Ecuaciones Lineales: Aplicaciones y Resolución - Prof. smaikel deluxe, Schemes and Mind Maps of Electrical and Electronics Engineering

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APORTE SOBRE ECUACIONES

LINEALES

 En el contexto de las matemáticas, las ecuaciones lineales juegan un papel

fundamental en la resolución de problemas que involucran cantidades

variables y relaciones proporcionales. Una ecuación lineal típica se expresa

como:

 ax+by=cax + by = cax+by=c

 donde aaa, bbb, y ccc son constantes conocidas, y xxx e yyy son las variables

desconocidas que representan las cantidades que estamos tratando de

encontrar. Por ejemplo, consideremos la ecuación lineal:

 2x+3y=122x + 3y = 122x+3y=

 Esta ecuación describe una relación lineal entre xxx y yyy, donde si

conocemos el valor de una variable, podemos encontrar el valor de la otra.

EJEMPLO  Ecuación Lineal y Método de Sustitución Considera la ecuación lineal: 2x+3y=122x + 3y = 122x+3y= Utilizaremos el método de sustitución para encontrar los valores de xxx e yyy. 1.Paso 1: Elegir una variable para despejar 1.Despejamos xxx: 2x=12−3y2x = 12 - 3y2x=12−3y x=12−3y2x = \frac{12 - 3y}{2}x=212−3y 2.Paso 2: Sustituir en la segunda ecuación 1.Consideremos la segunda ecuación: 3x−2y=43x - 2y = 43x−2y= 2.Sustituimos xxx en esta ecuación: 3(12−3y2)−2y=43
left(\frac{12 - 3y}{2}\right) - 2y = 43(212−3y)−2y= 3.Paso 3: Resolver para yyy 1.Multiplicamos ambos lados por 2 para deshacernos del denominador: 3(12−3y)−4y=83(12 - 3y) - 4y = 83(12−3y)−4y= 2.Distribuimos: 36−9y−4y=836 - 9y - 4y = 836−9y−4y= 3.Combinamos términos semejantes: 36−13y=836 - 13y = 836−13y= 4.Restamos 36 de ambos lados: −13y=−28-13y = - 28−13y=− 5.Dividimos ambos lados por -13: y=2813y = \frac{28} {13}y= 4.Paso 4: Encontrar el valor de xxx 1.Sustituimos yyy en la primera ecuación: 2x+3(2813)=122x + 3\left(\frac{28}{13}\right) = 122x+3(1328)= 2.Multiplicamos ambos lados por 13 para deshacernos del denominador: 26x+84=15626x + 84 = 15626x+84= 3.Restamos 84 de ambos lados: 26x=7226x = 7226x= 4.Dividimos ambos lados por 26: x=7226x = \frac{72} {26}x=2672 x=3613x = \frac{36}{13}x= Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es x=3613x = \frac{36}{13}x=1336 y y=2813y =
frac{28}{13}y=1328.

PROCEDIMIENTO Y RESOLUCIÓN

 Para resolver una ecuación lineal como la mencionada anteriormente, utilizamos métodos

algebraicos estándar, como la sustitución o el método de igualación. Por ejemplo, para

encontrar los valores de xxx e yyy:

 Método de sustitución:

• (^) Asumamos un valor para una de las variables, por ejemplo, x=3x = 3x=3.
• (^) Sustituimos este valor en la ecuación original para encontrar yyy: 2(3)+3y=122(3) + 3y =

122(3)+3y=12 6+3y=126 + 3y = 126+3y=12 3y=63y = 63y=6 y=2y = 2y=

1. Método de igualación:

1. Igualamos las dos ecuaciones a resolver: 2x+3y=122x + 3y = 122x+3y=12 3x−2y=43x - 2y =

43x−2y=

2. Manipulamos las ecuaciones para encontrar los valores de xxx e yyy.

 Aplicación en Problemas Cotidianos

 Las ecuaciones lineales tienen aplicaciones prácticas en diversos campos, desde la

economía hasta la física y la ingeniería. Por ejemplo, en economía, se pueden usar para

modelar la oferta y la demanda en un mercado. En ingeniería, se utilizan para calcular

tensiones y corrientes en circuitos eléctricos simples.

 (^) Ejemplo 2: Aplicación de Ecuaciones Lineales en Economía  (^) En un mercado, la oferta y la demanda de un producto están modeladas por las siguientes ecuaciones:  (^) P=10−2QP = 10 - 2QP=10−2Q P=2Q+4P = 2Q

• 4P=2Q+  (^) donde PPP representa el precio y QQQ la cantidad demandada y ofrecida, respectivamente.

1. Paso 1: Igualar las ecuaciones 1. Igualamos las dos ecuaciones: 10−2Q=2Q+410 - 2Q = 2Q + 410−2Q=2Q+ 2. Paso 2: Resolver para QQQ 1. Restamos 2Q2Q2Q de ambos lados: 10−4=4Q10 - 4 = 4Q10−4=4Q

2. Simplificamos: 6=4Q6 = 4Q6=4Q
3. Dividimos ambos lados por 4: Q=64Q =
   frac{6}{4}Q=46 Q=1.5Q = 1.5Q=1. 3. Paso 3: Encontrar el precio PPP
4. Sustituimos QQQ en cualquiera de las ecuaciones para encontrar PPP: P=2(1.5)+4P = 2(1.5) + 4P=2(1.5)+ P=3+4P = 3 + 4P=3+4 P=7P = 7P=  (^) Por lo tanto, el precio PPP es 7 y la cantidad QQQ es 1.5 unidades.  (^) Estos ejemplos ilustran cómo se pueden resolver ecuaciones lineales utilizando métodos como la sustitución y cómo se pueden aplicar en contextos prácticos como la economía.

 Conclusión

 Las ecuaciones lineales son una herramienta poderosa en el arsenal matemático,

permitiendo la resolución de problemas complejos mediante métodos sistemáticos y

procedimientos bien definidos. Su comprensión y dominio son fundamentales para

cualquier estudiante o profesional que desee aplicar las matemáticas en el análisis y la

resolución de problemas reales.