Calculus by Thomas Finney 10th Edition series ch 8, Formulas and forms for Fourier Transform and Series. University of Crete
aekara21
aekara21

Calculus by Thomas Finney 10th Edition series ch 8, Formulas and forms for Fourier Transform and Series. University of Crete

109 pages
8Number of visits
Description
mas exete spasei ta arxidia re palikarakia ,ena kwlo lisari ithela mpas kai parw afto to pantermo to ptyxio
20 points
Download points needed to download
this document
Download the document
Preview3 pages / 109
This is only a preview
3 shown on 109 pages
Download the document
This is only a preview
3 shown on 109 pages
Download the document
This is only a preview
3 shown on 109 pages
Download the document
This is only a preview
3 shown on 109 pages
Download the document
_02_8_587-690

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Eπί αιώνες, το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων προβλημάτιζε τους μαθηματικούς. Kαι αυτό γιατί έβλε- παν πως μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, π.χ.

(Mπορείτε να πεισθείτε γι’ αυτό αθροίζοντας τα εμβαδά των άπειρων ορθογωνίων που αποκόπτο- νται από το μοναδιαίο τετράγωνο με τον τρόπο που δείχνει το διπλανό σχήμα.) Άλλες όμως φο- ρές, ένα άπειρο άθροισμα απειριζόταν, π.χ.

(κάτι που δεν είναι καθόλου προφανές), και τέλος υπήρχαν περιπτώ- σεις όπου ήταν αδύνατον να αποφανθεί κανείς για την τιμή του άπει- ρου αθροίσματος, π.χ.

(Eίναι μηδέν; Eίναι 1; Ή τίποτα από τα δύο;) Παρά ταύτα, μαθηματικοί όπως ο Gauss και ο Euler χρησιμοποίη-

σαν επιτυχώς τις άπειρες σειρές για να εξαγάγουν μερικά πρωτοφανή αποτελέσματα. O Laplace απέδειξε με σειρές την ευστάθεια του ηλια- κού μας συστήματος (χωρίς αυτό να αποτρέπει σήμερα μερικούς από το να εκφράζουν την ανησυχία τους για το ότι «υπερβολικά πολλοί» πλανήτες έχουν γείρει από τη μία πλευρά του Ήλιου!). Θα περνούσαν αρκετά ακόμη χρόνια μέχρι να εμφανιστούν ειδικοί της μαθηματικής ανάλυσης, όπως ο Cauchy, οι οποίοι ανέπτυξαν το θεωρητικό υπόβα- θρο των υπολογισμών με σειρές, αναγκάζοντας έτσι πολλούς συναδέλ- φους τους (μεταξύ αυτών και τον Laplace) να επανεξετάσουν σε αυ- στηρότερο υπόβαθρο τα πρότερα αποτελέσματά τους.

Oι άπειρες σειρές αποτελούν τη βάση ενός αξιοθαύμαστου μαθη- ματικού τύπου ο οποίος μας επιτρέπει να περιγράφουμε πολλές συ- ναρτήσεις με πολυώνυμα που περιέχουν άπειρους όρους (τα οποία κα- λούνται δυναμοσειρές), ενώ παράλληλα μας πληροφορεί για το μέγε- θος του σφάλματος που υπεισέρχεται αν κρατήσουμε πεπερασμένο πλήθος όρων στα πολυώνυμα αυτά. Oι δυναμοσειρές, πέραν του ότι προσεγγίζουν με πολυώνυμα τις διαφορίσιμες συναρτήσεις, βρίσκουν και πολλές άλλες εφαρμογές. Παρακάτω θα δούμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε άπειρα αθροίσματα τριγωνομετρικών όρων (τις λε- γόμενες σειρές Fourier), προκειμένου να αναπαραστήσουμε μερικές από τις σπουδαιότερες συναρτήσεις που συναντά κανείς σε επιστημο- νικές και τεχνολογικές εφαρμογές. Oι άπειρες σειρές παρέχουν έναν ευχερή τρόπο υπολογισμού μη στοιχειωδών ολοκληρωμάτων, καθώς

1  1  1  1  1  1  … .

1 1

 1 2

 1 3

 1 4

 1 5

 …  

1 2

 1 4

 1 8

 1 16

 …  1.

587

8 Άπειρες σειρές

1/2

1/4

1/8

1/16

και επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη διάδοση της θερμότητας, τις ταλαντώσεις, τη διάχυση χημικών ουσιών, και τη μετάδοση σημάτων. Στο παρόν κεφάλαιο θα προετοιμάσουμε το έδα- φος για την κατανόηση του ρόλου που παίζουν οι σειρές στις φυσικές επιστήμες και στα μαθηματικά.

8.1 Oρισμοί και συμβολισμός • Σύγκλιση και απόκλιση • Yπολογισμός ορίων ακολουθιών • Kάνοντας χρήση του κανόνα του l’Hôpital • Όρια που απαντούν συχνά

Γενικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ακολουθία είναι μια διατεταγμέ- νη διάταξη τυχόντων αντικειμένων, όμως στο παρόν κεφάλαιο τα αντι- κείμενα που θα μας απασχολήσουν είναι αριθμοί. Ήδη έχουμε συνα- ντήσει ακολουθίες, π.χ. αυτή των αριθμών x0, x1, . . . , xn, . . . που προ- κύπτει από τη μέθοδο του Nεύτωνα. Aργότερα θα δούμε ακολουθίες δυνάμεων του x, καθώς και ακολουθίες τριγωνομετρικών όρων, π.χ. sinx , cos x , sin 2x , cos 2x , . . . , sin nx , cos nx , . . . . Ένα ζήτημα κεντρι- κής σημασίας είναι αν μια ακολουθία διαθέτει όριο ή όχι.

Oρισμοί και συμβολισμός Mπορούμε να διατάξουμε τα ακέραια πολλαπλάσια του 3 ως εξής:

O πρώτος αριθμός στη σειρά είναι το 3, έπειτα το 6, έπειτα το 9, κ.ο.κ. H συνάρτηση λοιπόν που δρα εδώ αποδίδει την τιμή 3n στη n-οστή θέ- ση. Aυτή είναι η βασική ιδέα της κατασκευής ακολουθιών: Yπάρχει μια συνάρτηση που τοποθετεί τον κάθε αριθμό της ακολουθίας στην κατάλληλη διατεταγμένη θέση του.

Συνήθως, το n0 είναι 1 και το πεδίο ορισμού της ακολουθίας είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων. Mερικές φορές, ωστόσο, επιθυμού- με η ακολουθία να ξεκινά από άλλον αριθμό. Π.χ., στη μέθοδο του Nεύτωνα παίρνουμε n0  0. Aν πάλι θέλαμε να ορίσουμε μια ακολου- θία πολυγώνων με πλήθος πλευρών n, θα παίρναμε n0  3.

Oι ακολουθίες ορίζονται όπως και οι υπόλοιπες συναρτήσεις, για παράδειγμα

a(n) 

(Παράδειγμα 1 και Σχήμα 8.1). Για να δηλώσουμε ότι το πεδίο ορι- σμού των ακολουθιών περιλαμβάνει ακεραίους, χρησιμοποιούμε το

n , a(n)  (1)n1 1n , a(n)  n  1

n

Πεδίο ορισμού: 1 2 3 . . . n . . . ↓ ↓ ↓ ↓

Πεδίο τιμών: 3 6 9 3n

588 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Oρισμός Aκολουθία Άπειρη ακολουθία αριθμών είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορι- σμού το σύνολο των ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι ενός ακεραίου n0.

Iστορικά στοιχεία

Aκολουθίες και σειρές

CD-ROM Δικτυότοπος

Όρια ακολουθιών

γράμμα n ως δηλωτικό της ανεξάρτητης μεταβλητής, αντί των x , y , z και t που χρησιμοποιούμε συνήθως όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή παίρνει πραγματικές τιμές. Ωστόσο, συχνά οι μαθηματικοί τύποι που ορίζουν ακολουθίες, όπως οι ανωτέρω, ισχύουν και για πεδία ορι- σμού μεγαλύτερα του συνόλου των θετικών ακεραίων. Όπως θα δού-

,

5898.1. Όρια ακολουθιών

2, 2⎛⎝ ⎛⎝

4, 4⎛⎝ ⎛⎝

3, 3⎛⎝ ⎛⎝

5, 5⎛⎝ ⎛⎝√⎯

√⎯ √⎯

√⎯ √⎯

1, 1⎛⎝ ⎛⎝ 0

an  n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

√⎯ n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

  0

(1, 1)

5, 1– 5

⎛ ⎝

⎛ ⎝

2, 1– 2

⎛ ⎝

⎛ ⎝ 3, 1–

3 ⎛ ⎝

⎛ ⎝ 4,

1– 4

⎛ ⎝

⎛ ⎝

0 1 32 4 5 n

0

an 

a2a3 a1

1

1– n

n

an

0

1

  0 (1, 1)

5, 1– 5

⎛ ⎝

⎛ ⎝

2,  1– 2

⎛ ⎝

⎛ ⎝

3, 1– 3

⎛ ⎝

⎛ ⎝

4,  1– 4

⎛ ⎝

⎛ ⎝

0

a2 a5 a1

1

an  (1) n 1 1–

n

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

  1

4 5

(1, 0)

5, 4– 5

⎛ ⎝

⎛ ⎝2, 1–

2 ⎛ ⎝

⎛ ⎝

3, 2– 3

⎛ ⎝

⎛ ⎝

4, 3– 4

⎛ ⎝

⎛ ⎝

0

a2 a3

1

an  n  1——–

n

5, 4– 5

⎛ ⎝

⎛ ⎝3,

2– 3

⎛ ⎝

⎛ ⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

–1

(1, 0)

2, 1– 2

⎛ ⎝

⎛ ⎝ 4, 3–

4 ⎛ ⎝

⎛ ⎝ 6, 

5– 6

⎛ ⎝

⎛ ⎝

–1

a2 a3

0 1

an  (1) n 1 n  1——–

n

a6 a4 a5a1

⎛ ⎝

⎛ ⎝

n

an

0 1 32

3

  3

4 5 6 7 8 9 10

0 an  3

1 2

an

3 4 5

(α) Oι όροι an  υπερβαίνουν τελικά κάθε ακέραιο, οπότε η ακολουθία {an} αποκλίνει, . . .

n

(β) . . . όμως οι όροι an  1 n μικραίνουν διαρκώς και προσεγγίζουν αυθαίρετα το 0 καθώς το n αυξάνεται, οπότε η ακολουθία {an} συγκλίνει στο 0.

/

(γ) Oι όροι an  (1) n1(1 n)

εναλλάσσουν τα πρόσημά τους, ωστόσο συγκλίνουν στο 0.

/

(δ) Oι όροι an  (n  1) n προσεγγίζουν αυθαίρετα το 1 καθώς το n αυξάνεται, οπότε η ακολουθία {an} συγκλίνει στο 1.

/

(ε) Oι όροι an  (1) n1[(n  1) n]

εναλλάσσουν τα πρόσημά τους. Oι θετικοί όροι τείνουν στο 1. Ωστόσο, οι αρνητικοί όροι τείνουν στο 1 καθώς το n αυξάνεται, οπότε η ακολουθία {an} αποκλίνει.

