Exercices corrigés de mathématiques immobilières, Exercises of Mathematics

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Exercices et solutions : Intérêt composé

Avec la calculatrice BA ΙΙ Plus :

Variables à saisir ou à calculer :

𝑵 ∶ nombre total de périodes (versements) : nombre de composition par année × durée du

placement ou de l’emprunt (c’est l’exposant dans la formule).

I/Y : taux nominal annuel donc mettre le taux par année, ce n’est pas le taux périodique.

PV : versement initial (positif si entre dans les ou négatif)

PMT : le paiement périodique d’un emprunt amorti ou d’une annuité fractionnée.

FV : valeur finale de la mise en situation.

Variable juste à saisir

P/Y : nombre de périodes de versement par année (1 ou 2 ou 12 ou 26 ou 52 ou 365)

C/Y : nombre de périodes de calcul des intérêts

[

↓

]

Pour calculer la valeur future d'un placement avec des interets composes, j'ai utilise la formule suivante :

𝑺 = 𝑷 (𝟏 +

𝒊

𝒎

)

𝒕.𝒎

Avec, pour notre exercice :

• S est le montant final désiré du placement :? c’est notre inconnue, c’est ce qu’on cherche dans

cet exercice.

• P est le capital (ou montant ou investissement) initial : 2 5000 $
• 𝑖 est le taux d’intérêt annuel exprimé en décimal: 8% ou 0.
• 𝑚 est le nombre de périodes de composition par an : 52 (car intérêt composé hebdomadairement)
• 𝑡 est la durée du placement : 10 ans

On remplace dans la formule :

𝑆 = 25000

(

1 +

)

10 × 52

𝑆 = 25000 ×

(

)

520

≈ 55604. 33

Ainsi, la valeur future du placement apres 10 ans sera d'environ 55 604,33 $.

Avec la calculatrice BA II Plus :

Pour calculer la valeur future d'un placement avec des intérêts composés en utilisant la calculatrice BA II

Plus, suivez ces étapes :

1. [2ND] puis [CLR TVM] Efface les registres TVM pour vider la mémoire.
2. Entrez les données (on entre toujours 4 sur les 5 données à saisir):

o [2ND] puis [P/Y] 52 [ENTER] On saisit les paiements par année.

o [2ND] puis [QUIT] pour revenir au mode normal.

o 520 puis [N] On saisit le nombre de périodes totales (n). Comme les

intérêts sont composés hebdomadairement sur 10 ans, cela fait 520 semaines.

o 8 puis [I/Y] On saisit le taux d'intérêt annuel

o 25000 puis [+/−] puis [PV] On saisit la valeur présente (PV). Comme c'est un

investissement, cela doit être une valeur négative (car

c'est une sortie de fonds, ça sort de nos poches ).

o 0 puis [PMT] On saisit le paiement régulier (PMT). Comme il n'y a pas

de paiements réguliers dans cet exemple, entrez la valeur.

3. [CPT] puis [FV] On c alcule la valeur future (FV).

La calculatrice affichera la valeur future de l'investissement, qui devrait être environ 55,604.33 $.

Voici un résumé des touches à appuyer :

1. [2ND] [CLR WORK]

2. [2ND] [I/Y] 52 [ENTER] [2ND] [QUIT]

3. 520 [N]

4. [8] [I/Y]

5. 25000 [+/−] [PV]

6. [0] [PMT]

7. [CPT] [FV]

La calculatrice doit maintenant afficher la valeur future du placement après 10 ans.

Pour calculer la valeur future d'un placement avec des interets composes, on utilise la formule suivante :

𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 (𝟏 +

𝒊

𝒏

)

𝒏.𝒂

• PV : Valeur présente ( 7 0000 $)
• FV: Valeur future que nous devons trouver
• i : Taux d'intérêt annuel (3.75% ou 3.5% ou 3.25%)
• n : Nombre de périodes de composition par an (2 si semestriel, 365 si quotidien, 1 si annuel )
• a : Temps en années (5 ans).

a) 𝑖 = 3. 75 % capitalise semestriellement :

𝐹𝑉 = 70000 ( 1 +

)

2 × 5

𝐹𝑉 = 70000. ( 1. 204137877 )

𝐹𝑉 = 84289. 65136

Donc le capital futur est 84289 .65$ si le taux est 3 .75% capitalise semestriellement.

