Exercices corrigés de mathématiques pour la licence, Exercises of Mathematical Analysis

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Exercices de licence

Les exercices sont de : Corn´elia Drutu (algebre et th´eorie des nombres) Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle) Leonid Potyagailo (algebre et g´eom´etrie) Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)

Les sujets d’examens sont de : Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC) Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)

Table des mati`eres

• Table des mati`eres
• I Topologie
• 1 Notions de topologie I
  • 1.1 Rappels
  • 1.2 Topologie g´en´erale
  • 1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere
  • 1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es
• 2 Notions de topologie II
  • 2.1 Topologie s´epar´ee
  • 2.2 Topologie induite, topologie produit
  • 2.3 Fonctions continues sur R
  • 2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques
  • 2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es
  • 2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques
  • 2.7 Suites, limites et valeurs d’adh´erence, points d’accumulation et points isol´es
• 3 Notions de topologie III
  • 3.1 Hom´eomorphisme
  • 3.2 Dualit´e, isom´etrie
  • 3.3 Prolongement de fonctions
  • 3.4 M´etrique de la convergence uniforme
  • 3.5 Th´eor`eme de Baire
• 4 Connexit´e
  • 4.1 Connexit´e
  • 4.2 Connexit´e par arcs
• 5 Compacit´e
  • 5.1 Espaces topologiques compacts
  • 5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es
• II Analyse r´eelle
• 6 Applications lin´eaires born´ees
  • 6.1 Applications lin´eaires
  • 6.2 Formes lin´eaires continues
• 7 Espaces m´etriques complets, Banach
  • 7.1 Espaces m´etriques complets
  • 7.2 Espaces norm´es, Banach
• 8 Th´eor`eme du point fixe
• 9 Applications uniform´ement continues
  • 9.1 Applications uniform´ement continues
  • 9.2 Equicontinuit´´ e, th´eor`eme d’Ascoli
• 10 Applications diff´erentiables
  • 10.1 Applications diff´erentiables
  • 10.2 Th´eor`eme des accroissements finis
• 11 Th´eor`eme d’inversion locale et des fonctions implicites
  • 11.1 Th´eor`emes d’inversion ; diff´eomorphismes
  • 11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites
  • 11.3 Sous-vari´et´es de Rn
• 12 Diff´erentielles d’ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums
  • 12.1 Diff´erentielles d’ordre sup´erieur
  • 12.2 Fonctions harmoniques
  • 12.3 Formule de Taylor, extremums
• 13 Equations diff´erentielles
  • 13.1 Equations diff´erentielles : rappels
  • 13.2 Solutions maximales d’´equations diff´erentielles
  • 13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz
  • 13.4 Systemesa coefficients constants
  • 13.5 R´esolvantes
  • 13.6 Divers
• III Alg`ebre et g´eom´etrie
• Table des mati`eres
• 14 G´en´eralit´es sur les groupes
• 15 Groupes et actions
• 16 Isom´etries euclidiennes
• 17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire de Rn
• 18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique
• 19 Le groupe orthogonal et les quaternions
• 20 G´eom´etrie projective I
• 21 G´eom´etrie projective II : homographies de CP
  • 21.1 Applications conformes
  • 21.2 Propri´et´es des homographies de CP
• 22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique
• IV Analyse complexe
• 23 S´eries enti`eres
• 24 Fonctions holomorphes
• 25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances
• 26 Formule de Cauchy
• 27 Cons´equences de la formule de Cauchy
• 28 Singularit´es
• 29 Int´egrales curvilignes
• 30 Th´eor`eme des r´esidus
• 31 Fonctions Zeta et autres...
  • 31.1 Divers
  • 31.2 Transformations de C
• V Alg`ebre et th´eorie des nombres
• 32 Groupes
• 33 Sous-groupes, morphismes
• 34 Groupes finis
• 35 Anneaux, corps
• 36 Polynˆomes
• 37 Extension de corps
• 38 Extension d’anneau
• VI Sujets d’examens
• 39 Examen AR janvier
• 40 Examen AR juin
• 41 Examen AR septembre
• 42 Examen AR janvier
• 43 Examen AR juin
• 44 Examen AR septembre
• 45 Examen AR juin
• 46 Examen ARC d´ecembre

1 Notions de topologie I 4

47 Examen ARC janvier 1999 110

48 Examen ARC septembre 1999 111

49 Examen ARC novembre 1999 112

50 Examen ARC janvier 2000 114

51 Examen ARC septembre 2000 115

52 Examen ARC d´ecembre 2000 116

53 Examen ARC janvier 2001 117

54 Examen ARC septembre 2001 118

55 Examen VC janvier 96 119

56 Examen VC avril 96 120

57 Examen VC juin 96 121

58 Examen VC septembre 96 123

59 Examen VC janvier 98 125

VII Corrections 127

Premi`ere partie

Topologie

1 Notions de topologie I

1.1 Rappels

Exercice 1 1. Rappeler les d´efinitions d’une borne sup´erieure (inf´erieure) d’un ensemble de nombres r´eels. Si A et B sont deux ensembles born´es de R, comparer avec sup A, inf A, sup B et inf B les nombres suivants : (i) sup(A + B), (ii) sup(A ∪ B), (iii) sup(A ∩ B), (iv) inf(A ∪ B), (v) inf(A ∩ B).

2. Pour x ∈ Rn^ et A ⊂ Rn^ on d´efinit d(x, A) = infa∈A ||x − a||. Trouver d(0, R − Q), d(

√

2 , Q), d(M, D) o`u M = (x, y, z) ∈ R^3 et D est la droite de vecteur unitaire (a, b, c).

3. Pour A, B ⊂ Rn^ on d´efinit d(A, B) = infa∈A,b∈B ||a − b||. Trouver d(A, B) lorsque A est une branche de l’hyperbole {(x, y) ∈ R^2 ; xy = 1} et B une asymptote.
4. On d´efinit diamA = supa,b∈A ||a − b||. Quel est diam([0, 1] ∩ Q)? diam([0, 1] ∩ R − Q)?

Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union d´enombrable d’intervalles ouverts deux `a deux disjoints. (Indication : si x ∈ O ouvert, consid´erer Jx = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ O et 3 x). D´ecrire de mˆeme les ouverts de Rn.

