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Ejercicios distribuciones probabilísticas

Distribución binominal, Distribución de Poisson y Distribución Normal

Keily Nikole Miranda

Baquero Lina María Romero

Martínez

Jeimmy Lorena Montenegro Herrera

Luisa Fernanda González Rosas

Universidad de Cundinamarca

Facultad de ciencias administrativas, económicas y contables

Administración de Empresas

Estadística II

Álvaro Clavijo G.

601T

Octubre, 2024

Tabla de contenido

• Ejercicios de aplicación.......................................................................................................
  • Distribución binomial......................................................................................................
  • Distribución de poisson.................................................................................................
• Distribución Normal..........................................................................................................
• Ejemplos Calculadora........................................................................................................
  • Ejemplo 1.......................................................................................................................
  • Ejemplo 2.......................................................................................................................
• Mapa Mental......................................................................................................................

Ejercicios de aplicación

Distribución binomial

1. En una fábrica el 20% de los artículos que produce cierta maquina resulta

defectuosos. Si 10 artículos son elegidos al azar, de todos los productos en el día

por dicha máquina, calcular la probabilidad de que haya:

a) Exactamente dos defectuosos

n = 10

x = 2

p = 0.

q = 0.

P(X = 2) = (10C2) * 0.2^10 * 0.8^10-

P(X = 2) = (10C2) * 0.2^10 * 0.8^

(10C2) = 45 (combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2)

0.2^2 = 0.

0.8^8 = 0.

P(X = 2) = 45 * 0.04 * 0.1678 ≈ 0.

P(X = 2) = 30.20%.

La probabilidad de encontrar exactamente 2 artículos defectuosos al seleccionar al azar

10 artículos de esa máquina es de aproximadamente 30.20%.

b) 3 o más defectuosos

n = 10

p = 0.

q = 0.

P (X = 0), P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3)

P (X = 0) = (10C0) * 0.2^0 * 0.8^10 =0.

P (X = 1) = (10C1) * 0.2^1 * 0.8^9 =0.

P (X = 2) = (10C2) * 0.2^2 * 0.8^8 = 0.

P (X ≥ 3) = 1 - (0.1074 + 0.2684 + 0.3020) =0.

P (X ≥ 3) = 32.22%.

La probabilidad de que haya 3 o más artículos defectuosos en una muestra de 10 es

aproximadamente 32.22%.

c) Mas de cinco defectuosos

n = 10

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

p = 0.

q = 0.

P (X = 0), P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3), P (X = 4), P (X = 5)

P (X = 0) = (10C0) * 0.2^0 * 0.8^10 =0.

P (X = 1) = (10C1) * 0.2^1 * 0.8^9 =0.

P (X = 2) = (10C2) * 0.2^2 * 0.8^8 =0.

P (X = 3) = (10C3) * 0.2^3 * 0.8^7 =0.

P(X = 4) = (10C4) * 0.2^4 * 0.8^6 =0.

P (X = 5) = (10C5) * 0.2^5 * 0.8^5 =0.

P (X ≤ 5) =0.1074 + 0.2684 + 0.3020 + 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 =

0.

Se resta la suma obtenida en el paso anterior de 1 para obtener la probabilidad de que

haya más de 5 defectuosos:

P (X > 5) = 1 – P (X ≤ 5) =1 - 0.9936 = 0.

P (X > 5) = 0.64%.

Es poco probable encontrar más de cinco artículos defectuosos en una muestra de 10,

dado que la probabilidad es muy baja.

d) Ningún defectuoso

n = 10

x= 0

p = 0.

q = 0.

P(X = 0) = (10C0) * 0.2^10 * 0.8^10-

P(X = 0) = (10C0) * 0.2^10 * 0.8^

(10C0) = 1 (hay una sola forma de elegir 0 elementos de 10)

0.2^0 = 1

0.8^10 = 0.

P(X = 0) = 1 * 1 * 0.1074 = 0.

P(X = 0) = 10.74%.

La probabilidad de que, al seleccionar 10 artículos al azar, ninguno de ellos sea

defectuoso es aproximadamente 10.74%.

