Chuyên đề trắc nghiệm ứng dụng tích phân tính diện tích, Exercises of Mathematics

Download Chuyên đề trắc nghiệm ứng dụng tích phân tính diện tích and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity! CHỦ ĐỀ 12: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH A. LÝ THUYẾT 1) Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số Cho hai đồ thị của hai hàm số ( ) ( ),= =y f x y g x liên tục trên đoạn [ ];a b và hai đường thẳng ( );= = <x a x b a b . Khi đó hình phẳng giới hạn bởi bốn đường ( ) ( ),= =y f x y g x và hai đường thẳng ;= =x a x b có diện tích S được tính theo công thức: ( ) ( )= −∫ b a S f x g x dx . Đặc biệt: Trong trường hợp ( )g x là trục hoành ( ( ) 0=g x ) ta được công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )=y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,= =x a x b là: ( ) b a S f x dx= ∫ (1). Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối:  Nếu ( ) [ ]0, ;≥ ∀ ∈f x x a b thì ( ) ( )= =∫ ∫ b b a a S f x dx f x dx .  Nếu ( ) [ ]0, ;≤ ∀ ∈f x x a b thì ( ) ( )( )= = −∫ ∫ b b a a S f x dx f x dx . Muốn xét dấu của biểu thức ( )f x ta thường có một số cách làm như sau:  Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu cho ( )f x với ghi nhớ qua nghiệm bội lẻ ( )f x đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn ( )f x không đổi dấu.  Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số ( )=y f x trên đoạn [ ];a b để suy ra dấu của ( )f x trên đoạn đó: - Nếu trên đoạn [ ];a b đồ thị hàm số ( )=y f x nằm phía trên trục hoành thì ( ) [ ]0, ;≥ ∀ ∈f x x a b . - Nếu trên đoạn [ ];a b đồ thị hàm số ( )=y f x nằm phía dưới trục hoành thì ( ) [ ]0, ;≤ ∀ ∈f x x a b .  Cách 3: Nếu ( )f x không đổi dấu trên [ ];a b thì ta có: ( ) ( )= =∫ ∫ b b a a S f x dx f x dx .  Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO, tuy nhiên xu hướng ra đề thi THPT Quốc gia sẽ hạn chế CASIO nên cần chú ý cách giải tổng quát và hiểu rõ bản chất! Chú ý: - Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ta có: ( ) ( ) ( )= − =∫ ∫ b b a a S f x g x dx h x dx ta làm hoàn toàn tương tự như trên. - Nếu đề bài không cho các đường thẳng giới hạn ;= =x a x b ta giải phương trình ( ) ( )=f x g x (hoặc ( ) 0=f x trong trường hợp ( )g x là trục hoành) để tìm cận của tích phân. 2) Ứng dụng tính diện tích hình tròn và hình Elip a) Tính diện tích hình tròn Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình: ( )2 2 2 0+ = >x y r r . Khi đó hình tròn đó có diện tích là: 2= πS r . 2 2 2 2 2+ = ⇔ = ± −x y r y r x Ta có Với 0≥y , ta có: 2 2= −y r x có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành. Bằng cách đặt sin=x r t ta có diện tích 2 2 2 2 2 1 0 2 2− π = − = − =∫ ∫ r r r rS r x dx r x dx . Do đó 2 12= = πS S r . b) Tính diện tích hình Elip Trong hệ tọa độ Oxy cho elip có phương trình: 2 2 2 2 1,0+ = < < x y b a a b . Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là: = πS ab (đvdt). ( ) ( ) 33 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 3 92 3 3 3 2 2   = − − − = − = − + = − + =    ∫ ∫ ∫ y yS y y y dy y y dy y y dy (đvdt). Nhận xét: Đối với bài toán này việc tính theo dx gặp khá nhiều khó khăn, do đó ta nên tính diện tích hình phẳng theo dy bằng cách coi x là hàm của biến y, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong ( )=x g y , ( )=x h y (g và h là hai hàm liên tục trên đoạn [ ];c d ) và hai đường thẳng ,= =y c y d là: ( ) ( )= −∫ d c S g y h y dy . Ví dụ 7: Cho đồ thị hàm số ( )=y f x trên đoạn [ ]2;2− như hình vẽ ở bên và có diện tích 1 2 3 22 76, 15 15 = = =S S S . Tính tích phân ( ) 2 2− = ∫I f x dx . A. 32 15 =I B. 8=I C. 18 5 =I D. 32 15 = −I Lời giải Ta có ( ) 2 3 1 2 2 76 22 322. 