Ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución, Transcriptions of Spanish

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TEMA: ECUACIONES LINEALES

CURSO: COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

SEMANA: 5

GUÍA DE ESTUDIO

ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita. La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 , (𝑎 ≠ 0 ), donde a y b son constantes.

Solución de una ecuación.

Una solución de una ecuación es una colección de valores (de las incógnitas), que, al ser reemplazadas en la ecuación, transforman a esta en una proposición verdadera. Sea la ecuación: 𝑥^2 − 9 = 0 Para 𝑥 = 3 y 𝑥 = − 3 se verifica la igualdad.

Clasificación de las ecuaciones según el número de soluciones

De acuerdo al número de soluciones las ecuaciones pueden ser:

 Ecuaciones compatibles. Al menos tienen una solución y pueden ser:

- Ecuaciones compatibles determinadas. Tienen un número limitado de soluciones.  (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)(𝑥 − 7) = 0 (𝑥 − 2) = 0 (𝑥 + 3) = 0 (𝑥 − 7) = 0 𝑐. 𝑠 { 2; −3; 7}  5𝑥 = 25 𝑐. 𝑠 = {5 }

• Ecuaciones compatibles indeterminadas. Tiene infinitas soluciones.  2 𝑥 − 3 = 2(𝑥 − 1) − 1 2x – 3 = 2x -3 𝑐. 𝑠 = 𝑅

Ecuaciones incompatibles o absurdas. Aquellas que no tienen ningún elemento en su conjunto

solución.

 0 𝑥 = 6 𝑐. 𝑠 = { } v 

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES

Según Arya J y Lardner R., Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguiente procedimiento por etapas con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso. Paso 1 Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como 𝑥. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con 𝑥 Paso 2 Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de 𝑥. Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga 𝑥. En este contexto, palabras tales como es o era se traducen al símbolo algebraico. Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos. Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal

LENGUAJE ALGEBRAICO

Es aquel que emplea símbolos y letras para representar números. Su función principal es establecer y estructurar un lenguaje que ayude a generalizar las diferentes operaciones que tienen lugar dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales.

ENUNCIADOS ABIERTOS FORMA VERBAL FORMA SIMBÓLICA Un número aumentado en 5 x + 5 Un número disminuido en 8 x - 8 El doble de un número 2x El triple de un numero 3x El costo de n lapiceros de 50 soles c/u 50n El doble de un numero aumentado en 25 2x + 25 El triple de un numero disminuido en 20 3x – 20 La edad de Silvio hace 10 años x - 10 La edad de Jorge dentro de 4 años x + 4 El dinero que tiene Manuel aumentado en 50 es igual a 250 x + 50 = 250 La edad de Juan dentro de 10 años será 28 años x + 10= 28 Un numero disminuido en 10 es igual a 25 x - 10= 25 El doble de la edad de Pedro aumentado en tres años es 25 2x + 3 = 25 La suma de dos números consecutivos es 31 x + x+1 = 31 La suma de dos números pares consecutivos es 34 2x + 2= El triple de la edad de Luis disminuido en cuatro años es 35 3x – 4 =

La edad de Roberto es menor de 10 años x < 10 El doble de la edad de Adán aumentado en 3 años es menor que 18 2x +3 < 18

Términos usados en negocios:

Costo Fijo ( CF ): es la suma de todos los costos que no dependen del nivel de producción Por ejemplo: Rentas, intereses sobre préstamos, salarios.

Costo Variable ( CV ): es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción.

Por ejemplo: los costos de los materiales.

Costo Unitario ( CU ): es el costo de producir cada unidad.

Costo Total ( C ): Suma de los costos fijos y los costos variables.

Costo total = Costo fijo + Costo variable 𝐶 = 𝐶𝐹 + 𝐶𝑉 Costo variable: 𝐶𝑢. 𝑞 𝑪𝒖 : 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒒 : 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒊𝒅𝒂𝒔 Ingreso (I): Ingreso total por las ventas.

Utilidad ( U ): Utilidad (si es positiva será ganancia, si es negativa será pérdida)

Volumen mínimo de Producción (VMP) : Es la cantidad que se debe producir para no perder ni ganar. También podría interpretarse como la cantidad mínima para recuperar la inversión.

Sean p = Precio de Venta y q = Cantidad de artículos producidos y vendidos.

𝐶 = 𝐶𝐹 + 𝐶𝑉 ó 𝐶 = 𝐶𝑢. 𝑞 + 𝐶𝐹 𝐼 = 𝑝. 𝑞; 𝑈 = 𝐼 − 𝐶

Ejemplo

La empresa Time especialista en la fabricación de relojes de pared, ofrece su producto a un precio de venta unitario de $ 70 y el costo de fabricación de cada reloj de aguja es de $40. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es de $ 9000.

A. Determine las ecuaciones del ingreso, costo total y utilidad. Con los datos brindados se obtiene las ecuaciones:

C  40 q  9000 ; I  70 q ; U  30 q  9000

Para hallar el VMP, hacemos U  0 o también I  C

En U  0 de aquí 30 q  9000  0 , sigue que 𝑞 = 300. Así el VMP es de 300 relojes.

