeitig muss dort aber das Nennerpolynom ungleich 0 sein ( q ( x ) ̸= 0). Stellen, an denen das Nennerpolynom 0 wird, nennt man Defintionslücken oder Polstellen. Dort ist die jeweilge gebrochenrationale Funktion nicht definiert. Das Nennerpolynom kann maximal n Nullstellen haben, weshalb f ( x ) maximal n Polstellen hat. Um Nullstellen und Polstellen zu ermitteln, werden die Mechanismen für die Berech- nung von Nullstellen bei Polynomen benötigt. Gut geeignet ist die Methode, die Funktion in ihre Linearfaktoren zu zerlegen. Dann können Nullstellen und Polstellen einfach abge- lesen werden. Hat man eine Definitionslücke lann man sich fragen, wie sich die Funktion in der Nähe dieser Stelle verhält. Dazu schaut man sich den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion gegen die entsprechende Polstelle x 0 an:
lim x → x − 0
f ( x ) und lim x → x + 0
f ( x ) (1.11)
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.3. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN
An einer Definitionslücke hat eine gebrochen rationale Funktion eine senkrechte Asym- ptote. Das heißt, dass die beiden Grenzwerte dort asymptotisch gegen −∞ oder +∞
Fig. 1.2: Beispiele für Asymptoten bei ge- brochenrationalen Funktionen.
gehen. Rechts sieht man beispielsweise die Funkti- onsgraphen Gf und Gg der Funktionen
f ( x ) =
x − 1
und g ( x ) =
( x − 3)^2
Die gestrichelten Linien sind die senkrechten Asym- ptoten zu den Polstellen x 0 = 1 von f ( x ) und x 0 = 3 von g ( x ). Nähert man sich bei f von links an die Polstelle an, geht der Funktionswert gegen −∞, bei einer Annäherung von rechts aber nähert sich die Funktion aber +∞ an. Es gilt also:
lim x → x − 0
f ( x ) = −∞ und lim x → x + 0
f ( x ) = +∞ (1.13)
Für g geht der Graph von beiden Seiten gegen un- endlich, d.h. es gilt: lim x → x − 0
g ( x ) = lim x → x + 0
g ( x ) = +∞ (1.14)
Eine Ausnahme bilden sogennante hebbare Polstellen, die dort auftreten, wo Nenner- und Zählerpolynom eine gemeinsame Nullstelle haben. In diesem Fall gibt es keine Asymptote, sondern einfach ein Definitionsloch im Verlauf des Graphen. Betrachtet man das Verhalten einer Funktion gegen ±∞, so können sich verschiedene Asymptoten ergeben. Ist m < n (Zählergrad kleiner Nennergrad), geht die Funktion für ±∞ gegen 0, d.h. die x-Achse ist eine Asymptote. Für m = n ergibt sich ebenfalls eine waagerechte Asymptote, die allerdings parallel zur x-Achse verschoben ist. Bei m = n + 1 erhält man eine schräge Asymptote, die sich über eine lineare Funktion darstellen lässt. Bei m > n + 1 gibt es keine Asymptoten.
Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable im Exponenten steht. Als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet man f : x 7 → ex , wobei e die Eulersche Zahl ist. Diese ist über den Grenzwert lim n →∞ (1 + 1 /n ) n^ = 2 , 718281_..._ definiert. Das Besondere an dieser Funktion ist, dass sie ihrer eigenen Ableitung entspricht. Der Definitionsbereich der e-Funktion ist ganz R, der Wertebereich R+. Dieunverscho- bene nat. Exponentialfunktion hat keine Nullstelle und geht gegen 0 für x gegen −∞ und gegen +∞ für x → +∞. Die Umkehrung einer Exponentialfunktion ist ein sogennanter Logarithmus. Der Lo- garithmus zur Basis e wird als ln ( logarithmus naturalis ) bezeichnet, er ist die Umkehrung der e -Funktion. Der ln ist nur für positive Zahlen (ohne die 0) definiert, der Wertebereich ist aber ganz R. Für x → 0 geht der ln gegen −∞, für x → +∞ gegen +∞.
