Chuyên đề trắc nghiệm công thức từng phần tính tích phân, Exercises of Mathematics

Download Chuyên đề trắc nghiệm công thức từng phần tính tích phân and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity! CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức tích phân từng phần: Nếu ( )u u x= và ( )v v x= là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ];a b thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a u x v x dx u x v x u x v x dx′ ′= −  ∫ ∫ Hay b b b a a a udv uv vdu= −∫ ∫ II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 1: Cho tích phân 2 0 cosI x xdx π = ∫ và 2; cosu x dv xdx= = . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 0 0 sin sinI x x x xdx π π = − ∫ . B. 2 0 0 sin sinI x x x xdx π π = + ∫ . C. 2 0 0 sin 2 sinI x x x xdx π π = + ∫ . D. 2 0 0 sin 2 sinI x x x xdx π π = − ∫ . Lời giải Ta có 2 2 0 0 2 sin 2 sin sincos du xdxu x I x x x xdx v xdv xdx π π= =  ⇒ ⇒ = −  ==  ∫ . Chọn D. Ví dụ 2: Cho tích phân ( ) 2 2 0 2 1 xx e dx ae be c+ = + +∫ ( ), ,a b c∈ . Tính 2 2 2S a b c= + + A. 13S = . B. 10S = . C. 5S = . D. 8S = . Lời giải Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1x x x x x x u x du dx x e dx x e e dx x e e du e dx v e = + =  ⇒ ⇒ + = + − = − = +  = =  ∫ ∫ Suy ra 2 2 23; 0; 1 10a b c S a b c= = = ⇒ = + + = . Chọn B. Ví dụ 3: Cho tích phân ( ) 2 2 2 0 1 sinI x xdx a b c π = + = π + π+∫ với , ,a b c∈ . Tính 2 2 2T a b c= + + A. 9T = . B. 12T = . C. 2T = . D. 10T = . Lời giải Đặt 2 21 cossin du xdxu x v xdv xdx = = +  ⇔  = −=  Khi đó ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 2 cos 1 2 cosI x x x xdx x xdx π π π = − + + − +∫ ∫ Xét tích phân 2 0 cosJ x xdx π = ∫ , ta đặt cos sin u x du dx dv xdx v x = =  ⇔ = =  Khi đó 2 2 2 0 00 sin sin cos 1 2 2 J x x xdx x π π π π π = − = + = −∫ Vậy 0 1 1 2 1 a I b T c = = π− ⇒ = ⇒ =  = − . Chọn C. Ví dụ 4: Cho tích phân ( ) 3 2 2 3 1 ln ln 3 ln 2I x xdx a b c= + = + +∫ với , ,a b c∈ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. 3a b= . B. 3a b= − . C. 40a b+ = . D. 20a b− = . Lời giải Đặt ( ) ( ) ( ) 333 2 2 2 3 2 ln ln 1 3 1 dxu x du I x x x xx dv x dx v x x = = ⇔ ⇒ = + − + = +  = + ∫ 33 2 2230ln 3 10ln 2 30ln 3 10ln 2 30; 10; 3 3 3 x x a b c b   = − − + = − − ⇒ = = − = −    . Chọn B. Ví dụ 5: Cho ( )4 1 ln 1 .ln 3 .ln 2 x I dx a b c x + = = + +∫ , với , ,a b c∈ , tổng a b c+ + bằng A. 8. B. 4. C. 12. D. 0. Lời giải Đặt ( ) ( ) ( ) ln 1 2 1 2 1 dxu x du x x dxv v xx  = + =  +⇔  =  = +  , khi đó ( ) ( ) 44 1 1 2 1 ln 1 dxI x x x = + + − ∫ ( ) ( ) 4 4 11 6 2 1 ln 1 2 6.ln 3 4.ln 2 2 .ln 3 .ln 2 4 2 a x x x a b c b c = = + + − = − − = + + ⇒ = −  = − Vậy tổng 6 4 2 0a b c+ + = − − = . Chọn D. ( ) ( ) ( ) ( ) 11 13 3 3 3 2 3 0 0 0 3 3x x x xI e f x e f x dx e f x x x e ⇒ = − = − + ∫ Trong đó ( ) ( ) ( ) 3 2 13 2 3 2 0 4 2 2 2x x x F x x x xf x I e x x x e e e ′ + + = = ⇒ = − + + = . Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số ( )f x liên tục và luôn dương trên  . Biết rằng ( ) ( ) 1 0 1 2, ln 2xdxf f x = =∫ . Tính tích phân ( ) ( ) 21 2 0 .x f x I dx f x ′ = ∫ A. 2 ln 2I = + . B. 1 ln 2 2 I = − + . C. 1 ln 2 2 I = − − . D. 2 ln 2I = − + . Lời giải Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 u x du xdx f x vdv dx f xf x  = =  ⇒′  = −=   ( ) ( ) ( ) 1 12 00 1 12 2ln 2 ln 2 1 2 x xI f x f x f − − ⇒ = + = + = − +∫ . Chọn B. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức tích phân Ví dụ 1: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn ( )1 6f = , ( ) 1 2 0 5 2 f x dx′ =  ∫ và ( ) 1 0 5. 2 x f x dx =∫ . Tích phân ( ) 1 0 f x dx∫ bằng A. 23 4 B. 5 4 C. 5 2 D. 19 4 Lời giải Đặt ( ) ( ) 2 2 du f x dxu f x xdv xdx v ′ = = ⇒  = =  , khi đó ( ) ( ) ( ) 11 12 2 0 00 . . . 2 2 x xx f x dx f x f x dx′= −∫ ∫ Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 12 2 0 0 15 . . 1 2 2 2 f x f x dx x f x dx′ ′= − ⇒ =∫ ∫ Ta chọn k sao cho: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 22 2 2 4 0 0 0 0 2 0f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx′ ′ ′ + = + + =   ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 12 322 2 0 55 2 0 5 5 0 5 2 3 k xk k f x x dx f x x f x C′ ′ = + + = ⇒ = − ⇒ − = ⇒ = ⇒ = + ∫ Do ( ) ( ) ( ) 13 0 13 5 13 191 6 3 3 3 4 xf C f x f x dx= ⇒ = ⇒ = + ⇒ =∫ . Chọn D. Ví dụ 2: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn ( )1 1f = , ( ) 1 2 0 9 5 f x dx′ =  ∫ và ( ) 1 0 1. 5 x f x dx =∫ . Tích phân ( ) 1 0 I f x dx= ∫ bằng A. 3 5 I = . B. 1 4 I = . C. 3 4 I = . D. 1 5 I = . Lời giải Đặt ( ) ( ) 2 2 du f x dxu f x xdv xdx v ′ = = ⇒  = =  Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 12 2 2 0 0 00 1 1 1 1. . . 2 2 2 2 5 xx f x dx f x x f x dx x f x dx′ ′= − = − =∫ ∫ ∫ Suy ra ( ) 1 1 2 4 0 0 3 1. ; 5 5 x f x dx x dx′ = =∫ ∫ Chọn k sao cho: ( ) 1 222 0 9 6 0 3 5 5 5 k kf x kx dx k′ + = + + = ⇒ = − ∫ Như vậy ( ) ( ) ( ) 1 22 2 3 0 3 0 3f x x dx f x x f x x C′ ′ − = ⇒ = ⇒ = + ∫ Do ( ) ( ) 1 1 3 0 0 11 1 0 4 f C I f x dx x dx= ⇒ = ⇒ = = =∫ ∫ . Chọn B. Ví dụ 3: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn ( ) 31 5 f = , ( ) 1 2 0 4 9 f x dx′ =  ∫ và ( ) 1 3 0 37 180 x f x dx =∫ . Tích phân ( ) 1 0 1I f x dx= −  ∫ bằng A. 1 15 . B. 1 15 − . C. 1 10 − . D. 1 10 . Lời giải Đặt ( ) ( ) 4 3 ' 4 du f x dxu f x xdv x dx v  = = ⇒  = =   Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 41 1 1 14 4 3 4 0 0 0 00 3 2. . 4 4 20 4 9 x f xx xx f x dx f x f x dx dx x f x dx ′ ′ ′= − = − ⇒ = −∫ ∫ ∫ ∫ Lại có: 1 8 0 1 9 x dx =∫ ta chọn k sao cho: ( ) 1 2 4 0 4 22 . 