TEMA: ECUACIONES LINEALES

CURSO: COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

SEMANA: 5

HOJA DE TRABAJO

Conocimiento/Compresión

1. Identifica cuál de las siguientes ecuaciones son compatibles e incompatibles: a. 2𝑥 + 5 = 12 ………………………………………. b. 5𝑥 – 26 = 14 + 5𝑥 ………………………………………. c. 5𝑥 + 4 = 4 ………………………………………. d. 3𝑥 + 12 = 3𝑥 ……………………………………….
2. Escribe algebraicamente las siguientes expresiones: a. El doble de un número 𝑥 ……………………………………… b. El triple de un número 𝑥 ……………………………………… c. El doble de un número 𝑥, más 5 ……………………………………. d. El cuadrado del triple de un número 𝑥 ………………………………………. e. Las tres cuartas partes de un número 𝑥 ………………………………………

Aplicación / Análisis

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a. 3𝑥 − 5(1 − 3𝑥) = 1 − 3(1 − 2𝑥) b. 4 [ 3 𝑥 − (𝑥 − 2 )] + 2 (𝑥 + 8 ) = − 4 − (𝑥 − 6 )

c.^6 ^ x^ ^2 ^ ^ 8 3^ x^ ^2 ^14 x

d. ^ x ^1 ^ x ^2 ^  x^2 ^3 ^ x ^4 

4. Encuentra el conjunto solución de:

a. 12 [1 + 14 (3𝑥 − 1)] = 2𝑥 3 − 12 - b. 5𝑥−6 2 = 𝑥 − 2−𝑥 3 c. 2𝑥−7 3 = 2 − 4𝑥−2 4

d. 1 − 2𝑥−3 4 = 2−5𝑥 3 e. 7𝑥+3 2 − 9𝑥−8 4 = 6

f.

𝑥+ 3 −^

4𝑥+ 6 = 2𝑥 − 3

5. Marco Antonio, dueño de la hacienda “Los Alisos” ; ubicada en las afueras de la ciudad de Chiclayo; está interesado en el cultivo de plantas orgánicas. Él ha decidido cercar una parte rectangular de su terreno para el sembrío de hortalizas. Para ello, ha comprado 𝟑𝟔 𝒎 de alambre, cantidad exacta que se necesita para cercar dicho terreno rectangular. Si se sabe que el largo del terreno mide 3m más que el doble de su ancho ¿cuánto mide el ancho del terreno rectangular dedicado al sembrío de hortalizas? ¿cuánto mide el largo?
6. Tenemos tres peceras y 56 peces. Los tamaños de las peceras son pequeño, mediano y grande, siendo la pequeña la mitad de la mediana y la grande el doble. Como no tenemos ninguna preferencia en cuanto al reparto de los peces, decidimos que en cada una de ellas haya una cantidad de peces proporcional al tamaño de cada pecera. ¿Cuántos peces pondremos en cada pecera?
7. Agrupamos un salón en carpetas para 8 personas, pero si las agrupamos en carpetas para 7 personas necesitamos 2 carpetas adicionales. ¿Cuántos estudiantes tiene el salón?

8. Mario cobró su sueldo semanal y gastó 23 soles, la tercera parte de lo que quedó lo depositó en el

banco y todavía le quedaron 162 soles. ¿Cuánto cobró Mario?

Evaluación / Síntesis

9. El costo fijo de producir un artículo enlatado es de S/5 000 diarios y el costo unitario es de S/ 3, por lata. El precio de venta de cada lata es S/ 6, 00. Si “𝑥” representa el número de latas producidas y vendidas. Determine: a. La ecuación ingreso total b. La ecuación costo total c. La ecuación de utilidad d. El punto de equilibrio
10. Un contador analiza los costos fijos mensuales de una fábrica de agendas ejecutivas que ascienden a S/ 9 000, el costo unitario de cada agenda a S/. 40 y su precio de venta unitario es de S/ 70. Determine: a. La ecuación ingreso total b. La ecuación costo total c. La ecuación de utilidad d. El punto de equilibrio
11. Una empresa de turismo representa sus movimientos financieros mediante las ecuaciones: Ingreso 𝐼 = 5𝑞 y la utilidad 𝑈 = 3𝑞 − 10 donde 𝑞 es la cantidad en cientos de paquetes turísticos vendidos. El dueño de la empresa desea saber cuál debe ser el nivel de ventas para que la compañía logre una ganancia del 75% del costo total.

12.Una empresa transnacional se dedica a la producción y venta de “avena orgánica” en empaques de 250 𝑔 cada uno. Se sabe que su costo fijo mensual es de 8 000 soles, el costo unitario de producción de cada empaque es de 10 soles y el precio de venta es 20 soles. a. Escriba las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad para la producción y posterior venta de “𝑥” empaques. b. Determine el punto de equilibrio. c. Calcule la ganancia cuando la empresa produce y vende 2400 unidades d. Calcule la ganancia cuando la empresa produce y vende 500 unidades

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CÓDIGO UPN AUTOR TÍTULO

510 MILL/M 2013

Miller, Charles; Heeren, Vern; Hornsby,John

Matemática: Razonamiento y aplicaciones.

510 HAEU/M 2008 Haeussler, Ernest Matemática para administración y economía 510 ARYA 2009 Arya, Jagdish C. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía