Chuyên đề trắc nghiệm công thức lũy thừa, Exams of Mathematics

Download Chuyên đề trắc nghiệm công thức lũy thừa and more Exams Mathematics in PDF only on Docsity! CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ nguyên dương. Cho a∈ và *n∈ . Khi đó . . ....na a a a a= (n thừa số a). Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho { }\ 0a∈ và *n∈ . Ta có: 01 ; 1n na a a − = = . Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chú ý: 00 và ( )*0 n n− ∈ không có nghĩa. 2. Căn bậc n Cho số thực b và số nguyên dương 2n ≥ . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu na b= . Khi n lẻ, b∈ : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b . Khi n chẵn và 0b < thì không tồn tại căn bậc n của số b. Khi n chẵn và 0b = thì có duy nhất một căn bậc n của số b là 0 0n = . Khi n chẵn và 0b > có 2 căn bậc n của số thực b là n b và n b− . 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Cho số thực 0a > và số hữu tỷ mr n = , trong đó ; , 2m n n∈ ∈ ≥  . Khi đó m nr mna a a= = . 4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ Giả sử a là một số dương và α là một số vô tỷ và ( )nr là một dãy số hữu tỷ sao cho lim nn r α →+∞ = . Khi đó lim nr n a aα →+∞ = . II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho hai số dương a; b và ; m n∈ . Khi đó ta có các công thức sau. Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2 1. .m n m na a a += 2. 10 m m n n n n a a m a a a − − = = ⇔ =    3. ( ) .nm m na a= 1. ( ) m mn m nna a a= = 2. ( ). , .nn n n n na b ab a b ab= = 3. , nn n n n n a a a a b b bb  = =     Tính chất 1: ( )0 1 0a a= ≠ và 1a a= .  Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 1; 0 1: m n m n a a a m n a a a m n  > > ⇔ >  < < > ⇔ < .  Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với 0a b> > thì 0 0 m m m a b m a b m  > ⇔ >  < ⇔ < . Ví dụ 1: Cho biểu thức 3 2 3. .P x x x= , với 0x > . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 13 12P x= . B. 13 24P x= . C. 13 6P x= . D. 13 8P x= . Lời giải Ta có: 7 133 7 13 3 33 2 3 2 6 62 2 12. . . . . .P x x x x x x x x x x x x= = = = = = . Chọn A. Ví dụ 2: Biết rằng 23. . nx x x x= với 0x > . Tìm n. A. 2n = . B. 2 3 n = . C. 4 3 n = . D. 3n = . Lời giải Ta có: 5 1 5 41 1 1 5 1 3 32 23 6 2 6 32 2 2 2 2. . . . . .x x x x x x x x x x x x + = = = = = . Chọn C. Ví dụ 3: Cho biểu thức 3 2 3. .kP x x x= , với 0x > . Biết rằng 23 24P x= , giá trị của k bằng: A. 6k = . B. 2k = . C. 3k = . D. 4k = . Lời giải Ta có: 23 23 11 3 3 32 3 2 3 2 324 12 12. . . . .k k kP x x x x x x x x x x x= = ⇒ = ⇔ = 311 11 322 3 34 4 4. 4k k kx x x x x x x k − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . Chọn D. Ví dụ 4: Cho biểu thức ( )1 3 2 3 1 3 1 3 .a a P a + + − + = , với 0a > . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 3P a= . B. 1P a = . C. P a= . D. 3 1P a = . Lời giải Ta có: ( ) ( )( ) 1 3 2 3 1 3 1 3 1 32 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 . .a .a 1a a a a aP aa a a a + + − − ++ + − + + + + = = = = = . Chọn B. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2019 2018 2018 3 2 4 2 3 2 2 3 2 2 . 2 . 3 2 2M− = − ⇒ = + − . Lại có: ( )( ) ( )2 23 2 2 3 2 2 3 2 2 9 8 1+ − = − = − = nên ( ) ( )2018 2018 3 2 2 . 3 2 2 1+ − = . Do đó: ( ) 10093 2 2 .2M = − . Chọn C. Ví dụ 14: Cho 2 5x = . Giá trị của biểu thức 1 24 2x xT + −= + bằng: A. 504 5 . B. 104 5 . C. 104 25 . D. 504 25 . Lời giải Ta có: ( ) 2 21 2 22 4 4 5044 2 4 .4 2 .4 4.5 2 2 5 5 x x x x x xT + −= + = + = + = + = . Chọn A. Ví dụ 15: Cho 4 4 34x x−+ = . Tính giá trị của biểu thức 1 1 2 2 3 1 2 2 x x x xT − + − + − = − − . A. 3 4 T = . B. 3 11 T = . C. 3 11 T − = . D. 3 13 T = . Lời giải Ta có: ( )22 24 4 34 2 2 2 36 2 2 36 2 2 6x x x x x x x x− − − −+ = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + = (Do 2 2 0x x−+ > ). Khi đó: ( ) 6 3 3 3 1 2.6 111 2 2 2x x T − − − = = = −− + . Chọn C. Ví dụ 16: Cho hàm số ( ) 9 9 3 x xf x = + , với ,a b∈ và 1a b+ = . Tính ( ) ( )T f a f b= + . A. 0T = . B. 1T = . C. 1T = − . D. 2T = . Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 9 9 9 9 91 99 3 9 3 9 3 3 9 a a a a a a a a T f a f b f a f a − −= + = + − = + = + + + + + 9 9 9 3 1 9 3 9 3.9 9 3 9 3 a a a a a a+ = + = + + + + . Chọn B. Tổng quát: Cho hàm số ( ) x x af x a a = + ta có ( ) ( )1 1f x f x+ − = . Ví dụ 17: Cho hàm số ( ) 4 4 2 x xf x = + . Tính tổng 1 2 2004 2005... 2005 2005 2005 2005 S f f f f       = + + + +                . A. 1002S = . B. 3008 3 S = . C. 1003S = . D. 2005 2 S = . Lời giải Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số ( ) x x af x a a = + ta có ( ) ( )1 1f x f x+ − = . Khi đó ( )1 2004 2 2003 1002 1003... 1 2005 2005 2005 2005 2005 2005 S f f f f f f f                = + + + + + + +                                 ( ) 4 30081 1 ... 1 1 1002 6 3 f= + + + + = + = . Chọn B. Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 x x x xQ x x x x x  + + − + − − = +  + − − + + −  với 1x > ta được A. 1Q = . B. 2Q x= . C. 2Q = . D. 2Q = − . Lời giải Ta có: ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 2 1 4x x x x x x x x x+ + − + + − − = + − + − − = . Và ( ) ( )1 1 . 1 1 1 1 1 2x x x x x x+ − − + + − = + − + = . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 11 1 4. . 2 21 1 . 1 1 1 x x x x xQ x xx x x x + + − + + − − = = = + − − + + − .Chọn C. Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức 4 4 4 4 4 a b a abT a b a b − + = − − + ta được A. 4T a= . B. 4T b= . C. 4 4T a b= + . D. 4T b= − Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 a b a a b T a b a b a b a b − + = − = + − = − + . Chọn B. Ví dụ 20: Cho a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng ( ) 2 24 3 10 31 625 125 a ab a ab + −  =    . Tính tỉ số a b . A. 76 21 . B. 2. C. 4 21 . D. 76 3 . Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 3 104 4 43 10 4 3 4 3 1033 3 3 1 625 5 5 5 5 125 a aba ab a ab a ab a ab a ab −+ − + − + −−    = ⇔ = ⇔ =       ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 243 4 3 10 4 3 10 9 4 0 3 a ab a ab a ab a ab⇔ − + = − ⇔ − + + = , 02 421 4 21 4 21 a b aa ab a b b ≠⇔ = → = ⇒ = . Chọn C. Ví dụ 21: Cho ( ) 1 1 6 3 3 3 9 9 14, 2 3 3 x x x x x x a b − − + − + + + = = − − ( a b là phân số tối giản). Tính P ab= . A. 10P = . B. 10P = − . C. 45P = − . D. 45P = . Lời giải Ta có: ( )2 9 9 3 3 2 14 3 3 4x x x x x x− − −+ = + − = ⇒ + = . Suy ra ( ) ( ) ( )1 1 6 3 3 3 6 3 3 3 6 3.4 9 45 2 3 3 2 3.4 52 3 3 3 x x x x x x x x P ab − − + − − + + + + + = = = − ⇒ = = − − − −− + . Chọn C. Câu 21: Cho hàm số ( ) 2 2 2 x xf x = + . Tổng ( ) 1 18 190 ... 10 10 10 f f f f     + + + +            bằng A. 59 6 . B. 10. C. 19 2 . D. 28 3 . Câu 22: Giá trị của biểu thức ( ) ( )2018 2018 3 33 8 13 3 8P = − + A. ( )1009 33 8− . B. 201819 . C. ( )1009 313 3 8− . D. ( )2018 316 2 8+ . Câu 23: Viết biểu thức ( )3 55 2 3. . 0P x x x x= > dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A. 61 30P x= . B. 117 30P x= . C. 113 30P x= . D. 83 30P x= . LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 1 1 1 4 22 2 3 3 3 3.a a a a a a     = = =        . Chọn C. Câu 2: 1 1 4 10 52 2 2 3 3 3.Q a a a a     = = =        . Chọn A. Câu 3: 7 1712 12 2 2 7 2 aP a a a − = = = . Chọn B. Câu 4: 1 4 5 11 56 3 4 4 4 3 3 2 2 . .x x x xP x x x = = = . Chọn A. Câu 5: 3 3 7 2 4 4.x x x x x x x x x x x= = 7 15 15 31 31 31 8 8 16 16 32 32. .x x x x x x x x x P x= = = = = ⇒ = . Chọn B. Câu 6: ( )2 2 216 8a ba bx x x a b−−= = ⇒ − = . Chọn C. Câu 7: 1 1 1 32 71 3 3 7 73 3 3 62 2 4 4 127 7. ; . 6 12 x ya a a a x b b b b b b b b        = = ⇒ = = = = = ⇒ =          . Chọn C. Câu 8: ( )( ) ( )2016 2016 10081 3 3 3 2 3 12P  = + − = =  . Chọn A. Câu 9: 2 2 71 3 3 62.a a a a a= = . Chọn B. Câu 10: 1 5 51 3 6 32 . .Q x x x x= = . Chọn B. Câu 11: ( ) 1 1 11 5 3 11 113 5 5454 8 8 402 .P a a a a a a a a a        = = = = =          . Chọn C. Câu 12: 1 1 1 2 11 11 11 7 113 3 7 232 2 6 6 6 8 62 4 4 24: . : : :A a a a a a a a a a a a −       = = = = =          . Chọn D. Câu 13: Ta có 1 1 2 53 2 15 15 3 3 2 2. 15 ma b a b b m b a b a a       = = = ⇒ = −             . Chọn D. Câu 14: Ta có 45 2 32 5 5 6 . .a a aP a a = = . Chọn B. Câu 15: 7 1 2 2 6 6 3 6: : aT a a b b b −   = =      . Chọn D. Câu 16: 3 5 2 aP a a−= = . Chọn A. Câu 17: ( ) ( ) 24 103 24 71 1 6 65 55 10 5 102 2103 7. . ; : . 60 60 m nx x x x x m y y y y y n −  = = ⇒ = = = ⇒ = −    . Chọn A. Câu 18: ( )2 25 335 5 2 x xA = + = . Chọn C. Câu 19: ( )2 6 3.4 93 3 14 2 16 3 3 4 2 3.4 5 x x x x a b − − + + = + = ⇒ + = ⇒ = = − − . Chọn C. Câu 20: Ta có: 3 2 2 2 2 12 2 2 a b a b  = = ⇔  =  =  . Chọn B. Câu 21: Với ( ) ( ) 2 2 2.2 2.2 2.22 1 2 2 2 2 2 2.2 2.2 4 a b a b a b a b a b a ba b f a f b + + + + + = + = + = = + + + + + . Lưu ý: ( ) ( )1 19 592... 0 1 9.1 10 10 6 P f f+ = ⇒ = + + = . Chọn A. Câu 22: ( ) ( )2018 2018 20183 2 13 6 19P = − + = . Chọn B. Câu 23: 2 3 1135 3 5 302 . .P x x x x= = . Chọn C.