Appunti Scienza Delle Costruzioni - Tor Vergata, Lecture notes for Applied Mechanics
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Appunti Scienza Delle Costruzioni - Tor Vergata, Lecture notes for Applied Mechanics

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Appunti del corso di Vairo a meccanica ed energetica
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1

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

INDICE 1. MECCANICA DEI SOLIDI ................................................................................................................ 2

2. MECCANICA DEL CONTINUO ......................................................................................................... 8

3. PROBLEMA DEL DE SAINT-VENANT............................................................................................ 26

4. TRAVI A SEZIONE SOTTILE.......................................................................................................... 39

5. VERIFICHE DI SICUREZZA ........................................................................................................... 44

2

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI DEFINIZIONI E TEOREMI

1.MECCANICA DEI SOLIDI

1.1SISTEMI DI FORZE

Si definisce un sistema di forze S la collezione di forze e di coppie concentrate.

{(���� , ����)��=1,…,��; (��������)��=1,…,��}

Un sistema di forze può essere “connotato” introducendo i DESCRITTORI STATICI:

�� =∑����

��

��=1

���� =∑(���� − ��) × ����

��

��=1

+∑����

��

��=1

Proprietà:

▪ Non dipendono dai punti di applicazione delle coppie concentrate; ▪ Non cambiano se sposto parallelamente a sé stessa una fora lungo la sua retta d’azione;

➢ TEOREMA DI VARIGNON: sia S un sistema di forze e siano �� ed ���� i suoi descrittori statici, preso

un qualsiasi polo A posso scrivere che:

���� = ���� + (�� − ��) × ��

1.2EQUILIBRIO DI UN SISTEMA DI FORZE

�� = ∅

∃��: ���� = ∅

Se questo sistema di forze è applicato in un corpo che immagino riferito ad un sistema cartesiano, la

generica posizione di un punto P del corpo è data dal raggio vettore r=(P-O) con coordinate x, y e z. Per

cui abbiamo tre equazioni scalari che definiscono un equilibrio a traslazione altre tre che definiscono un equilibrio a rotazione (���� = ���� = ������ = ∅).

Le 6 equazioni scalari prendono il nome di EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA; si riferiscono a un

corpo che viene visto come un insieme aperto �� ∈ ℝ3 (insieme di punti di accumulazione di ℝ3).

�� è ���� �������������������� ⟺ ���� = ∅ ∀��

Tratteremo quasi sempre solo SISTEMI DI FORZE PIANI in cui ci riduciamo a 3 equazioni cardinali della

statica (due a traslazione e una a rotazione).

3

1.3CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

▪ Traslazione rigida: ���� = ���� ∀��, �� ∈ ��

▪ Rotazione rigida: ���� = �� × (�� − ��) = �� × ��, ∀��

▪ Moto di rototraslazione: ���� = ���� + �� × (�� − ��) = ���� +�� × ��

Se immaginassimo di “fotografare” il corpo dopo un intervallo di tempo dt possiamo definire un CAMPO DI SPOSPAMENTO RIGIDO INFINITESIMO (O ATTO DI MOTO):

������ = �������� = �������� + ������ × ��

���� = ���� +�� × ��

Per garantire che una struttura non si rompa e rimanga in equilibrio bisogna scongiurare che essa

cominci a muoversi, e questo “cominciare a muoversi” è descritto da un atto di moto che è associato

proprio al nostro CSRI. Nel piano ho bisogno di tre grandezze scalari per descrivere la cinematica del

corpo rigido (��0�� , ��0�� , ����) le quali descrivono i DESCRITTORI CINEMATICI:

- Spostamento di un punto ��0

- Rotazione attorno ad un punto O, ��

In particolare, il punto rispetto a cui rappresentiamo la generica cinematica rigida infinitesima prende

il nome di polo cinematico, mentre il polo scelto per calcolare i descrittori statici prende il nome di polo statico.

Introduciamo ora per un corpo un sistema di forze S e un CSRI (due enti totalmente indipendenti, il CSRI

non è prodotto da S) e calcoliamo il lavoro, che in questo caso definiamo come LAVORO VIRTUALE, in quanto è il lavoro che le forze del sistema S compirebbero se i loro punti d’applicazione si spostassero secondo il CSRI introdotto:

���� = ���� ∙ �� + �� ∙ ����

Con la condizione che il polo statico sia lo stesso del polo cinematico.

➢ TEOREMA DEI LAVORI VIRTUALI PER CORPI RIGIDI E LIBERI

�� è ���� �������������������� ⟺ ���� = ∅ ∀��������

1.4I VINCOLI

VINCOLO: restrizione alla capacità di movimento e spostamento di un corpo. Tipologie:

▪ Olonomi: restringono una posizione; ▪ Anolomi: restringono la velocità; ▪ Scleronomi/Reonomi: il vincolo non dipende/dipende dal tempo; ▪ Bilateri: reagisce da due lati (descritto da un’equazione); ▪ Unilateri: reagisce da un solo lato (descritto da una disequazione); ▪ Perfetti: la restrizione è un’espressione omogenea (a=0) ▪ Cedevoli: la restrizione è un’espressione disomogenea (a=δ) ▪ Lisci: (���� = 0) ▪ Scabri

4

Definiamo i vincoli lisci quelli che da un punto di vista fisico non devo spendere lavoro per attivare il

cinematismo, ma da un punto vista analitico hanno una caratterizzazione statica. L’ente fisico che

produce il vincolo è la REAZIONE VINCOLARE. Dunque, dirò che il vincolo è liscio se il lavoro virtuale fatto dal sistema di forze reattive del vincolo è nullo per ogni cinemtica compatibile con il vincolo.

o MOLTEPLICITÀ CINEMATICA: numero di equazioni scalari che descrivono la restrizione

cinematica imposta dal vincolo. o MOLTEPLICITÀ STATICA: il numero di parametri reattivi indipendenti.

1.5PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO

[��](��) + (��) = (∅)

Dove [��](��) rappresenta le FORZE REATTIVE mentre (��) rappresenta le FORZE ATTIVE. Questo è un

problema lineare e per valutare l’esistenza della soluzione mi avvalgo del teorema di Rouché-Capelli,

quindi devo vedere se �� ∈ ��������{�������������� ���� ��} = ������(��).

In generale la matrice �� ha:

▪ # righe = 3t (con t numero di corpi e 3 gradi di libertà); ▪ #colonne= s (molteplicità vincolare complessiva sulla struttura).

Essendo s il numero delle incognite l’unicità della soluzione è definita come:

�� − ����(��) = ������[������(��)] = ��

Dove i rappresenta la molteplicità delle soluzioni, ovvero il numero di parametri liberi, quindi il sistema

avrà ∞�� soluzioni. Tale parametro i prende il nome di GRADO DI IPERSTATICITÀ. La soluzione è unica quindi se e solo se i=0.

Posso scrivere il vettore �� = ���� + ��0

▪ ���� ∈ ������(��): rappresenta la soluzione particolare (dovuta alle FORZE ATTIVE);

▪ ��0 ∈ ������(��): rappresenta la soluzione omogena (dovuta alle FORZE REATTIVE).

o �� = ����(��) → �� = 0 → ∃! ������������������ → ������(��) = ∅ → ��0 = ∅ → �� = ����

o �� > ����(��) → �� > 0 → ∃∞�� ������������������ → ��0 ≠ ∅ → �� = ���� + ��0

1.6COMPATIBILITÀ CINEMATICA

[ℂ](��) = (��)

ℂ è la matrice di compatibilità, �� è il vettore dei descrittori cinematici e �� è il vettore dei termini noti

(cedevolezza dei vincoli).

In generale la matrice ℂ ha:

▪ # righe = s;

▪ #colonne = 3t.