Avec la calculatrice :

Commandes sur la calculatrice Affichage

[2ND] [CLR TVM] Effacez les registres TVM pour vous assurer qu'il

n'y a pas de données précédentes. Pour ce faire,

appuyez sur [2ND] puis [CLR TVM].

10 [N] 𝑵 = 𝟏𝟎

3.75 [I/Y] 𝑰/𝒀 = 𝟑. 𝟕𝟓

70000 [+/-] [PV] 𝑷𝑽 = −𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎

0 [PMT] 𝑷𝑴𝑻 = 𝟎

[2ND] [I/Y] 2 [ENTER] 𝑷/𝒀 = 𝟐

[

↓

]

2 [ENTER] C/Y = 2

[CE|C] [CE|C] 0

[CPT] [FV] FV= 84289. 6514

b) 𝑖 = 3. 5 % capitalise quotidiennement :

𝐹𝑉 = 70000 ( 1 +

)

365 × 5

𝐹𝑉 = 70000

(

)

𝐹𝑉 = 83386. 5356

Donc le capital futur est 83386. 54 $ si le taux est 3 .5% capitalise quotidiennement.

Commandes sur la calculatrice Affichage

[2ND] [CLR TVM] Effacez les registres TVM pour vous assurer qu'il n'y

a pas de données précédentes. Pour ce faire, appuyez

sur [2ND] puis [CLR TVM].

365 × 5 = 1825 [N] 𝑵 = 𝟏𝟖𝟐𝟓

3.5 [I/Y] 𝑰/𝒀 = 𝟑. 𝟓

70000 [+/-] [PV] 𝑷𝑽 = −𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎

0 [PMT] 𝑷𝑴𝑻 = 𝟎

[2ND] [I/Y] 365 [ENTER] 𝑷/𝒀 = 𝟑𝟔𝟓

[

↓

]

𝟑𝟔𝟓 [ENTER] C/Y = 365

[CE|C] [CE|C] 0

[CPT] [FV] FV= 83386. 5356

c) 𝑖 = 3. 25 % capitalise annuellement :

𝐹𝑉 = 70000 ( 1 +

)

1 × 5

𝐹𝑉 = 70000 ( 1. 173411396 )

𝐹𝑉 = 82138. 79771

Donc le capital futur est 82138. 80 $ si le taux est 3 .25% capitalise annuellement.

Commandes sur la calculatrice Affichage

[2ND] [CLR TVM] Effacez les registres TVM pour vous assurer qu'il n'y

a pas de données précédentes. Pour ce faire, appuyez

sur [2ND] puis [CLR TVM].

5 [N] 𝑵 = 𝟓

3.25 [I/Y] 𝑰/𝒀 = 𝟑. 𝟓

70000 [+/-] [PV] 𝑷𝑽 = −𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎

0 [PMT] 𝑷𝑴𝑻 = 𝟎

[2ND] [I/Y] 1 [ENTER] 𝑷/𝒀 = 𝟏

[↓] 𝟏 [ENTER] C/Y = 1

[CE|C] [CE|C] 0

[CPT] [FV] FV= 82138. 7977

Conclusion : Le meilleur placement est le a).

𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 (𝟏 +

𝒊

𝒏

)

𝒏.𝒂

• PV : Valeur à trouver
• FV: Valeur future (200000$)
• i : Taux d'intérêt annuel (4.2%)
• n : Nombre de périodes de composition par an (2 si semestriel)
• a : Temps en années (0.5 an).

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ( 1 +

𝑖

𝑛

)

𝑛.𝑎

→ 200000 = 𝑃𝑉 ( 1 +

)

1. 5 × 2

200000 = 𝑃𝑉 × 1. 021

= 𝑃𝑉

𝑃𝑉 = 195886. 3859

Donc le placement devra être de 195886. 39 $.