0 2 9 9 9 kf x kx dx k k−′ + = + + = ⇒ = ∫ Như vậy ( ) ( ) ( ) 1 5 4 4 0 22 0 2 5 xf x x dx f x x f x C−′ ′ + = ⇒ = − ⇒ = + ∫ Do ( ) ( ) ( ) 1 5 0 3 3 2 2 11 1 1 1 5 5 5 5 15 f C C f x x f x dx− − − = ⇒ = + ⇔ = ⇔ − = ⇒ − =  ∫ . Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [ ]0;3 thỏa mãn ( )3 1f = , ( ) 3 2 0 1 27 f x dx′ =  ∫ và ( ) 3 3 0 42 5 x f x dx =∫ . Tích phân ( ) 3 0 I f x dx= ∫ bằng A. 5 2 . B. 3 2 . C. 7 2 . D. 4 . Lời giải Đặt ( ) ( ) 4 3 ' 4 du f x dxu f x xdv x dx v  = = ⇒  = =   khi đó ( ) ( ) ( ) 31 34 4 3 0 00 . 4 4 x xx f x dx f x f x dx′= −∫ ∫ Suy ra ( ) ( ) ( ) 3 34 4 0 0 81 345 . 9 2 4 4 f x f x dx x f x dx′ ′= − ⇒ = −∫ ∫ Ta chọn k sao cho: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 24 4 2 8 0 0 0 0 2f x kx dx f x dx k f x x dx k x dx′ ′ ′ + = + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 35 2 4 0 1 1 1 6 72.9 2187 0 27 243 243 1215 5 2 xk k k f x x f x f x dx−′= − + = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = + ⇒ =∫ . Chọn C. Ví dụ 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số ( )f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn ( )1 0f = , ( ) 1 2 0 7f x dx′ =  ∫ và ( ) 1 2 0 1 3 x f x dx =∫ . Tích phân ( ) 1 0 f x dx∫ bằng A. 7 5 . B. 1. C. 7 4 . D. 4 . Lời giải Đặt ( ) ( ) 2 33 u f x du x dx dv x dx v x ′ =  = ⇒  = =   , khi đó ( ) ( ) ( ) 1 1 12 3 3 0 0 0 3 . .x f x dx x f x x f x dx′= −∫ ∫ Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 3 3 0 0 0 1 . . 1 14 . 7I f x f x dx x f x dx x f x dx′ ′ ′= − ⇒ = − ⇔ = −∫ ∫ ∫ . Mà 1 6 0 49 7x dx =∫ suy ra ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 22 3 6 3 0 0 0 0 7 49 0 7 0f x dx x f x dx x dx f x x dx′ ′ ′ + + = ⇔ + =    ∫ ∫ ∫ ∫ C. 2 2 0 0 sin 2 cos 2 4 4 x x xI π π = + D. 2 2 0 0 sin 2 cos 2 4 x x xI x π π = − Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 2 0 sin 2I x xdx π = ∫ A. 2 2 0 0 12 sin 2 2 4 xI cos x x π π = − B. 2 2 0 0 12 sin 2 2 4 xI cos x x π π = − + C. 2 2 0 0 12 sin 2 2 2 xI cos x x π π = − + D. 2 2 0 0 12 sin 2 2 4 xI cos x x π π = − − Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 4 2 0 x dx cos x π ∫ A. ( ) ( )4 4 0 0 tan ln cosI x x x π π = − + B. ( ) ( )4 4 0 0 tan ln cosI x x x π π = − C. ( ) ( )4 4 0 0 tan ln cosI x x x π π = + D. ( ) ( )4 4 0 0 tan ln cosI x x x π π = − − Câu 9: Cho tích phân 2 1 ln e I x xdx= ∫ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 2 1 1 1 ln ln 2 e e I x x x xdx= + ∫ B. 2 2 1 1 ln ln e e I x x x xdx= + ∫ C. 2 2 1 1 ln ln e e I x x x xdx= − ∫ D. 2 2 1 1 1 ln ln 2 e e x x x xdx− ∫ Câu 10: Cho tích phân ( ) 4 0 1 sin 2x xdx π −∫ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) 4 4 0 0 11 2 2 2 I x cos x cos xdx π π = − − + ∫ B. ( ) 4 0 1 2 2I x cos x cos xdx π = − − − ∫ C. ( ) 44 0 0 1 11 2 2 2 2 I x cos x cos xdx ππ = − + ∫ D. ( ) 44 0 0 1 11 2 2 2 2 I x cos x cos xdx ππ = − − ∫ Câu 11: Cho tích phân ( ) 2 0 2 sinx xdx π −∫ và đặt 2 , sinu x dv xdx= − = . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? A. ( ) 2 2 0 0 2I x cosx cosxdx π π = − − − ∫ B. ( ) 2 2 0 0 2I x cosx cosxdx π π = − − − ∫ C. ( ) 2 2 0 0 2I x cosx cosxdx π π = − + ∫ D. ( ) 2 2 0 0 2I x cosxdx π π = − + ∫ Câu 12: Biết rằng ( ) 1 0 ln 1 lnx dx a b+ = +∫ với ,a b là các số nguyên. Tính ( )3 ba + A. 25 B. 1 7 C. 16 D. 1 9 Câu 13: Biết ( ) 2 1 1 ln e a cx xdx e b d + = +∫ với a b và c d là hai phân số tối giản. Tính a c b d + A. 3 2 B. 5 4 C. 1 2 D. 5 2 Câu 14: Biết ( ) 2 2 0 3 1 x x e dx a be− = +∫ với ,a b là các số nguyên. Tính S a b= + A. 12S = B. 16S = C. 8S = D. 10S = Câu 15: Biết 2 3 1 x ln e a cxdx e b d = +∫ với a b và c d là hai phân số tối giản. Tính a c b d + A. 1 9 a c b d + = − B. 1 9 a c b d + = C. 1 3 a c b d + = − D. 1 3 a c b d + = − Câu 16: Biết ( ) 2 0 4 1 ln e x x dx ae b+ = +∫ với ,a b là các số nguyên. Tính ( )4M ab a b= + + A. 5M = − B. 2M = − C. 5M = D. 6M = − Câu 17: Biết 2 2 1 ln ln 2x bdx a x c = +∫ với a∈ và c d là hai phân số tối giản. Tính 2 3a b c+ + A. 4 B. 6− C. 6 D. 5 Câu 18: Biết 4 2 0 1 ln 4x dx cos x a b π π = +∫ với ,a b là các số thực khác 0 . Tính P a b= + A. 2P = B. 6P = C. 0P = D. 8P = Câu 19: Biết 1 2 2 0 3 x a cxe dx e b d = +∫ với a b và c d là hai phân số tối giản. Tính a c b d + A. 3 2 B. 3 4 C. 5 4 D. 7 2 Câu 20: Biết ( ) 1 2 0 x ln 1 ln 2ax dx c b + = − +∫ với , ,a b c∈ và a b là phân số tối giản A. 9 B. 6 C. 15 D. 12 Câu 21: Biết ( ) 1 0 ln 3 1 ln 2x dx a b+ = +∫ với ,a b∈ . Tính 3S a b= − A. 7S = B. 11S = C. 8S = D. 9S = Câu 22: Biết 3 2 0 ln 2x dx a cos x π = π−∫ với a∈ . Hỏi phần nguyên của 1a − là bao nhiêu? A. 1 B. 2− C. 0 D. 1− Câu 23: Biết 2 2 4 ln 2 sin x dx m n x π π = π+∫ với ,m n∈ . Tính 2P m n= + A. 1P = B. 0,75P = C. 0, 25P = D. 0P = Câu 24: Biết ( ) 2 1 ln 1 ln 3 ln 2x dx a b c+ = + +∫ với , ,a b c∈ . Tính S a b c= + + A. 1S = B. 0S = C. 2S = D. 2S = − Câu 25: Cho hàm số ( )y f x= thỏa mãn ( ) ( ) 1 0 1 10x f x dx′+ =∫ và ( ) ( )2 1 0 2f f− = . Tính ( ) 1 0 f x dx∫ A. 12I = − B. 8I = C. 1I = D. 8I = − Câu 26: Cho hàm số ( )y f x= thỏa mãn ( )1 1f = và ( ) 1 0 1 3 f t dt =∫ . Tính ( ) 2 0 sin 2 . sinx f x dx π ′∫ A. 4 3 I = B. 2 3 I = C. 1 3 I = D. 2 3 I − = Câu 27: Cho hàm số ( )f x có nguyên hàm là ( )F x trên đoạn [ ]1;2 , ( )2 1F = và ( ) 2 1 5F x dx =∫ . Tính ( ) ( ) 2 1 1x f x dx−∫ A. 3I = − B. 6I = C. 4I = − D. 1I = Câu 28: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên [ ]1;2 thỏa mãn ( ) ( )1 0, 2 2f f= = và ( ) 2 1 1f x dx =∫ . Tính ( ) 2 1 .x f x dx′∫ A. 2I = B. 1I = C. 3I = D. 8I = Câu 29: Cho ( )f x liên tục trên  và ( ) ( ) 2 0 2 16, 4f f x dx= =∫ . Tính ( ) 1 0 . 