Essendo 3t il numero delle incognite l’unicità della soluzione è definita come:

3�� − ����(ℂ) = ������[������(ℂ)] = ��

5

Dove l rappresenta la molteplicità delle soluzioni, ovvero il numero di parametri liberi, quindi il sistema

avrà ∞�� soluzioni. Tale parametro prende il nome di GRADO DI LABILITÀ della struttura. Se tutti i vincoli

fossero perfetti (ovvero �� = ∅) avrei che il mio sistema ammette soluzione banalmente quando �� = ∅.

Posso scrivere il vettore �� = ���� + ��0

▪ ���� ∈ ������(ℂ): rappresenta la soluzione particolare;

▪ ��0 ∈ ������(ℂ): rappresenta la soluzione omogena.

1. Soluzione unica + vincoli perfetti: 3�� − ����(ℂ) = ������[������(ℂ)] = 0

Posso allora dire che ��0 = 0 e ���� = 0 per ipotesi di vincoli perfetti→ �� = 0

2. Soluzione unica + vincoli imperfetti:

3�� − ����(ℂ) = ������[������(ℂ)] = 0

Posso allora dire che ��0 = 0 e ���� ≠ 0 → �� = ����

3. Soluzione non unica + vincoli imperfetti:

3�� − ����(ℂ) = ������[������(ℂ)] = 0

�� = ���� + ��0

1.7CENTRI ASSOLUTI E RELATIVI

Definiamo come CENTRO DI SPOSTAMENTO ASSOLUTO un punto ��1 tale che �� ��1 = 0 , se scrivo lo

spostamento di un generico punto rispetto a ��1 ottengo solamente una rotazione rigida; invece definiamo come CENTRO DI SPOSTAMENTO RELATIVO un punto ��12 tale che ����12 = 0 per due corpi. Se

esistono due punti ��1, ��2 con ��1 ≠ ��2 tali che ����1 = ����2 = 0 allora la struttura è ferma.

���� = ���� + �� × (�� − ��)

(�� − ��) = �� × ����

��2

▪ Rotazione: �� ≠ 0 → ���� = �� × (�� − ��);

▪ Traslazione: �� = 0 → ���� = ��0.

➢ TEOREMA DELL’ALLINEAMENTO

- Prendo due corpi I e II;

- Siano dotati di campi di spostamento non banali: ���� ��, ����

����, ���� ��,����

⇒ posso introdurre in modo unico i centri ��1, ��2 e ��12 tali che essi siano allineati.

a. ��1 = ��12 ≠ ��2 → ���������� ���� ����������

b. ��1 = ��2 ≠ ��12 → ���� ��,���� = 0

In conclusione, se ho vincoli lisci ed uso lo stesso polo di riduzione statico e cinematico allora:

[��] = [ℂ]��

3�� − �� = �� − ��

6

➢ TEOREMA DEGLI SPOSTAMENTI VIRTUALI

Se scelgo lo stesso polo di rappresentazione, ho che la struttura è in equilibrio se e solo se:

(��) ∙ (��) = ∅ ∀(��): [ℂ](��) = ∅

Il lavoro che compiono le forze esterne per ogni atto di moto compatibile con i vincoli applicati alla

struttura è nullo.

➢ TEOREMA DELLE FORZE VIRTUALI

Assegnato un campo di cedimenti {��}, si ha compatibilità cinematica se e solo se il lavoro virtuale che

compiono le reazioni vincolari autoequilibrate (ovvero quelle che appartengono al ������(��)) è nullo per

il campo di cedimenti {��} assegnato.

1.8VINCOLI ESSENZIALI O SOVRABBONDANTI

▪ �� = ������[������(��)] dove �� è la matrice di equilibrio;

▪ �� = ������ [������(ℂ)] dove ℂ è la matrice di compatibilità

Si definisce VINCOLO ESSENZIALE un vincolo semplice rappresentato da una riga linearmente indipendente di [ℂ]. Si definisce VINCOLO SOVRABBONDANTE (o IPERSTATICO) un vincolo semplice

che è rappresentato da una riga linearmente dipendente di [ℂ].

a. Proposizione: se in una struttura elimino un vincolo essenziale allora la labilità di tale struttura aumenta di 1;

b. Proposizione: se in una struttura ho i=0 allora tutti i vincoli sono essenziali.

- Se esiste una sola disposizione allineata di centri C allora l=1

- Se non esistono centri C tali che si rispetti l’allineamento, allora l=0

- Se esistono più combinazioni di centri che mi garantiscono l’allineamento allora l>1 ed in particolare l=1+g con g GRADO DI INDETERMINAZIONE (numero di vincoli anulari che hanno

MC=1)

i l Nome EQUILIBRIO COMPATIBILITÀ

Esistenza (l) Unicità (i) Esistenza (i) Unicità (l)

0 0 ISOSTATICA ∃ soluzione ∀ {f} Unica ∃ soluzione ∀ {δ} Unica

>0 0 IPERSTATICA ∃ soluzione ∀ {f} ∞i soluzioni ∃ soluzione per particolari {δ}

Unica

0 >0 LABILE ∃ soluzione per particolari {f}

unica ∃ soluzione ∀ {δ} ∞l soluzioni

>0 >0 IPERSTICA E

LABILE ∃ soluzione per particolari {f}

∞i soluzioni ∃ soluzione per particolari {δ}

∞l soluzioni

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1.9 CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE

Un corpo monodimensionale può essere rappresentato con un’ascissa curvilinea s, la quale può essere

identificata con delle coordinate ed ogni punto è rappresentato dai versori �� e ��. Se il corpo è rettilineo

ho che per ogni S=sezione retta i versori �� e �� sono costanti, ovvero sono diretti nello stesso verso; la

sezione retta S la posso vedere come ogni sezione del corpo.

All’interno di questo corpo per garantire l’equilibrio devono necessariamente agire delle sollecitazioni interne, ovvero delle reazioni mutue di interazione.

▪ SFORZO NORMALE: ��(��) = ��(��) ∙ ��

▪ SFORZO DI TAGLIO: ��(��) = ��(��) ∙ ��

▪ MOMENTO FLETTENTE: ��(��) = ����(��) ∙ ��

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO:

��′ = −��(��)

��′ = −��(��)

��′ = ��(��) − ��(��)

1.10TRAVI RETICOLARI

Sono strutture costituite da aste rettilinee collegate tra di loro attraverso delle cerniere interne applicate ai nodi e sono vincolate a terra da vincoli esterni.

Date tre aste collegate a tre cerniere posso vedere il tutto come un corpo rigido; infatti affinché la maglia

si muova devo essere in grado di trovare un allineamento per i centri ma si vede subito che non esiste allineamento quindi l=0, ovvero all’interno della maglia non ho moti relativi tra i corpi, per questo posso

considerare la maglia come un corpo rigido.

Un altro approccio per calcolare l’equilibrio reticolare è guardare la struttura come un insieme di pendoli applicati a dei punti materiali, quindi utilizzo questa formula:

2�� − ��′ − �� = �� − ��

Dove c’è il numero di cerniere che è uguale al numero di punti, s’ è la molteplicità di vincoli esterni e a è il numero di aste/pendoli.

Se considero che sulle aste agiscono solo forze concentrate ed esse agiscono solo ai nodi, allora posso

dire che tutte le aste sono sollecitate unicamente ad uno sforzo assiale, quindi hanno solo sforzo normale.

Se una struttura è isostatica so con certezza di poter calcolare le reazioni vincolari scrivendo l’equilibrio

delle forze esterne, dopodiché scrivo le equazioni di equilibrio ai nodi per poter calcolare gli sforzi N agenti sulle travi. Un altro metodo per calcolare gli sforzi normali è il METODO GRAFICO: questo si basa

sul fatto che se vado a rappresentare graficamente tutte le forze che agiscono su un punto, essi si

“devono chiudere” per ogni punto affinché il corpo sia in equilibrio.