2. Suponga que la mitad de los habitantes de cierto pueblo ven regularmente

televisión. De 100 investigadores, cada uno encuesta a 10 personas ¿Cuantos se

espera que mencionen 3 o menos que sean televidentes regulares?

n: 10

x: 0, 1, 2, 3

p: 0,

q: 0,

P (X ≤ 3)

 P (X = 0) * (0,5) ^10 * (0,5) ^10-

P(X=0) = 0,

P(X=1) = 0,

P (X=2) = (e^2* 2^2) /2! = 0,

P (X≤2) = 0,1353+ 0,2707+ 0,2707= 0,

P (X = 0): (10, 0) * 0.5^0 * 0.5^10 = 1 * 1 * 0.0009765625 = 0.

P (X = 1): (10, 1) * 0.5^1 * 0.5^9 = 10 * 0.5 * 0.001953125 = 0.

P (X = 2): (10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.

P (X = 3): (10, 3) * 0.5^3 * 0.5^7 = 120 * 0.125 * 0.0078125 = 0.

Probabilidad total: 0.0009765625 + 0.009765625 + 0.0439453125 + 0.1171875 =

0.

3. En promedio cierto estudiante puede resolver la mitad de los problemas que se le

presentan; Para aprobar es necesario solucionar 7 a 10 problemas de un examen.

¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen?

P:0.

X= entre 7 y 10

P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

4. En promedio el 10% de las varillas de madera usada en cierto producto se

encuentra demasiado nudosas para ser usadas. ¿Cuál es la probabilidad de que en

un paquete de 15 varillas:

a) Exactamente 5 estén demasiado nudosas

n= 15

X=

P=0.

q=0.9 Pc=5=155(0.1)5 (0.9)15-

Pc=5=15!15-5!5! (0.1)5 (0.9)

Pc=5=1.307674368×10124354560000.00001(0.3486784401)

Pc=5=0.01047080034 ×

Pc=5=1.047080034% ≈1.05%

La probabilidad que en un paquete de 15 varillas, exactamente 5 estén demasiado

nudosas es de 1.05%.

b) Por lo menos 10 estén demasiado nudosas

N= 15

X= 10

P = 0.

PX 10=1510(0.1)10(0.9)15-

PX 10=15!15-10!10(0.1)10(0.9)

PX 10=1.3076743861012435456000110-10(0.59049)

PX 10=0.00000017732*

PX= 5=0.00000017732%

La probabilidad de que un paquete de 15 varillas por lo menos 10 estén demasiado

nudosas es de 0.00002%

c) Ma de 4 estén demasiado nudosas

1. Probabilidad de que una varilla esté nudosa : p=0.10 p = 0.10 p=0.
2. Número total de varillas : n=15 n = 15 n=

P(X>4) P (X > 4) P(X>4), lo cual es igual a 1−P(X≤4)1 - P (X \le 4)1−P(X≤4).

Cálculo de P(X≤4) P (X \le 4) P(X≤4):

1. P(X=0) =0.2059P (X = 0) = 0.2059P(X=0) =0.

2. P(X=1) =0.3437P (X = 1) = 0.3437P(X=1) =0.

3. P(X=2) =0.2907P (X = 2) = 0.2907P(X=2) =0.

4. P(X=3) =0.1163P (X = 3) = 0.1163P(X=3) =0.

5. P(X=4) =0.0336P (X = 4) = 0.0336P(X=4) =0.

Suma de P(X≤4) P (X \le 4) P(X≤4):

P(X≤4) =0.2059+0.3437+0.2907+0.1163+0.0336=0.9902P (X \le 4) = 0.2059 + 0.3437 +

0.2907 + 0.1163 + 0.0336 = 0.9902P(X≤4) =0.2059+0.3437+0.2907+0.1163+0.0336=0.

Cálculo de P(X>4) P (X > 4) P(X>4):

P(X>4) =1−0.9902=0.0127P (X > 4) = 1 - 0.9902 = 0.0127P(X>4) =1−0.9902=0.

Por lo tanto, la probabilidad de que más de 4 varillas estén demasiado nudosas es 0.0127 ,

lo que equivale a un 1.27%.

5. Por regla el 25% de ciertos productos manufacturado por un cierto torno, son

defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 de estos productos haya:

a) Exactamente 15 defectuosos

n = 20

x = 15

p = 0.

q = 1 - p = 0.

P(X = 15) = C(20, 15) * 0.25^15 * 0.75^

C(20, 15) = 20! / (15! * 5!)