Exercice 3 On va montrer que l’ensemble D des r´eels de la forme p + q

√

2 o`u p et q d´ecrivent Z, est dense dans R.

1. Remarquer que D est stable par addition et multiplication.
2. Posons u =

√

2 − 1 ; montrer que pour tous a < b, on peut trouver n > 1 tel que 0 < un^ < b − a, puis m v´erifiant a < mun^ < b. En d´eduire le r´esultat.

1.2 Topologie g´en´erale

Exercice 4 1. Soit X = { 0 , 1 } muni de la famille d’ouverts {∅, { 0 }, X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee?

2. Soit X un ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d’ouverts.

1 Notions de topologie I 5

3. D´ecrire la topologie sur R dont la famille des intervalles ferm´es forme une base d’ouverts ; mˆeme question avec les intervalles ouverts sym´etriques.
4. Soit X un ensemble infini. Montrer que la famille d’ensembles constitu´ee de l’ensemble vide et des parties de X de compl´ementaire fini d´efinit une topologie sur X.

Exercice 5 Soit X un espace topologique, et f une application quelconque de X dans un ensemble Y. On dit qu’une partie A de Y est ouverte, si f −^1 (A) est un ouvert de X. V´erifier qu’on a d´efini ainsi une topologie sur Y.

Exercice 6 Montrer qu’on peut construire sur R ∪ {∞} une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les ouverts de R et les ensembles de la forme {x/|x| > a} ∪ {∞} o`u a est r´eel. Comment construire une topologie s´epar´ee sur R ∪ {+∞} ∪ {−∞}?

Exercice 7 Soit X un ensemble non vide et Σ une famille de parties de X stable par intersection finie et contenant X. Montrer que la plus petite topologie T contenant Σ (la topologie engendr´ee par Σ) est constitu´ee des unions d’ensembles de Σ, ou, de fa¸con ´equivalente,

A ∈ T ⇐⇒ ∀x ∈ A ∃S ∈ Σ ; x ∈ S ⊂ A.

Montrer que l’on peut affaiblir l’hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en : (∗) ∀S 1 , S 2 ∈ Σ, ∀x ∈ S 1 ∩ S 2 , ∃S 3 ∈ Σ ; x ∈ S 3 ⊂ S 1 ∩ S 2.

Exercice 8 Soit C l’ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0, 1]. Pour toute f ∈ C et ε > 0 on d´efinit

M (f, ε) = {g/

∫ 1

0

|f − g| < ε}.

Montrer que la famille M des ensembles M (f, ε) lorsque f ∈ C et ε > 0 est une base de topologie. Mˆeme question avec la famille U (f, ε) = {g/ sup x

|f (x) − g(x)| < ε}.

Exercice 9 U dans N est dit ouvert s’il est stable par divisibilit´e, c.a.d. tout diviseur de n ∈ U est encore dans U. Montrer qu’on a d´efini ainsi une topologie sur N qui n’est pas la topologie discr`ete.

Exercice 10 On consid`ere dans N∗, la famille de progressions arithm´etiques

Pa,b = {a + bn/n ∈ N∗},

o`u a et b sont deux entiers premiers entre eux.

1. Montrer que l’intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithm´etique de mˆeme nature, plus pr´ecis´ement, Pa,b ∩ Pa′,b′ = Pα,β o`u α est le minimum de l’ensemble Pa,b ∩ Pa′,b′^ , et β = ppcm (b, b′).
2. En d´eduire que cette famille d’ensembles (en y adjoignant ∅) forme une base de topologie sur N∗^ dont on d´ecrira les ouverts.
3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.

1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere

Exercice 11 1. Montrer que si B est un ouvert de l’espace topologique X et A ∩ B = ∅, alors A ∩ B = ∅, mais que A ∩ B n’est pas n´ecessairement vide.

2. Montrer `a l’aide d’exemples que l’´egalit´e ∪iAi = ∪iAi n’a pas lieu en g´en´eral pour une infinit´e d’indices.

Exercice 12 D´eterminer l’adh´erence et l’int´erieur des ensembles suivants : Q ; R\Q ; {(x, y) ∈ R^2 / 0 < x < 1 , y = 0} ; {(x, y, z) ∈ R^3 / x = 0} { (^) n^1 , n > 1 } ; le cercle unit´e de R^2.

Exercice 13 Si A est une partie de l’espace topologique X, on pose α(A) =

◦ A et β(A) =

◦ A.

1. Montrer que α et β sont des applications croissantes pour l’inclusion de P(X) dans P(X).
2. Montrer que si A est ouvert, A ⊂ α(A) et si A est ferm´e, β(A) ⊂ A. En d´eduire que α^2 = α et β^2 = β.

1 Notions de topologie I 6

3. Construire A ⊂ R tel que les cinq ensembles : A, A,

◦ A,^ α(A),^ β(A) soient tous distincts.

Exercice 14 D´eterminer l’adh´erence dans R^2 du graphe

G = {(x, y)/y = sin

x

, 0 < x 6 1 }.

Exercice 15 Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d’une partie A comme ´etant ∂A = A \

◦ A.

1. Montrer que ∂A = ∂(Ac) et que A = ∂A ⇐⇒ A ferm´e d’int´erieur vide.
2. Montrer que ∂(A) et ∂(

◦ A) sont toutes deux incluses dans^ ∂A, et donner un exemple o`u ces inclusions sont strictes.

3. Montrer que ∂(A ∪ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B, et que l’inclusion peut ˆetre stricte ; montrer qu’il y a ´egalit´e lorsque A ∩ B = ∅ (´etablir

◦ A ∪ B⊂

◦ A ∪^

◦ B). Montrer que

◦ A ∪ B=

◦ A ∪^

◦ B reste vrai lorsque^ ∂A^ ∩^ ∂B^ =^ ∅^ (raisonner par l’absurde).

Exercice 16 1. Soit X un espace topologique, et D un sous-ensemble (partout) dense dans X. Montrer qu’il est aussi ´equivalent de dire (i) Le compl´ementaire de D est d’int´erieur vide. (ii) Si F est un ferm´e contenant D, alors F = X. (iii) D rencontre tout ouvert non vide de X. Montrer qu’un ensemble A ⊂ X rencontre toute partie dense dans X si et seulement si il est d’int´erieur non vide.