8

2.MECCANICA DEL CONTINUO

2.1CONTINUO ALLA CAUCHY

▪ Forze di volume: forze che agiscono su ogni singola particella del mezzo (forza di gravità); ▪ Forze di superficie: forze che agiscono solo sui punti di bodo del corpo (forza di pressione).

Prendiamo un punto P interno al corpo e un punto Q sul bordo e scriviamo la densità delle forze e delle

coppie rispettivamente di volume e di superficie:

ℱ(��) = lim ΔΩ→0

ΔFΩ ΔΩ

��Ω(��) = lim ΔΩ→0

ΔMΩ�� ΔΩ

��(��) = lim ΔΣ→0

ΔFΣ ΔΣ

��Σ(��) = lim ΔΣ→0

ΔMΣ�� ΔΣ

CORPO CONTINUO ALLA CAUCHY: in un mezzo continuo non ho applicate forze e coppie concentrate poiché altrimenti i limiti che abbiamo scritto tenderebbero all’infinito. Quindi parlo di mezzo continuo

alla Cauchy quando si assume che:

��Σ(��) = ��Ω(��) = 0

Se volessi modellare sul corpo la presenza di una forza concentrata secondo lo schema alla Cauchy basterebbe prendere una distribuzione di carico in un intorno di un punto tale che la sua risultante sia

equivalente alla forza concentrata. Analogamente una coppia concentrata la posso riguardare

considerando un’opportuna distribuzione di corico staticamente equivalente alla coppia, per cui per una certa areola essa avrà risultante nulla ed un momento risultante rispetto al punto pari alla coppia.

2.2PROBLEMA DELLA STATICA DEI MEZZI CONTINUI (TENSIONI)

➢ EQUILIBRIO GLOBALE:

{

�� = ∫ ℱ��Ω

Ω

+∫ ����Σ Σ

= 0

���� = ∫ (�� × ℱ)��Ω Ω

+∫ (�� × ��)��Σ Σ

= 0

Tali relazioni vengono anche indicate come CONDIZION IDI EQUILIBRIO GLOBALE, ovvero condizioni di equilibrio del mezzo continuo visto nella sua totalità.

Postulato di Eulero: se prendo un corpo e so che esso nella sua totalità è in equilibrio, allora ciascuna

sua parte deve essere in equilibrio.

Lemma di localizzazione: Sia Ω un dominio e sia P ∈ Ω; se presa f definita su Ω e considero I(P) ⊆ Ω un

intorno di P in Ω allora:

∫ ����Ω I(P)

= 0 ⇒ ∀��(��) ⊆ Ω ⇒ ��(��) = 0

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Per soddisfare l’equilibrio devono esistere azioni di interazione all’interno del corpo; tale risultato

prende il nome di PRINCIPIO DI SEZIONAMENTO DI EULERO. Se prendo un piano �� che divide il mio

mezzo continuo posso definire in un punto P:

lim ΔΣ��→0

ΔF�� ΔΣ��

= ��(��)

Dove ΔF�� è la risultante delle forze di interazione di superficie associate all’intorno ΔΣ�� . La densità della distribuzione delle azioni di interazione ��(��) prende il nome di TENSIONE in P; ��(��) è un vettore che

dipende dal punto P e dalla GIACITURA (piano di separazione), o meglio dalla sua normale ��.

Suppongo che il mio continuo alla Cauchy si trovi in equilibrio sotto l’azione di forze ℱ su Ω e di �� su Σ;

prendo un punto interno P e fisso una giacitura caratterizzata da un normale n in componenti cartesiane

(x, y, z) e rappresento il vettore tensione come ���� = (������ , ������ , ������) . Ma posso anche rappresentarlo

rispetto a un altro riferimento considerando la normale �� e le direzioni ortogonali ad essa che vivono

sulla giacitura e chiamo �� e ��.

���� = (

���� ∙ ��

���� ∙ ��

���� ∙ �� ) = (

������ ������ ������

) = (

���� ������ ������

)

������ è la componente della tensione in P nella direzione n, e si chiama SFORZO NORMALE lungo n: ����;

invece le ������ e ������ sono componenti della tensione in una direzione ortogonale ad n e si chiamano

TENSIONI TANGENZIALI ������ e ������.

���� = ���� ∙ �� + ���� ∙ �� + ���� ∙ �� = ���� ∙ �� + ����

➢ TEOREMA DI CAUCHY O DI RAPPRESENTAZIONE:

����(��) è univocamente determinato se sono noti i vettori tensione in P associati a tre giaciture mutuamente ortogonali.

����(��) = ��������(��) + ��������(��) + ��������(��)

����(��) = (

���� ������ ������ ) ; ����(��) = (

������ ���� ������

) ; ����(��) = (

������ ������ ���� )

����(��) = [

| | |

����(��) ����(��) ����(��)

| | |

] (

���� ���� ���� )

Questa matrice definisce lo stato di tensione in P e non dipende dalla giacitura di riferimento; prende il

nome di TENSORE DELLE TENSIONI DI CAUCHY:

��(��) = [

���� ������ ������

������ ���� ������

������ ������ ���� ]

➢ EQUILIBRIO LOCALE

▪ Equilibrio indefinito: ℱ + �������� = 0 ∀�� ∈ Ω ▪ Equilibrio ai limiti: ���� = ���� = �� ∀�� ∈ Σ

▪ Equilibrio alla rotazione: �� = ����

Reciprocità delle tensioni: ������ = ������

10

Operatore di rotazione del riferimento(R): se cambio riferimento lo stesso tensore delle tensioni viene

descritto in un altro modo ed è descritto da una matrice ortonormale.

�� = [ − ��′ − − ��′ −

− ��′ −

] ��′ = ��������

o In un punto P �� si definisce una DIREZIONE PRINCIPALE DI TENSIONE se ���� ∥ ��

���� = ���� = ����

Dove ���� si definisce TENSIONE PRINCIPALE. Per le direzioni principali devo risolvere un

problema di autovalori e autovettori (σ e n):

det(�� − ����) = 0

Questo problema si traduce nella risoluzione di un’equazione di terzo grado; quindi si

troveranno tre soluzioni reali. Distinguiamo i seguenti casi:

1. ��1 ≠ ��2 ≠ ��3

In questo caso abbiamo tre tensioni principale che corrispondo quindi a tre direzioni

principale ortogonali fra loro: il tensore si rappresenta con una matrice ortogonale e gli

elementi su di essa sono gli autovalori; abbiamo così un RIFERIMENTO PRINCIPALE DI

TENSIONE.

2. ��1 = ��2 ≠ ��3 Se due autovalori sono uguali, qualunque direzione nel piano ortogonale all’autovettore

diverso resta principale di tensione. Qualunque riferimento che si appoggia sull’asse di

riferimento 3 è riferimento principale di tensione. Con due autovalori uguali possiamo

trovare ∞1 riferimenti.

3. ��1 = ��2 = ��3

Qualunque sia la normale n, qualunque direzione dello spazio è principale; possiamo arbitrariamente determinare un’asse e poi saranno univocamente determinati gli altri due

assi. Possiamo trovare ∞2.

−��3 + ��1�� 2 − ��2�� + ��3 = 0

o In P lo stato di tensione ��(��) si dice TRIASSIALE se ��1, ��2, ��3 ≠ 0

���� = ���� ∙ �� + ���� �� = (

��1 ��2 ��3 )

▪ ���� = ���� ∙ ��

▪ |����| 2 = |����|

2 − |����| 2

▪ ��1 2 + ��2

2 + ��3 2 = 1

Con l’ipotesi che ��1 > ��2 > ��3 e sfruttando le tre equazioni date posso costruire l’ARBELO DI MOHR che mi mostra graficamente come al variare di tutte le possibili giaciture le coppie di valori ���� e ���� ammissibili siano quelle nella regione tratteggiata.