/

(στ) Oι όροι της ακολουθίας σταθερών αριθμών an  3 έχουν την ίδια τιμή ανεξαρτήτως του n , οπότε η ακολουθία {an} συγκλίνει στο 3.

ΣXHMA 8.1 Oι ακολουθίες του Παραδείγματος 1 απεικονίζονται εδώ με δύο τρόπους: τοποθετώντας τους αριθμούς an στον οριζόντιο άξονα, και τα σημεία (n , an) στο επίπεδο.

με, κάτι τέτοιο μπορεί να μας εξυπηρετεί. O αριθμός a(n) καλείται n- οστός όρος της ακολουθίας, ή αλλιώς όρος με δείκτη n . Έτσι για a(n)  (n  1)/n, θα έχουμε

Πρώτος όρος Δεύτερος όρος Tρίτος όρος n-οστός όρος

a(1)  0 a(2)  a(3)  . . . , a(n) 

Aν συμβολίσουμε ως an το a(n) , η ακολουθία γράφεται ως εξής:

a1  0, a2  a3  . . . , an 

Συνηθίζεται να περιγράφουμε μια ακολουθία παραθέτοντας μερικούς από τους πρώτους όρους της, καθώς και τον τύπο που δίνει τον n-οστό όρο.

Παράδειγμα 1 Περιγραφή ακολουθιών

Συμβολισμός Για να αναφερθούμε στην ακολουθία n-οστού όρου an γράφουμε {an} (και διαβάζουμε «ακολουθία a δείκτης n»). Έτσι, η δεύ- τερη ακολουθία του Παραδείγματος 1 είναι η {1/n} («ακολουθία 1 διά n») Ø η τελευταία ακολουθία είναι η {3} («σταθερή ακολουθία 3»).

Σύγκλιση και απόκλιση Όπως δείχνει το Σχήμα 8.1, οι ακολουθίες στο Παράδειγμα 1 δεν έχουν όλες την ίδια συμπεριφορά. Oι {1/n}, {(1)n1(1/n)}, και {(n  1)/n} δείχνουν να προσεγγίζουν μια μοναδική οριακή τιμή καθώς το n αυξά- νεται, και μάλιστα η {3} έχει καταλήξει στην οριακή της τιμή από τον πρώτο ήδη όρο. Aπό την άλλη, οι όροι της ακολουθίας {(1)n1(n  1)/n} δείχνουν να «συνωστίζονται» σε δύο διαφορετικές τιμές, τις 1 και 1, ενώ οι όροι της { } αυξάνονται απεριόριστα και δεν συγκλίνουν πουθενά.

O ακόλουθος ορισμός διαχωρίζει τις ακολουθίες που προσεγγί- ζουν μια μοναδική οριακή L , καθώς το n αυξάνεται, από εκείνες που δεν εμφανίζουν τέτοια συμπεριφορά.

n

n  1 n .

2 3

,1 2

,

n  1 n .

2 3

,1 2

,

590 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Όροι ακολουθίας Tύπος ακολουθίας

(α) 1, an 

(β) 1, an 

(γ) 1,  an  (1) n1

(δ) 0, an 

(ε) 0,  an  (1) n1

(στ) 3, 3, 3, . . . , 3, . . . an  3

n  1n 12 , 23 , 34 , . . . , (1)n1 n  1n  , . . .

n  1 n

1 2

, 2 3

, 3 4

, . . . , n  1n , . . .

1 n

1 2

, 1 3

,  1 4

, . . . , (1)n1 1n , . . .

1 n

1 2

, 1 3

, . . . , 1n , . . .

n2, 3, 4, . . . , n , . . .

Παράδειγμα 2 Έλεγχος του ορισμού

Δείξτε ότι

(α)

(β) (τυχούσα σταθερά k) .

Λύση

(α) Έστω e  0. Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε n ,

n  N ⇒  e.

H πρόταση αυτή θα ισχύει για (1/n)  e, δηλαδή για n  1/e. Έτσι, αν N είναι τυχών ακέραιος μεγαλύτερος του 1/e, η πρόταση θα ισχύει για κάθε n  N. Aυτό σημαίνει ότι limnl (1/n)  0.

(β) Έστω e  0. Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε n ,

n  N ⇒ k  k   e.

Eφόσον k  k  0, για κάθε ακέραια τιμή του N η πρόταση θα εξακο- λουθεί να ισχύει. Aυτό σημαίνει ότι limnl k  k για κάθε σταθερό αριθμό k .

Παράδειγμα 3 Aποκλίνουσα ακολουθία

Δείξτε ότι η {(1)n1[(n  1)/n]} αποκλίνει.

Λύση Έστω e θετικός αριθμός μικρότερος του 1, τέτοιος ώστε να μην αλληλεπικαλύπτονται οι λωρίδες γύρω από τις ευθείες y  1 και y  1 που φαίνονται στο Σχήμα 8.3. Kάθε e  1 ικανοποιεί την προ- ϋπόθεση αυτή. H σύγκλιση στο 1 θα σήμαινε ότι κάθε σημείο του

 1n  0

lim nl k  k

lim nl

1 n  0

5918.1. Όρια ακολουθιών

Oρισμοί Σύγκλιση, απόκλιση, όριο H ακολουθία {an} συγκλίνει στον αριθμό L αν σε κάθε θετικό αριθμό e αντιστοιχεί ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε n

n  N ⇒ an  L   e.

Aν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός L, λέμε ότι η {an} αποκλίνει. Aν η {an} συγκλίνει στο L , γράφουμε limnl an  L , ή

απλούστερα an l L , και καλούμε το L όριο της ακολουθίας (Σχήμα 8.2).

,

aN

(N, aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L  

L  

(n, an)

0 a2 a3 a1 an

L  L   L

ΣXHMA 8.2 an l L εάν y  L είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη της ακολουθίας σημείων {(n, an)}. Όπως βλέπουμε στο σχήμα, όλα τα an μετά το aN κείνται σε απόσταση μικρότερη του  από το L.

Bιογραφικά στοιχεία

Nicole Oresme (περ. 1320-1382)

CD-ROM Δικτυότοπος

γραφήματος πέραν ενός δεδομένου δείκτη N κείται στην άνω λωρί- δα, όμως αυτό δεν συμβαίνει. Kαι αυτό διότι μόλις το σημείο (n , an) «εισέλθει» στην άνω λωρίδα, τότε το (n  1, an1) και όλα τα επόμε- να σημεία ανά δύο εισέρχονται στην κάτω λωρίδα. Συνεπώς, η ακο- λουθία δεν μπορεί να συγκλίνει στο 1. Oμοίως, δεν μπορεί να συ- γκλίνει στο 1. Aπό την άλλη, εφόσον οι όροι της ακολουθίας προ- σεγγίζουν εναλλάξ όλο και περισσότερο τις τιμές 1 και 1, δεν τεί- νουν ποτέ σε κάποια άλλη τιμή. Συνεπώς, η ακολουθία αποκλίνει.

H συμπεριφορά της {(1)n1[(n  1)/n]} είναι ποιοτικά διαφορετι- κή από αυτήν της { }, η οποία αποκλίνει διότι υπερβαίνει κάθε θε- τικό αριθμό L . Για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά της { }, γρά- φουμε

Λέγοντας πως όριο της {an} είναι το άπειρο, δεν εννοούμε βέβαια ότι η διαφορά μεταξύ του an και του απείρου μειώνεται καθώς το n αυξάνεται. Eννοούμε απλώς ότι το an μεγαλώνει αριθμητικά με την αύξηση του n.

Yπολογισμός ορίων ακολουθιών H μελέτη των ορίων θα καταντούσε αρκετά επίπονη αν έπρεπε να απα- ντήσουμε σε κάθε ερώτημα σχετικό με τη σύγκλιση, εφαρμόζοντας τον ορισμό. Για καλή μας τύχη, υπάρχουν τρία θεωρήματα που διευκο- λύνουν την όλη διαδικασία. Tο πρώτο από αυτά έρχεται ως φυσιολογι- κή συνέχεια των όσων είπαμε όταν μελετούσαμε τα όρια. Oι αποδεί- ξεις παραλείπονται.

lim nl (n)  .

n n

592 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

3, 2– 3

⎛ ⎝

⎛ ⎝ 5,

4– 5

⎛ ⎝

⎛ ⎝

4, 3– 4

⎛ ⎝

⎛ ⎝ 6, 

5– 6

⎛ ⎝

⎛ ⎝

0

1

–1  

(1, 0)

–1

a2 a3a1

–1 –1  

1  

1  

2, 1– 2

⎛ ⎝

⎛ ⎝

an  (1) n 1 n  1——–

n ⎛ ⎝

⎛ ⎝

10

a6 a4 a5

O       ±    1,        ±    –1     an  nN    N.

ΣXHMA 8.3 H ακολουθία {(1)n1[(n  1) n]} αποκλίνει.

/

Θεώρημα 1 Iδιότητες ορίων ακολουθιών Έστω {an} και {bn} ακολουθίες πραγματικών αριθμών και A και B πραγματικοί αριθμοί. Έστω limnl an  A και limnl bn  B. Iσχύουν τότε οι ακόλουθες ιδιότητες:

1. Όριο αθροίσματος: limnl (an  bn)  A  B

2. Όριο διαφοράς: limnl (an  bn)  A  B

3. Όριο γινομένου: limnl (an  bn)  A  B

4. Όριο σταθερού πολλαπλασίου: limnl (k  bn)  k  B (τυχών αριθμός k)

5. Όριο πηλίκου: limnl εφόσον B  0 an bn

 A B

Παράδειγμα 4 Eφαρμογή των ιδιοτήτων ορίων ακολουθιών

Συνδυάζοντας το Θεώρημα 1 και τα αποτελέσματα του Παραδείγμα- τος 2, έχουμε

(α)

(β)

(γ)

(δ)

Παράδειγμα 5 Tα σταθερά πολλαπλάσια αποκλίνουσας ακολουθίας αποκλίνουν

Kάθε μη μηδενικό πολλαπλάσιο μιας αποκλίνουσας ακολουθίας {an} αποκλίνει. Για να αποδειχθεί αυτό, ας υποθέσουμε ότι η {can} συγκλίνει σε κάποιον αριθμό c  0. Tότε, αν θέσουμε k  1/c στον τύπο του ορίου σταθερού πολλαπλασίου του Θεωρήματος 1, βλέπου- με ότι η ακολουθία

συγκλίνει. Aυτό σημαίνει ότι η {can} δεν μπορεί να συγκλίνει παρά μόνον αν και η {an} συγκλίνει. Aν η {an} δεν συγκλίνει, τότε ούτε η {can} θα συγκλίνει.

Στην Άσκηση 69 καλείστε να αποδείξετε το ακόλουθο θεώρημα.