2. Soit E et G deux ouverts denses dans X ; montrer que E ∩ G est encore dense dans X. En d´eduire que toute intersection d´enombrable d’ouverts denses est une intersection d´ecroissante d’ouverts denses.

Exercice 17 Etablir les propri´et´es suivantes de l’adh´erence d’un ensemble dans un espace topologique :

1. A = A
2. Si A ⊂ B alors A ⊂ B.
3. A ∪ B = A ∪ B

Montrer que la formule A ∩ B = A ∩ B n’est pas vraie en g´en´eral ; montrer que 3. n’est pas vrai en g´en´eral pour une infinit´e d’ensembles.

Exercice 18 Etablir l’´equivalence entre les propri´et´es suivantes :

◦ A est le plus grand ouvert contenu dans^ A.

2. a ∈

◦ A si et seulement si il existe un voisinage de^ a^ entierement contenu dans^ A. Etablir pour l’int´erieur d’un ensemble des propri´et´es analoguesa celles de l’exercice 17.

Exercice 19 On rappelle la construction de l’ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0, 1] dont on supprime l’intervalle m´edian ] 13 , 23 [ ; a la deuxieme ´etape, on supprime les intervalles ] 19 , 29 [ et ] 79 , 89 [ etc. On note Kn la r´eunion des intervalles restants a la n-ieme ´etape, et K =

⋂

Kn.Quelle est l’adh´erence et l’int´erieur de K?

Exercice 20 Soit X un espace topologique, et D un sous-ensemble dense dans X. Montrer qu’il est aussi ´equivalent de dire

1. Le compl´ementaire de D est d’int´erieur vide.
2. Si F est un ferm´e contenant D, alors F = X.
3. D rencontre tout ouvert de X.

Montrer qu’un ensemble A ∈ X rencontre toute partie dense dans X si et seulement si il est d’int´erieur non vide.

Exercice 21 Soit E et G deux ouverts denses dans X ; montrer que E ∩ G est encore dense dans X.

Exercice 22 Soit f une application de R dans R telle que pour tout a > 0, l’ensemble des x v´erifiant |f (x)| > a est fini. Montrer que {x/f (x) = 0} est dense dans R. Le v´erifier sur l’exemple suivant : on ´enum`ere les rationnels r 1 , r 2 , r 3 , · · · , rn, · · · et on pose f (rn) = (^1) n si n > 1, f (x) = 0 ailleurs.

Exercice 23 Montrer que {

√

n − E(

√

n), n > 1 } est dense dans [0, 1], ou E(x) d´esigne la partie entiere de x.

1 Notions de topologie I 7

1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es

Exercice 24 1. Montrer que dans tout espace m´etrique (E, d) une boule ferm´ee est un ferm´e, mais que l’adh´erence d’une boule ouverte B(a, r) ne coincide pas n´ecessairement avec la boule ferm´ee B′(a, r) (on pourra consid´erer dans (R^2 , ||.||∞), E = [0, 1] × { 0 } ∪ { 0 } × [0, 1] et la boule centr´ee en ( 12 , 0) de rayon 1 /2).

2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E, d) v´erifie la condition (∗) de l’exercice 7.

Exercice 25 (E, ||.||) un evn.

1. Montrer que dans ce cas la boule ferm´ee B′(a, r) est l’adh´erence de la boule ouverte B(a, r).
2. Montrer que B(a, r) ⊂ B(b, R) ⇐⇒ r 6 R et ||a − b|| 6 R − r.

Exercice 26 1. Si (x, y) ∈ R^2 , on pose ||(x, y)|| = max(|x + y|, |x − 2 y|). Montrer qu’il s’agit d’une norme sur R^2 et dessiner sa boule unit´e ferm´ee.

2. Soit p, q deux normes sur Rn, Bp et Bq leurs boules unit´es ferm´ees. Montrer que

Bq ⊂ Bp ⇐⇒ p 6 q.

Que signifie 12 Bp ⊂ Bq ⊂ 2 Bp? Exemples.

Exercice 27 Soit E un ensemble non vide, et X = EN^ l’ensemble des suites x = (xn) d’´el´ements de E. Pour x, y ∈ X, on pose p(x, y) = min{n/xn 6 = yn} si x 6 = y, et ∞ si x = y.

1. Montrer que d(x, y) = (^) p(x,y^1 ) (avec (^) ∞^1 = 0) est une distance sur X qui v´erifie l’in´egalit´e ultram´etrique

d(x, z) 6 max(d(x, y), d(y, z)).

2. Quelles sont les boules ouvertes et les boules ferm´ees pour cette m´etrique?

Exercice 28 1. Soit ||.|| une norme sur Rn^ et K sa boule unit´e ferm´ee. Montrer que

(i) K est sym´etrique, (ii) K est convexe, ferm´e, born´e, (iii) 0 est un point int´erieur `a K.

2. R´eciproquement, montrer que si K poss`ede les trois propri´et´es ci-dessus, il existe une norme dont K soit la boule unit´e ferm´ee, en consid´erant p(x) = inf{a > 0 ; xa ∈ K}. [Exercice corrig´e]

Exercice 29 On note X = l∞^ l’espace des suites r´eelles born´ees, et Y = c 0 l’espace des suites r´eelles tendant vers 0, tous deux munis de la m´etrique (a v´erifier) d(x, y) = supn |x(n) − y(n)|. Montrer que Y est ferm´e dans X. Montrer que l’ensemble des suites nullesa partir d’un certain rang est dense dans Y mais pas dans X.

Exercice 30 Soit E = {f ∈ C^1 ([0, 1], R) ; f (0) = 0}. On pose

||f || = sup 06 x 61

|f (x) + f ′(x)|, et N (f ) = sup 06 x 61

|f (x)| + sup 06 x 61

|f ′(x)|.

Montrer que ce sont deux normes ´equivalentes sur E.

Exercice 31 Montrer que dans un espace norm´e, la boule unit´e est convexe. R´eciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une application N de E dans R+^ telle que N (λx) = |λ|N (x), et telle que {y/N (y) 6 1 } soit convexe. Montrer que

N (x + y) 6 2 sup(N (x), N (y)), x, y ∈ E.

Exercice 32 On consid`ere dans R^2 , les deux applications

n((x, y)) = sup t∈[0,1]

|x + ty|,

m((x, y)) =

∫ 1

0

|x + ty| dt.

2 Notions de topologie II 8

1. Montrer que n et m d´efinissent deux normes sur R^2.
2. Dessiner les boules unit´es ferm´ees associ´ees, et trouver des constantes effectives A,B, telles que A n((x, y)) 6 m((x, y)) 6 B n((x, y)) pour tout (x, y) ∈ R^2.

Exercice 33 1. On consid`ere dans R^2 les 4 boules euclidiennes ferm´ees de rayon 1 centr´ees aux points (1, 0), (− 1 , 0), (0, 1), (0, −1) ; A leur r´eunion contient 0 comme point int´erieur. Trouver le rayon de la plus grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dans A.

2. On se pose plus g´en´eralement le probleme dans Rn^ : A d´esigne l’union ∪j B(ej , 1) ∪j B(−ej , 1) ou (ej ) est la base canonique de Rn. Montrer que x ∈ A si et seulement si ‖x‖^22 6 2 ‖x‖∞. En d´eduire que le rayon de la plus grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dans A est √^2 n.

Exercice 34 ∑ Soit N un entier > 1, et E, l’espace des polynˆomes trigonom´etriques p de degr´e 6 N , p(t) = N −N ck^ exp(ikt). On pose, pour p ∈ E, ‖p‖∞ = supt∈[0, 2 π] |p(t)|, et ‖p‖ =

∑N

−N |ck|. Montrer, `a l’aide de l’identit´e de Parseval, que ces deux normes v´erifient ‖p‖∞ 6 ‖p‖ 6

√

2 N + 1‖p‖∞.

2 Notions de topologie II

2.1 Topologie s´epar´ee

Exercice 35 (Espace quasi-s´epar´e) Soit (X, T ) un espace topologique.

1. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) ∀x, y ∈ X, x 6 = y, ∃V voisinage de x ; y /∈ V. (ii) ∀x ∈ X, {x} est ferm´e. (iii) ∀x ∈ X, ∩ {V ; V voisinage de x} = {x}.
2. Soit (X, T ) ainsi et A ⊂ X tel que A 6 = A. Montrer que si x ∈ A\A, tout voisinage de x coupe A en une infinit´e de points.

Exercice 36 (Exemple de topologie non s´epar´ee) Dans C, on note [z 0 → [ la demi-droite {ρeiθ^0 ; ρ > ρ 0 }, si z 0 = ρ 0 eiθ^0. On d´eclare ouvert toute r´eunion (´eventuellement vide) de telles demi-droites.

1. Montrer qu’on a ainsi d´efini sur C une topologie T non s´epar´ee.
2. Montrer que l’adh´erence du point {z 0 } pour cette topologie est [0, z 0 ].
3. En d´eduire que les ferm´es de T sont les ensembles ´etoil´es par rapport a 0 (A est dit “´etoil´e par rapporta 0” si, pour tout z ∈ A, le segment [0, z] est encore dans A). [Exercice corrig´e]

2.2 Topologie induite, topologie produit

Exercice 37 Soit (X, T ) un espace topologique s´epar´e. Montrer que la diagonale ∆ de X × X est ferm´ee dans X × X.

Exercice 38 1. Quels sont les ouverts de [1, 2] ∪ { 3 } induits par ceux de R?

2. Quelle est la topologie induite sur Z par celle de R?
3. Quels sont les ouverts du cercle Γ = {z/|z| = 1}? du demi-plan {z/ Im z > 0 }? du demi-plan {z/ Im z > 0 } dans C?

Exercice 39 Soit Y un sous-ensemble de l’espace topologique X, muni de la topologie induite. D´ecrire les ouverts (ferm´es) induits de Y lorsque Y est ouvert (ferm´e).

Soit A ⊂ Y. Montrer que l’adh´erence de A dans Y , A

Y = Y ∩ A ; a-t-on pour l’int´erieur de A dans Y , ◦ AY^ = Y ∩

◦ A?

Exercice 40 On dit qu’un espace topologique X a la propri´et´e (P) si la famille de parties de X qui sont `a la fois ouvertes et ferm´ees est une base pour les ouverts de X.

1. Montrer qu’un espace topologique discret a cette propri´et´e.
2. Montrer que la topologie induite sur Q par la topologie usuelle de R n’est pas la topologie discrete, mais qu’elle possede aussi la propri´et´e (P).
3. Autre exemple?

2 Notions de topologie II 9

2.3 Fonctions continues sur R

Exercice 41 Soit f une isom´etrie de R dans R. Montrer qu’on a soit f (x) = a − x, soit f (x) = a + x, ou a = f (0). (Se ramenera a = 0.)

Exercice 42 Soit f une application de R dans R, telle que f (x + y) = f (x) + f (y) et f (xy) = f (x)f (y) pour tous x, y ∈ R. On va montrer que f est soit nulle, soit la fonction identit´e.

1. Remarquer que f (x) > 0 si x > 0 et ainsi, que f est croissante.
2. Montrer que pour tout x r´eel on peut construire une suite (rk) et une suite (sk) de rationnels telles que rk ↑ x et sk ↓ x. En d´eduire le r´esultat.

Exercice 43 Soit f une application continue de R dans R. On rappelle que t est une p´eriode de f si f (x + t) = f (x) pour tout x r´eel. Soit E le groupe des p´eriodes de f , suppos´e non vide et T = inf{t ∈ E ; t > 0 , }.

1. Montrer que si T = 0 alors f est constante.
2. Si T > 0, f est T -p´eriodique et E = Z.T.

Exercice 44 Soit f une application de R dans R et ω sa fonction oscillation d´efinie pour x 0 ∈ R et δ > 0 par

ω(x 0 , δ) = sup {|x 0 −y|=δ,|x 0 −z|=δ}

|f (y) − f (z)|.