Dall’analisi grafica dell’Arbelo di Mohr concludiamo che l’insieme dei valori che posso assumere ���� e ���� fissato uno stato di tensione è un insieme limitato e descritto univocamente dagli autovalori, ovvero

dalle tensioni principali.

La tensione tangenziale massima si attingerà sempre su una giacitura a 45° gradi fra due tensioni principali.

11

ARBELO DI MOHR

Lo stato di tensione �� in un punto P si può sempre scomporre in una parte IDROSTATICA e in una parte

DEVIATORICA:

�� = ������ + ��������

������ = �������� ������ = ��1 + ��2 + ��3

3

o Un piano �� (di normale ����) identifica una GIACITURA SCARICA ⇔ ������ = �� ∙ ���� = 0

➢ ������ = �� ∙ ���� = 0 ⇔ ∃ una tensione principale nulla

o In P lo stato di tensione è PIANO se ∃ un piano �� tale che ���� ∥ ��; dove �� si definisce PIANO DELLE

TENSIONI. ➢ ∃��: ���� ∥ �� ∀�� ⇔ ������ = 0

In un punto P, lo stato di tensione è MONOASSIALE se ∃��: ���� ∥ �� ∀��; dove �� si definisce ASSE DELLE TENSIONI. L’asse �� può essere considerato come l’intersezione di due piani ��1 e ��2 e deve lo stato di

tensione deve essere contemporaneamente piano a questi ultimi; in generale deve essere piano rispetto

a qualunque piano con asse di sostegno l’asse �� che definisce l’unica tensione principale non nulla.

Se conosco una direzione principale (ad

esempio l’asse z) devo ruotare intorno

agli assi x e y per trovare le altre due direzioni principali. Questo sistema si

dice avere un’ASSE DI SOSTEGNO e

possiamo costruire il CERCHIO DI MOHR con asse di sostegno in cui identifichiamo

graficamente le tensioni principali, le

tensioni tangenziali massime e le direzioni principali.

�� = ( ���� + ���� 2

; 0)

�� = √( ���� − ����

2 ) 2

+ ������ 2

��1 ��2 ��3

����

����

���� ����

��(���� , ������)

����

����

A

B M

C

R

��2 ��1

−������

������

|������������|

12

2.3PROBLEMA DELLA CINEMATICA DEI MEZZI CONTINUI (DEFORMAZIONI)

Definiamo come DEFORMAZIONE la variazione di configurazione di un corpo; non c’è causa che effettua

la deformazione ma valutiamo il processo sotto un punto di vista puramente cinematico. P viene

mappato in P’ attraverso la funzione di spostamento S(P)= (u, v, w). Nel processo di deformazione il mezzo deve dimostrare un postulato di continuità. Non ci devono essere né buchi o lacerazioni di materia nella nuova mappatura prescrivendo così compatibilità e/o congruenza. La funzione di spostamento deve essere definita per ogni punto della configurazione iniziale e se prendessi due punti

distinti di questa devono corrispondere a due unici punti distinti in quella nuova; e se due punti P e Q sono “vicini” lo devono essere anche i loro corrispettivi P’ e Q’.

✓ ∀P in �� ⇒ ∃! P’ in ��’ ⇒ S(P) monodroma

✓ lim ��→��

��′ = �� ⇒ lim ��→��

��(��) = ��(��) ⇒ S deve essere continua

✓ Unicità ⇒ S deve essere invertibile e ∈ C1

Questi sono i requisiti che soddisfano la COMPATIBILITÀ e la CONGRUENZA.

���� = ( ���� ���� ���� ) ; ����′ = (

����′

����′

����′ )

��(��) = (��, ��,��)

��′ = �� + ��(��, ��, ��)

��′ = �� + ��(��, ��, ��)

��′ = �� + ��(��, ��, ��)

����′ = [�� + ��������(��)]���� = ������

Dove �� è il TENSORE GRADIENTE DI DEFORMAZIONE e S è la funzione spostamento.

Il processo deformativo è legato alla cinematica quindi non ha nessun legame causa-effetto, è una

variazione di configurazione legata a una funzione spostamento. Partiamo da una configurazione ��

iniziale di riferimento e arriviamo a una configurazione ��’ deformata.

r r'

P (x, y, z) P’(x’, y’, z’)

S(P)

Σ Σ’

Ω

Ω’

�� ��’

x

y

z

dr

dr'

r(P)

r(Q)

P

P’

Q

Q’

13

La funzione spostamento S deve essere sufficientemente regolare, ovvero di classe C1, continua e derivabile così da soddisfare il postulato di continuità e posso scrivere queste proprietà:

▪ Devo poter invertire il processo, ovvero devo poter trovare ���� a partire da ����′: questo mi

impone di dire che �� deve essere una matrice non singolare ⇒ det (��) ≠ 0; ▪ ΔΩ è il volumetto elementare e ΔΩ’ è il volumetto trasformato; si dimostra che:

∆Ω′ = det(��) ∆Ω Quindi per mantenere i volumi sempre positivi: det(��) > 0

▪ Lo spostamento che attribuisco a un punto Q in un intorno di P è uguale allo spostamento del

centro dell’intorno P + gradS|P(Q − P).

Se faccio lo sviluppo insieme posso dire che se il punto Q non è proprio vicino a P questa relazione

continua a valere a meno di ordine di infinitesimo superiore al primo sulla distanza Q-P; in altri termini:

��(��) = ��(��) + ����������|��(�� − ��) + ��(�� − ��)

Questa legge mi dà informazioni su come posso descrivere la cinematica di intorni nel limite di

approssimazioni che gli intorni devono essere piccoli. Lo spostamento del punto Q, quindi, è uguale alla

TRASLAZIONE dell’intorno scelto più un altro “pezzo” che racchiude informazioni sulla ROTAZIONE e sulla DEFORMAZIONE.

Nell’accezione pratica la misura di deformazione di un corpo è di quanto esso si allunga o si accorcia.

Dunque, se parto con un corpo lungo |dr| e voglio individuare la misura |dr’| vado a vedere di quanto il corpo si allunga o si accorcia. Ci occupiamo ora della MISURA DI DEFORMAZIONE DELLA FIBRA

ELEMENTARE, che viene espressa mediante quest’espressione:

|����′|2 − |����|2 = ������[������ − ��]����

Definiamo il TENSORE DI DEFORMAZIONE DI GREEN-LAGRANGE:

�� = 1

2 ������ − ��

|����′|2 − |����|2 = 2������������

Ora se mi viene assegnato un campo di spostamenti S, posso farne il gradiente e quindi calcolare ��, da

cui so calcolare per ogni fibra elementare dr di quanto si allunga o si accorcia, ovvero so caratterizzare

lo STATO DEFORMATIVO di ogni intorno. Noi però lavoreremo in ipotesi di PICCOLE DEFORMAZIONI:

questo non mi dà impedimenti su quanto il mio corpo possa traslare o ruotare rigidamente, ma mi

impone che lo stretch sia piccolo. Per “forzare” quest’ipotesi di piccolezza devo potermi scrivere �� in

altri termini, ovvero in modo tale che le componenti di grad(S) siano numeri adimensionali piccoli. Le componenti del grad(S) sono le derivate dei componenti di spostamento rispetto alle coordinate, quindi

una lunghezza derivata rispetto a una lunghezza deve essere un numero adimensionale. Ora se

scriviamo il tensore �� come:

�� = 1

2 [��������(��) + (��������(��))

�� + ��������(��)(��������(��))

�� ] = ��

Dove la semplificazione è stata fatta per ipotesi di piccole deformazioni. Ho definito quindi ��, che prende il nome appunto di TENSORE DELLE PICCOLE DEFORMAZIONI.