Mια άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 2 είναι ότι αν bn   cn και cn l 0, τότε bn l 0 εφόσον cn  bn  cn. Xρησιμοποιούμε το αποτέ- λεσμα αυτό στο ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6 Xρήση του θεωρήματος «σάντουιτς»

Eφόσον 1/n l 0, γνωρίζουμε ότι

(α)

(β)

(γ)

Tα Θεωρήματα 1 και 2 βρίσκουν πολλές εφαρμογές χάρη σε ένα τρίτο θεώρημα που μας λέει ότι αν εφαρμόσουμε μια συνεχή συνάρτη- ση σε μια συγκλίνουσα ακολουθία, θα προκύψει μια ακολουθία που

(1)n 1n l 0    (1)n 1n   1n . 1 2n

l 0   1 2n

 1n

cos n n l 0    cos nn    cos n n  1n

1c  can  an

lim nl

4  7n 6

n 6  3  lim

nl (4 / n 6)  7

1  (3 / n 6)  0  7

1  0  7.

lim nl

5 n 2

 5  lim nl

1 n  limnl

1 n  5  0  0  0

lim nl n  1n   limnl 1  1n  limnl 1  limnl 1n  1  0  1 lim nl 1n  1  limnl 1n  1  0  0

5938.1. Όρια ακολουθιών

Θεώρημα 2 Θεώρημα «σάντουιτς» για ακολουθίες Έστω {an}, {bn}, και {cn} ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Aν an  bn  cn για κάθε n πέραν κάποιου N και αν limnl an  limnl cn  L, τότε θα ισχύει επίσης limnl bn  L.

επίσης συγκλίνει. Παραθέτουμε εδώ το θεώρημα χωρίς απόδειξη (Ασκηση 70).

Παράδειγμα 7 Eφαρμογή του Θεωρήματος 3

Δείξτε ότι

Λύση Γνωρίζουμε ότι (n  1) n l 1. Θέτοντας f (x)  και L  1 στο Θεώρημα 3 έχουμε

Παράδειγμα 8 H ακολουθία {21/n}

H ακολουθία {1/n} συγκλίνει στο 0. Θέτοντας an  1/n , f (x)  2 x, και

L  0 στο Θεώρημα 3, βλέπουμε ότι  f (1/n) l f (L)  20  1. H ακολουθία { } συγκλίνει στο 1 (Σχήμα 8.4).

Kάνοντας χρήση του κανόνα του l’Hôpital Tο θεώρημα που ακολουθεί μας επιτρέπει να εφαρμόζουμε τον κανόνα του l’Hôpital προκειμένου να βρούμε τα όρια μερικών ακολουθιών. Tο θεώρημα αντιστοιχίζει τιμές μιας (συνήθως διαφορίσιμης) συνάρτη- σης με τις τιμές δεδομένης ακολουθίας.

Παράδειγμα 9 Eφαρμογή του κανόνα του l’Hôpital

Δείξτε ότι

 0.

Λύση H συνάρτηση (ln x) x ορίζεται για κάθε x  1 και για θετικούς ακεραίους παίρνει ίδιες τιμές με την ακολουθία. Συνεπώς, βάσει του Θεωρήματος 4, το limnl (ln n) n θα ισούται με το limxl (ln x) x εφό- σον το τελευταίο υπάρχει. Eφαρμόζοντας τον κανόνα του l’Hôpital μία φορά παίρνουμε

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι limnl (ln n) n  0.

Όταν χρησιμοποιούμε τον κανόνα του l’Hôpital για την εύρεση του

/

lim xl

ln x x  limxl

1 / x 1

 0 1

 0.

/ /

/

ln n nlimnl

21 / n 21 / n

(n  1) / n l 1  1. x /

(n  1) / n l 1.

594 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Θεώρημα 3 Έστω {an} μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Aν an l L και η f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο L και ορισμένη για κάθε an, τότε f (an) l f (L) .

1– 3

x

y

0

1

(1, 2)

y  2x

11– 2

2

, 21/31– 3

⎛ ⎝

⎛ ⎝

, 21/21– 2

⎛ ⎝

⎛ ⎝

ΣXHMA 8.4 Kαθώς n l , 1/n l 0 και 2 l 20.1 / n

Θεώρημα 4 Έστω f (x) συνάρτηση ορισμένη για κάθε x  n0 και {an} ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε an  f (n) για n  n0. Στην περίπτωση αυτή

lim xl f(x)  L ⇒ limnl an  L .

ορίου μιας ακολουθίας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο n παίρνει συ- νεχείς πραγματικές τιμές, και να παραγωγίσουμε ως προς n. Δείτε σχε- τικά το Παράδειγμα 10.

Παράδειγμα 10 Eφαρμογή του κανόνα του l’Hôpital

Nα βρεθεί το

Λύση Eφαρμόζοντας τον κανόνα του l’Hôpital (παραγωγίζοντας ως προς n) ,

Aπόδειξη Θεωρήματος 4 Έστω ότι limxl f(x)  L Tότε για κάθε θε- τικό αριθμό e θα υπάρχει αριθμός M τέτοιος ώστε για κάθε x ,

x  M ⇒  f (x)  L   e.

Έστω N ακέραιος, μεγαλύτερος του M και μεγαλύτερος ή ίσος του n0. Tότε

n  N an  f (n) και an  L    f (n)  L   e.

Παράδειγμα 11 Eφαρμογή του κανόνα του l’Hôpital για τον προσδιορισμό σύγκλισης

Συγκλίνει η ακολουθία με n-οστό όρο

an  ;

Aν ναι, να βρεθεί το limnl an.

Λύση Tο όριο καταλήγει στην απροσδιόριστη μορφή 1 . Mπο- ρούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του l’Hôpital στη μορφή   0, η οποία προκύπτει από την παραπάνω αν πάρουμε τον φυσικό λο- γάριθμο του an:

Tότε,

 lim nl

2n 2

n 2  1  2.

 lim nl

2 / (n 2  1)

1 / n 2

 lim nl

ln n  1n  1 1 / n

lim nl ln an  limnl n ln n  1n  1

 n ln n  1n  1 . ln an  ln n  1n  1

n

n  1n  1 n

.

 .

lim nl

2 n

5n  lim

nl 2 n  ln 2

5

lim nl

2 n

5n .

5958.1. Όρια ακολουθιών

  0

0 –0

Kανόνας του l’Hôpital

Eφόσον ln an l 2 και η f(x)  ex είναι συνεχής, το Θεώρημα 3 μας λέ- ει ότι

an  l e2. Συνεπώς, η ακολουθία {an} συγκλίνει στο e

2.

Όρια που απαντούν συχνά Mερικά από τα όρια που απαντούν συχνότερα παρατίθενται στον Πί- νακα 8.1. Tο πρώτο από αυτά το συναντήσαμε στο Παράδειγμα 9. Tα δύο επόμενα προκύπτουν παίρνοντας λογαρίθμους και εφαρμόζοντας το Θεώρημα 3 (Aσκήσεις 67 και 68). Tα υπόλοιπα όρια αποδεικνύονται στο Παράρτημα 7.

Παράδειγμα 12 Όρια του Πίνακα 8.1

(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.1

100 n

n! l 0

n  2n  n

 1  2n  n

l e2 12

n

l 0

n 3n  31 / n(n 1 / n) l 1  1  1 n n 2  n 2 / n  (n 1 / n)2 l (1)2  1

ln (n 2) n 

2 ln n n l 2  0  0

eln an

596 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Tύπος 1

Tύπος 2

Tύπος 3 για x  3 και Tύπος 2

Tύπος 4 για x  – 2 –1

Tύπος 5 για x  2

Tύπος 6 για x  100

Πίνακας 8.1

1.

2.

3.

4.

5. (τυχόν x)

6. (τυχόν x)

Στους τύπους (3) έως (6), το x μένει σταθερό καθώς n l .

lim nl

xn

n!  0

lim nl 1  xn

n

 ex

lim nl x

n  0 ( x   1)

lim nl x

1 / n  1 (x  0)

lim nl 

n n  1

lim nl

ln n n  0

Eύρεση όρων ακολουθίας Σε καθεμία από τις Aσκήσεις 1-4 δίνεται ο τύπος του n- οστού όρου an μιας ακολουθίας {an}. Nα βρεθούν οι τιμές των a1, a2, a3, και a4.

1. an  2. an 

3. an  4. an 

Eύρεση τύπων ακολουθιών Στις Aσκήσεις 5-12, να βρεθεί ο τύπος του n-οστού όρου της ακολουθίας.

5. H ακολουθία 1, 1, 1, 1, 1, . . .

6. H ακολουθία 1, 4, 9, 16, 25, . . .

7. H ακολουθία 0, 3, 8, 15, 24, . . .

8. H ακολουθία 3, 2, 1, 0, 1, . . .

9. H ακολουθία 1, 5, 9, 13, 17, . . .

10. H ακολουθία 2, 6, 10, 14, 18, . . .

11. H ακολουθία 1, 0, 1, 0, 1, . . .

12. H ακολουθία 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, . . .

Eύρεση ορίων Ποιες από τις ακολουθίες {an} στις Aσκήσεις 13-56 συ- γκλίνουν, και ποιες αποκλίνουν; Nα βρεθεί το όριο κάθε συγκλίνουσας ακολουθίας.

13. an  2  (0,1) n 14. an 

15. an  16. an  1  5n 4

n 4  8n 3 1  2n 1  2n

n  (1)n

n

2 n

2 n1 (1)n1

2n  1

1 n!

1  n n 2

Oι ακέραιοι από το 3 και εφεξής

Περιττοί θετικοί ακέ- ραιοι ανά δύο

Άρτιοι θετικοί ακέ- ραιοι ανά δύο

Eναλλάξ 1 και 0

Kάθε θετικός ακέ- ραιος επαναλαμβανό- μενος

Mονάδες με εναλλασ- σόμενα πρόσημα

Tετράγωνα θετικών ακεραίων, με εναλλασ- σόμενα πρόσημα

Tετράγωνα θετικών ακεραίων ελαττωμένα κατά 1

17. an  18. an 

19. an  1  (1) n 20. an  (1)

n

21. an  22. an 

23. an  24. an  sin

25. an  26. an 

27. an  28. an 

29. an  30. an  ln n  ln (n + 1)

31. an  32. an 

33. an  34. an 

35. an  36. an  (n  4)

37. an  38. an 

39. an  (Yπόδειξη: Συγκρίνετε με το 1 n.)

40. an  41. an 

42. an  43. an 

44. an  ln 45. an 

46. an  47. an  , x  0

48. an  49. an 

50. an  51. an  tan 1 n

52. an  53. an 

54. an  55. an 

56. an  n 

Διερεύνηση ορίων με κομπιουτεράκι Στις Aσκήσεις 57-60, δοκιμάστε να βρείτε με κομπιουτε- ράκι την τιμή του N που ικανοποιεί την εκάστοτε ανισότη- τα για n  N. Δεδομένου ότι η κάθε ανισότητα προέρχεται από τον αυστηρό ορισμό του ορίου κάποιας ακολουθίας, βρείτε ποια είναι η ακολουθία αυτή και σε ποιο όριο συ- γκλίνει.

57.   1   103 58. 

59. (0,9)n  103 60. (2n n!)  107

Θεωρία και παραδείγματα 61. Δίνεται η εξής ακολουθία ρητών αριθμών:

Eδώ οι αριθμητές από μόνοι τους σχηματίζουν μια ακο- λουθία, οι παρονομαστές επίσης σχηματίζουν μια ακο- λουθία, και τέλος οι λόγοι τους σχηματίζουν μια τρίτη ακολουθία. Έστω xn και yn αντίστοιχα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του n-οστού κλάσματος rn  xn yn.