15 15 15− = = − − = − =∫I f x dx S S S . Chọn A. Ví dụ 8: Cho hàm số ( )f x liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số ( )′=y f x được cho như hình bên. Diện tích các hình phẳng ( ) ( ),K H lần lượt là 5 12 và 8 3 . Biết ( ) 191 12 − =f , tính ( )2f . A. ( ) 112 6 =f B. ( ) 22 3 = −f C. ( )2 3=f D. ( )2 0=f Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 5 50 1 0 1 2 12 12− ′= = − − = ⇒ = + − =∫K f x dx f f f f . Lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 8 8 20 2 (2) 0 3 3 3 H f x dx f x dx f f f f −′ ′= = − = − = ⇒ = − =∫ ∫ . Chọn B. Ví dụ 9: Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol 2=y x và 2= −y x đường tròn có phương trình 2 2 2+ =x y (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình ( )H A. 2 3 = π+S B. 22 3 = π−S C. 2 3 = π−S D. 22 3 = π+S Lời giải Xét phần tô đậm nằm phía trên trục Ox, nửa đường tròn phía trên Ox có phương trình 22= −y x . Giải phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 4 2 22 2 0 1 1= − ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ±x x x x x x Diện tích phần không tô đậm phía trên trục hoành là: ( ) 1 2 2 1 2 − = − −∫S x x dx ( ) 11 3 4 4 2 sin2 2 2 1 1 4 4 2 22 2 2sin 2 sin 2cos 3 3 3 π π = −π −π− − = − − → − − = −∫ ∫ ∫x txx dx td t tdt ( ) 4 4 44 2 sin 2 2 11 cos 2 3 2 3 2 3 π π π−π − π = + − = + − = +   ∫ tt dt t Diện tích nửa đường tròn là 2 2 π′ = = π RS . Khi đó ( ) ( ) 1 22 2 2 3 3 π ′= − = π− − = π−   HS S S . Chọn C. Ví dụ 10: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường , 0, 0= = =xy e y x và ln 4=x . Đường thẳng ( )0 ln 4= < <x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích là 1S và 2S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 22=S S . A. 2 ln 4 3 =k B. ln 2=k C. 8ln 3 =k D. ln 3=k Lời giải Do ln 4ln 4 ln 4 1 2 1 00 0 2 2 2 22 2 3 3 3 3 = ⇒ = = = = =∫ ∫x x xS S S S e dx e dx e . Do đó 1 0 1 2 3 ln 3= = − = ⇔ = ⇔ =∫ k x k kS e dx e e k . Chọn D. Ví dụ 11: Cho hình thang ( )H giới hạn bởi các đường 1 1, , 2 2 = = =y x x x và trục hoành. Đường thẳng 1 2 2  = < <    x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích là 1S và 2S như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả giá trị thực của k để 1 23=S S A. 2=k B. 1=k C. 7 5 =k D. 3=k Lời giải Gọi S là diện tích hình ( ) 2 1 2 1 2 ln 2⇒ = =∫H S dx x . Lại có 2 2 1 1 ln 2 ln 2ln 2 ln ln ln 2 2 4 2 2 = = − = = ⇒ = = ⇒ =∫ k S dx k S k k x . Chọn A. Ví dụ 12: [Đề tham khảo Bộ giáo dục và Đào tjao 2018] Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 23=y x , cung tròn có phương trình 24= −y x (với 0 2≤ ≤x ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của ( )H bằng: A. 4 3 12 π+ B. 4 3 6 π− C. 4 2 3 3 6 π+ − D. 5 3 2 3 − π Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là: 2 2 4 2 0 2 3 4 1 3 4 ≤ ≤ = − ⇒ ⇔ = = − x x x x x x . Dựa vào hình vẽ ta có: 11 2 3 2 2 1 1 0 1 0 33 4 3 3 3 = + − = + = +∫ ∫ xS x dx x dx I I . Với 2 2 1 1 4= −∫I x dx , sử dụng CASIO hoặc đặt 2sin 2cos= ⇒ =x t dx tdt 2 20 20  =⇒   = xy y x Diện tích phần tô đậm ở góc phần tư thứ nhất là: 2020 2 3 3 0 0 2 40020 20 20 3 60 3     = − = − =        ∫ x xS x dx x . Chọn B. Ví dụ 16: Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số AB CD bằng: A. 3 1 2 B. 3 1 2 2+ C. 1 2 D. 4 5 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol có dạng 2=y ax , do ( )P đi qua điểm ( ) 16;18 2 ⇒ =a . Diện tích thiết diện của cổng trào là: 6 2 0 6 18 144 2−   = − =    ∫ xS dx . Để diện tích 3 phần bằng nhau thì diện tích mỗi phần là 0 48 3 = S . Gọi 2 2 ; ; ; 2 2             b dB b D d khi đó = AB b CD d Ta có: 2 2 2 3 3 0 0 24 24 72 2 2 2 6     − = ⇔ − = ⇒ =        ∫ bb b x b x xdx b Tương tự ta có 2 2 3 3 0 148 144 2 2 2   − = ⇒ = ⇒ =    ∫ d d x ABdx d CD . Chọn A. Ví dụ 17: [Đề Sở GD&DT Thanh Hóa] Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BD = 6m, chiều dài CD = 12m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4m, cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ 2m . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó? A. 20.400.000 đồng B. 20.600.000 đồng C. 20.800.000 đồng D. 21.200.00 đồng Lời giải Gọi O là trung điểm của MN và trùng với gốc tọa độ ( ) ( )2;0 , 2;0⇒ −M N . Phương trình parabol đỉnh ( )0;6I và đi qua hai điểm ( ) ( )6;0 , 6;0−C D là ( ) 21: 6 6 = −P y x . Diện tích bức tranh là diện tích giới hạn bởi hàm số ( ) 2 6 6 = = − xy f x và 2, 2= − =x x . Khi đó ( ) 22 22 2 3 2 2 2 2 2086 6 6 6 6 18 9− − −     = − = − = − =        ∫ ∫ x x xS dx dx x m . Số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là 208 900.000 20.800.000 9 = × =T đồng. Chọn C. Ví dụ 18: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Trong công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là ( )2 2 216 25= −y x x như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A. ( )2125 6 =S m B. ( )2125 4 =S m C. ( )2250 3 =S m D. ( )2125 3 =S m Lời giải Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là 0; 5; 5= = − =x x x . Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau. Xét diện tích s của mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có: [ ] ( ) 5 2 2 2 0 1 125 125 1254 25 ; 0;5 25 4. 4 12 12 3 = − ∈ ⇒ = − = ⇒ = =∫y x x x s x x dx S m . Chọn D. Ví dụ 19: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình 2=y x và đường thẳng là 25=y . Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng 9 2 . A. 2 5=OM B. 3 10=OM C. 15=OM D. 10=OM Lời giải Giả sử ( )2;M a a , suy ra phương trình : =OM y ax . Diện tích khu vườn là ( ) 2 3 3 2 0 0 9 3 2 3 6 2   = − = − = = ⇔ =    ∫ aa x x aS ax x dx a a . Khi đó 2 4 9 81 3 10= + = + =OM a a . Chọn B. Ví dụ 20: Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi ảnh dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một 2m bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn) A. 615.000 đồng B. 450.000 đồng C. 451.00 đồng D. 616.000 đồng Lời giải Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol có phương trình 24= −y x và trục hoành. Suy ra ( ) 2 2 2 2 324 3− = − =∫S x dx m . C. 4 D. 5 Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là: ( ) ( )3 2 2 3 21 31 0 2 2 + + − = + + ⇔ + − + − − =ax bx cx dx ex ax b d x c e x Vì phương trình có các nghiệm 3; 1;1− − nên: ( ) ( ) ( )( )( )3 2 3 3 1 1 2 + − + − − = + + −ax b d x c e x a x x x ( ) ( ) ( )3 2 3 23 3 3 2 ⇔ + − + − − = + − −ax b d x c e x a x x x Đồng nhất hệ số ta được: 1 23 3 2 3 13 2 2  =   − =   − = − ⇔ − =   − = − − =  a b d a c e a b d a c e (thực ra chỉ cần tìm được 1 2 =a ) Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 3 2 3 1 3 3 4 2 − = + − − =∫S x x x dx . Chọn C. Ví dụ 24: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Cho hai hàm số ( ) 3 2 2= + + −f x ax bx cx và ( ) 2 2= + +g x dx ex ( ), , , , ∈a b c d e  . Biết rằng đồ thị của hàm số ( )=y f x và ( )=y g x cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 2; 1;1− − (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng: A. 37 6 B. 13 2 C. 9 2 D. 37 12 Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là: ( ) ( )3 2 2 3 22 2 4 0+ + − = + + ⇔ + − + − − =ax bx cx dx ex ax b d x c e x Vì phương trình có các nghiệm 2; 1;1− − nên: ( ) ( ) ( )( )( )3 2 4 2 1 1+ − + − − = + + −ax b d x c e x a x x x Đồng nhất hệ số ta được: 2=a Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm: ( )( )( ) 1 3 372 2 1 1 6− = + + − =∫S x x x dx . Chọn A. Ví dụ 25: Cho hàm số ( )=y f x có đồ thị ( )′=y f x cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ thỏa mãn < <a b c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. ( ) ( ) ( )> >f c f a f b B. ( ) ( ) ( )> >f c f b f a C. ( ) ( ) ( )> >f a f b f c D. ( ) ( ) ( )> >f b f a f c Lời giải Ta có ( ) { }0 ; ;′ = ⇔ =f x x a b c . Dựa vào BBT, ta thấy ( ) ( ) ( ){ };f b f a f c< . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 b c b c a b a b S f x dx S f x dx f x f x f a f c′ ′= < = ⇔ − < ⇔ <∫ ∫ . Vậy ( ) ( ) ( )> >f c f a f b . Chọn A. Ví dụ 26: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên ℝ, đồ thị hàm số ( )′=y f x như trong hình vẽ. Hỏi phương trình ( ) 0=f x có tất cả bao nhiêu nghiệm biết ( ) 0>f a ? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Lời giải Ta có ( ) { }0 ; ;′ = ⇔ =f x x a b c . Dựa vào BBT, ta thấy ( ) ( ) ( ){ };>f b f a f c . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 b c b c a b a b S f x dx S f x dx f x f x f a f c′ ′= > = ⇔ > − ⇔ <∫ ∫ . Do đó ( ) ( ) ( ) 0> > >f b f c f a . Vậy phương trình ( ) 0=f x vô nghiệm. Chọn D. Ví dụ 27: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 102) Cho ( )=y f x có đồ thị của ( )′=y f x như hình vẽ. Đặt ( ) ( ) ( )22 1= − +g x f x x . Mệnh đề nào đúng? A. ( ) ( ) ( )3 3 1> − >g g g B. ( ) ( ) ( )3 3 1− > >g g g C. ( ) ( ) ( )1 3 3> − >g g g D. ( ) ( ) ( )1 3 3> > −g g g Lời giải Ta có ( ) ( ) ( )2 2 1′ ′= − +g x f x x ; ( ) ( )0 1′ ′= ⇔ = +g x f x x . Nhận thấy nghiệm của ( ) 0′ =g x chính là nghiệm của ( ) 1′ = +f x x , cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ( )′=y f x và đường thẳng { }1 3;1;3= + → = −y x x . Vẽ đường thẳng 1= +y x và chia đồ thị thành 2 phần diện tích hình phẳng. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 0 1 3 − − ′ ′= − + = = − − > ⇒ > −  ∫ ∫S f x x dx g x dx g g g g Và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 2 2 1 1 3 0 1 3′ ′= + − = − = − > ⇒ >  ∫ ∫S x f x dx g x dx g g g g Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 1 3 1 3 3 3> ⇔ > ⇔ − − > − ⇔ > −S S S S g g g g g g . Vậy ( ) ( ) ( )1 3 3> > −g g g . Chọn D. Ví dụ 28: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 103) Cho ( )=y f x có đồ thị của ( )′=y f x như hình vẽ. Đặt ( ) ( ) 22= +g x f x x . Mệnh đề nào đúng? A. ( ) ( ) ( )3 3 1> − >g g g B. ( ) ( ) ( )3 3 1− > >g g g C. ( ) ( ) ( )1 3 3> − >g g g D. ( ) ( ) ( )1 3 3> > −g g g Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ; 0g x f x x g x f x x′ ′ ′ ′= + = ⇔ = − . Nhận thấy nghiệm của ( ) 0′ =g x chính là nghiệm của ( )′ = −f x x cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ( )′=y f x và đường thẳng { }3;1;3= − → = −y x x . Vẽ đường thẳng = −y x và chia đồ thị thành 2 phần diện tích hình phẳng. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 3 2 2 3 1 0 3 1 − − ′ ′= − − = − = − − > ⇒ − >  ∫ ∫S x f x dx g x dx g g g g Và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 2 2 ( x) 3 1 0 3 1S f x dx g x dx g g g g′ ′= − − = = − > ⇒ >  ∫ ∫ . Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 3 1 3 1 3 3> ⇔ > ⇔ − − > − ⇔ − >S S S S g g g g g g . Vậy ( ) ( ) ( )3 3 1− > >g g g . Chọn B. C. ( ) ( ) 0 2 2 0− = +∫ ∫S f x dx f x dx D. ( ) ( ) 0 2 2 0− = +∫ ∫S f x dx f x dx Câu 11: Công thức nào sau đây dùng để tính diện tích hình phẳng S phần gạch của hình vẽ. A. ( ) ( )= −∫ ∫ b b a a S g x dx f x dx B. ( ) ( )= −∫ ∫ b b a a S f x dx g x dx C. ( ) ( )= −∫ ∫ b b a a S g x dx f x dx D. ( ) ( )= +∫ ∫ b b a a S g x dx f x dx Câu 12: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )=y f x , trục hoành, đường thẳng ,= =x a x b (như hình bên dưới). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng? A. ( ) ( )= +∫ ∫ c b a c S f x dx f x dx B. ( ) ( )= +∫ ∫ c b a c S f x dx f x dx C. ( ) ( )= − +∫ ∫ c b a c S f x dx f x dx D. ( )= ∫ b a S f x dx Câu 13: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 22= −y x x và trục hoành như hình vẽ. Tìm khẳng định sai? A. ( ) 2 2− = ∫S f x dx B. ( ) 2 0 2= ∫S f x dx C. ( ) 2 0 2= − ∫S f x dx D. ( ) ( ) 0 2 2 2− − = − −∫ ∫S f x dx f x dx ( )=y f x Câu 14: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành (như hình vẽ). Công thức nào dùng để tính diện tích S? A. ( ) 2 2− = ∫S f x dx B. ( ) ( ) 1 2 2 1− = +∫ ∫S f x dx f x dx C. ( ) ( ) 1 2 2 1− = −∫ ∫S f x dx f x dx D. ( ) ( ) 0 2 2 0− = +∫ ∫S f x dx f x dx Câu 15: Cho hàm số ( )=y f x liên tục trên đoạn [ ];a b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) ( ): =C y f x , trục hoành, hai đường thẳng ,= =x a x b (như hình vẽ bên dưới). Giả sử DS là diện tích của hình phẳng D. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D dưới đây? A. ( ) ( ) 0 0 = +∫ ∫ b D a S f x dx f x dx B. ( ) ( ) 0 0 = − +∫ ∫ b D a S f x dx f x dx C. ( ) ( ) 0 0 = −∫ ∫ b D a S f x dx f x dx D. ( ) ( ) 0 0 = − −∫ ∫ b D a S f x dx f x dx Câu 16: Cho đồ thị hàm số ( )=y f x . Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình được tính theo công thức: A. ( ) 4 2− = ∫S f x dx B. ( ) ( ) ( ) 0 0 4 2 2 2− = + +∫ ∫ ∫S f x dx f x dx f x dx C. ( ) ( ) 0 4 2 0− = +∫ ∫S f x dx f x dx D. ( ) ( ) ( ) 0 2 4 2 0 2− = + +∫ ∫ ∫S f x dx f x dx f x dx Câu 17: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )=y f x , trục hoành (phần gạch sọc trong hình vẽ). Đặt ( ) ( ) 1 2 3 1 , − = =∫ ∫a f x dx b f x dx . Mệnh đề nào đúng? A. +a b B. −a b C. −b a D. − −b a Câu 18: Gọi S là diện tích hình phẳng ( )H được giới hạn bởi các đường ( )=y f x , trục hoành và hai đường thẳng 1, 2= − =x x (như hình vẽ). Đặt ( ) ( ) 0 2 1 0 , − = =∫ ∫a f x dx b f x dx . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. = − −S a b B. = −S a b C. = +S b a D. = −S b a Câu 19: Tìm công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi phần gạch sọc trong hình vẽ. A. ( ) ( ) 3 4 2 1 1 3 0,5 1 log 0,5 2= + − + − −∫ ∫x xS x dx x dx B. ( ) ( ) 3 4 2 1 1 3 0,5 1 log 0,5 2= + + + − −∫ ∫x xS x dx x dx C. ( ) ( ) 1 4 2 0 1 3 0,5 1 log 0,5 2= + − − − −∫ ∫x xS x dx x dx D. ( ) ( ) 1 4 2 0 1 3 0,5 1 log 0,5 2= + − + − −∫ ∫x xS x dx x dx Câu 32: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số 2 5= − +y x x và 3 22 5= − + + +y x x x . A. 1=S B. 2=S C. 3=S D. 4=S Câu 33: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số 22=y x và 4 22= −y x x trong miền 0>x . A. 64 15 =S B. 32 25 =S C. 32 15 =S D. 15 32 =S Câu 34: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )1= +y e x và ( )1= + xy e x . A. 1 2 = − eS B. 1=S C. 3 2 =S D. 2 1= −S e Câu 35: Tính diện tích S của hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường , 6= = −y x y x và trục hoành. A. 20 3 =S B. 25 3 =S C. 16 3 =S D. 22 3 =S Câu 36: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln=y x x , trục hoành và đường thẳng =x e . A. 2 1= −S e B. 2 1 4 + = eS C. 2 1 2 − = eS D. 2 1 4 − = eS Câu 37: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) 21 , 1= − = −xy x e y x . A. 8 3 = +S e B. 2 3 = +S e C. 2 3 = −S e D. 8 3 = −S e Câu 38: Biết rằng hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường 2 , 0, , 3= − = = =y x y x k x với 2<k và có diện tích bằng kS . Xác định giá trị của k để 16=kS . A. 2 15= +k B. 2 31= +k C. 2 15= −k D. 2 31= −k Câu 39: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường ( )ln , 0, 1= = = >y x y x k k . Tìm k để diện tích hình phẳng ( )H bằng 1. A. 2=k B. =k e C. 3=k e D. 2=k e Câu 40: Cho hai hàm số ( )=y f x và ( )=y g x liên tục trên đoạn [ ];a b với <a b . Kí hiệu 1S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )2 , 2 ,= = =y f x y g x x a và =x b ; 2S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )2, 2,= − = − =y f x y g x x a và =x b . Chọn khẳng định đúng? A. 1 2=S S B. 1 22=S S C. 1 22 2= −S S D. 1 22 2= +S S Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật ( )H có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh trên một đường chéo là ( )1;0−A và ( );C a a với 0>a . Biết rằng đồ thị hàm số =y x chia hình ( )H thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a. A. 9=a B. 4=a C. 1 2 =a D. 3=a Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) 2 1: 1 − = + xC y x , tiệm cận ngang của đồ thị ( )C , trục tung và đường thẳng ( )0= >x a a . Tìm a để 3ln 5=S . A. 5=a B. 4=a C. 3=a D. 2=a Câu 43: Tính diện tích hình phẳng trong phần tô đậm của hình vẽ bên. A. 8 3 B. 11 3 C. 7 3 D. 10 3 Câu 44: Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( )=y f x , ( )=y g x và hai đường thẳng ,= =x a x b như hình vẽ bên cạnh. Biết rằng ( ) ( ) [ ], ;≥ ∀ ∈f x g x x a b và ( ) ( ) [ ], ;≤ ∀ ∈f x g x x c d . A. ( ) ( ) ( ) ( )= − + −      ∫ ∫ c b a c S g x f x dx f x g x dx B. ( ) ( ) ( ) ( )= − + −      ∫ ∫ c b a c S f x g x dx g x f x dx C. ( ) ( )= −  ∫ b a S g x f x dx D. ( ) ( )= −  ∫ b a S f x g x dx Câu 45: Diện tích phần gạch chéo trong hình vẽ bằng bao nhiêu? A.27ln2 B. 27ln3 C. 28ln3 D. 29ln3 Câu 46: Diện tích hình phẳng tô đậm trong hình vẽ bằng bao nhiêu? A. 3 2 B. 3 4 C. 1 6 D. 1 2 Câu 47: Biết diện tích phần gạch chéo của hình vẽ bên bằng + + bae c e với a, b, c là các số nguyên. Tính = + +P a b c . A. 1 3 =P B. 0=P C. 1 2 = −P D. 1 5 =P Câu 48: Cho đồ thị ( )=y f x như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi công thức nào? A. ( ) 2 2− = ∫S f x dx B. ( ) ( ) 1 2 2 1− = +∫ ∫S f x dx f x dx C. ( ) ( ) 2 2 1 1 − = +∫ ∫S f x dx f x dx D. ( ) ( ) 1 2 2 1− = −∫ ∫S f x dx f x dx Câu 49: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol như hình vẽ và trục hoành Ox. A. 4 3 B. 17 2 Câu 62: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường 1 1, , 2 2 = = =y x x x và trục hoành. Đường thẳng 1, 2 2  = < <    x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích là 1S và 2S như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của k để 1 23=S S . A. 2=k