Il grad(S) è una matrice 3x3 quadrata e posso sempre trovare una parte simmetrica e una asimmetrica:

�� = ������(��������(��)) = 1

2 [��������(��) + (��������(��))

�� ]

�� = ��������(��������(��)) = 1

2 [��������(��) − (��������(��))

�� ]

14

Riprendendo quindi l’espressione:

��(��) = ��(��) + ����������|��(�� − ��) + ��(�� − ��)

��(��) = ��(��) +������ + ������ + ��(|����|)

✓ ��(��)→ ����: TRASLAZIONE PURA ✓ ������→����: ROTAZIONE PURA ✓ ������→����: SPOSTAMENTO DI STRETCH

Per scrivere meglio il tensore delle piccole deformazioni definiamo:

➢ DILATAZIONI LINEARI:

���� = ����

���� ; ���� =

����

���� ; ���� =

����

����

➢ SCORRIMENTI ANGOLARI:

������ = ����

���� + ����

���� ; ������ =

����

���� + ����

���� ; ������ =

����

���� + ����

����

Definiamo quindi una NOTAZIONE INGEGNERISTICA del tensore delle piccole deformazioni:

�� =

[ ����

������ 2⁄

������ 2⁄

������ 2⁄ ����

������ 2⁄

������ 2⁄

������ 2⁄ ���� ]

Assegnata una qualsiasi deformazione e ��, siamo in grado di determinare le dilatazioni e gli scorrimenti

angolari associati a qualunque direzione, attraverso le seguenti espressioni:

���� = ���� ∙ �� = �� ������ ������ |��| = 1

������ 2 = ����|�� ∙ �� = ����|�� ∙ �� = ��

������ = �������� ������ |��| = |��| = 1

o In un intorno di P, dato ��(P) , la direzione �� = (Q − P) è PRINCIPALE DI DEFORMAZIONE (autovettore) rispetto ad una DILATAZIONE PRINCIPALE �� (autovalore) se:

����(��) = ���� = ����

Ovvero lo spostamento deformativo di Q è tutto lungo ��, ovvero se il trasformato di ��, ��′, è una retta parallela ad a. In altri termini, preso un piano perpendicolare ad ��, e preso su questo una

qualunque direzione ortogonale ad ��, dire che questa sia direzione principale equivale a dire che

non ha nessuno scorrimento angolare rispetto a tutte le rette ortogonali ad �� stessa.

In analogia con lo stato tensionale risolviamo il problema degli autovalori e autovettori:

▪ ��1, ��2, ��3 ���������������������� �������������������� ≡ �������������������� ���� ��

▪ ��1, ��2, ��3 ������������������ �������������������� ���� ������������������������ ≡ ���������������������� ���� ��

Inoltre, se ��1 ≠ ��2 ≠ ��3 esiste un unico riferimento principale. Se ��1 = ��2 ≠ ��3 qualunque direzione nel

piano (1,2) è principale di deformazione, ovvero ∃∞1 riferimenti principali di deformazione (intorno

ellissoide). Se invece ��1 = ��2 = ��3 allora qualunque sia a direzione �� considerata ho ���� = ����, ovvero

qualunque direzione è principale di deformazione ed ∃∞2 riferimenti principali di deformazione

(intorno sferico).

−��3 + ��1�� 2 − ��2�� + ��3 = 0

15

La variazione di volume non dipende dalla traslazione rigida. Lo spostamento del generico punto P lo

posso scrivere come: ��(��) = ���� + �̃� dove con �̃� definiamo il campo di spostamento effettivo a meno di una traslazione rigida. Quindi l’intorno I di un punto viene “sparato” in un altro intorno I’ attraverso S.

∆Ω = ∫ �̃� ∙ �� ��Σ = ∫ ��1 ��Ω ΩΩ

Come per la tensione anche nell’analisi della deformazione si può suddividere �� in una parte IDROSTATICA e in una DEVIATORICA:

▪ ������(��) = �������� ������ = ��1

3 →descrive una variazione di volume a forma costante;

▪ ��������(��) = ��(��) − ������(��)→descrive una variazione di forma a volume costante.

In un intorno di P lo stato di deformazione si dice PIANO se ∃ un piano ��: ���� ∥ �� ∀�� ∈ ��(��) e ���� è indipendente dalla distanza dal piano. Se prendo punti che vivono sull’ortogonale al piano questi devono

avere uno spostamento deformativo parallelo al piano stesso indipendentemente dalla distanza. La fibra

ortogonale al piano si sposta restando ortogonale ad esso e lo scorrimento ortogonale sarà nullo. Se

prendo ��∗ l’ortogonale al piano posso dire che la dilatazione ��∗ associata a quel piano è nulla.

➢ Se ∃ ��: ���� ∥ �� ∀�� ∈ ��(��) ⇔ un’�� è nulla ⇒ ��3 = 0

In un intorno di P lo stato di deformazione si dice MONOASSIALE se ∃ una retta ��: ���� ∥ �� ∀�� ∈ ��(��) ed è indipendente dalla distanza da �� ; �� può essere vista come l’intersezione di due piano linearmente

indipendenti e rappresenta l’unica direzione principale di deformazione.

La funzione spostamento S deve essere “sufficientemente regolare”, cioè deve far in modo che se �� è continuo anche ��’ deve essere continuo allo stesso modo. Nell’ipotesi di piccole deformazioni abbiamo

introdotto ��, le dilatazioni lineari �� e gli scorrimenti angolari ��. Per ogni intorno abbiamo uno stato

deformativo definito da queste componenti, ma non c’è nessuna condizioni che mi imponga la compatibilità di questo stato. La condizione di CONGRUENZA INTERNA è associata a requisiti di

regolarità di S, dunque dirò che un campo di spostamenti è congruente se è sufficientemente regolare

per cui la condizione che mi permette di rispettare questa condizione è la seguente:

�� = ��(��, ��, ��): ∇ × (∇ × ��)�� = 0

Definisco quindi:

➢ LE SEI EQUAZIONI DI CONGUENZA:

{

��2���� ����2

+ ��2���� ����2

= ��2������ ��������

��2���� ����2

+ ��2���� ����2

= ��2������ ��������

��2���� ����2

+ ��2���� ����2

= ��2������ ����

{

2

��2���� ��������

= ��

���� [ �������� ����

+ �������� ����

− �������� ����

]

2 ��2���� ��������

= ��

���� [ �������� ����

+ �������� ����

− �������� ����

]

2 ��2���� ��������

= ��

���� [ �������� ����

+ �������� ����

− �������� ����

]

Si può notare che solo tre equazioni sono linearmente indipendenti: quindi il risultato da tre sole

condizioni purché sia soddisfatta la compatibilità.

16

w(z)

v(z)

φ(z)

G0

G

2.4LA LINEA ELASTICA

Da ora in avanti intenderemo TRAVI AD ASSE RETTILINEO quei solidi ottenuti da una traslazione di una

sezione piana, che noi chiamiamo SEZIONE RETTA; la traslazione è ottenuta lungo la LINEA D’ASSE, che

è il luogo dei punti dei baricentri delle sezioni rette.

1) Problema piano: - La sezione retta della trave è simmetrica rispetto al piano di rappresentazione;

- La trave è caricata simmetricamente rispetto al piano di rappresentazione; - Le sezioni restano piane e mantengono la loro forma ma non per forza rimangono ortogonali

alla linea d’asse.