1. Remarquer que f est continue en x 0 si et seulement si

ω(x 0 ) = inf δ> 0

ω(x 0 , δ) = 0.

2. Montrer que pour tout ε > 0, Oε = {x ; ω(x) < ε} est un ouvert. En d´eduire que C(f ), l’ensemble des points de continuit´e de f , est un Gδ.

Exercice 45 Existe-t-il une application continue f de [0, 1] dans R, telle que f (x) soit rationnel si x est irrationnel, et f (x) irrationnel si x est rationnel?

Exercice 46 On note pour tout x ∈ R, ϕ(x) = dist(x, Z).

1. Montrer que la fonction ϕ est continue, 1-p´eriodique, et ´etudier la fonction f telle que

f (x) =

∑

n

ϕ(2nx) 2 n^

.

2. On fixe x 0 ∈ R, et on consid`ere les deux suites de terme

zk =

2 k^

E(2kx 0 ), yk = zk +

2 k^

.

Montrer que la suite (zk) croˆıt vers x 0 et que la suite (yk) d´ecroˆıt vers x 0. Calculer f^ (z zkk^ )− −fy^ k(y k^ )et en d´eduire que f n’est pas d´erivable en x 0. On a ainsi construit une fonction continue, nulle part d´erivable.

2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques

Exercice 47 Soit X un ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l’ensemble vide, et les parties de compl´ementaire fini. Montrer que si Y est un espace s´epar´e, toute application continue de X dans Y est constante.

Exercice 48 Soit X un espace topologique et f : X → R.

1. Montrer que f est continue si et seulement si pour tout λ ∈ R, les ensembles {x ; f (x) < λ} et {x ; f (x) > λ} sont des ouverts de X.
2. Montrer que si f est continue, pour tout ω ouvert de R, f −^1 (ω) est un Fσ ouvert de X (Fσ = r´eunion d´enombrable de ferm´es).
3. Soit A ⊂ X. A quelle condition f = (^1) A est-elle continue sur X?

2 Notions de topologie II 10

Exercice 49 1. Soit C l’espace des fonctions continues r´eelles sur [0, 1] muni de la m´etrique d 1 (f, g) = ∫ (^1) 0 |f^ −^ g|^ dx, puis de la m´etrique^ d∞(f, g) = supx^ |f^ (x)^ −^ g(x)|. V´erifier que l’application^ f^ →^

∫ 1

0 |f^ |dx de C dans R est 1-lipschitzienne dans les deux cas.

2. Soit c l’espace des suites r´eelles convergentes, muni de la m´etrique d(x, y) = supn |x(n) − y(n)|. Si on d´esigne par l(x) la limite de la suite x, montrer que l est une application continue de c dans R. En d´eduire que c 0 est ferm´e dans c.

Exercice 50 Soit f, g deux applications continues de X dans Y , espaces topologiques, Y ´etant s´epar´e.

1. Montrer que {f = g} est ferm´e dans X ; en d´eduire que si f et g coincident sur une partie dense de X, alors f = g.
2. Application : Soit f une fonction continue de R dans R, telle que f (x+y) = f (x)+f (y) pour tous x, y ∈ R. Montrer que f (r) = rf (1) pour tout rationnel r et en d´eduire l’expression de f.

Exercice 51 Soit E et F deux espaces vectoriels norm´es et on note BE la boule unit´e ferm´ee de E. Soit u une application de E dans F telle que (i) u(x + y) = u(x) + u(y), ∀x, y ∈ E. (ii) u(BE ) est born´ee dans F.

1. Calculer u(rx), x ∈ E, r rationnel.
2. Montrer que u est continue en 0, plus pr´ecis´ement :

∃M > 0 ; ∀x 6 = 0 ||u(x)|| 6 M ||x||.

3. Montrer que u est continue et lin´eaire.

Exercice 52 Soit O un ouvert de l’espace topologique produit X ×Y. Montrer que pour tout x ∈ X, l’ensemble Ax = {y ∈ Y /(x, y) ∈ O} est un ouvert de Y. Le v´erifier sur {(x, y) ∈ R^2 /xy > 1 , x + y < 4 }.

Exercice 53 Montrer que si f est continue de X dans Y , espaces topologiques, Y ´etant s´epar´e, son graphe G est ferm´e dans X × Y. Etudier la r´eciproque en consid´erant l’hyperbole ´equilat`ere.

Exercice 54 Soit f : X → Y , espaces topologiques. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) f est continue. (ii) f −^1 (B) ⊂ f −^1 (B) pour toute partie B de Y. (iii) f −^1 (

◦ B)^ ⊂

◦ f −^1 (B) pour toute partie B de Y. En d´eduire ∂f −^1 (B) ⊂ f −^1 (∂B) pour toute partie B de Y.

Exercice 55 Une application de X dans Y est dite ouverte si l’image de tout ouvert de X est un ouvert de Y ; ferm´ee si l’image de tout ferm´e de X est un ferm´e de Y.

1. Montrer qu’une fonction polynˆomiale de R dans R est une application ferm´ee.
2. Montrer que l’application (x, y) ∈ X × Y → x ∈ X est ouverte mais pas n´ecessairement ferm´ee (consid´erer l’hyperbole ´equilat`ere de R^2 ).
3. Montrer que la fonction indicatrice de l’intervalle [0, 12 ], comme application de R dans { 0 , 1 }, est surjective, ouverte, ferm´ee, mais pas continue.
4. Montrer que toute application ouverte de R dans R est monotone.

Exercice 56 1. Montrer que f est continue si et seulement si f (A) ⊂ f (A) pour tout A dans X. Que peut-on dire alors de l’image par f d’un ensemble dense dans X?

2. Montrer que f est ferm´ee si et seulement si f (A) ⊂ f (A), et que f est ouverte si et seulement si f (

◦ A)^ ⊂^

◦ f (A).

Exercice 57 Soit C l’espace des fonctions continues r´eelles sur [0, 1] muni de la m´etrique d(f, g) =

∫ 1

0 |f^ −g|^ dx, puis de la m´etrique d(f, g) = supx |f (x) − g(x)|. V´erifier que l’application f →

∫ 1

0 f dx^ de^ C^ dans^ R^ est continue dans les deux cas.