(α) Eπιβεβαιώστε ότι  2  1,  2  1, και γενικότερα, ότι αν a2  2b2  1 ή 1, τότε

(a  2b)2  2(a  b)2  1 ή 1,

αντίστοιχα.

(β) Tα κλάσματα rn  xn yn τείνουν σε κάποιο όριο κα- θώς το n αυξάνεται. Ποιο είναι αυτό; (Yπόδειξη: Xρησιμοποιήστε το ερώτημα (α) για να δείξετε ότι rn

2  2  (1 yn) 2 και ότι το yn δεν είναι μικρότερο

του n.)

62. (α) Έστω ότι η f(x) είναι παραγωγίσιμη για κάθε x στο [0, 1] και ότι f (0)  0. Έστω ότι η ακολουθία {an} ορίζεται από τον κανόνα an  n f(1 n) . Δείξτε ότι limnl an  f (0).

Xρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα (α) για να βρείτε τα όρια των εξής ακολουθιών {an}.

(β) an  n tan 1 (γ) an  n(  1)

(δ) an  n ln

63. Tριάδες πυθαγόρειων αριθμών Oι αριθμοί a , b , και c κα- λούνται πυθαγόρεια τριάδα αν ισχύει a2  b2  c2. Έστω a ένας περιττός θετικός ακέραιος και ότι οι

b  και c 

είναι οι στρογγυλοποιημένες προς τα κάτω και προς τα άνω, αντίστοιχα, ακέραιες τιμές του a2 2.

(α) Δείξτε ότι a2  b2  c2. (Yπόδειξη: Θέστε a  2n  1 και εκφράστε τα b και c συναρτήσει του n .)

(β) Mε απευθείας υπολογισμό, ή με τη βοήθεια του σχήματος, βρείτε την τιμή του

a

a2— 2

⎡⎢⎢ a 2

— 2

⎢⎢⎣ ⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

/

a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1  2n e1 / n1n

/

/

/

y 22x 2

2y 2

1x 2

1

/

1 1

, 3 2

, 7 5

, 17 12

, . . . , a b

, a  2b a  b

, . . . .

/

n n  1   103n 0,5

n 2  n

(ln n)5

n n n 2  n

13 n

 1

2 n 1

n tan1 n

n 2

2n  1 sin 1n

3n  6n

2n  n!1  1n 2 n

 x n

2n  1 1 / n nn  1

n

3n  13n  1 n

1  1n n

1n 1 / (ln n)n!

2 n  3n

n! 106n

(4)n

n!

/ n! nn

n 32n1n 4nn

1 / (n4)3n 1 / n

n n 2n 10n

1  1n n

1  7n n

ln n n 1 / n

ln (n  1)

n n 2 n

sin2 n 2 n

sin n n

p2  1n 2nn  1

(1)n1

2n  1n  12n 1  1n 1  1n

n  3 n 2  5n  6

n 2  2n  1 n  1

5978.1. Όρια ακολουθιών

64. H n-οστή ρίζα του n!

(α) Δείξτε ότι limnl (2n )  1 και συνεπώς, βάσει του προσεγγιστικού τύπου του Stirling [Kεφάλαιο 7, Eπιπρόσθετη Άσκηση 50, ερώτημα (α)], ότι

για μεγάλες τιμές του n .

(β) Eλέγξτε την προσέγγιση που κάνατε στο (α) για n  40, 50, 60, . . . μέχρι όσο σας επιτρέπει το κο- μπιουτεράκι σας.

65. (α) Aν limnl (1 nc)  0 για τυχούσα θετική σταθερά c, δείξτε ότι

.

(β) Δείξτε ότι limnl (1 nc)  0 όπου c τυχούσα θετι- κή σταθερά. (Yπόδειξη: Aν e  0,001 και c  0,04, τότε πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το N έτσι ώστε 1 nc  0   e για n  N ;)

66. Tο «Θεώρημα… φερμουάρ» Aποδείξτε το «θεώρημα φερ- μουάρ» για ακολουθίες: Aν οι {an} και {bn} συγκλίνουν ταυτόχρονα στο L τότε και η ακολουθία

a1, b1, a2, b2, . . . , an bn . . .

θα συγκλίνει στο L .

67. Δείξτε ότι limnl 68. Δείξτε ότι limnl  1 (x  0).

69. Aποδείξτε το Θεώρημα 2.

70. Aποδείξτε το Θεώρημα 3.

71. Oι όροι συγκλίνουσας ακολουθίας προσεγγίζουν αυθαίρετα ο ένας στον άλλο Δείξτε ότι αν η {an} είναι μια συγκλίνουσα ακολουθία, τότε σε κάθε θετικό αριθμό e θα αντιστοι- χεί ένας ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε m και n , να ισχύει

m  N και n  N ⇒ am  an   e.

72. Mοναδικότητα ορίων Δείξτε ότι το όριο κάθε ακολουθίας είναι μοναδικό. Mε άλλα λόγια, δείξτε ότι αν L1 και L2 είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε an l L1 και an l L2, τότε L1  L2.

73. Σύγκλιση και απόλυτη τιμή Δείξτε ότι μια ακολουθία {an} συγκλίνει στο 0 αν και μόνο αν η ακολουθία των από- λυτων τιμών {an } συγκλίνει στο 0.

74. Bελτίωση παραγωγής Σύμφωνα με πρωτοσέλιδο άρθρο στη Wall Street Journal της 15ης Δεκεμβρίου 1992, για ένα τυπικό όχημα που κατασκευάζει η αυτοκινητοβιο- μηχανία Ford Motor Company απαιτείται χρόνος ερ- γασίας 7 h στην πρέσα, σε σχέση με αντίστοιχο χρό- νο 15 h το 1980. Oι ιαπωνικές εταιρείες χρειάζονται για την ίδια εργασία μόλις 3 h.

H βελτίωση της αποδοτικότητας στη Ford σε σχέ- ση με το 1980 σημαίνει μια ετήσια μείωση του χρόνου εργασίας κατά 6%. Aν ο ρυθμός αυτός συνεχιστεί, τότε σε n έτη από τώρα το προσωπικό της Ford θα χρειάζε- ται για την ίδια εργασία χρόνο

Sn  7,25(0,94) n

ωρών στην πρέσα για ένα τυπικό όχημα. Aν υποτεθεί ότι οι Iάπωνες ανταγωνιστές εξακολουθήσουν να χρει- άζονται 3 h ανά όχημα, τότε σε πόσα χρόνια θα τους φτάσει η Ford; Λύστε το πρόβλημα με δύο τρόπους:

(α) Bρείτε τον πρώτο όρο της ακολουθίας {Sn} που εί- ναι μικρότερος ή ίσος του 3,5.

(β) Παραστήστε γραφικά την f(x)  7,25(0,94)x και χρησιμοποιήστε την εφαρμογή «Trace» του υπολο- γιστή γραφικών που διαθέτετε για να βρείτε το ση- μείο όπου η καμπύλη τέμνει την ευθεία y  3,5.

Έλεγχος σύγκλισης και απόκλισης Mε ένα σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα για τις ακολουθίες των Aσκήσεων 75-84.

(α) Yπολογίστε και τοποθετήστε σε διάγραμμα τους πρώτους 25 όρους κάθε ακολουθίας. H ακολουθία δείχνει να συγκλίνει ή να αποκλίνει; Aν συγκλί- νει, τότε ποιο είναι το όριό της L ;

(β) Aν συγκλίνει η ακολουθία, βρείτε έναν ακέραιο N τέτοιον ώστε an  L   0,01 για n  N Tο ίδιο ερώτημα για an  L   0,0001.

75. an  76. an 

77. an  sin n 78. an  n sin

79. an  80. an 

81. an  (0,9999) n 82. an  123456

83. an  84. an  n 41

19n 8n

n!

1 / n

ln n n

sin n n

1 n

1  0,5n  n

n n

.

1 2

1 2

1 4

x1 / n n n  1.

, ,

,

/

/

lim nl

ln n nc

 0

/

n n! ne

1 / (2n)

lim al

a 2

2 ⎦ ⎡ a

2

2 ⎤ .

598 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

T

YΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΕΙΣ

8.2 Yποακολουθίες • Mονότονες και φραγμένες ακολουθίες • Aναδρομικά οριζόμενες ακολουθίες • H μέθοδος του Picard για την εύρεση ριζών

H παρούσα ενότητα συνεχίζει τη μελέτη της σύγκλισης και της από- κλισης ακολουθιών.

Yποακολουθίες Aν ο όροι μιας ακολουθίας εμφανίζονται σε άλλη ακολουθία με την ίδια διάταξη, καλούμε την πρώτη ακολουθία υποακολουθία της δεύτε- ρης.

Παράδειγμα 1 Yποακολουθίες της ακολουθίας θετικών ακεραίων

(α) H υποακολουθία των άρτιων ακεραίων: 2, 4, 6, … , 2n , …

(β) H υποακολουθία των περιττών ακεραίων: 1, 3, 5, … , 2n  1, …

(γ) H υποακολουθία των πρώτων αριθμών: 2, 3, 5, 7, 11, …

Oι υποακολουθίες έχουν σημασία για δύο λόγους:

1. Aν μια ακολουθία {an} συγκλίνει στο L , τότε όλες οι υποακολου- θίες της συγκλίνουν στο L Aν γνωρίζουμε ότι μια ακολουθία συ- γκλίνει, τότε διευκολυνόμαστε στην εύρεση ή στην εκτίμηση του ορίου μιας υποακολουθίας της που μας ενδιαφέρει.

2. Aν κάποια υποακολουθία μιας ακολουθίας {an} αποκλίνει ή αν δύο υποακολουθίες της έχουν διαφορετικά όρια, τότε η {an} αποκλίνει. Για παράδειγμα, η ακολουθία {(1)n} αποκλίνει διότι η υποακο- λουθία 1, 1, 1, . . . των όρων περιττού δείκτη (δηλ. του 1ου, 3ου, 5ου, . . . όρου) συγκλίνει στο 1, ενώ η υποακολουθία 1, 1, 1,. . . των άρτιου δείκτη όρων της συγκλίνει στο 1, σε διαφορετικό δηλα- δή όριο.

Oι υποακολουθίες μάς παρέχουν επίσης έναν νέο τρόπο μελέτης της σύγκλισης. H ουρά μιας ακολουθίας είναι μια υποακολουθία της που πε- ριέχει όλους τους όρους της πέραν κάποιου N-οστού όρου. Δηλαδή, η ου- ρά είναι ένα σύνολο {an n  N}. Έτσι, ένας άλλος τρόπος για να δηλώ- σουμε ότι an l L είναι να πούμε ότι κάθε διάστημα εύρους ±e περί το L περιέχει την ουρά της ακολουθίας.

Mονότονες και φραγμένες ακολουθίες

.

5998.2. Yποακολουθίες, φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard

8.2 Yποακολουθίες, φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard

Oρισμός Mη φθίνουσα, μη αύξουσα, μονότονη ακολουθία Mια ακολουθία {an} με την ιδιότητα an  an1 για κάθε n καλείται μη φθίνουσα ακολουθίαØ δηλαδή, a1  a2  a3  . . . .

Mια ακολουθία καλείται μη αύξουσα αν an  an1 για κάθε n Mια ακολουθία που είναι είτε μη φθίνουσα είτε μη αύξουσα, καλείται μονότονη.

.

H σύγκλιση ή απόκλιση μιας ακολουθίας δεν έχει καμία σχέση με το πώς συμπεριφέρονται οι πρώτοι όροι της ακολουθίας. Eξαρτάται μόνο από τη συμπεριφορά της ουράς της.

Παράδειγμα 2 Mονότονες ακολουθίες

(α) H ακολουθία 1, 2, 3, . . . , n . . . των φυσικών αριθμών είναι μη φθίνουσα.

(β) H ακολουθία είναι μη φθίνουσα.

(γ) H ακολουθία είναι μη αύξουσα.

(δ) H σταθερή ακολουθία {3} είναι ταυτόχρονα μη φθίνουσα και μη αύξουσα.

Παράδειγμα 3 Mια μη φθίνουσα ακολουθία

Δείξτε ότι η ακολουθία

an 

είναι μη φθίνουσα.

Λύση

(α) Θα δείξουμε ότι για κάθε n  1, an  an1Ø δηλαδή, ότι

H φορά της ανισότητας διατηρείται αν πολλαπλασιάσουμε χιαστί αριθμητές και παρονομαστές:

Eφόσον αληθεύει ότι 2  0, θα ισχύει an  an1 και άρα η ακολουθία {an} είναι μη φθίνουσα.

(β) Ένας άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι η {an} είναι μη φθίνουσα είναι να ορίσουμε την f (n)  an και να δείξουμε ότι f (x)  0. Στο εδώ παράδειγμα, f(n)  (n  1) (n  1), οπότε

Συνεπώς, η f είναι αύξουσα συνάρτηση, άρα f (n  1)  f(n) , δηλ. an1  an.

 2 (x  1)2

 0.

 (x  1)(1)  (x  1)(1)

(x  1)2

f (x)  d dx

x  1x  1 /

⇔ 2  0.

n 2  n  2  n 2  n

⇔ (n  1)(n  2)  n (n  1)

n  1 n  1

 (n  1)  1 (n  1)  1

n  1 n  1

 n n  2

n  1 n  1

 (n  1)  1 (n  1)  1

.

n  1 n  1

3 8

, 3 9

, 3 10

, . . . , 3 n  7

, . . .

1 2

, 2 3

, 3 4

, . . . , n n  1

, . . .

,

600 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Bιογραφικά στοιχεία

Fibonacci (1170-1240)

CD-ROM Δικτυότοπος

Παράγωγος πηλίκου

Oρισμός Άνω φραγμένη, άνω φράγμα, κάτω φραγμένη, κάτω φράγμα, φραγμένη ακολουθία Mια ακολουθία {an} είναι άνω φραγμένη αν υπάρχει αριθμός M τέτοιος ώστε an  M για κάθε n . O αριθμός M είναι τότε ένα άνω φράγμα της {an}. H ακολουθία είναι κάτω φραγμένη αν

Παράδειγμα 4 Eφαρμογή του ορισμού φραγμένης ακολουθίας

(α) H ακολουθία 1, 2, 3, . . . , n , . . . δεν έχει άνω φράγμα, αλλά είναι κάτω φραγμένη από το m  1.

(β) H ακολουθία είναι άνω φραγμένη από το

M  1 και κάτω φραγμένη από το m 

(γ) H ακολουθία 1, 2, 3, 4, . . . , (1)nn , . . . δεν είναι ούτε άνω ού- τε κάτω φραγμένη.

Γνωρίζουμε ότι μια φραγμένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ’ ανά- γκην, διότι η ακολουθία an  (1)

n είναι φραγμένη (1  an  1) αλ- λά αποκλίνουσα. Oύτε μια μονότονη ακολουθία συγκλίνει αναγκαστι- κά, διότι η ακολουθία των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, . . . , n , . . . είναι μο- νότονη αλλά αποκλίνει. Aν μια ακολουθία είναι όμως ταυτόχρονα φραγμένη και μονότονη, τότε οφείλει να συγκλίνει. Aυτό είναι και το επόμενο θεώρημα.

Παρ’ όλο που δεν θα αποδείξουμε το Θεώρημα 5, το Σχήμα 8.5 πεί- θει για την ισχύ του θεωρήματος στην περίπτωση μιας μη φθίνουσας και άνω φραγμένης ακολουθίας. Eφόσον η ακολουθία είναι μη φθίνου- σα και δεν μπορεί να υπερβεί το M , οι όροι της «συνωστίζονται» προς κάποιον αριθμό (το όριο) L  M .

Παράδειγμα 5 Eφαρμογή του Θεωρήματος 5

(α) H μη φθίνουσα ακολουθία συγκλίνει διότι είναι άνω

φραγμένη από τον αριθμό M  1. Mάλιστα, ισχύει ότι

οπότε η ακολουθία συγκλίνει στο όριο L  1.

(β) H μη αύξουσα ακολουθία είναι κάτω φραγμένη από τον

αριθμό m  0 και συνεπώς συγκλίνει. Tο όριό της είναι L  0.  1n  1

 1,

 1 1  0

lim nl

n n  1

 lim nl

1 1  (1 / n)

 nn  1

1 2

.

1 2

, 2 3

, 3 4

, . . . , n n  1

, . . .

6018.2. Yποακολουθίες, φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard

υπάρχει αριθμός m τέτοιος ώστε m  an για κάθε n . O αριθμός m είναι τότε ένα κάτω φράγμα της {an}. Aν η {an} είναι άνω και κάτω φραγμένη, καλείται φραγμένη ακολουθία.

x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y  L

(8, s8)

6 7 8

y  M

(5, s5)

(1, s1)

ΣXHMA 8.5 Aν οι όροι μιας μη φθίνουσας ακολουθίας έχουν άνω φράγμα M θα συγκλίνουν σε κάποιο όριο L  M.

,

Θεώρημα 5 Θεώρημα μονότονων ακολουθιών Kάθε φραγμένη μονότονη ακολουθία συγκλίνει.

Aναδρομικά οριζόμενες ακολουθίες Mέχρι τώρα, υπολογίζαμε τον τυχόντα όρο an μιας ακολουθίας εισάγο- ντας σε κάποιον τύπο το n Πολλές φορές, ωστόσο, μια ακολουθία ορί- ζεται αναδρομικά, οπότε μας δίνεται

1. O πρώτος ή οι πρώτοι όροι της, και

2. Ένας κανόνας, που καλείται αναδρομικός τύπος, και που επιτρέπει τον υπολογισμό οποιουδήποτε όρου αν γνωρίζουμε τους προηγού- μενους όρους της ακολουθίας.

Παράδειγμα 6 Aναδρομική κατασκευή ακολουθιών

(α) Oι προτάσεις a1  1 και an  an1  1 ορίζουν την ακολουθία 1, 2, 3, . . . , n , . . . των θετικών ακεραίων. Για a1  1, έχουμε a2 a1  1  2, a3  a2  1  3, κ.ο.κ.

(β) Oι προτάσεις a1  1 και an  n  an 1 ορίζουν την ακολουθία 1, 2, 6, 24, . . . , n!, . . . των παραγοντικών. Για a1  1, έχουμε a2  2  a1  2, a3  3  a2  6, a4  4  a3  24, κ.ο.κ.

(γ) Oι προτάσεις a1  1, a2  1, και an1  an  an1 ορίζουν την ακολουθία 1, 1, 2, 3, 5, . . . των αριθμών Fibonacci. Για a1  1 και a2  1, έχουμε a3  1  1  2, a4  2  1  3, a5  3  2  5, κ.ο.κ.

(δ) Όπως μπορούμε να δούμε από την εφαρμογή της μεθόδου του Nεύτωνα, οι προτάσεις x0  1 και xn1  xn  [(sin xn  ) (cos xn  2xn)] ορίζουν μια ακολουθία που συγκλίνει στη λύση της εξί- σωσης sin x  x 2  0.

H μέθοδος του Picard για την εύρεση ριζών Tο πρόβλημα επίλυσης της εξίσωσης

f (x)  0 (1)

είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα εύρεσης λύσης της

g(x)  f (x)  x  x ,

που προκύπτει αν προσθέσουμε το x κατά μέλη στην Eξίσωση (1). Έτσι φέρνουμε την Eξίσωση (1) σε μορφή κατάλληλη για επίλυση με υπο- λογιστή με τη χρήση μιας πολύ χρήσιμης μεθόδου που καλείται μέθο- δος του Picard.

Aν το πεδίο ορισμού της g περιέχει το πεδίο τιμών της g, μπορού- με να ξεκινήσουμε από ένα σημείο x0 στο πεδίο ορισμού και να εφαρ- μόσουμε κατ’ εξακολούθηση την g, παίρνοντας διαδοχικά

x1  g(x0) , x2  g(x1) , x3  g(x2) , . . . .

Aν πληρούνται κάποιες απλές προϋποθέσεις που περιγράφουμε πιο κάτω, η ακολουθία που παράγεται από τον αναδρομικό τύπο xn1  g(xn) θα συγκλίνει σε σημείο x για το οποίο ισχύει g(x)  x . Tο σημείο αυ- τό είναι η λύση της εξίσωσης f (x)  0 διότι

f (x)  g(x)  x  x  x  0.

Tο σημείο x για το οποίο ισχύει g(x)  x καλείται σταθερό σημείο της g . Aπό την τελευταία εξίσωση είναι φανερό ότι τα σταθερά σημεία της g δεν είναι παρά οι ρίζες της f .

Παράδειγμα 7 Έλεγχος της μεθόδου του Picard

Nα λυθεί η εξίσωση

1 4

x  3  x .

/ x 2n

.

602 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Oι αναδρομικοί τύποι απαντούν συχνά σε προγράμματα υπολογιστών και σε ρουτίνες αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, π.χ. στη μέθοδο του Euler.

Συμβολισμός παραγοντικού O συμβολισμός n! («n παραγοντικό») δηλώνει το γινόμενο 1  2  3 … n των ακεραίων από 1 έως n . Iσχύει (n 1)!  (n  1)  n ! . Έτσι, 4!  1  2  3  4  24 και 5!  1  2  3  4  5  5  4!  120. Oρίζουμε ότι το 0! ισούται με 1. H τιμή του παραγοντικού αυξάνεται ακόμη πιο γρήγορα από το εκθετικό, όπως φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα.

n en (περίπου) n!

1 3 1 5 148 120

10 22.026 3.628.800 20 4,9 108 2,4 1018

Bιογραφικά στοιχεία

Charles Émile Picard (1856-1941)

CD-ROM Δικτυότοπος

Λύση Γνωρίζουμε (εκτελώντας τις πράξεις) ότι η ζητούμενη λύση είναι x  4. Eφαρμόζουμε τη μέθοδο του Picard, οπότε θέτουμε

g(x) 

επιλέγουμε ένα σημείο εκκινήσεως, π.χ. x0  1, και υπολογίζουμε τους αρχικούς όρους της ακολουθίας xn1  g(xn) . Στον Πίνακα 8.2 παρατίθενται τα αποτελέσματα. Mέσα σε 10 βήματα, η λύση της αρ- χικής εξίσωσης βρίσκεται με σφάλμα μικρότερο του 3 106.

Tο Σχήμα 8.6 δείχνει τη γεωμετρία της διαδικασίας επίλυσης. Ξεκινούμε με x0  1 και υπολογίζουμε την πρώτη τιμή g(x0) , την οποία επανεισάγουμε στον αναδρομικό τύπο ως δεύτερη x-τιμή x1. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη δεύτερη y-τιμή g(x1) την οποία επα- νεισάγουμε ως τρίτη x-τιμή x2, κ.ο.κ. H επαναληπτική αυτή διαδικα- σία ξεκινάει από το x0  1, κινείται κατακόρυφα μέχρι το σημείο (x0, g(x0))  (x0, x1), έπειτα οριζόντια έως το (x1, x1) , και πάλι κατα- κόρυφα έως το (x1, g(x1)) , κ.ο.κ. Έτσι η διαδρομή συγκλίνει στο ση- μείο όπου το γράφημα της g τέμνει την ευθεία y  x. Δηλαδή στο ζη- τούμενο σημείο όπου g(x)  x .

1 4

x  3,

6038.2. Yποακολουθίες, φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard

Πίνακας 8.2 Διαδοχικές τιμές της g(x)  (1 4)x  3, με τιμή εκκινήσεως τη x0  1

xn xn1  g(xn)  (1 4) xn  3

x0  1 x1  g(x0)  (1 4)(1)  3  3,25 x1  3,25 x2  g(x1)  (1 4)(3,25)  3  3,8125 x2  3,8125 x3  g(x2)  3,9531 25 x3  3,9531 25 x4  3,9882 8125

 x5  3,9970 70313  x6  3,9992 67578  x7  3,9998 16895

x8  3,9999 54224 x9  3,9999 88556

x10  3,9999 97139   

/ /

/

/

x  3  x 1–4g(x) 

x0  1 x

y

1

2

3

4

(4, 4)

32 4 5 x1  3,25

x0

y  x

0

x1

(x1, g(x1))

(x0, g(x0)) x2

y  x  31–4

ΣXHMA 8.6 H λύση κατά Picard της εξίσωσης g(x)  (1 4)x  3  x . (Παράδειγμα 7)

/

Παράδειγμα 8 Xρήση της μεθόδου του Picard

Nα λυθεί η εξίσωση cos x  x .

Λύση Θέτουμε g(x)  cos x , επιλέγουμε ως τιμή εκκινήσεως τη x0  1, και χρησιμοποιούμε τον αναδρομικό τύπο xn1  g(xn), οπότε

x0  1, x1  cos 1, x2  cos (x1) , . . . .

Mπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγιστικά τους πρώτους 50 περί- που όρους με ένα κομπιουτεράκι (γωνίες σε ακτίνια, «radian mode») πληκτρολογώντας το 1 και πατώντας κατ’ επανάληψη το πλήκτρο υπολογισμού συνημιτόνου («cos»). O εμφανιζόμενος στην οθόνη αριθμός παύει να αλλάζει μόλις η εξίσωση cos x  x ικανοποιηθεί με ακρίβεια τόσων δεκαδικών ψηφίων όσα χωράνε στην οθόνη.

Δοκιμάστε και μόνοι σας. Kαθώς πατάτε το πλήκτρο του συνημι- τόνου, οι διαδοχικές προσεγγίσεις κείνται εναλλάξ εκατέρωθεν του σταθερού σημείου x  0.739085133 . . . .

Tο Σχήμα 8.7 δείχνει ότι οι τιμές ταλαντώνονται με τον παραπά- νω τρόπο λόγω της σπειροειδούς διαδρομής προς το σταθερό σημείο που διαγράφει το σημείο που προσεγγίζει τη λύση.

Παράδειγμα 9 H μέθοδος του Picard ενδέχεται να μην μπορεί να μας δώσει τη λύση μιας εξίσωσης

H μέθοδος του Picard δεν θα μας δώσει τη λύση της εξίσωσης

g(x)  4x  12  x .

Όπως δείχνει το Σχήμα 8.8, όποια τιμή επιλέξουμε για το x0 πλην της ίδιας της λύσης x0  4, παράγει μια αποκλίνουσα ακολουθία που απο- μακρύνεται από τη λύση που ζητούμε.

604 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

TPOYOOIHMENE YNTETAMENE

x

y

x0  1

y  x x  0,73909

(0,54, 0,54)

(0,54, 0,86) (0,86, 0,65)

y  cos x

1

– 2

ΣXHMA 8.7 H λύση της cos x  x με τη μέθοδο του Picard και σημείο εκκίνησης το x0  1. (Παράδειγμα 8)

x

y

4    g(x)  4x  12

(4, 4)

4 x0

y  x

0

y  4x  12

x0

  x = 4. ΣXHMA 8.8 H μέθοδος του Picard εφαρμοζόμενη στην εξίσωση g(x)  4x  12 δεν θα βρει το σταθερό σημείο, παρά μόνο αν το x0 είναι το ίδιο το σταθερό σημείο 4. (Παράδειγμα 9)

H αποτυχία της μεθόδου στο Παράδειγμα 9 οφείλεται στο ότι η κλίση της ευθείας y  4x  12 υπερβαίνει το 1, που είναι η κλίση της y  x . Aντιθέτως, η διαδικασία που ακολουθήσαμε στο Παράδειγμα 7 πέτυχε διότι η κλίση της y  (1 4)x  3 ήταν (κατ’ απόλυτη τιμή) μι- κρότερη του 1. Ένα θεώρημα του προχωρημένου απειροστικού λογι- σμού μάς λέει ότι αν η g (x) είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα I που περιέχει τη λύση της εξίσωσης g(x)  x και αν g (x)   1 στο I , τότε κάθε τιμή εκκινήσεως x0 που επιλέγουμε στο εσωτερικό του I οδηγεί στη λύση.

AΣΚΗΣΕΙΣ 8.2

/

6058.2. Yποακολουθίες, φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard

Eύρεση όρων αναδρομικά οριζόμενης ακολουθίας Σε καθεμία από τις Aσκήσεις 1-6 δίνονται ο πρώτος ή οι δύο πρώτοι όροι μιας ακολουθίας, καθώς και ένας αναδρο- μικός τύπος υπολογισμού των υπόλοιπων όρων. Nα γρα- φούν οι πρώτοι δέκα όροι κάθε ακολουθίας.

1. a1  1, an1  an  (1 2 n)

2. a1  1, an1  an (n  1)

3. a1  2, an1  (1) n1 an 2

4. a1  2, an1  nan (n  1)

5. a1  a2  1, an2  an1  an

6. a1  2, a2  1, an2  an1 an

7. Aκολουθίες που ορίζονται με τη μέθοδο του Nεύτωνα H μέθο- δος του Nεύτωνα, εφαρμοζόμενη σε μια διαφορίσιμη συνάρτηση f(x), παίρνει ως τιμή εκκινήσεως κάποιο x0 από το οποίο κατασκευάζει μια ακολουθία αριθμών {xn} που υπό κατάλληλες προϋποθέσεις συγκλίνει σε κάποιο σημείο μηδενισμού της f O αναδρομικός τύπος της ακολουθίας είναι

xn1  xn 

(α) Nα δειχθεί ότι ο αναδρομικός τύπος για την f (x)  x 2  a , a  0, μπορεί να γραφεί ως xn1  (xn  a/xn)/2.

(β) Mάθετε γράφοντας Mε τιμή εκκινήσεως x0  1 και a  3, υπολογίστε διαδοχικούς όρους της ακολου- θίας μέχρι ο εμφανιζόμενος αριθμός στο κομπιου- τεράκι σας να πάψει να αλλάζει. Ποιος αριθμός προσεγγίζεται έτσι; Eξηγήστε.

8. (Συνέχεια της Άσκησης 7) Eπαναλάβετε το ερώτημα (β) της Άσκησης 7 με a  2 αντί για a  3.

9. Mέθοδος του Nεύτωνα Oι παρακάτω ακολουθίες προέρ- χονται από τον αναδρομικό τύπο της μεθόδου του Nεύ- τωνα (δείτε την Άσκηση 7).

Συγκλίνουν οι ακολουθίες; Aν ναι, σε ποια τιμή; Σε κά- θε περίπτωση, βρείτε πρώτα τη συνάρτηση f που παρά- γει την κάθε ακολουθία.

(α) x0  1, xn1  xn 

(β) x0  1, xn1  xn 

(γ) x0  1, xn1  xn  1

10. Aναδρομικός ορισμός του 2 Ξεκινώντας με x1  1 και ορίζοντας τους επόμενους όρους της {xn} με τον κανό- να xn  xn1  cos xn1, κατασκευάστε μια ακολουθία που συγκλίνει ταχύτατα στο 2.

(α) Δοκιμάστε το.

(β) Xρησιμοποιήστε το ακόλουθο σχήμα για να εξη- γήσετε γιατί η σύγκλιση είναι τόσο γρήγορη.

Θεωρία και παραδείγματα Στις Aσκήσεις 11-14, προσδιορίστε αν οι ακολουθίες είναι μη φθίνουσες και/ή άνω φραγμένες.

11. an  12. an 

13. an  14. an  2 

Ποιες από τις ακολουθίες στις Aσκήσεις 15-24 συγκλί- νουν, και ποιες αποκλίνουν; Aιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.

15. an  1  16. an  n 

17. an  18. an 

19. an  ((1) n  1)

20. O πρώτος όρος μιας ακολουθίας είναι x1  cos (1). Oι επόμενοι όροι είναι x2  x1 ή cos (2), οποιοσδήποτε εκ των δύο είναι μεγαλύτερος, και x3  x2 ή cos (3), οποι- οσδήποτε εκ των δύο είναι μεγαλύτερος (δηλ. σε δε- ξιότερη θέση στο γράφημα). Eν γένει,

n  1n 

2 n  1 3n

2 n  1 2 n

1 n

1 n

2 n 

1 2 n

2 n3n

n!

(2n  3)! (n  1)!

3n  1 n  1

x

y

10

cos xn – 11

xn – 1

xn – 1

tan xn  1

sec2 xn

x 2n  2 2xn

 xn 2

 1xn

f (xn)

f (xn) .

.

/

/

/

/

/

T

T

T

T

xn1  max {xn, cos (n  1)}.

21. an  22. an 

23. an  24. an 

25. Όρια και υποακολουθίες Δείξτε ότι αν δύο υποακολουθίες μιας ακολουθίας {an} έχουν διαφορετικά όρια L1  L2, τότε η {an} αποκλίνει.

26. Άρτιοι και περιττοί δείκτες Για μια ακολουθία {an}, οι όροι άρτιου δείκτη δηλώνονται ως a2k ενώ οι όροι περιττού δείκτη δηλώνονται ως a2k1 Δείξτε ότι αν a2k l L και a2k1 l L , τότε an l L .

Mέθοδος του Picard Xρησιμοποιήστε τη μέθοδο του Picard για να λύσετε τις εξισώσεις στις Aσκήσεις 27-32.

27. 28. x 2  x

29. cos x  x  0 30. cos x  x  1

31. x  sin x  0,1

32. (Yπόδειξη: Yψώστε στο τετράγω- νο.)

33. Λύνοντας την εξίσωση με τη μέθοδο του Picard βρίσκουμε τη λύση x  1 αλλά όχι τη λύση x  0. Για- τί; (Yπόδειξη: Σχεδιάστε σε κοινό σχήμα τις y  x και y  .)

34. Λύνοντας την εξίσωση x 2  x με τη μέθοδο του Picard για x0   1 βρίσκουμε τη λύση x  0 αλλά όχι τη λύση x  1. Γιατί; (Yπόδειξη: Σχεδιάστε σε κοινό σχήμα τις y  x 2 και y  x.)

Σύγκλιση αναδρομικά οριζόμενων ακολουθιών Xρησιμοποιήστε κάποιο σύστημα υπολογιστικής άλγε- βρας για να εκτελέσετε τα παρακάτω βήματα για τις ακο- λουθίες των Aσκήσεων 35 και 36.

(α) Yπολογίστε και κατόπιν τοποθετήστε σε διάγραμ- μα τους πρώτους 25 όρους της ακολουθίας. Δείχνει η ακολουθία να είναι άνω ή κάτω φραγμένη; Δεί- χνει να συγκλίνει ή να αποκλίνει; Aν συγκλίνει, τότε ποιο είναι το όριό της L ;

(β) Aν η ακολουθία συγκλίνει, να βρεθεί ακέραιος N τέτοιος ωστε an  L   0,01 για n  N . Tο ίδιο ερώτημα για an  L   0,0001.

35. a1  1, an1  an 

36. a1  1, an1  an  (2) n

37. Aνατοκισμός, καταθέσεις, και αναλήψεις Aν επενδύσετε ένα ποσό A0 με σταθερό ετήσιο επιτόκιο r και ανατοκισμό m φορές το έτος, και αν ταυτόχρονα με κάθε ανατοκι- σμό κάνετε κατάθεση ενός σταθερού ποσού b (ή ανά- ληψη, αν b  0), τότε το ποσό στον λογαριασμό σας με- τά από n  1 ανατοκισμούς θα ισούται με

An1  (2)

(α) A0  1000, r  0,02015, m  12, και b  50, υπο- λογίστε και τοποθετήστε σε διάγραμμα τα πρώτα 100 σημεία (n , An) . Πόσα χρήματα θα υπάρχουν στον λογαριασμό σας μετά από 5 χρόνια; Συγκλί- νει η ακολουθία {An}; Eίναι φραγμένη η {An};

(β) Eπαναλάβετε το ερώτημα (α) για A0  5000, r  0,0589, m  12, και b  50.

(γ) Aν επενδύσετε €5000 σε κλειστό λογαριασμό με ετήσιο επιτόκιο 4,5%, ανατοκιζόμενο ανά τρίμηνο, και δεν κάνετε περαιτέρω καταθέσεις, τότε σε πε- ρίπου πόσα χρόνια θα υπάρχουν στον λογαριασμό σας €20.000; Tο ίδιο ερώτημα για ετήσιο επιτόκιο 6,25%.

(δ) Mπορεί να δειχθεί ότι για κάθε k  0, η ακολουθία που ορίζεται αναδρομικά από την Eξίσωση (2) ικα- νοποιεί τη σχέση

Ak  (3)

Για τις τιμές των σταθερών A0, r m και b που δίνονται στο ερώτημα (α), επαληθεύστε την παραπάνω πρότα- ση συγκρίνοντας τις τιμές των πρώτων 50 όρων των δύο ακολουθιών. Kατόπιν δείξτε με απευθείας αντικα- τάσταση ότι οι όροι της Eξίσωσης (3) ικανοποιούν τον αναδρομικό τύπο (2).

38. Λογιστική εξίσωση διαφορών και διακλάδωση H αναδρομική σχέση

an1  ran(1  an)

καλείται λογιστική εξίσωση διαφορών και, για δοσμέ- νη αρχική τιμή a0, ορίζει τη λεγόμενη λογιστική ακο- λουθία {an}. Σε όλη την άσκηση, επιλέγουμε κάποιο a0 στο διάστημα 0  a0  1, π.χ. a0  0,3.

(α) Έστω r  3 4. Yπολογίστε και τοποθετήστε σε διάγραμμα τα σημεία (n , an) για τους πρώτους 100 όρους της ακολουθίας. Δείχνει να συγκλίνει η ακολουθία; Ποιο νομίζετε ότι είναι το όριό της; Δείχνει να εξαρτάται το όριο αυτό από την τιμή του a0 που επιλέχθηκε;

(β) Eπιλέξτε μερικές τιμές του r στο διάστημα 1 r 3 και επαναλάβετε τη διαδικασία του ερωτήματος (α). Φροντίστε να επιλέξετε και τιμές κοντά στα άκρα του διαστήματος. Περιγράψτε τη συμπεριφο- ρά των ακολουθιών στα διαγράμματα που κάνατε.

(γ) Eξετάστε τη συμπεριφορά της ακολουθίας για τι- μές του r κοντά στα άκρα του διαστήματος 3  r  3,45. H τιμή μετάβασης r  3 καλείται τι- μή διακλάδωσης. Περιγράφουμε τη νέα συμπερι- φορά της ακολουθίας στο διάστημα αυτό λέγοντας ότι υπάρχει ένας ελκτικός κύκλος περιόδου 2. Eξη- γήστε γιατί ο όρος αυτός αποδίδει σχετικά ικανο- ποιητικά τη συμπεριφορά της ακολουθίας.

(δ) Στη συνέχεια διερευνήστε τη συμπεριφορά για τι- μές r κοντά στα άκρα καθενός από τα υποδιαστή- ματα 3,45  r  3,54 και 3,54  r  3,55. Tοποθε- τήστε σε διάγραμμα τους πρώτους 200 όρους των ακολουθιών. Περιγράψτε με δικά σας λόγια τη συ- μπεριφορά κάθε διαγράμματος που κάνατε. Mετα- ξύ πόσων τιμών δείχνει να ταλαντεύεται η ακολου- θία σε κάθε διάστημα; Oι τιμές r  3,45 και r 

/

, ,

1  rm k

A0  mbr   mbr .

1  rm An  b .

1 5n

x

x  x

x  4  1  x

x  x

.

4n1  3n

4n 1  4n

2 n

1  2n n

n  1 n

606 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

YΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΕΙΣ

8.3 Σειρές και μερικά αθροίσματα • Γεωμετρικές σειρές • Aποκλίνουσες σειρές • Kριτήριο n-οστού όρου για απόκλιση • Πρόσθεση ή αφαίρεση όρων • Aλλαγή δείκτη • Συνδυασμός σειρών

Tόσο στα μαθηματικά όσο και στις φυσικές επιστήμες, πολλές συναρ- τήσεις γράφονται υπό μορφή πολυωνύμων με άπειρους όρους, π.χ.

 1  x  x 2  x 3  …  xn  …, x   1

(παρακάτω θα δούμε σε τι μας εξυπηρετεί η γραφή αυτή). Για τυχούσα επιτρεπόμενη τιμή του x , ένα τέτοιο πολυώνυμο υπολογίζεται ως ένα άπειρο άθροισμα σταθερών όρων, το οποίο καλούμε άπειρη σειρά (ή απλώς σειρά). H παρούσα ενότητα αποσκοπεί στο να εξοικειώσει τον αναγνώστη με την έννοια αυτή.

Σειρές και μερικά αθροίσματα Tο πρώτο πράγμα που πρέπει να γίνει σαφές είναι ότι μια άπειρη σει- ρά δεν αποτελεί απλώς ένα ακόμη παράδειγμα πρόσθεσης. H πρόσθε- ση πραγματικών αριθμών είναι μια δυαδική πράξη, που σημαίνει ότι κά- θε φορά προσθέτουμε αριθμούς ανά δύο. O λόγος που η γραφή 1  2  3 έχει νόημα να καλείται «πρόσθεση» είναι ότι μπορούμε να ομαδο- ποιούμε τους αριθμούς και κατόπιν να τους προσθέτουμε ανά δύο. H προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης σημαίνει ότι ανεξαρτήτως της ομαδοποίησης που χρησιμοποιούμε, το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο:

1  (2  3)  1  5  6 και (1  2)  3  3  3  6.

Mε δυο λόγια, ένα πεπερασμένο άθροισμα πραγματικών αριθμών δίνει πάντοτε πραγματικό αριθμό, ως αποτέλεσμα πεπερασμένου πλήθους δυαδικών προσθέσεων. Όμως ένα άπειρο άθροισμα πραγματικών αριθ- μών είναι κάτι το τελείως διαφορετικό. Γι’ αυτό τον λόγο χρειαζόμα- στε έναν προσεκτικό ορισμό της άπειρης σειράς.

Aς δοκιμάσουμε να προσδώσουμε νόημα σε μια έκφραση της μορ- φής

1 1  x

6078.3. Άπειρες σειρές

3,54 (εδώ τις στρογγυλοποιήσαμε σε 2 δεκαδικά ψηφία) καλούνται επίσης τιμές διακλαδώσεως, διότι η συμπεριφορά της ακολουθίας μεταβάλλε- ται καθώς το r «διαβαίνει» από τις τιμές αυτές.

(ε) H κατάσταση μπορεί να γίνει ακόμη πιο ενδιαφέ- ρουσα. Yπάρχει μια αύξουσα ακολουθία τιμών δια- κλαδώσεως 3  3,45  3,54  . . .  cn  cn1 . . . τέτοια ώστε για cn  r  cn1, η λογιστική εξίσω- ση {an} ταλαντεύεται τελικά ευσταθώς μεταξύ 2

n

τιμών, οπότε κάνουμε λόγο για ελκτικό κύκλο πε- ριόδου 2n. Eπιπλέον, η ακολουθία τιμών διακλάδω- σης {cn} είναι άνω φραγμένη από τον αριθμό 3,57 (άρα συγκλίνει). Aν επιλέξετε την τιμή r  3,57, θα παρατηρήσετε έναν ελκτικό κύκλο περιόδου 2n. Eπιλέξτε r  3,5695 και τοποθετήστε σε διάγραμ- μα 300 σημεία.

(στ) Aς δούμε τι συμβαίνει για r  3,57. Aφού θέσετε

r  3,65 και υπολογίσετε τους πρώτους 300 όρους της {an}, τοποθετήστε τους σε διάγραμμα . Παρα- τηρήστε πώς τα σημεία «περιφέρονται» με μη προ- βλέψιμο, χαοτικό τρόπο. Eίναι αδύνατον να προ- βλέψετε την τιμή του an1 από την τιμή του an.

(ζ) Για r  3,65, επιλέξτε δύο αρχικές τιμές του a0 που γειτνιάζουν μεταξύ τους, έστω τις a0  0,3 και a0  0,301. Yπολογίστε και τοποθετήστε σε διάγραμμα τους πρώτους 300 όρους των ακολουθιών για κάθε αρχική τιμή. Συγκρίνετε τις συμπεριφορές των δύο ακολουθιών. Mετά από πόσους όρους δείχνουν να διαφέρουν αισθητά οι αντίστοιχοι όροι των δύο ακολουθιών; Eπαναλάβετε τη διερεύνηση για r  3,75. Mπορείτε να δείτε πώς διαφέρει η συμπερι- φορά κάθε διαγράμματος αναλόγως της τιμής του a0; Λέμε ότι η λογιστική ακολουθία είναι υπερευ- αίσθητη στην αρχική συνθήκη a0.

Άπειρες σειρές

1   ….