2) Ipotesi sul materiale: - Elastico e lineare (segue leggi con rapporti lineari-proporzionali);

- Omogeneo (in qualsiasi punto del mio corpo ho le stesse proprietà elastiche);

- Isotropo (le direzioni principali di tensione coincidono con quelle di deformazione). 3) Piccoli spostamenti deformativi: - Posso scrivere l’equilibrio anche a deformazione avvenuta sulla configurazione deformata.

Se prendo un qualsiasi punto sulla trave questo si sposterà come:

�� = (��(��) + ��0) ∙ �� + (����0 + ��(��) + ��(��)) ∙ ��

Ora studiamo le azioni che possono creare deformazione:

1) DISTORSIONI

o Concentrate:

a. Scorrimento: i pezzi non sono allineati b. Assiale: i pezzi non sono ben attaccati c. Angolare

17

∆��

∆��

∆��

∆�� ∆�� ∆��

o Distribuite:

a. Scorrimento: ��(��) = lim ∆��→0

∆��

∆��

b. Assiale: ��(��) = lim ∆��→0

∆��

∆��

c. Angolare: ��(��) = lim ∆��→0

∆��

∆��

Salti di temperatura:

d. Assiale (riscaldamento): ∆�� = ��∆�� ∙ ��; ��(��) = lim ∆��→0

∆��

∆�� = ��∆��

e. Gradiente costante: ��(��) = lim ∆��→0

2��∆��

2) FORZE:

o Sforzo normale: ∆�� = ��(��)

���� ∆�� [E: modulo di Young]

o Taglio: ∆�� = ����(��)

���� �� =

��

2(1+��) [�� : fattore di taglio; G: modulo di elasticità trasversale, �� :

coefficiente di Poisson]

o Momento: ∆�� = ��(��)

������ ∆��

➢ EQUAZONI INDEFINITE DELLA LINEA ELASTICA (MODELLO TIMOSHENKO):

��′(��) = ��(��) + ��(��)

����

��′(��) = ����(��)

���� + ��(��) − ��(��)

��′(��) = ��(��)

������ + ��(��)

Se introduciamo l’ipotesi che la sezione retta resti retta anche a deformazione avvenuta, posso dire che

lo scorrimento angolare medio è nullo. Questo significa che la deformabilità a taglio della trave va a

infinito, poiché GA→∞. Per questo introduciamo un nuovo modello per una trave snella (rispetto a una tozza):

➢ MODELLO EULERO-BERNOULLI (TRAVE SNELLA):

��′(��) = ��(��)

����

��′(��) = −��(��)

��′(��) = ��(��)

������

18

2.5PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

❖ CONGRUENZA: un corpo può variare la propria configurazione producendo un effetto deformativo; assegnato un certo campo di spostamenti posso dedurre un campo di deformazioni

congruente.

��, �� devono soddisfare la congruenza:

- �� sufficientemente regolare;

- �� = ��0 su �� (congruenza esterna);

- �� = ������(��������(��)) (congruenza interna);

Definisco un SISTEMA DEGLI SPOSTAMENTI ≡ ��(��) = (��,��)

❖ EQUILIBRIO: ci sono azioni interne (tensioni) che agiscono per garantire uno stato di equilibrio globale e locale.

- Globale: �� = ∫ ℱ��ΩΩ + ∫ ����Σ��Σ��

+ ∫ ����Σ��Σ�� = 0

���� = ∫ (�� × ℱ)��ΩΩ + ∫ (�� × ��)��Σ��Σ�� + ∫ (�� × ��)��Σ��Σ��

= 0

- Puntuale:

ℱ + �������� = 0 su Ω ���� = �� su Σ�� ���� = �� su Σ��

�� = ���� simmetria

Definisco un SISTEMA DELLE FORZE ≡ ��(��) = (ℱ, ��,��, ��)

Quando parliamo di sistema degli spostamenti intenderemo l’insieme di spostamenti e deformazioni

che soddisfano la congruenza; mentre quando parliamo di sistema delle forze intenderemo l’insieme di forze che soddisfano l’equilibrio locale e globale.

LAVORO VIRTUALE ESTERNO: ������ = ∫ ℱ (��) ∙ ��(��)��Ω

Ω + ∫ ��(��) ∙ ��(��)��Σ��Σ��

+ ∫ ��(��) ∙ ��(��)��Σ��Σ��

LAVORO VIRTUALE INTERNO: ������ = ∫ �� ∙ ����ΩΩ

Quest’ultimo è un lavoro sia da un punto di vista dimensionale (in quanto esce fuori una tensione per

un volume) e anche da un punto di vista fisico (in quanto ogni tensione è moltiplicata per la sua deformazione rispettiva).

➢ TEOREMA DEI LAVORI VIRTUALI

��(��) = (ℱ,��, ��, ��) in equilibrio

��(��) = (��, ��) congruente

������ = ������

Σu

Σp

Ω

ℱ ��

R

19

o MODELLO DI TRAVE:

Il generico punto P subisce uno spostamento per effetto della deformazione:

��(��) = (

0 ��(��)

��(��) + �� ∙ ��(��) )

Definiamo il sistema degli spostamenti conoscendo le deformazioni:

���� = ������ ����

= 0; ���� = ������ ����

= 0; ���� = ������ ����

= ��′ + �� ∙ ��′

������ = ������ ����

+ ������ ����

= 0; ������ = ������ ����

+ ������ ����

= ��′ + ��; ������ = ������ ����

+ ������ ����

= 0

Definiamo il sistema delle forze conoscendo le tensioni:

��(��) = ∫ ���� (��)����

��

��(��) = ∫ ���� (��) ∙ ������

��

��(��) = ∫ ������ (��)����

��

Definisco allora:

➢ IL LAVORO VIRTUALE PER UN MODELLO DI TRAVE

������ = ∫ {�� (��) ∙ [

��(��)(��)

���� + ��(��)(��)] + ��(��) ∙ [

��(��)(��)

������ + ��(��)(��)] + ��(��) ∙ [

����(��)(��)

���� + ��(��)(��)]} ����

����

NOTAZIONE VETTORIALE ALLA VOIGT:

�� =

(

���� ���� ���� ������ ������ ������)

; �� =

(

���� ���� ���� ������ ������ ������)

������ = ∫ �� ∙ ����Ω Ω

y

z

20

2.6LEGAME COSTITUTIVO

Prova di trazione: riproduco in maniera sperimentale la risposta costitutiva del materiale; trovo delle

misure nominali.

�� = ∆��

��0 ; �� =

��

��0

Se ragiono attraverso “passi incrementali” il valore effettivo della deformazione sarà:

�� = ∫ ���� ��0+∆��

��0

= ∫ ����

��

��0+∆��

��0

= ln ( ��0 + ∆��

��0 )

Inizialmente ho un regime lineare (elastico e reversibile); successivamente per una piccola parte ho sempre reversibilità del processo ma non è più lineare (snervamento); arrivato a questo punto per un certo carico i piani cristallini scorrono creando un effetto permanente (plastico e irreversibile).

Distinguiamo materiali duttili come quelli tendenti a deformazione plastica e materiali fragili come quelli che non hanno fase plastica. Per rimanere nel campo delle piccole deformazioni devo restare nella fase reversibile e quindi il materiale deve mantenere un comportamento elastico.

Ora procediamo nel dare incrementi di carico elementari di ℱ e di �� in modo quasi-statico (una pressa troppo violenta può causare dissipazioni di energia).