Exercice 58 Soit c l’espace des suites r´eelles convergentes, muni de la m´etrique d(x, y) = supn |x(n) − y(n)|. Si on d´esigne par l(x) la limite de la suite x, montrer que l est une application continue de c dans R.

2 Notions de topologie II 11

Exercice 59 Soit X un ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l’ensemble vide, et les parties de compl´ementaire fini. Montrer que si Y est un espace s´epar´e, toute application continue de X dans Y est constante.

Exercice 60 Soit X un espace m´etrique et Y un sous-ensemble de X. Montrer que Y est ferm´e si et seulement si il existe une application continue f : X → R telle que Y = {x/f (x) = 0}.

Exercice 61 Soit f une application ouverte de X dans Rn, et A une partie de X. Montrer que pour tout a dans l’int´erieur de A, ‖f (a)‖ < sup x∈A

‖f (x)‖.

2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es

Exercice 62 Si A est une partie born´ee d’un espace m´etrique (E, d), on pose diamA = supa,b∈A d(a, b).

1. Montrer que diamA = diamA.
2. Trouver le diam`etre de {f ∈ C([0, 1]) ; 0 6 f 6 1 } ; de {f ∈ C([0, 1]) ; 0 6 f 6 1 , f (0) = 0}, C ´etant muni de la m´etrique d 1.

Exercice 63 Soit (X, d) un espace m´etrique ; montrer que l’application (x, y) → d(x, y) est continue sur le produit X × X.

Exercice 64 Soit (E, d) un espace m´etrique et A une partie de E ; retrouver les propri´et´es de la fonction dA : x → d(x, A) :

1. dA est 1-lipschitzienne ; d(x, A) = d(x, A) et dA(x) = 0 si et seulement si x ∈ A.
2. Montrer que {x ∈ E ; d(x, A) < ε} est un ouvert contenant A.
3. Montrer que tout ferm´e de E est un Gδ et que tout ouvert est un Fσ.

Exercice 65 (Support d’une fonction continue) Soit f : E → R une fonction continue d´efinie sur un espace topologique E. On appelle support (ferm´e) de f , S = S(f ) = {x ∈ E ; f (x) 6 = 0}.

1. Montrer que S =

◦ S.

2. R´eciproque. On suppose E m´etrique et A ⊂ E ferm´e v´erifiant A =

◦ A. Montrer qu’il existe^ f^ :^ E^ →^ R^ une fonction continue telle que A = S(f ).

Exercice 66 1. Montrer qu’un espace m´etrique possede une propri´et´e forte de s´eparation,a savoir : deux ferm´es disjoints F 1 et F 2 peuvent ˆetre s´epar´es par deux ouverts disjoints, en consid´erant {x/d(x, F 1 ) > d(x, F 2 )}.

2. Montrer que la propri´et´e pr´ec´edente est ´equivalente `a l’existence d’une fonction continue f valant 0 sur F 1 et 1 sur F 2 (consid´erer f (x) = (^) d(x,Fd 1 (x,F)+d^1 ()x,F 2 ) ).

Exercice 67 Soit (X, d) un espace m´etrique avec m´etrique born´ee. On note F l’ensemble des ferm´es non vides de X, et on d´efinit pour A et B dans F,

δ(A, B) = ‖dA − dB ‖∞

o`u dA est la fonction born´ee x → d(x, A). Montrer qu’on a d´efini ainsi une m´etrique sur F, et que l’application a → {a} est une isom´etrie de X dans F.

Exercice 68 Soit E un espace vectoriel norm´e sur R ou C.

1. V´erifier que l’application (λ, x) → λx est continue ; que (x, y) → x+y est lipschitzienne ainsi que l’applica- tion x → ‖x‖ ; et que les translations et les homoth´eties sont des hom´eomorphismes de E.
2. Montrer que la boule unit´e ouverte est hom´eomorphe `a E tout entier (consid´erer l’application x → (^1) −||xx|| ).
3. Montrer que deux boules ouvertes de (E, ||.||) sont hom´eomorphes entre elles.
4. Montrer que le seul sous-espace ouvert de E est E lui-mˆeme, et que tout sous-espace propre est d’int´erieur vide dans E.
5. Montrer que l’adh´erence d’un sous-espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel ; en d´eduire qu’un hyperplan de E est ferm´e ou partout dense dans E.

2 Notions de topologie II 12

Exercice 69 (extrait du partiel de d´ecembre 98) Soit E un espace vectoriel norm´e sur C de boule unit´e ferm´ee B et F un sous-espace vectoriel ferm´e de E. On va montrer que si F 6 = E,

sup x∈B

d(x, F ) = 1.

1. Etablir les propri´et´es pour x, x′^ ∈ E, y ∈ F, λ ∈ C : (i) d(x, F ) 6 ||x||. (ii) d(λx, F ) = |λ|d(x, F ). (iii) d(x − y, F ) = d(x, F ) (iv) d(x + x′, F ) 6 d(x, F ) + d(x′, F ).
2. Soit x ∈ B tel que α = d(x, F ) > 0. Montrer que pour tout ε > 0 il existe y ∈ F tel que :

α 6 ||x − y|| < α(1 + ε).

3. Montrer qu’il existe x′^ ∈ B tel que : (^) 1+^1 ε = d(x′, F ) < 1.
4. En d´eduire le r´esultat.

Exercice 70 Peut-on construire dans R un ensemble infini, ferm´e, constitu´e uniquement d’irrationnels?

Exercice 71 Montrer que sur Rn, les distances d euclidienne, d∞ et d 1 d´efinissent la mˆeme topologie.

Exercice 72 1. Dans R^2 , on consid`ere U = R^2 {(0, y) ∈ R^2 /y > 0 }. V´erifier qu’il est ouvert et qu’il peut s’´ecrire comme une union d´enombrable de ferm´es (un tel ensemble est dit de type Fσ ).

2. Dans Rn, on considere le sous-ensemble des pointsa coordonn´ees entieres, et le sous-ensemble des pointsa coordonn´ees rationnelles. V´erifier que le premier est ferm´e mais que le second n’est ni ouvert ni ferm´e.