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.4. GRENZWERTE
quadratische Funktionen). Allerdings ist es oft möglich, eine Gleichung so umzuformen, dass ein logarithmieren oder „hoch e nehmen“ auf beiden Seiten eine Lösung für die Gleichung liefert. Dazu sind ebenfalls die Logarithmusrechenregeln und Potenzgesetze hilfreich. Eine andere Möglichkeit, die manchmal einsetztbar ist, ist die, Terme so zu substitu- ieren, dass ein Polynom oder eine gebrochen-/ganzrationale Funktion entsteht. Errechnet man für diese die Lösung, kann man anschließend durch Rücksubstition das Ergebnis erhalten. Bei Logarithmus-Gleichungen muss bei ermittelten Lösungen auf den Definitionsbe- reich geachtet werden, da der ln nur auf R+^ definiert ist. Will man eine Exponential- oder Logarithmusgraphen zeichnen ist es nützlich, zuerst Nullstelle(n), y-Achsenabschnitt und mögliche Asymptoten zu berechnen, mit denen das skizzieren dann leicht fällt. Für die Asymptoten sind folgende Grenzwerte von Nutzen (häufig auch in der Formelsammlung zu finden):
x →^ lim+∞
xr ex^
= 0 und (^) x →lim+∞( ex^ − xr ) = +∞ r ∈ R+
lim x → 0 ( xr^ · ln( x )) = 0 und lim x →+∞
ln( x ) xr^
= 0 r ∈ R+
Grenzwerte werden hier vor allem benötigt, um das Verhalten von Funktionen im Unend- lichen oder an Definitionslücken zu verstehen, aber auch die Ableitung ist zum Beispiel über einen Grenzwert definiert (siehe dazu später: Differentialquotient). Grundsätzlich kann man zwischen dem links- und rechtsseitigen Limes unterscheiden, diese können verschieden voneinander sein. Im Unendlichen gibt es nur einen Grenzwert, da man sich nicht „rechts/links vom ±Unendlichen“ aus annähern kann. Um Grenzwerte zu bestimmen, können einige Rechenregeln verwendet werden (gelten auch für x 0 = ±∞):
x^ lim→ x 0 ( c · f ( x )) = c ·
( x^ lim→ x 0 f ( x )
)
x^ lim→ x 0 ( f ( x ) ± g ( x )) =
( x^ lim→ x 0 f ( x )
) ±
( x^ lim→ x 0 g ( x )
)
x^ lim→ x 0 ( f ( x ) · g ( x )) =
( x^ lim→ x 0 f ( x )
) ·
( x^ lim→ x 0 g ( x )
)
x^ lim→ x 0
( f ( x ) g ( x )
lim x → x 0 f ( x ) lim x → x 0 g ( x )
x lim→ x 0
( n √ f ( x )
) = n
√(
x^ lim→ x 0 f ( x )
)
x^ lim→ x 0 ([ f ( x )] n ) =
( x^ lim→ x 0 f ( x )
) n
x^ lim→ x 0
( cf^ ( x )
) = c (lim x → x^0 f^ ( x ))
x lim→ x 0
(log a ( f ( x ))) = log a
( x^ lim→ x 0
f ( x )
)
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Im Fall von limlim xx →→ xx^0 f^ ( x ) 0 g ( x )^ kann es dazu kommen, dass sich ein Ausdruck der Form „^00 “ oder
„∞∞ “ ergibt. Das bedeutet aber nicht automatisch, dass sich der Grenzwert nicht berech- nen lässt. Zur Vereinfachung des Terms kann dann die Regel von L’Hôspital angewendet werden:
x^ lim→ x 0
f ( x ) g ( x )
= lim x → x 0
f ′( x ) g ′( x )
wobei f ′( x ) und g ′( x ) die Ableitungen der jeweiligen Funktionen sin d(dazu gleich mehr). Wichtig: Die Regel kann nur verwendet werden, wenn beide Grenzwerte (Zähler und Nen- ner) gleich 0 oder gleich ∞ sind, also nicht, wenn es nur einer ist oder beide unterschiedlich sind.