��(��) = (ℱ + ��ℱ,�� + �� ��,��) in equilibrio

��(��) = (����, ����) congruente

������ = �� = ∫ ℱ ∙ ���� ��Ω Ω

+∫ �� ∙ ���� ��Σ�� Σ��

= ∫ �� ∙ ���� ��Ω Ω

= ������ = ∫ �� ∙ ���� ��Ω Ω

Questi sono lavori reali: le forze in gioco sono le stesse che hanno prodotto quelle deformazioni e spostamenti. ������ è il lavoro elementare che dall’esterno spendiamo per produrre questo passo incrementale di deformazione ad unità di volume che chiameremo: ���� = �� ∙ ����. Definito lo stato iniziale D0 e quello finale definiamo il LAVORO DI DEFORMAZIONE come:

���� = ∫ �� Ω

��Ω �� = ∫ ���� ��

��0

Spazio delle deformazioni: è lo spazio in cui posso cambiare gli elementi del tensore delle deformazioni.

Il percorso per passare dallo stato iniziale a quello finale non è univoco. Il lavoro che spendo per deformare il corpo dipende però dal percorso.

La differenza di area fra quella sottesa al percorso AB e

quella sottesa al percorso BA rappresenta irreversibilità del processo. Quest’irreversibilità è di tipo energetico in quanto nella restituzione di tale energia si hanno effetti

dinamici e quindi dissipativi.

Un materiale può essere elastico fenomenologicamente,

ma l’elasticità deve garantire anche reversibilità

energetica.

Per questo definiamo MATERIALI IPERELASTICI quei

materiali in cui �� non dipende dal percorso e quindi è

funzione di stato.

A

B σ

ε

21

In una prova di trazione la curva di carico e quelle di scarico devono coincidere per cui �� = ��(��), ovvero

dipenderà solo dallo stato finale. �� prende il nome di POTENZIALE ELASTICO (reversibilità energetica

+ deformazione elastica). Se ��(���� , … , ������) allora ���� è un differenziale esatto:

���� = ����

������ ������ +⋯+

����

�������� �������� = ∇���� ∙ ���� = �� ∙ ����

LEGAME DIRETTO:

�� = ∇����(��) = ��(��)

Dato un materiale e assegnata una funzione potenziale elastica deformazioni e stato di tensioni sono

collegate tra di loro punto per punto. Se �� è regolare e ���� è un differenziale esatto allora le stesse derivate sono funzioni regolari.

��(�� ∙ ��) = �� ∙ ���� + ���� ∙ �� = ���� + ����

�� ∙ �� = ��(��) + ��(��)

Posso introdurre questa funzione ��(��) che chiamo POTENZIALE ELASTICO COMPLEMENTARE

(complementare alla Legendre). Devo riuscire a trovare un legame inverso �� = ��(��).

Esiste l’inversa di una funzione se questa è di classe C1, ciò vuol dire che se �� = ∇����(��) allora �� deve essere di classe C2. Possiamo quindi scrivere l’HESSIANO DI �� e per essere derivabile due volte questa

matrice non deve essere singolare:

ℋ =

(

��2��

������ 2 ⋯

��2��

��γ���������� ⋮ ⋱ ⋮

��2��

��������γ���� ⋯

��2��

�������� 2 )

������ = ������

det(ℋ) ≠ 0

▪ det(ℍ) > 0 allora ∇����(��) è monotona strettamente crescente e quindi �� è convessa; ▪ det(ℍ) < 0 allora ∇����(��) è monotona strettamente decrescente e quindi �� è concava;

Lavoriamo con materiali stabili: per deformare devo dare energia e quindi ��(��) > 0 ∀�� e quindi per questi materiali si può determinare un LEGAME INVERSO:

��(���� , … , ������) ⇒ �� = ∇����(��) = ��(��)

�� +�� = �� ∙ ��

�� = ∫ �� ∙ ���� ��

0

�� = ∫ �� ∙ ���� ��

0

Se �� è una funzione convessa allora H è definita positivi quindi tutti i suoi autovalori sono strettamente positivi ed è simmetrica (vale

Shwartz) e questo implica l’ipotesi di iperelasticità.

Piccole deformazioni: �� ≅ 0 |��| ≪ 1

��(��) = ��(0) + ∇����|��=0 ∙ �� + 1

2 ����ℋ|��=0�� + ��(|��|

2)

��

��

��

��

��

��

22

A meno di ordini di infinitesimi superiori al secondo nel caso di piccole deformazioni tutti i materiali

hanno un potenziale elastico che si può rappresentare come una forma quadratica delle deformazioni:

�� = ∇����(��) = ℋ��

o ℋ è una matrice di costanti elastiche e ha il significato di RIGIDEZZA ELASTICA del materiale;

o �� = (ℋ)−1 è la matrice rappresenta la CEDEVOLEZZA ELASTICA.

�� = ℋ�� �� = ����

La simmetria è diretta conseguenza dell’ipotesi di iperelasticità, mentre il concetto di IPOELASTICITÀ

prevede una non simmetria delle matrici ℋ e ��.

2.7SIMMETRIA COSTITUTIVA

▪ Materiale isotropo: la risposta costitutiva del materiale non dipende dalla direzione lungo cui taglio il provino;

▪ Materiale anisotropo: a seconda di dove taglio il trovo ho un comportamento diverso in base all’applicazione della forza.

In ELASTICITÀ LINEARE si può facilmente dimostrare che �� = �� e in IPOTESI DI ISOTROPIA la risposta del materiale non cambia se prendo altri sistemi di riferimento. Se prendessi per esempio quello

principale riuscirei ad individuare un’importante espressione:

��(��) = [��1 2 − 2(1 + ��)��2]

Da cui posso ricavare le espressioni che mi danno un legame espresso in funzione di �� e ��:

➢ LEGAME COSTITUTIVO ALLA NAVIER

{

���� =

����

������ = 1

�� [���� − ��(���� + ����)]

���� = ����

������ = 1

�� [���� − ��(���� + ����)]

���� = ����

������ = 1

�� [���� − ��(���� + ����)]

{

������ =

����

�������� = 2(1 + ��)

�� ������

������ = ����

�������� = 2(1 + ��)

�� ������

������ = ����

�������� = 2(1 + ��)

�� ������

Scrivendo tutto in forma matriciale:

�� =

(

���� ���� ���� ������ ������ ������)

=

[ 1 ��⁄ −

�� ��⁄ −

�� ��⁄ 0 0 0

−�� ��⁄ 1 ��⁄ −

�� ��⁄ 0 0 0

−�� ��⁄ − �� ��⁄

1 ��⁄ 0 0 0

0 0 0 1 ��⁄ 0 0

0 0 0 0 1 ��⁄ 0

0 0 0 0 0 1 ��⁄ ]

(

���� ���� ���� ������ ������ ������)

23

Abbiamo così definito la matrice �� che per ipotesi di iperelasticità è simmetrica e in quanto bisogna

rispettare la convessità della funzione �� deve essere definita positiva quindi det(��) > 0 e quindi anche

il determinante dei suoi minori deve essere definito positivo:

i) 1 ��⁄ > 0 → l’allungamento è nello stesso verso di applicazione della forza;

ii) 1 ��2⁄ − ( �� ��⁄ )

2 > 0 →−1 < �� < 1;

iii) −1 2⁄ < �� < 1 2⁄ ;

Dal legame costitutivo di Navier sommando le prime tre equazioni si arriva all’espressione

��1 = ����1

Da ciò possiamo dire che essendo ��1 legato alla variazione di volume (parte idrostatica di ��) si può

facilmente dedurre che, fissato un ������, più è elevato il valore di �� minore sarà questa variazione. Per

questo chiameremo �� MODULO DI RIGIDEZZA VOLUMERICA. Inoltre, dalla prima equazione possiamo scrivere tramite alcuni passaggi matematici:

���� = ��

1 + �� ���� +

����

1 + �� ��1

�� = ��

1 + �� ≡ �� ���������������� ���� ��������; �� =

����

1 + �� ≡ ���� ���������������� ���� ��������

Il legame diretto si può scrivere come:

▪ ���� = 2������ + ����1

▪ ������ = ��������

Ritornando al concetto di lavoro di deformazione è bene sottolineare che non dipende dal percorso di deformazione ed è speso a fronte di un arricchimento di potenziale; il processo è quasi statico e quindi

evito effetti dinamici. In elasticità il lavoro che io spendo è tutto finalizzato a deformare il corpo, il quale

“assorbe” questo lavoro sotto forma di energia. Per cui posso tranquillamente uguagliare queste due entità fino

adesso considerate separatamente: ℰ = ���� = ∫ ��Ω ��Ω

Non sempre però le deformazioni sono associate a carichi

ma posso essere anche associate a DISTORSIONI; per cui

distinguiamo deformazioni di tipo ELASTICO e di tipo

ANELASTICO:

�� = ������ + ������

Nel caso di un carico su una trave si ha generazione di =momento flettente, per cui nel momento in cui tolgo il

carico vi è una vera e propria restituzione di energia, ma

nel caso di deformazioni associate a distorsioni non vi sono flussi di energia. La diretta conseguenza a questa è

dettata dal fatto che il potenziale elastico dato dalla

distorsione dipende solo dalla componente elastica, mentre quello complementare è dato anche dalla componente anelastica, per cui:

�� ≠ ��

�� = 1

2 ������

�� ℋ������ =

1

2 ������ ∙ ��; �� =

1

2 ������ ∙ �� + ������ ∙ ��

��

1

2 ������ ∙ �� ������ ∙ ��

������ ������

��

��

1

2 ������ ∙ ��

24

2.8PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO

✓ Piccoli spostamenti

✓ Piccole deformazioni ✓ Elasticità lineare

⇒ Voglio sapere ∀ punto del corpo lo STATO ELASTICO ≡ (��, ��, ��)

Incognite del problema: { 3 funzioni vettoriali �� 6 funzioni scalari �� 6 funzioni scalari ��

Equazioni di cui dispongo:

▪ Equilibrio: { ℱ + �������� = 0 ���� Ω ���� = ���� = �� ���� Σ

▪ Congruenza: { �� = ������(��������(��))

∇ × (∇ × ��)�� = 0

▪ Legame costitutivo: { �� = ℋ�� �� = ����

Sulla definizione di queste equazioni ci sono delle ipotesi di base fondamentali: la prima è l’ipotesi di

PICCOLI SPOSTAMENTI e la seconda è l’ipotesi di PICCOLE DEFORMAZIONI. Cosa ci consentono di fare?

L’ipotesi di piccoli spostamenti ci dà la possibilità di poter “confondere” la configurazione indeformata con quella deformata, così da poter sovrapporre le tensioni.

L’ipotesi di piccole deformazioni è associata al dire che le misure delle deformazioni sono la parte simmetrica del gradiente degli spostamenti e ci consente di sovrapporre i processi deformativi.

Il legame costitutivo invece è una relazione meccanica che però ci dà le equazioni mancanti per risolvere

questo sistema di 15 incognite in 15 equazioni.

➢ TEOREMA DI KIRCHHOFF: Si dimostra che la soluzione esiste ed è unica, e questa unicità è dettata dalla

SOVRAPPONIBILITÀ degli effetti in quanto il problema che ci stiamo ponendo è lineare. Se

conosco gli effetti associati a ciascuna causa, quando sul sistema agiscono più cause contemporaneamente l’effetto totale è la somma di tutti gli altri.

Strategia di soluzione:

Processo inverso→fissiamo uno stato elastico e vediamo per quale carico si realizza questa soluzione; Processo quasi-inverso→ ipotizzo la soluzione e forzo con questa soluzione ipotizzata la verifica delle

equazioni del problema;

Sovrapponibilità degli effetti→se ho la possibilità di costruire soluzioni per carichi semplici posso decomporre un carico complicato in tanti carichi semplici e sommare gli effetti.

Principio dell’equivalenza elastica: la soluzione in termini di stato elastico in un punto distante dalla zona di carico distribuito non dipende dalla particolare distribuzione di carico ma solo dalla sua

risultante e dal suo momento risultante (solo dai descrittori statici). La natura del problema

differenziale ellittico legato alla condizione al contorno in un punto si propaga altro a patto che ci sia equivalenza statica tra i carichi.

▪ Metodo agli spostamenti: impongo a priori la congruenza ed il legame costitutivo e cerco la

soluzione in termini di spostamento che soddisfa anche l’equilibrio. ▪ Metodo alle tensioni: si parte da infiniti campi di tensione in equilibrio e vado a cercare l’unico

campo di tensioni che soddisfi anche la congruenza.

25

➢ TEOREMA DI CLAPEYRON:

Con le ipotesi dell’equilibrio elastico:

ℰ = ∫ �� Ω

��Ω = ∫ 1

2 ������ ∙ �� ��Ω

Ω

Partendo da un valore di σ e ε nulli, ai quali sono associati rispettivamente (ℱ, ��, ��) e (��, ��), quando calcolo l’energia di deformazione essa dipenderà esclusivamente da σ finali (in

equilibrio con i carichi) e ε finali (congruenti con gli spostamenti). Con ��(��) = (ℱ,��, ��, ��) in

equilibrio e ��(��) = (��, ��) congruente

Posso applicare il TLV e considero ��(��) = ��(��) (le deformazioni sono prodotte dai carichi):

ℰ = ∫ �� Ω

��Ω = ∫ 1

2 ������ ∙ �� ��Ω

Ω

= ∫ 1

2 (�� − ������) ∙ �� ��Ω

Ω

= 1

2 ������ −∫

1

2 ������ ∙ �� ��Ω

Ω

= 1

2 [∫ ℱ ∙ ���� Ω Ω

+∫ �� ∙ �� ��Σ�� Σ��

+∫ �� ∙ �� ��Σ�� Σ��

] − ∫ 1

2 ������ ∙ �� ��Ω

Ω

o Corpi a trave:

������ = ���� = ∫ {�� ∙ [ ��(��)

���� + ��(��)] + �� ∙ [

��(��)

������ + ��(��)] + �� ∙ [

����(��)

���� + ��(��)]} ����

����

L’energia di deformazione NON dipende dai contributi anelastici per cui in definita scrivo:

ℰ = ∫ [ ��2

���� + ��2

������ + ����2

���� ]����

����

➢ TEOREMA DI BETTI-MAXWELL:

Con le ipotesi del problema dell’equilibrio elastico possiamo dire che dati due sistemi di forze e

spostamenti ��(1) = (��(1), ��(1), ��(1)) e ��(2) = (��(2), ��(2), ��(2)) ⇒ ��12 = ��21

Il lavoro che il sistema di forze (1) compie per gli spostamenti soluzione del sistema (2) è uguale al

lavoro che il sistema di forze (2) compie per gli spostamenti soluzione del sistema (1).

❖ COROLLARIO: Considerata una trave e due sistemi diversi in cui in uno è applicata una forza unitaria nel punto A e nell’altro è applicata la stessa forza nel punto B e considerati i due

spostamenti e ������ come lo spostamento che vedo in B nel primo caso e ������ come lo

spostamento che vedo in A nel secondo caso allora posso scrivere i lavori mutui: ��|�� ∙ ������ = ��|�� ∙ ������ ⇒ ������ = ������

������ prendo il nome di COEFFICIENTE DI INFLUENZA: lo spostamento in un punto i-esimo

prodotto da un ente forza unitario messa in un punto j-esimo con i≠j.

➢ TEOREMA DI CASTIGLIANO:

Con le ipotesi del problema dell’equilibrio elastico posso calcolarmi lo spostamento in un punto

lungo una direzione r grazie all’ente forza F duale posto su quel punto e lungo quella direzione, attraverso la seguente relazione:

������ ����

= ������

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