0.25^15 = 9.313225746154785e-

0.75^5 = 0.

P(X = 15) ≈ 15504 * 9.31322574615 e-11 * 0.2373046875 = 0.

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar exactamente 15 productos defectuosos en una

muestra de 20 es aproximadamente de 0.0342%.

b) Menos de 5 defectuosos

n: = 20

X: (0, 1, 2, 3, 4 )

p: = 0.

q: = 1 - p = 0.

P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

P(X = 0) = 1 * 1 * 0.0032 = 0.

P(X = 1) = 20 * 0.25 * 0.0106 ≈ 0.

P(X = 2) = 190 * 0.0625 * 0.0282 = 0.

P(X = 3) = 1140 * 0.015625 * 0.0375 = 0.

P(X = 4) = 4845 * 0.00390625 * 0.0499 = 0.

P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

P(X < 5) = 0.0032 + 0.053 + 0.133 + 0.225 + 0.250 = 0.

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar menos de 5 productos defectuosos en una

muestra de 20 es aproximadamente de 66.42%.

c) Por lo menos 8 defectuosos?

P (X≥8) =1−P(X≤7) = 1−0.9003=0.

Distribución de poisson

1. La tasa de mortalidad de cierta enfermedad es de tres por mil. ¿cuál es la

probabilidad de que en un grupo de 500 personas,

a) Mas de dos mueran

λ = (3/1000) * 500 = 1.5 personas

Para calcular P(X > 2), es más fácil calcular P(X ≤ 2) y luego restarlo de 1.

P (X > 2) = 1 – P (X ≤ 2)

P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

P(X = 0) = (e^(-1.5) * 1.5^0) / 0! = 0.

P(X = 1) = (e^(-1.5) * 1.5^1) / 1! = 0.

P(X = 2) = (e^(-1.5) * 1.5^2) / 2! = 0.

P(X = 2) = 0.2231 + 0.3347 + 0.2510 =0.

P(X > 2) = 1 - 0.8088 ≈ 0.

P(X > 2) = 19.12%.

La probabilidad de que, en un grupo de 500 personas, más de 2 mueran por esta

enfermedad es aproximadamente 19.12%.

b) ¿Como máximo dos mueran?

λ = (3/1000) * 500 = 1.5 personas

P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

P (X ≤ 2) = 0.2231 + 0.3347 + 0.2510 = 0.

P(X ≤ 2) = 80.88%.

La probabilidad de que, en un grupo de 500 personas, mueran como máximo 2 personas

debido a esta enfermedad es de aproximadamente 80.88%.

2. En promedio doce personas por hora consultan a un especialista en decoración en

un almacén de telas ¿cuál es la probabilidad de que durante un periodo de diez

minutos

he: 2,

λ: 2

x: 0, 1, 2

λ= (12/60)* 10= 2 personas por minuto

a) Por lo menos dos se acerquen al especialista

P (X ≥ 2) = 1 – P (X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

P (X = 0) = (e^-2* 2^0) / 0! = 0,

P(X =1)= (e^-2 * 2^1) / 1! = 0,

P (X ≥ 2)= 1- 0,1353- 0,2707= 0,

Probabilidad; 0,

b) ¿No más de dos se acerquen al especialista?

P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

P (X = 0) = 0,

P(X = 1) = 0,

P (X=2) = (e^-2* 2^ 2) / 2!= 0,

P (X ≤ 2) = 0,1353+ 0,2707+ 0,2707= 0,

Probabilidad: 0,

3. Se estima que una de cada 10.000 personas es alérgica a cierta sustancia utilizada

en la fabricación de tintes para el cabello, ¿Cuál es la probabilidad de que 30.

usuario de tintes

he: 2.71828.

a) Por lo menos una sufra reacciones alérgicas

P(X = 0) = (e^(-3) * 3^0) / 0! = 0.

= 1 - 0.0498 = 0.

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos una persona sea alérgica es

aproximadamente 0.9502 o 95.02%.

b) Mas de una sufra reacciones alérgicas

P(0 o 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

P(0 o 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

P(X = 1) = (e^(-3) * 3^1) / 1! = 0.

P(0 o 1) = 0.0498 + 0.1494 = 0.

P(más de una) = 1 - P(0 o 1) = 1 - 0.1992 =0.