B. 1=k C. 7 5 =k D. 3=k Câu 63: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường = xy e ; 0; 0= =y x và ln 4=x . Đường thẳng ( )0 ln 4= < <x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích là 1 2,S S và như hình vẽ bên dưới. Tìm k để 1 22=S S . A. 8ln 3 =k B. 2 ln 4 3 =k C. ln 3=k D. ln 2=k Câu 64: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường ; 0; 1; ln 6= = = =xy e y x x . Đường thẳng ( )1 ln 6= < <x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích 1S và 2S như hình vẽ bên. Tìm k để 2 2 1 2= +P S S đạt giá trị nhỏ nhất. A. 6 2 − + = ek B. 6 2 + = ek C. 6ln 2 + = − ek D. 6ln 2 + = ek Câu 65: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường ; 0; 1; ln 6= = = =xy e y x x . Đường thẳng ( )1 ln 6= < <x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích là 1S và 2S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2 2< −S S . A. 41 2 + < < ek B. 4 2 + < ek C. 4ln 2 + < ek D. 41 ln 2 + < < ek Câu 66: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường ; 0; 0; ln 4= = = =xy e y x x . Đường thẳng ( )0 ln 4= < <x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích là 1S và 2S như hình vẽ bên. Gọi X là tập hợp tất cả các giá trị k để 2 2 1 2 5+ =S S . Tính tổng các phần tử của tập hợp X. A. ln5 B. ln6 C. ln12 D. 5ln 2 Câu 67: Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 4= − +y x x , trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng d đi qua điểm ( )0;4A có hệ số góc k chia ( )H thành hai phần có diện tích bằng nhau (như hình vẽ bên). A. 4= −k B. 8= −k C. 6= −k D. 2= −k Câu 68: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường , 0, 0, 1= = = =xy e y x x . Đường thẳng ( )0 1= < <x k k chia ( )H thành hai phần có diện tích là 1S và 2S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2>S S . A. 1 2 + > ek B. 1ln 1 2 + < < e k C. 10 ln 2 + < < ek D. 1ln 2 + > ek Câu 69: Cho hàm số ( )=y f x liên tục trên ℝ và hàm số ( ) ( )2= =y g x xf x có đồ thị trên đoạn [ ]0;2 như hình vẽ. Biết diện tích miền tô màu là 5 2 =S . Tính ( ) 4 1 = ∫I f x dx . A. 5 4 =I B. 5 2 =I C. 5=I D. 11 2 =I Câu 70: Một sân chơi dành riêng cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng 30m, người ta làm một con đường trong sân (như hình vẽ). Biết viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí để làm mỗi 2m làm đường 500.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó (số tiền làm tròn đến hàng nghìn). A. 119.000.000 đồng B. 152.000.000 đồng C. 119.320.000 đồng Câu 71: Người ta trồng hoa và phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết ( )2= πAB m và ( )2=AD m . Tính diện tích phần còn lại. A. 4 1π− B. ( )4 1π− C. 4 2 2 π− D. 4 3 2 π− Câu 72: Ông An muốn là cửa rào sắt có hình dạng kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 21m của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 6.520.000 đồng B. 6.320.000 đồng C. 6.417.000 đồng D. 6.620.000 đồng Trục hoành và hai đường thẳng 5 5; 2 2 x x− = = Câu 73: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 m. Trên đó người ta thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa đường tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/ 2m . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản? (làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.895.000 đồng B. 1.948.000 đồng C. 2.388.000 đồng D. 1.194.000 đồng Câu 74: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 101) Cho ( )=y f x có đồ thị của ( )′=y f x như hình vẽ. Đặt ( ) ( ) 22= −h x f x x . Mệnh đề nào đúng? A. ( ) ( ) ( )4 2 2= − >h h h Câu 11: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( )= −∫ ∫ b b a a S f x dx g x dx . Chọn B. Câu 12: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( )= − +∫ ∫ c b a c S f x dx f x dx . Chọn C. Câu 13: Ta có diện tích 2 bên trục tung bằng nhau nên ( ) 2 0 2= ∫S f x dx . Chọn B. Câu 14: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( ) 1 2 2 1− = −∫ ∫S f x dx f x dx . Chọn C. Câu 15: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( ) 0 0 = − +∫ ∫ b D a S f x dx f x dx . Chọn B. Câu 16: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 4 2 2 2− = + +∫ ∫ ∫S f x dx f x dx f x dx . Chọn B. Câu 17: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( ) 1 2 3 1− = − = −∫ ∫S f x dx f x dx a b . Chọn B. Câu 18: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( ) 0 2 1 0− = − + = −∫ ∫S f x dx f x dx b a . Chọn D. Câu 19: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( ) 1 4 2 0 1 3 0,5 1 log 0,5 2= + − + − −∫ ∫x xS x dx x dx . Chọn D. Câu 20: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( )= ∫ b a S g y dy . Chọn C. Câu 21: Dựa vào đồ thị hàm số ta có ( ) ( ) ( ) ( )= − + −      ∫ ∫ c b a c S g y f y dy f y g y dy . Chọn C. Câu 22: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 8= + = − + = − − + =∫ ∫ ∫ ∫ b c b c a b a b S f x dx f x dx f x dx f x dx . Chọn C. Câu 23: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 4 6 4 6 0 4 0 4 = + = +∫ ∫ ∫ ∫S f x dx f x dx f x dx g x dx . Chọn B. Câu 24: ( ) 3 232 2 2 0 4 1 4 1 4 4 2 0− ≥= − + − → − + − ≥ − + = − ≥∫ mS x x m dx x x m x x x ( ) ( ) 33 3 2 2 0 0 4 1 2 1 3 6 3   ⇒ = − + − = − + − = − −    ∫ xS x x m dx x m x m . Chọn D. Câu 25: Xét PT: 1 2 2 1 0 0 10 13 133 3 3 =  − = − ⇔ ⇒ = −  =    ∫ x x x x S x x dx x . Lại có 3 2 2 2 1 3 10 72 223 3 3 =  − = − ⇔ ⇒ = + −  = −    ∫ x x x x S x x dx x 1 32 3 2 3 1 2 0 1 13 7 132 2 3 6 3 2     ⇒ = + = − + − =        x x x xS S S x+ . Chọn C. Câu 26: Xét PT: 1 3 2 3 2 2 0 1 2 2 − = − = − ⇔ = ⇒ = + −  = − ∫ x x x x x x S x x x dx x ( ) ( ) 0 1 0 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 0 2 0 2 2 2 2 − − = + − + + − = + − + − + −∫ ∫ ∫ ∫x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx 0 14 3 4 3 2 2 2 0 8 5 37 4 3 4 3 3 12 12 −     = + − − + − = + =        x x x xx x . Chọn A. Câu 27: Xét PT: 2 0 2 3 3 3 3 2 2 0 0 3 4 4 4 2 − − = − = ⇔ ⇒ = − = − + − = ± ∫ ∫ ∫ x x x x S x x dx x x dx x x dx x ( ) ( ) 0 20 2 4 4 3 3 2 2 2 0 2 0 4 4 2 2 8 4 4− −     = − + − = − + − =        ∫ ∫ x xx x dx x x dx x x . Chọn D. Câu 28: Xét PT: 2 1 1 2 1 2 = − + − = + ⇔  = x x x x x ( ) 22 2 3 2 2 2 1 1 1 92 2 2 3 2 2− − −   ⇒ = − − = − − − = − − − =    ∫ ∫ x xS x x dx x x dx x . Chọn A. Câu 29: Xét PT: ( ) 11 1 2 3 2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 3 6 =   = ⇔ ⇒ = − = − = − =  =   ∫ ∫ x x xx x S x x dx x x dx x . Chọn D. Câu 30: Ta có 1 0 1 2 2 2 1 1 0 2 2 2 − − = + = + + +∫ ∫ ∫S x x dx x x dx x x dx ( ) ( ) 0 10 1 3 3 2 2 2 2 1 0 1 0 22 2 3 3 3− −     = − + + + = − + + + =        ∫ ∫ x xx x dx x x dx x x . Chọn A. Câu 31: Xét PT: 2 2 2 1 5 3 2 2 1 3 7 4 0 4 3 = − + = − + − ⇔ − + = ⇔  =  x x x x x x x x ( ) 4 4 4 23 3 3 2 2 3 1 1 1 7 13 7 4 3 7 4 4 2 54   ⇒ = − + = − − + = − − + =    ∫ ∫ xS x x dx x x dx x x . Chọn A. Câu 32: Xét PT: 2 3 2 3 0 5 2 5 2 2 0 1 = − + = − + + + ⇔ − = ⇔  = ± x x x x x x x x x 1 0 1 3 3 3 1 1 0 2 2 2 2 2 2 − − ⇒ = − = − + −∫ ∫ ∫S x x dx x x dx x x dx ( ) ( ) 0 10 1 4 4 3 3 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 1 2 2− −     = − + − − = − − − =        ∫ ∫ x xx x dx x x dx x x . Chọn A. Câu 33: Xét PT: ( ) 2 2 4 2 2 4 2 4 2 0 0 0 2 2 4 4 2 = − = ⇔ ⇒ = − = − = ± − ∫ ∫ x x x x S x x x x dx x ( ) 22 5 3 4 2 0 0 4 64 644 5 3 15 15   → − = − = − ⇒ =    ∫ x xx x dx S . Chọn A. Câu 34: Xét PT: ( ) ( ) 0 1 1 1 = + = + ⇔ = ⇔  = x x x e x e x ex xe x ( ) ( ) 11 1 2 0 0 0 1 2 2   ⇒ = − = − = + − = −    ∫ ∫x x x xex eS x e e dx x e e dx e xe . Chọn A. Câu 35: Xét PT: ( ) 4 4 0 0 6 4 6 6= − ⇔ = ⇒ = + − = − + −∫ ∫x x x S x x dx x x dx 4 2 3 0 22632 3 2     = − − − =      x x x . Chọn D. Câu 36: Xét PT: 1 0 0 1 0 ln 0 ln ln ln 1 = = ⇔ ⇒ = = + = ∫ ∫ ∫ e ex x x S x x dx x x dx x x dx x ( ) 1 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1ln ln ln ln ln . ln 2 2 2 2 4 = − + → = = − = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ e xx xdx x xdx x xdx xd x x x x dx x x C x 12 2 2 2 2 0 1 1 1 1ln ln 2 4 2 4 4     + ⇒ = − − + − =        e x x eS x x x x . Chọn B. Câu 37: Xét PT: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 1 1 1 1 1 1 01 = =  − = − ⇔ ⇔ ⇒ = − − −  == +  ∫x x x x x x e x S x e x dx xe x ( ) ( ) 11 3 2 0 0 81 1 3 3   = − − − = − − − + = −    ∫ x x x x xx e x dx xe e e x e . Chọn D. Câu 38: Xét PT: ( ) ( ) 3 2 3 2 2 0 2 2 2 2− = ⇔ = ⇒ = − = − + −∫ ∫ ∫ k k x x S x dx x dx x dx Cách 2: Diện tích cần tìm là hình quạt có góc ở đỉnh bằng 245 145 . . .2 360 8 4 ° π °⇒ = π = π = ° S R . Chọn D. Câu 53: Phương trình hoành độ giao điểm là 2 0 2 0 2 = − = ⇔  = x x x x Diện tích hình phẳng cần tìm là: ( ) 22 2 3 2 2 2 0 0 0 42 2 3 3   = − = − = − =    ∫ ∫ xS x x dx x x dx x . Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá S là 1. Chọn B. Câu 54: Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: ( )3 4 3 4= − ⇔ = + =x xx f x x Do ( ) ( )3 ln 3 1 0′ = + > ∀ ∈xf x x  và ( )1 4=f nên ( ) ( )1 1= ⇔ =f x f x . Diện tích cần tìm là: ( ) 11 1 2 0 0 0 3 7 23 4 4 3 4 ln 3 2 2 ln 3   = + − = − − = − − = −    ∫ ∫ x x x xS x dx x dx x . Chọn D. Câu 55: Phương trình hoành độ giao điểm ( )2 0 0; 0 0= > ≥ ⇔ =ax a x x Diện tích cần tìm là: 2 3 2 00 2 4 42 2 . 3 3 3 = = = ⇒ =∫ a S axdx a x a k . Chọn B. Câu 56: Ta có: ( )2 22 1 1 3− + − + = −x x x x x Khi đó ( ) ( ) 2 3 2 3 0;32 2 0 0 0 3 33 3 2 3 2 3 ∈= − → − = − = −∫ ∫ mm m m x x m mS x x dx x x dx . Chọn B. Câu 57: Diện tích cần tìm là: ( ) ( ) 0 0 0 02 2 22 2 1 <= − + − − = − → = −∫ ∫ ∫m m m m S x x x dx x x dx S x x dx 03 2 2 3 5 1 3 2 2 3 6   = − = − = ⇔ = −    m x x m m m . Chọn C. Câu 58: Ta có: ( )3 2 2 2 2 2 0 2 4 2 2 0 2 = ′ = − = − = ⇔  = x y x m x x x m x m Hàm số có 3 điểm cực trị khi 0≠m Do 1 0 2 = > ⇒a điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( )0;2 Phương trình đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại là : 2=d y Phương trình hoành độ giao điểm 2 4 2 2 2 2 0 01 2 2 2 22 4  = = − + = ⇔ ⇔  = ±=  x x x m x x mx m Giả sử 0>m do tính chất đối xứng nên 22 5 2 3 4 2 2 0 0 1 42 2 2 5 3   = − + = − +       ∫ mm x m xS x m x dx 5 5 532 32 64 64 1 5 3 15 15 = − + = = ⇔ = m m m m Tương tự 0 1< ⇒ = −m m . Vậy { }1∈ ±m . Chọn B. Câu 59: Dựa vào đồ thị suy ra ( )( )22 1= + −y a x x Do đồ thị hàm số đi qua điểm ( )0;2 2 2 1⇒ = ⇒ =a a Khi đó ( )( ) 1 2 2 272 1 4− = + − =∫S x x dx . Chọn B. Câu 60: Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của hệ ( ) 2 4 3 3 2 2 0 2 8 02 24 2  ==  ⇒ = ⇔ − = ⇔  = = x xy x mx x x mm x mm y mx Khi đó 22 2 3 3 0 0 22 2 . 2 3 6     = − = −        ∫ mm x xS mx dx m x m m 2 2 28 4 4 33 3 3 3 2 = − = = ⇔ = m m m m . Chọn A. Câu 61: Ta có ln 4 1 2 0 3+ = =∫ xS S e dx Lại có: 1 2 1 0 0 5 5 84 8 1 ln 3 3 3 + = ⇒ = = ⇔ = = − ⇒ =∫ k kx x kS S S e dx e e k . Chọn C. Câu 62: Ta có 2 2 11 2 21 2 1 ln ln 4 2ln 2+ = = = =∫S S dx x x Do 1 1 2 1 1 33 2ln 2 ln 2 3 2 = ⇒ + = ⇒ = SS S S S Mặt khác 11 21 2 1 3ln ln 2 ln 2 ln 8 2 8 2 2 = = = = = ⇒ = ⇔ =∫ k k S dx x k k k x . Chọn A. Câu 63: Do ln 4ln 4 ln 4 1 2 1 00 0 2 2 2 22 2 3 3 3 3 = ⇒ = = = = =∫ ∫x x xS S S S e dx e dx e Do đó 1 0 1 2 3 ln 3= = − = ⇔ = ⇔ =∫ k x x kS e dx e e k . Chọn C. Câu 64: Ta có ln 6 1 2 1 6+ = = −∫ xS S e dx e Do ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 1 16 2 2 6 6= + − − = − − + −P S e S S e S e Khi đó ( ) min 1 2 6 6 2 2.2 2 −− − ⇔ = = = eb eP S a Lại có: 1 1 6 6 6ln 2 2 2 − + + = = − = ⇒ = ⇒ =∫ k x k ke e eS e dx e e e k . Chọn D. Câu 65: Ta có ln 6 1 2 1 6+ = = −∫ xS S e dx e Do 1 2 1 1 12 6 2 2 2 < − ⇒ < − − − ⇔ < − eS S S e S S Lại có: 1 1 4 42 1 ln 2 2 2 + + = = − < − ⇔ < ⇒ < <∫ k x k ke e eS e dx e e e k . Chọn D. Câu 66: Ta có ln 4 1 2 0 3+ = =∫ xS S e dx Do 2 2 1 22 2 1 2 1 2 1 21 2 2; 15 5 1; 23 = = + =  + = ⇒ →  = =+ =  S SS S S S S SS S Lại có: 1 0 1 2 ln 3 1 ln 21 1  − = = = = − ⇒ ⇔ ⇒  =− =  ∫ kk x k k e k S e dx e ke tổng các phần tử của tập hợp X là ln 3 ln 2 ln 6+ = . Chọn B. Câu 67: Đồ thị hàm số 2 4 4= − +y x x cắt trục hoành tại điểm ( )2;0 Diện tích phần gạch chéo là ( ) ( ) 232 2 0 0 2 82 3 3 − = − = =∫ x S x dx Đường thẳng d đi qua điểm ( )0;4A có hệ số góc k suy ra : 4= +d y kx Đường thẳng d cắt Ox tại điểm ( )4 ;0 0−  <    C k k (Do C có hoành độ dương). Theo giả thiết bài toán ta có: 1 4 1 4 4. . .4 6 2 2 3 2 3 − = = ⇔ = ⇒ = SOC OA k k . Chọn C. Câu 68: Ta có 1 1 2 0 1+ = = −∫ xS S e dx e Do đó 1 2 1 1 1 11 2 − > ⇔ > − − ⇔ > eS S S e S S Lại có: 1 0 1 1 11 ln 2 2 2 − + + = = − > ⇔ > ⇔ >∫ k x k ke e eS e dx e e k Kết hợp 10 1 ln 1 2 + < < ⇒ < < ek k . Chọn B.