Προφανώς κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει αν προσπαθήσουμε να προ- σθέσουμε όλους τους όρους (πράγμα αδύνατο). Mπορούμε όμως να αρ- χίσουμε να προσθέτουμε έναν έναν τους όρους από την αρχή, ερευνώ- ντας για κάποια χαρακτηριστική συμπεριφορά και εξετάζοντας πώς αυτά τα «μερικά αθροίσματα» εξελίσσονται.

Πράγματι, υπάρχει μια τέτοια χαρακτηριστική συμπεριφορά. Tα μερι- κά αθροίσματα σχηματίζουν μια ακολουθία με n-οστό όρο

sn  2  .

(Θα δούμε σε λίγο γιατί.) H ακολουθία συγκλίνει στο 2 διότι limnl (1 2n)  0. Λέμε λοιπόν,

«Tο άθροισμα της άπειρης σειράς 1 

Tι σημαίνει αυτό; Mήπως ότι το άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων της σειράς ισούται με 2; Όχι. Mήπως ότι μπορούμε να εκτελέ- σουμε την άθροιση άπειρων όρων ανά δύο, προκειμένου να αποφαν- θούμε για το αποτέλεσμα; Kαι πάλι όχι. Aυτό που σημαίνει η παραπά- νω πρόταση είναι ότι μπορούμε να ορίσουμε το παραπάνω άθροισμα ως το όριο καθώς n l  μιας ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Tο όριο αυτό ισούται εδώ με 2 (Σχήμα 8.9). Tα όσα έχουμε μάθει περί ορίων και ακολουθιών μάς επιτρέπουν να υπερβούμε τους εννοιολογικούς φραγ- μούς των πεπερασμένων αθροισμάτων και να ορίσουμε την εντελώς καινούργια έννοια της άπειρης σειράς.

1 2

 1 4

… 1 2n1

…  2.

/

1 2 n1

1 2

 1 4

 1 8

 1 16

608 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Mερικό άθροισμα Tιμή

Πρώτο: s1  1 2  1

Δεύτερο:

Tρίτο:

        

n-οστό 2  1 2n1

sn  1  1 2

 1 4

 …  1 2n1

2  1 4

s3  1  1 2

 1 4

2  1 2

s2  1  1 2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0

1

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎨⎩ 1 21/2 1/8

1/4

Oρισμός Άπειρη σειρά Δοθείσας μιας ακολουθίας αριθμών {an}, κάθε έκφραση της μορφής

a1  a2  a3  …  an  …

είναι μια άπειρη σειρά. O αριθμός an είναι ο n-οστός όρος της σειράς.

ΣXHMA 8.9 Kαθώς τα μήκη 1, 1/2, 1/4, 1/8, . . . προστίθενται ένα ένα, το άθροισμα τείνει στο 2.

Bιογραφικά στοιχεία

Blaise Pascal (1623-1662)

CD-ROM Δικτυότοπος

μερικά αθροίσματα της σειράς σχηματίζουν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών

καθένας εκ των οποίων είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα. Aν η ακο- λουθία μερικών αθροισμάτων έχει όριο S καθώς n l , λέμε ότι η σει- ρά συγκλίνει στο άθροισμα S , και γράφουμε

a1  a2  a3  …  an  …  ak  S .

Στην αντίθετη περίπτωση, λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Παράδειγμα 1 Προσδιορισμός σύγκλισης σειράς

Συγκλίνει η σειρά

;

Λύση H ακολουθία των μερικών αθροισμάτων, γραμμένη σε δεκα- δική μορφή, είναι

0,3, 0,33, 0,333, 0,3333, . . .

H ακολουθία αυτή έχει όριο 0, , το οποίο όπως αντιλαμβάνεστε ισούται με το κλάσμα 1 3. H σειρά συγκλίνει λοιπόν στο όριο 1 3.

Όταν μας δίνεται μια σειρά a1  a2  …  an  … , συνήθως δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων αν αυτή συγκλίνει ή αποκλίνει. Σε κάθε περίπτωση, ο συμβολισμός «σίγμα» μάς επιτρέπει να γράφουμε τη σει- ρά στη μορφή

Γεωμετρικές σειρές H σειρά του Παραδείγματος 1 είναι μια γεωμετρική σειρά διότι κάθε όρος της προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον προηγούμενο με κάποια σταθερά r , που εδώ ισούται με 1 10. (H σειρά των εμβαδών του επ’ άπει- ρον διχοτομούμενου τετραγώνου που είδαμε στην αρχή του κεφαλαίου αποτελεί επίσης γεωμετρική σειρά.) Tο ζήτημα της σύγκλισης γεωμε- τρικών σειρών ήταν από τα λίγα προβλήματα που αν και αφορούσαν άπειρες διαδικασίες μπορούσαν να αντιμετωπισθούν με μαθηματικές με- θόδους προϋπάρχουσες του απειροστικού λογισμού. Aς δούμε γιατί.

Γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά της μορφής

a  ar  ar 2  …  arn1  …  arn1

όπου a και r είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και a  0. O λόγος r μπορεί να είναι θετικός, π.χ.



n1

/



n1 an ,



k1 ak , !  an .

/ / 3

3 10

 3 100

 3 1000

 …  3 10 n

 …



k1

  

sn  n

k1 ak

  

s3  a1  a 2  a 3

s2  a1  a 2

s1  a1

6098.3. Άπειρες σειρές

Xρήσιμη συντομογραφίαØ εννοείται ότι αθροίζουμε από 1 έως 

CD-ROM Δικτυότοπος

1 

ή αρνητικός, όπως εδώ

1 

Aν r   1, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη σύγκλιση ή την από- κλιση της σειράς ως ακολούθως, ξεκινώντας με το n-οστό μερικό άθροισμα:

Aν r   1, τότε rn l 0 καθώς n l  (Πίνακας 8.1, Tύπος 4) και sn l a (1  r). Aν r   1, τότε rn  l  και η σειρά αποκλίνει.

r  1, τότε το n-οστό μερικό άθροισμα της γεωμετρικής σειράς ισούται με

sn  a  a(1)  a(1) 2  …  a(1)n1  na ,

και η σειρά αποκλίνει εφόσον limnl sn  , αναλόγως του προσή- μου του a . Aν r  1, η σειρά αποκλίνει επειδή τα n-οστά μερικά αθροίσματα ταλαντώνονται μεταξύ του a και του 0. Aς συνοψίσουμε τα αποτελέσματά μας.

Tα παραπάνω ξεκαθαρίζουν τα πάντα περί γεωμετρικών σειρών. Tώρα γνωρίζουμε πότε μια τέτοια σειρά συγκλίνει και πότε αποκλίνει, στη δε περίπτωση σύγκλισης, ξέρουμε την τιμή των αθροισμάτων. Tο διάστημα 1  r  1 είναι το διάστημα σύγκλισης.

Παράδειγμα 2 Aνάλυση γεωμετρικής σειράς

Aποφανθείτε για το αν συγκλίνει ή αποκλίνει καθεμία από τις παρα- κάτω σειρές. Στην περίπτωση σύγκλισης, βρείτε την τιμή του αθροί- σματος.

(α)

(β) 1 

(γ)  

k1 35

k1



k0 35

k

1 2

 1 4

 1 8

 …   12 n1

 …



n1 3 12

n1

/

sn  a(1  r n)

1  r , (r  1).

sn(1  r)  a(1  r n)

sn  rsn  a  ar n

rsn  ar  ar 2  …  ar n1  ar n

sn  a  ar  ar 2  …  ar n1

1 3

 1 9

 …   13 n1

 … .

1 2

 1 4

 …  12 n1

 … ,

610 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Πολλαπλασιάζουμε το sn με το r .

Aφαιρούμε το rsn από το sn. Oι περισσότεροι όροι στο δεξιό μέλος διαγράφονται.

Kοινός παράγοντας.

Λύνουμε ως προς sn εφόσον r  1.

H γεωμετρική σειρά

a  ar  ar 2  ar3  …  arn1  …  arn1

συγκλίνει στο άθροισμα a (1  r) αν r   1 και αποκλίνει αν r   1. /



n1

H ισότητα

ισχύει μόνο αν η άθροιση ξεκινά από το n  1.



n1 arn1  a

1  r ,  r   1

(δ)

Λύση

(α) O πρώτος όρος είναι a  3 και r  1 2. H σειρά συγκλίνει στο

(β) O πρώτος όρος είναι a  1 και r  1 2. H σειρά συγκλίνει στο

(γ) O πρώτος όρος είναι a  (3 5)0  1 και r  3 5. H σειρά συγκλί- νει στο

(δ) Eδώ r  2  1. H σειρά αποκλίνει.

Παράδειγμα 3 Mπαλάκι που αναπηδά

Έστω ότι από ύψος a m πάνω από επίπεδη επιφάνεια αφήνουμε ένα μπαλάκι να πέσει. Kάθε φορά που το μπαλάκι προσκρούει στην επιφάνεια μετά από πτώση από κατακόρυφη απόσταση h , αναπηδά σε ύψος rh , όπου r θετική σταθερά μικρότερη του 1. Nα βρεθεί το συνολικό κατακόρυφο διάστημα (πάνω και κάτω) που διανύει το μπαλάκι (Σχήμα 8.10).

Λύση Tο συνολικό διάστημα είναι

s  a  2ar  2ar2  2ar3  •••

Για a  6 m και r  2 3, για παράδειγμα, το διάστημα ισούται με

s  6  30 m.

Παράδειγμα 4 Eπαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία

Eκφράστε τον δεκαδικό αριθμό 5,23 23 23 . . . ως λόγο δύο ακεραίων.

Λύση

Mπορεί να έχουμε μόλις αρχίσει τη μελέτη των άπειρων σειρών, αλλά ήδη κατανοήσαμε πλήρως τα περί σύγκλισης και απόκλισης μιας ολόκληρης κλάσης σειρών (των γεωμετρικών). Bρισκόμαστε τώρα στο

 5  23 100

 10,99  5  2399  51899

 5  23 100

1  1100   1100 2

 …  1 / (1  0,01)

5,23 23 23 . . .  5  23 100

 23 (100)2

 23 (100)3

 …

1  (2 / 3) 1  (2 / 3)

 6 5 / 31 / 3 /

 a  2ar 1  r

 a 1  r 1  r

.

/

1 1  (3 / 5)

 5 2

.

/ /

1 1  (1 / 2)

 2 3

.

/

3 1  (1 / 2)

 6.

/

p 2

 p 2

4  p

3

8  …

6118.3. Άπειρες σειρές

ΣXHMA 8.10 (α) Tο Παράδειγμα 3 δείχνει πώς μπορούμε με τη χρήση γεωμετρικών σειρών να υπολογίσουμε τη συνολική κατακόρυφη απόσταση που διανύει ένα μπαλάκι που αναπηδά, αν το ύψος κάθε αναπήδησης μειώνεται κατά έναν παράγοντα r . (β) Στροβοσκοπική φωτογραφία των αναπηδήσεων που κάνει το μπαλάκι.

ar

ar2

ar3

()

a

(β)

CD-ROM Δικτυότοπος

a  1, r  1/100

Tο άθροισμα αυτό ισούται με 2ar/(1 – r)

comments (0)
no comments were posted
be the one to write the first!
This is only a preview
3 shown on 109 pages
Download the document