2x f x dx′∫ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có b b b a a a udv uv vdu= −∫ ∫ . Chọn D. Câu 2: ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 ln ln ln lnI xdx x x xd x x x dx= = − = −∫ ∫ ∫ . Chọn A. Câu 3: Đặt sin 2 u x dv xdx =  = . Chọn B. Câu 4: Đặt lnu x dv xdx =  = . Chọn C. Câu 5: Đặt sin 2 u x dv xdx =  = . Chọn D. Câu 6: Ta có ( ) 2 2 22 2 2 0 0 00 0 0 1 1 1 1 12 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 2 2 4 xcos xdx xd x x x xdx x x x π π ππ π π = = − = +∫ ∫ ∫ . Chọn A. Câu 7: ( ) 2 2 22 2 2 0 0 00 0 0 1 1 1 1sin 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 4 xx xdx xd cos x xcos x cos xdx cos x x π π ππ π π = − = − + = − +∫ ∫ ∫ . Chọn B. Câu 8: ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 44 2 0 0 0 0 0 0 tan tan tan tan ln cosx dx xd x x x xdx x x x cos x π π π π ππ = = − = −∫ ∫ ∫ . Chọn C. Câu 9: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 1 1 1 1 1 1ln ln ln ln ln ln 2 2 2 e ee e e e x xdx xd x x x x d x x x x xdx= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn D. Câu 10: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 44 00 0 0 1 1 11 sin 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x xdx x d cos x x cos x cos xdx π π ππ − = − − = − +∫ ∫ ∫ . Chọn C. Câu 11: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 2 sin 2 cos 2x xdx x d x x cosx cosxdx π π π π − = − = − −∫ ∫ ∫ . Chọn A. Câu 12: Đặt ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 ln 1 1ln 1 ln 1 ln 2 1 1 1 u x xdxx dx x x dx dx x xdv dx = +  ⇒ + = + − = − −  + +=   ∫ ∫ ∫ 1 0 ln 2 ln 1 1 ln 4x x=  − +  = − +  . Do đó suy ra ( ) 41, 4 3 2 16ba b a= − = ⇒ + = = . Chọn C. Câu 13: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 11 1 11 ln ln 2 2 ln 2 2 2 ee e e x xdx xd x x x x x x dx+ = + = + − + =∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 5 5 12 2 2 2 2 4 4 4 4 e e e e ex x e e e+ +   = − + = − + + = +        5 1 3, 4 4 2 a c a c b d b d ⇒ = = ⇒ + = . Chọn A. Câu 14: ( ) ( ) ( ) 122 2 2 2 2 2 2 2 0 0 00 0 3 1 2 3 1 2 3 1 6 10 2 12 x x x x x x e dx x d e x e e dx e e   − = − = − − = + −    ∫ ∫ ∫ 10 2 12 12 14 2 14, 2 12e e e a b a b= + − + = − ⇒ = = − ⇒ + = . Chọn A. Câu 15: ( )2 3 3 2 3 3 3 3 3 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2x ln ln ln x 3 3 3 3 9 3 9 9 9 9 e ee e e xdx xd x x x dx e x e e e= = − = − = − + = +∫ ∫ ∫ Do đó suy ra 1 2 1, 9 9 3 a c a c b d b d = = ⇒ + = . Chọn C. Câu 16: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 0 0 0 4 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 4 2 e e e e e x x dx x d x x x xdx e x+ = + = + − = − −∫ ∫ ∫ ( )2 2 24 2 1 3 1 3; 1 4 5e e e a b M ab a b= − − + = − ⇒ = = − ⇒ = + + = . Chọn C. Câu 17: 2 22 2 2 2 2 1 11 1 1 ln 1 ln ln 2 1 1 1ln ln 2 2 2 2 x x dxdx xd x x x x x  = − = − + =− − = −   ∫ ∫ ∫ Do đó suy ra 1 , 1, 2 2 3 4 2 a b c a b c= − = = ⇒ + + = . Chọn A. Câu 18: ( ) 24 4 44 2 0 0 0 0 1 2 1tan tan tan ln cos ln ln 4 4 4 2 4 4 x dx xd x x x xdx x cos x π π ππ π π π = = − = + = + = −∫ ∫ ∫ Do đó suy ra 4, 4 0a b P a b= = − ⇒ = + = . Chọn C. Câu 19: ( ) 1 11 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 00 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 2 2 2 2 4 2 4 4 4 4 x x x x xxe dx xd e xe e dx e e e e e= = − = − = − + = +∫ ∫ ∫ Do đó suy ra 3 3 3, 4 4 2 a c a c b d b d = = ⇒ + = Chọn A. Câu 20: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 2 2 2 2 2 0 0 00 1 1 1x ln 1 ln 1 1 1 ln 1 2 2 2 2 x dx x d x x x xdx+ = + + = + + −∫ ∫ ∫ 1 2 0 1 1ln 2 ln 2 1, 2, 1 6 2 2 x a b c S a b c abc= − = − ⇒ = = = ⇒ = + + + = . Chọn B. Câu 21: Đặt ( ) ( ) 1 1 0 0 3 ln 3 1 3 13 1 ln 3 1 1 3 1 3 3 3 dxduu x xx I x dx xdv dx v x  == + +  +⇒ ⇒ = + −  +=  = + =  ∫ 8 8 ln 2 1 3 93 3 1 a S a b b  == − ⇒ ⇒ = − =  = − . Chọn D. Câu 22: Đặt ( )3 3 3 0 0 02 cos3tan tan tan 3 u x du dx d x I x x xdxdx v x cosxdv cos x π π π = = ⇒ ⇒ = − = π+  ==  ∫ ∫ 3 0 3 3 1 3 3ln cos ln ln 2 3 3 2 3 3 x a π = π+ = π+ = π− ⇒ = ⇒ phần nguyên của 1a − là 1− . Chọn D. Câu 23: Đặt ( )2 2 2 42 4 4 sincoscotcos sin 4 sincot sin sin u x du dx d xxI x x dxdx x x xdv v x x x π π π π π π = =  π ⇒ ⇒ = − + = +−  = = − =   ∫ ∫ 2 4 1 1 1 1ln sin ln ln 2 ; 4 4 4 2 4 22 x m n π π π π π = + = − = + ⇒ = = Do đó 2 1P m n= + = Chọn A Câu 24: Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ln 1 1 ln 11 1 dxu x du I x x dxx dv dx v x = + = ⇒ ⇒ = + + −+  =  = + ∫ 3ln 3 2ln 2 1 3; 2; 1 0a b c S a b c= − − ⇒ = = − = − ⇒ = + + = . Chọn B. Câu 25: Đặt ( ) ( ) 1u x du dx dv f x dx v f x = + =  ⇒ ′ ′= =   , khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1x f x dx x f x f x dx′+ = + −∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )10 2 1 0 2 1 0 10 2 10 8f f I I f f⇔ = − − ⇔ = − − = − = − . Chọn D. Câu 26: Ta có ( ) ( ) 1 1 0 0 1 3 f x dx f t dt= =∫ ∫ Lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 sin 2 . sin 2 sin .cosx . sin 2 sin . sin sinx f x dx x f x dx x f x d x π π π ′ ′ ′= =∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 sin 0 0 2 . 2 . 2u x u f u du x f x dx I π π = ′ ′→ = =∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 2. 1 3 3 u x du dx I x f x f x dx f dv f x dx v f x = =  ⇒ ⇒ = − = − = ′= =   ∫ Do đó ( ) 2 0 4sin 2 . sin 3 x f x dx π ′ =∫ . Chọn A. Câu 27: Theo giả thiết ta có ( ) ( )F x f x′ = Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 5 4 u x du dx I x F x F x F dv f x dx v F x = − =  ⇒ ⇒ = − − = − = − = =   ∫ . Chọn C.