Exercice 73 Soit Mn(R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n, muni de la distance d(A, B) = maxi,j |ai,j − bi,j | o`u A = (ai,j ) et B = (bi,j ).

1. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert dense de Mn(R).
2. Dans le cas n = 2, d´ecider si les ensembles suivants sont ouverts, ferm´es, ni ouverts ni ferm´es : A = matrices ayant deux valeurs propres distinctes et > 0. B = matrices ayant deux valeurs propres > 0.

Exercice 74 On note X l’espace des suites r´eelles x = (x(n)) et on le munit de la topologie dont les ouverts ´el´ementaires sont V (x; n 1 , n 2 , · · · nk; ε) = {y ∈ X/|x(ni) − y(ni)| < ε, i = 1 · · · k}.

V´erifier qu’on a bien d´efini une base de topologie. Comparer la topologie qu’elle engendre sur l∞^ et c 0 avec la topologie m´etrique de l’exercice pr´ec´edent.

Exercice 75 Soit X un espace topologique. On considere les propri´et´es suivantes : (i) X contient un d´enombrable dense. (ii) la topologie sur X possede une base d´enombrable d’ouverts. Montrer que (ii) implique (i) et que la r´eciproque a lieu si X est m´etrisable. Un espace v´erifiant (i) est dit s´eparable.

Exercice 76 Soit X un espace m´etrique s´eparable (cf exercice 75), et A une partie quelconque de X. Montrer que A est encore s´eparable.

2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques

Exercice 77 On consid`ere dans R les trois topologies T 1 , T 2 , T 3 , engendr´ees respectivement par les intervalles de la forme ]a, b[, [a, b[, [a, b], a et b d´ecrivant R. Comparer les topologies, et d´ecrire les fonctions continues de (R, T 1 ) dans (R, T 2 ) ; de (R, T 1 ) dans (R, T 3 ).

Exercice 78 Soit T et T ′^ deux topologies sur X. Montrer que T ′^ est plus fine que T ssi (X, T ′) id → (X, T ) est

continue. Montrer qu’alors A

T ′ ⊂ A

T ; quelle inclusion a-t-on entre

◦ AT^

′ et

◦ AT^?

2 Notions de topologie II 13

Exercice 79 On d´esigne par d(a, b) la distance euclidienne usuelle de a, b ∈ R^2 et on pose

δ(a, b) =

{

d(a, b) si a, b sont align´es avec l’origine O d(0, a) + d(0, b) sinon

1. Montrer que δ est une distance sur R^2 (“distance SNCF”) plus fine que la distance usuelle. Dans la suite, on suppose R^2 muni de la topologie associ´ee `a δ.
2. Soit H le demi-plan {(x, y) ; y > 0 } ; d´eterminer H.
3. Quelle est la topologie induite sur une droite vectorielle ; sur le cercle unit´e Γ?
4. Lesquelles des transformations suivantes sont continues : homoth´eties de centre O ; rotations de centre O ; translations?

Exercice 80 1. Montrer que ||f ||∞ = sup 06 x 61 |f (x)| et ||f || 1 =

∫ 1

0 |f^ (t)|^ dt^ sont deux normes sur^ C([0,^ 1],^ R). Sont-elles ´equivalentes?

2. Les deux m´etriques associ´ees sont-elles topologiquement ´equivalentes?

Exercice 81 Comparer sur X = { 0 , 1 }N

∗ , l’espace des suites de 0 − 1, les topologies d´efinies par les distances d(x, y) =

min{n/xn 6 = yn}

si x 6 = y, 0 sinon,

et δ(x, y) = supn |x(n) − y(n)|.

Exercice 82 Soit E = C^1 ([0, 1], R). Comparer les normes N 1 (f ) = ||f ||∞, N 2 (f ) = ||f ||∞ + ||f || 1 , N 3 (f ) = ||f ′||∞ + ||f ||∞, N 3 (f ) = ||f ′|| 1 + ||f ||∞.

Exercice 83 On se donne une application f : R → Rn, et on note d la distance euclidienne sur Rn. A quelles conditions sur f , δ(x, y) = d(f (x), f (y)) d´efinit-elle une distance sur R ´equivalente topologiquement `a la distance usuelle (ie d´efinissant la mˆeme topologie.)?

Exercice 84 Soit E un ensemble non vide, et X = EN^ l’ensemble des suites x = (xn) d’´el´ements de E. Pour x, y ∈ X, on pose p(x, y) = min{n/xn 6 = yn} si x 6 = y, et ∞ si x = y. Montrer que d(x, y) = (^) p(x,y^1 ) (avec (^) ∞^1 = 0) est une distance sur X qui v´erifie l’in´egalit´e ultram´etrique

d(x, z) 6 max(d(x, y), d(y, z)).

Exercice 85 On dit qu’une distance est ultram´etrique si elle v´erifie l’in´egalit´e triangulaire renforc´ee :

d(x, z) 6 max(d(x, y), d(y, z)).

Etablir les assertions suivantes :

1. Si d(x, y) 6 = d(y, z), alors d(x, z) = max(d(x, y), d(y, z)). En d´eduire que tout triangle dans E est isoc`ele.
2. Toute boule ouverte B(x, r) est un ensemble `a la fois ouvert et ferm´e, et B(x, r) = B(y, r) ∀y ∈ B(x, r).
3. Toute boule ferm´ee B′(x, r) est un ensemble `a la fois ouvert et ferm´e, et B′(x, r) = B′(y, r) ∀y ∈ B′(x, r).
4. Si deux boules ont un point commun, elles sont emboˆıt´ees.

Exercice 86 Soit (X, d) un espace m´etrique, et soit ϕ une fonction r´eelle d´efinie pour x > 0, v´erifiant (i) ϕ(0) = 0, (ii) ϕ croissante, (iii) ϕ(u) > 0 si u > 0, (iv) ϕ(u + v) 6 ϕ(u) + ϕ(v).