Por lo tanto, la probabilidad de que más de una persona sea alérgica es aproximadamente

0.8008 o 80.08%.

4. El conmutador de una clínica recibe un promedio de 20 llamadas cada 2 minutos,

¿cuál es la probabilidad de que lleguen,

a) Exactamente 4 llamadas en u periodo de 30 segundos

Tasa de llamadas :

 El promedio de llamadas es de 20 llamadas cada 2 minutos.

 Esto se traduce a una tasa de λ (promedio de llamadas en un intervalo de tiempo dado)

de:

λ=20 llamadas/2 minutos =10 llamadas por minuto

Para un intervalo de 30 segundos (que es 1/2minutos):

P (X = k)

λ

k

e

− λ

k!

Donde:

 K es el número de eventos (en este caso, 4 llamadas).

 Λ es la tasa promedio de eventos (5 llamadas en 30 segundos).

 e es la constante de Euler, aproximadamente 2.71828.

Calculo: K = 4 y λ = 5:

P

(

X = 4

)

=

4

e

− 5

4!

Calcular: 5

4

4

= 625

Calcular: e

− 5

e

− 5

=0.

Calcular 4! (factorial de 4!)

4! = 24

Sustituir formula:

P ( X = 4 )=

625 ∗0.

Calcular el numerador:

625 * 0.0067379 = 42109375

Dividido por 24:

P ( X = 4 )=

=0.

Por lo tanto, la probabilidad de que lleguen exactamente 4 llamadas en 30 segundos es

aproximadamente 0.1754 o 17.54%.

B. máximo dos llamadas en un periodo de 15 minutos

Tasa de llamadas para 15 minutos :

 λ para 15 minutos:

λ15m=10 llamadas por minuto * 15 minutos=150 llamadas

 Cálculo de P (X-2):

P (X=0)

P (X=1)

P (X=2)

Cálculo de P (X=0):

P ( X = 0 )

0

e

− 150

0!

=

1 ∗ e

− 150

e

− 150

Cálculo de P (X=1):

P ( X = 1 )

1

e

− 150

1!

=

150 ∗ e

− 150

150 e

− 150

Cálculo de P (X=2):

P ( X = 2 )

2

e

− 150

2!

=

22500 ∗ e

− 150

11250 e

− 150

Sumando las probabilidades:

P ( x ≤ 2 )= P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 )= e

− 150

( 1 + 150 + 11250 )

P

(

x ≤ 2

)

e

− 150

∗ 11301

Nota sobre e

− 150

:

e

− 150

es un numero extremadamente pequeño debido a que e

− 150

se

aproxima a 0, lo que significa que P ( x ≤ 2 ) es prácticamente 0

Distribución Normal

106. La media del peso de 500 estudiantes en un cierto colegio es de 151 libras y la

desviación típica de 15 libras. suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar el

número de estudiantes que pesan

a) entre 120 y 155 libras

Media (μ): 151 libras

Desviación estándar (σ): 15 libras

Total, de estudiantes: 500

Para 120 libras:

z1 = (120 - 151) / 15 = -2.

Para 155 libras:

z2 = (155 - 151) / 15 = 0.

Área a la izquierda de z = -2.07: un estudiante pese menos de 120 libras.

Área a la izquierda de z = 0.27 un estudiante pese menos de 155 libras.

área entre z = -2.07 y z = 0.

P(120 < X < 155) = P(-2.07 < Z < 0.27) = P(Z < 0.27) - P(Z < -2.07)

P(Z < 0.27) = 0.

P(Z < -2.07) = 0.

P(120 < X < 155) = 0.6064 - 0.0192 = 0.

= 0.5872 * 500 ≈ 293.

Aproximadamente 294 estudiantes pesan entre 120 y 155 libras.

b) más de 185 libras

x: = 185 libras

μ: = 151 libras

σ: = 15 libras

z = (185-151) /15= 34/15 ≈2.

En la tabla de distribución, z = 2.27 es 0.9884.

P(X > 185) = 1 - P(Z ≤ 2.27) = 1 - 0.9884 = 0.

= 0.0116 * 500 = 5.

Aproximadamente 6 estudiantes pesan más de 185 libras.

108. La puntuación media en un examen final fue de 72 y la desviación típica de 9. El

10% de los mejores alumnos recibió la calificación A ¿Cuál es la puntuación mínima que un

estudiante debió tener para recibir una A?