Die Ableitung einer Funktion f ist eine neue Funktion f ′, die die Steigung von f be- schreibt. Die Steigung einer Funktion ist die momentane bzw. lokale Änderungsrate. Zu- erst betrachtet wir aber die mittlere Änderungsrate einer Abbildung auf dem Intervall [ a, b ]. Die mittlere Änderungsrate m , auch Differenzenquotient genannt, entspricht der Steigung einer Sekante durch die Punkte ( a | f ( a )) und ( b | f ( b )):
m =
f ( b ) − f ( a ) b − a
Eine Funktion hat aber eine Steigung, die in jeden Punkt der Funktion unterschiedlich sein kann, weshalb eine mittlere Änderungsrate über ein ganzes Intervall nicht ausreicht, um die Steigung einer Funktion gut darzustellen. Deshalb führt man die momentane Änderungsrate bzw. den Differentialquotienten mx 0 an der Stelle x 0 ein:
mx 0 = lim x → x 0
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
= lim h → 0
f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h
= f ′( x 0 ) (1.20)
Die beiden Notationen (mit und ohne h ) sind völlig äquivalent, manchmal eignet sich aber eine besser als die andere zur richtigen Berechnung des Grenzwerts. Im Koordinatensystem ist mx 0 die Steigung einer Tangente im Punkt x 0 :
Die Steigung mt der Tangente t am Punkt x 0 ergibt sich also mit mt = f ′( x 0 ). Die gesamte
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Mit dem Begriff Monotonie beschreibt man allgemein das Steigungsverhalten einer Funkti- on auf einem Intervall. Eine Funktion f nennt man auf einem Intervall I für alle x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2
monoton steigend, falls f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) streng monoton steigend, falls f ( x 1 ) < f ( x 2 ) monoton fallend, falls f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) streng monoton fallend, falls f ( x 1 ) > f ( x 2 ).
Da Monotonie das Steigungsverhalten beschreibt, kann man sich auch die Ableitung der Funktion im Intervall I ansehen ( x ∈ I ):
monoton steigend, falls f ′( x ) ≤ 0 streng monoton steigend, falls f ′( x ) < 0 monoton fallend, falls f ′( x ) ≥ 0 streng monoton fallend, falls f ′( x ) > 0
Interessant sind nun besonders die Punkte, an denen die Ableitung gleich 0 wird, also genau dort, wo eine waagerechte Tangente am Funktionsgraph anliegt. An diesen Stellen liegen entweder Extremwerte , wie Maxima oder Mi- nima, vor, oder aber Sattelpunkte. Die notwendige Bedingung für ein Extremwert ist also, dass die ers- te Ableitung 0 wird. Um Extrema aufzuspüren setzt man also zuerst die erste Ableitung gleich 0 und fin- det die Lösungen heraus. Um herauszufinden, um was für ein Extremum es sich handelt, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen kann man sich die Steigung (also die Ableitung) der Funktion kurz vor und kurz nach der potentielle Extremstelle ansehen. Wechselt das Vorzeichen der Steigung an der Stelle von - zu +, so hat man ein Minimum, bei + zu - ein Maxi- mum und bei keinem Vorzeichenwechsel einen Sat- telpunkt.
Eine andere Möglichkeit ist es, die zweite Ableitung f ′′( x ), also die Ableitung von der Ableitung, zu betrachten. Ist die 2. Ableitung an der Stelle kleiner als Null, liegt dort ein Maximum, ist sie größer als 0 hat man ein Minimum gefunden. Ist die 2. Ableitung an der Stelle auch gleich 0 deutet dies auf einen Sattelpunkt hin, allerdings ist das noch kein ausreichendes Kriterium für einen Sattelpunkt. Zur weiteren Überprüfung muss das Vorzeichen der ersten Ableitung (oder zweiten, siehe Wendepunkte und Krümmung im nächsten Abschnitt) vor und nach der Stelle angesehen werden.