Commandes sur la calculatrice Affichage

[2ND] [CLR TVM] Effacez les registres TVM pour vous assurer qu'il n'y

a pas de données précédentes. Pour ce faire, appuyez

sur [2ND] puis [CLR TVM].

0. 5 ∗ 2 = 1 [N] 𝑵 = 𝟏

4.2 [I/Y] 𝑰/𝒀 = 𝟒. 𝟐

200000 [FV] 𝑭𝑽 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

0 [PMT] 𝑷𝑴𝑻 = 𝟎

[2ND] [I/Y] 2 [ENTER] 𝑷/𝒀 = 𝟐

[

↓

]

𝟐 [ENTER] C/Y = 2

[CE|C] [CE|C] 0

[CPT] [PV] PV=-195886.

Pour résoudre cet exercice, nous devons calculer combien de temps il faudra pour que 226588$ placés à

un taux de 3% composé trimestriellement atteignent 230000$.

Utilisons la formule de la valeur future pour les intérêts composés trimestriellement :

Formule du calcul du montant (ou capital final) avec l’intérêt composé :

𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 (𝟏 +

𝒊

𝒎

)

𝒕.𝒎

Avec, pour notre exercice :

• FV est le montant final désiré : 230000 $
• PV est le capital (ou montant) initial : 226588$
• 𝑖 est le taux d’intérêt annuel : 3 %
• 𝑚 est le nombre de périodes de composition par an : 4 (car trimestriellement)
• 𝑡 est la durée du placement (ou de l’emprunt):? c’est notre inconnue, c’est ce qu’on cherche dans

cet exercice.

On remplace :

230000 = 226588 ( 1 +

)

4 𝑡

On isole 𝑡 :

On divise les deux membres par 226588 :

( 1 +

)

4 𝑡

=

(

1 + 0. 0075

)

4 𝑡

= 1. 0150569

Pour trouver 𝑡 , on applique le logarithme aux deux

membres (de chaque côté) :

log

[

( 1. 0075 )

4 𝑡

]

= log( 1. 0150569 )

On applique les propriétés du logarithme (log(𝑥

𝑦

) =

𝑦. log 𝑥) :

4 𝑡. log( 1. 0075 ) = log( 1. 0150569 )

𝑡 =

log

(

)

4 log( 1. 0075 )

≈

4 × 0. 003256

𝑡 ≈ 0. 4986

Cela représente le temps en années. Pour obtenir le

temps en mois, multiplions par 12:

𝑡 ≈ 0. 4986 𝑎𝑛𝑛é𝑒𝑠 = 5. 9832 𝑚𝑜𝑖𝑠

Ainsi, il faudrait environ 6 mois pour que 226588$

atteignent 230000$ avec un taux de 3% composé

trimestriellement.

Commandes sur la calculatrice Affichage

[2ND] [CLR TVM] Effacez les registres TVM pour vous assurer qu'il n'y

a pas de données précédentes. Pour ce faire, appuyez

sur [2ND] puis [CLR TVM].

3 [I/Y] 𝑰/𝒀 = 𝟒. 𝟐

230000 [FV] 𝑭𝑽 = 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎

226588 [PV] 𝑷𝑽 = 𝟐𝟐𝟔𝟓𝟖𝟖

0 [PMT] 𝑷𝑴𝑻 = 𝟎

[2ND] [I/Y] 4 [ENTER] 𝑷/𝒀 = 𝟒

[

↓

]

𝟒 [ENTER] C/Y = 4

[CE|C] [CE|C] 0

[CPT] [N] 𝑁 = 2. 0003

𝑁 = 𝑡 × 𝑚 = 𝑡 × 4 car 𝑚 c’est le nombre de période dans l’année, composition trimestrielle donc 𝑚 = 4.

𝑡 =

2. 0003

4

= 0. 500075 𝑎𝑛𝑛é𝑒𝑠

Alors 𝑡 , le nombre d’années du placement est 0.5 année soit 6 mois.