μ: 72 puntos

σ: 9 puntos

Porcentaje de estudiantes con A: 10%

P(X ≥ x) = 0.

z = (x - μ) / σ

En este caso, buscamos el valor de z tal que el área a la derecha de z sea 0.10. Esto

significa que el área a la izquierda de z será 1 - 0.10 = 0.90.

Al consultar en la tabla de distribución estandarizada, la cual corresponde a: 1,

Z= 1,

x = z * σ + μ

x = 1.28 * 9 + 72 = 83.

Un estudiante debió obtener al menos 83.52 puntos para recibir una A. Al redondear nos

da un total de 84 puntos.

91.Una variable aleatoria Z tiene distribución reducida (media 0 y varianza 1). Determinar las

probabilidades utilizando la tabla de áreas bajo la curva:

a). P(z<0) =

M=

σ ^2 = 1

z =

X − M

σ

=

0 − 0

=

0

= 0

Área = 0.0000-0.5= -0.

b). P(1<z<3)

M=

σ ^2 = 1

z =

X − M

σ

=

0.5− 0

=

0.

=0.

A=0.

z =

X − M

σ

=

3.5− 0

=

=3.

Área=0.

Área=0.1915-04998 =0.

% =30.83 %

c). P(z>3)

M=

σ ^2 = 1

X=1.5

X=3.5

z =

X − M

σ

=

1.5− 0

=

=1.5

A=0.4332

z =

X − M

σ

=

3.5− 0

=

=3.5

A= 0.4998

Área: 0.4332 – 0.4998 = 0.066

%= 0.666%

d). P(z=-1)

M=0

σ ^2 = 1

z =

X − M

σ

=

− 1 − 0

=

− 1

=− 1

= 0.3413

Área: 0.5- 0.3413= 0.1537

e). P (2<z<-2)

M=0

σ ^2 = 1

z =

X − M

=

1 , 5 − 0

=1,5

A=0,4332

z =

X − M

=

−1,5− 0

❑

=−1,5

A= -0,4332

Área = 0.4332 – (-0.4332) = 0,8664

%= 13.50%

Ejemplos Calculadora

Ejemplo 1

z: 1,65 (90%)

p: 0,5

q: 0,5

e: 2,71828

N: 700

1,67

2

x 0,5 ( 1 −0,5)

2,71828

2

1 +¿ ¿

1,67

2

x 0,5

(

1 −0,5

)

2,71828

2

1 +¿ ¿

0,09435

1,09435

= 86 , 21

Tamaño de la muestra: 86

Análisis de la calculadora : Inicialmente se usó resolviendo la parte superior, luego la

inferior obteniendo dos resultados para luego dividirlos y obtener su resultado final. Luego,

realizamos la operación completa asegurándonos de que el resultado final fuese igual y estuviese

bien. Esta calculadora es muy versátil ya que ofrece distintas opciones para resolver nuestras

diversas operaciones

Ejemplo 2.

x =

z

2

xp ( 1 − p )

e

2

1 +(

z

2

xp ( 1 − p )

e

2

N

)

x =

2

x 0,5( 1 −0,5)

0,05

2

1 +(

1,96

2

x 0,5 ( 1 −0,5 )

0,05

2

x 2.000

)

x =

2

x 0,25

0,0025

1 +

(

1,96

2

x 0,25

0,0025

2

x 2.000

)

x =

0,9604

0,0025

1 +

(

0,9604

)

x =

0,9604

0,0025

1 +(0,19208)

x =

0,9604

0,0025

1,19208

=322.54

El tamaño de la muestra al redondearlo es de 323.

Análisis de la calculadora: La calculadora de SurveyMonkey nos pareció una

herramienta práctica y fácil de usar para determinar el tamaño de muestra necesario para

cualquier investigación. El proceso de ingresar los datos fue sencillo y la interfaz nos pareció

bastante intuitiva ya que los campos se encontraban bastante claros y bien organizados, cuando

los conceptos no son claros la calculadora tiene un instructivo en donde explica de forma

detallada cuales son los datos que se deben plantear para que el resultado sea eficiente, desde

nuestro punto de vista, esta calculadora es muy útil para calcular el tamaño de la muestra de

manera rápida y eficiente.