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Insgesamt ergibt sich also für lokale Extrema an der Stelle x 0 einer Funktion f :
f ′( x 0 ) = 0 f ′′( x 0 ) < 0
} =⇒ lokales Maximum (1.22)
f ′( x 0 ) = 0 f ′′( x 0 ) > 0
} =⇒ lokales Minimum (1.23)
Achtung: Das sind Bedingungen für lokale Extrema. Eine Funktion kann globale Extrema haben, an denen die Ableitung nicht gleich 0 wird. Dafür muss man sich die Grenzwerte der Funktion an den Rändern des Definitionsbereiches (bzw. gegenenfalls an Definitions- lücken) ansehen.
Die Krümmung eines Graphen Gf auf dem Intervall I kann über das Vorzeichen der zweiten Ableitung beschrieben werden ( x ∈ I ):
linksgekrümmt auf I , falls f ′′( x ) > 0 rechtsgekrümmt auf I , falls f ′′( x ) < 0
Eine Stelle, an der die Krümmung sich ändert, nennt man Wendepunkt. Einen Wendepunkt an x 0 hat man dann, wenn f ′′( x 0 ) = 0 und f ′′′( x 0 ) ̸= 0 gilt. Sattelpunkte sind auch Wendepunkte. Einen Sattelpunkt gibt es an einer Stelle x 0 , wenn f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) = 0 gilt und f ′′^ an der Stelle x 0 das Vorzeichen wechselt.
Das Newton-Verfahren ist ein Konzept, mit dem man Nullstellen einer Funktion annähern kann. Je öfter man das Newton-Verfahren von einem Startwert x 0 aus anwendet, desto näher kommt man der Nullstelle. Die einzelnen Schritte werden auch Iterationschritte genannt, weshalb die zu verwendende Formel die sogenannte Newtonsche Iterationsformel ist:
xn +1 = xn −
f ( xn ) f ′( xn )
Zur Durchführung des Verfahrens wählt man einen geeigneten Startwert x 0 und führt den ersten Iterationschritt durch, durch den man x 1 erhält. Es kann sein, dass schon nach einem oder zwei Iterationschritten der exakte Wert der Nullstelle getroffen wird. Dann muss und kann natürlich nicht mehr weiter iteriert werden. Achtung: Es gibt ungeignete Startwerte, für die die Iteration nicht konvergiert, also die Nullstelle nicht erreicht wird.
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.6. INTEGRALRECHNUNG
Integralrechnung können genau solche Flächen zwischen Graphen ausgerechnet werden. Zuerst einmal kann solch ein Flächeninhalt unter einem Graphen auf dem Intervall [ a, b ] durch sogenannte Obersummen On und Untersummen Un aus n Rechtecken angenähert:
(a) Untersumme (b) Obersumme
Je mehr Rechtecke man verwendet, desto näher kommt man an den genauen Flächen- inhalt heran. Im lim n →∞ erhält man das exakte Ergebnis. Als Integral bezeichnet man genau den Wert, bei dem lim n →∞ On = lim n →∞ Un gilt. Man schreibt dann
n^ lim→∞ On^ = lim n →∞ Un^ =
∫^ b
a
f ( x )d x (1.26)
als Integral von f ( x ) von a bis b. Es gilt
∫ (^) b a f^ ( x )d x^ =^ −^
∫ (^) a b f^ ( x )d x. Soll ein Flächeninhalt z.B. zwischen Graph und x-Achse berechnet werden, muss man beachten, dass Teile des Graphen unterhalb der x-Achse negativ in die Flächenbilanz mit eingehen. So ist zum Bei- spiel
∫ (^) π 0 sin( x )d x^ = 2, aber^
∫ (^2) π 0 sin( x )d x^ = 0. Soll also wirklich der Flächeinhalt als Wert berechnet werden (zum Beispiel für einen entsprechende Anwednungsaufgabe), müssen erst die Nullstellen der Funktion bestimmt und dann die Beträge der Integrale über die einzelnen Intervalle addiert werden. Die Funktion Ia : x 7 →
∫ (^) x a f^ ( t )d t^ bezeichnet man als^ Integralfunktion^ von^ f^ zur unteren Grenze a.
Ein Funktion F nennt man Stammfunktion von f , wenn F ′( x ) = f ( x ) gilt und beide Funk- tionen den gleichen Definitionsbereich besitzen. Zu einer Funktion f kann es unendlich viele Stammfunnktionen gegeben, die sich alle nur durch eine Konstante unterschieden. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) sagt aus, dass wenn eine Funktion f : t 7 → f ( t ) im Intervall [ a, b ] definiert ist, dann gilt für die Integralfunktion:
Ia : x 7 →
∫^ x
a
f ( t )d t =⇒ I a ′( x ) = f ( x ) für x ∈ [ a, b ] (1.27)
Die Integralfunktion ist also eine Stammfunktion von f. Vereinfacht kann man also sagen, dass die Integration die Umkehrung der Differentiation ist. Durch diesen Hauptsatz ergibt
Zusammenfassung Mathe-Abitur 1.6. INTEGRALRECHNUNG
sich eine gute Berechnungsmöglichkeit für Integrale:
∫^ b
a
f ( x )d x = F ( b ) − F ( a ) (1.28)
Stammfunktionen und Integrale zu berechnen ist in der Regel komplizierter als Ableiten. Aber trotzdem gibt es einige wichtige Regeln, mit denen man für die bekannten Funktio- nentypen gut Stamfunktionen finden kann. Die wichtigsten Regeln dazu sind auch in der Formelsammlung gegeben. Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f schreibt man auch oft als das unbestimmte Integral
∫ f ( x )d x. Als Ergebnis eines solchen Integrals schreibt man dann die allgemeine Stammfunktion plus eine Konstante C : ∫ f ( x )d x = F ( x ) + C z.B.:
∫ sin( x )d x = − cos( x ) + C C ∈ R
Als bestimmtes Integral bezeichnet man dann ein Integral mit Grenzen, für dass sich ein genauer Wert bzw. ein Flächeninhalt berechnen lässt. Für die Integralrechnung gelten noch ein paar andere wichtige Rechenregeln:
∫^ b
a
c · f ( x )d x = c ·
∫^ b
a
f ( x )d x
∫^ b
a
f ( x ) + g ( x )d x =
∫^ b
a
f ( x )d x +
∫^ b
a
g ( x )d x
∫^ b
a
f ( x )d x +
∫^ c
b
f ( x )d x =
∫^ c
a
f ( x )d x
Wie schon erwähnt, muss bei der Flächenberechnung die Bilanz beachtet werden. Man geht folgendermaßen vor:
Auch Flächen zwischen zwei Funktionen f ( x ) und g ( x ) auf einem Intervall [ a, b ] können berechnet werden. Wenn f und g sich auf [ a, b ] nicht schneiden, gilt für die Fläche A :
∣∣ ∣∣ ∣∣
∫^ b
a
[ f ( x ) − g ( x )]d x
∣∣ ∣∣ ∣∣ (1.30)
Thema 2
Vektoren sind Elemente in einem bestimmten Raum, meistens im 2- oder 3-dimensionalen Raum der rellen Zahlen, also dem R^2 oder dem R^3. Solche ein Vektor „besteht“ sozusagen aus drei Größen: Der Richtung, der Orientierung und der Länge. Die Richtung des Vektors im Raum, seine Orientierung (quasi die Seite des Vektorpfeils) und seine Länge (bzw. Betrag genannt) beschreiben einen eindeutigen Vektor. Vektoren bestehen aus einzelnen Komponenten, die für die „Anteile“ des Vektors in die verschiedenen Raumrichtungen stehen. Somit schreibt man dann einen Vektor in 3D als Spaltenvektor folgendermaßen:
a⃗ =
a 1 a 2 a 3
(2.1)
Ein 1-dimensionaler Vektor ist einfach eine relle Zahl. Diese werden hier auch oft Skalare genannt. Ein Punkt im Koordinatensystem kann auch als Vektor dargestellt werden. Schreibt man seine Koordinaten als Spaltenvektor, erhält man den sogenannten Ortsvektor vom Ur- sprung zum Punkt. Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten P⃗ und Q⃗ errechnet
sich durch
−→ P Q = Q⃗ − P⃗.
Der Betrag bzw. die Länge eines Vektors errechnet sich einfach aus den einzelnen Vektor- komponenten:
a | ⃗ | =
√ a^21 + a^22 + a^23 (2.2)
Addition und Subtraktion von Vektoren voneinander funktioniert einfach durch Addi- tion oder Subtraktion der einzelnen Komponenten zueinan- der. Dabei ensteht ein Vektor, der natürlich die gleiche Dimension wie die beiden Ausgangsvektoren hat. Grund- sätzlich lassen sich nur Vektoren gleicher Dimension mit- einander verrechnen (abgesehen von Multiplikation mit Skalaren, die ja im Prinzip eindimensionale Vektoren sind).
a⃗ ± ⃗b =
a 1 a 2 a 3
±
b 1 b 2 b 3
=
a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 a 2 ± b 2
(2.3)
Zusammenfassung Mathe-Abitur 2.1. VEKTOREN
Bei der Multiplikation von bzw. an Vektoren gibt es verschiedene Rechenarten. Bei der S-Multiplikation wird ein Skalar s an einen Vektor heranmultipliziert. Dazu wird einfach der Vektor komponentenweise mit der Skalar verrechnet. Vektoren lassen sich auch durch Skalare teilen (Multiplikation mit dem Kehrwert), aber man kann kein Skalar durch einen Vektor teilen.
s · a⃗ =
s · a 1 s · a 2 s · a 3
(2.4)
Es entsteht ein Vektor s a · ⃗ , dessen Betrag um das | s |-fache vergrößert ist. Ist s kleiner als 0, führt die S-Multiplikation nicht nur zu einer Verlängerung (| s | > 1 ) oder Verkürzung (| s | < 1 ) von a⃗ , sondern auch zu einer Umkehrung der Richtung. Um Vektoren gleicher Dimension zu multiplizieren, gibt es zwei verschiedene Tech- niken. Bei der Skalarmultiplikation erhält man aus der Multiplikation ein Skalar, also eine relle Zahl. Dazu werden einfach die Komponenten der beiden Vektoren zeilenweise multiplizert und dann die einzelnen Zeilen addiert:
a⃗ ◦ ⃗b =
a 1 a 2 a 3
◦
b 1 b 2 b 3
= a 1 b 1 +^ a 2 b 2 +^ a 3 b 3 =^ a | ⃗^ | · | ⃗^ b | ·^ cos( ϕ )^ (2.5)
ϕ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Man nennt sie dann auch orthogonal. Beim Kreuzprodukt erhält man aus der Multiplikation zweier Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht. Das Kreuzprodukt existiert nur im R^3 und berechnet sich folgendermaßen:
a⃗ × ⃗b =
a 1 a 2 a 3
×
b 1 b 2 b 3
=
a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1
=^ a | ⃗^ | · | ⃗^ b | ·^ sin( ϕ )^ (2.6)
Es existiert auch noch das sogenannte Spatprodukta⃗ ◦ ( ⃗b × c⃗ ), mit dem das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepiped) berechnet werden kann.
Die Vektoren a⃗ , ⃗b und c⃗ sind voneinander linear abhängig , wenn sich mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt, d.h. wenn eine Darstellung wie z.B.
c = r · a⃗ + s · ⃗b (2.7)
existiert. Ansosten sind die Vektoren linear unabhängig. Die Überprüfung, ob eine Line- arkombination existiert, wird über ein Gleichungssystem durchgeführt.