1. Montrer que δ(x, y) = ϕ(d(x, y)) d´efinit une distance sur X.
2. V´erifier que les fonctions ϕ 1 (u) = inf(u, 1), ϕ 2 (u) = (^) 1+uu , ϕ 3 (u) = log(1 + u), et ϕ 4 (u) = uα^ o`u 0 < α < 1 remplissent les conditions (i) (ii) et (iii) ; plus g´en´eralement, montrer que toute fonction f strictement croissante, concave, telle que f (0) = 0 remplit ces conditions.
3. On suppose de plus que la fonction ϕ est continue en 0. Montrer que les m´etriques d et δ sont topologi- quement ´equivalentes.
4. Montrer que δ 1 = ϕ 1 (d) et δ 2 = ϕ 2 (d) sont lipschitz-´equivalentes.

Exercice 87 Soit (X, d) un espace m´etrique avec m´etrique born´ee. On note F l’ensemble des ferm´es non vides de X, et on d´efinit pour A et B dans F,

δ(A, B) = ‖dA − dB ‖∞

o`u dA est la fonction born´ee x → d(x, A). Montrer qu’on a d´efini ainsi une m´etrique sur F, et que l’application a → {a} est une isom´etrie de X dans F.

2 Notions de topologie II 14

2.7 Suites, limites et valeurs d’adh´erence, points d’accumulation et points isol´es

Exercice 88 Trouver les valeurs d’adh´erence de la suite : 0 , 1 , 0 , 12 , 1 , 0 , 14 , 12 , 34 , 1 , · · · , 0 , (^21) k , (^22) k , · · · , 2

k (^) − 1 2 k^ ,^1 ,^0 , ...

Exercice 89 Soit (xn) une suite d’un espace topologique X s´epar´e ; on note A l’ensemble {x 1 , x 2 , · · · }.

1. Toute valeur d’adh´erence a de la suite est un point de A : donner un exemple ou a est un point isol´e de A ; un exemple ou a est un point d’accumulation dans A ; un exemple o`u a est un point d’accumulation dans A\A.
2. Montrer que tout point d’accumulation de A est valeur d’adh´erence de la suite.

Exercice 90 1. Soit (un) une suite r´eelle telle que eiun^ et ei

√ 2 un (^) convergent. Montrer que (un) a au plus une valeur d’adh´erence.

2. Soit (un) une suite r´eelle telle que eitun^ converge pour t ∈ T o`u T est non d´enombrable. Mˆeme conclusion.

Exercice 91 Soit (un) une s´erie positive divergente telle que un d´ecroit vers 0 et on pose A = {±u 1 ± u 2 ± · · · ± un, n > 1 }. Montrer que A = R.

Exercice 92 Soit Rn^ consid´er´e comme groupe additif muni de sa topologie usuelle. Soit G un sous-groupe de Rn.

1. On suppose que 0 est isol´e dans G. Montrer que tout point est isol´e, que G est discret et ferm´e dans Rn. On se restreint au cas n = 1.
2. Montrer qu’alors, G est soit { 0 }, soit de la forme aZ, a > 0.
3. Montrer que si 0 est point d’accumulation, G est partout dense dans R. En d´eduire ainsi les sous-groupes ferm´es de R.
4. On consid`ere α /∈ Q ; montrer que Z+Zα est un sous-groupe dense de R. En d´eduire les valeurs d’adh´erence de la suite (e^2 iπnα).

Exercice 93 Soit dans un espace m´etrique (X, d) une suite (xn) telle que les trois sous-suites (x 2 n), (x 2 n+1), et (x 3 n) convergent. Montrer que la suite elle-mˆeme converge.

Exercice 94 Soit (am,n)(m,n)∈N 2 une suite d’un espace m´etrique (X, d). On suppose que limn→∞ am,n = am, et que limm→∞ am = a. Montrer qu’il existe une sous-suite de la suite initiale (ap,np ) telle que limp→∞ ap,np = a.

Exercice 95 Soit (Fn) une suite d´ecroissante de ferm´es dans un espace topologique X, et soit (xn) une suite convergente dans X telle que pour chaque n, xn ∈ Fn. V´erifier que limx→∞ xn ∈

⋂

Fn. Que peut-on dire si la suite de ferm´es n’est plus d´ecroissante?

Exercice 96 On va montrer que les polynˆomes sont denses dans les fonctions continues sur [− 1 , 1]. Pour commencer, on approche la fonction |t|.

1. Montrer que la suite de polynˆomes d´efinis par r´ecurrence :

pn+1(t) = pn(t) +

(t^2 − p^2 n(t)), p 0 (t) = 0,

converge vers |t|.

2. En d´eduire que toute fonction affine par morceaux sur [− 1 , 1] est limite d’une suite de polynˆomes.
3. Montrer que les polynˆomes sont denses dans les fonctions continues sur [− 1 , 1].

Exercice 97 1. D´eterminer l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite de r´eels xn = (1 + (^1) n ) sin(n π 6 ) ; de la suite ( (^) m^1 + (^1) n )m> 1 ,n> 1.

2. Montrer que l’ensemble Zα + Z est dense dans R si α est irrationnel. En d´eduire l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite xn = cos(2πnα). (Indication : on pourra montrer que tout sous-groupe ferm´e de R est soit R, soit discret, de la forme aZ.)

Exercice 98 On sait que l’ensemble des valeurs d’adh´erence d’une suite r´eelle est un ferm´e de R. Montrer que tout ferm´e de R est l’ensemble des valeurs d’adh´erence d’une suite r´eelle : si F est fini, trouver une suite qui prend une infinit´e de fois chaque valeur de F ; si F est infini, montrer que F contient un d´enombrable dense D et trouver une suite qui prend une infinit´e de fois chaque valeur de D.

3 Notions de topologie III 15

Exercice 99 Soit (εk) une suite `a valeurs dans {− 1 , 1 } et Sn =

∑n k=0 εk. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (Sn) est un intervalle de Z.

Exercice 100 On consid`ere une suite (xn) de [0, 1] telle que xn+1 − xn tend vers 0.

1. Montrer que l’ensemble A de ses valeurs d’adh´erence est un intervalle ferm´e de [0, 1].
2. On suppose de plus que cette suite est une suite r´ecurrente i.e. d´efinie par xn+1 = f (xn) o`u f est continue de [0, 1] dans lui-mˆeme, et un point initial x 0 ∈ [0, 1]. Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si x ∈ A, alors x = f (x), et que si xm ∈ A pour un indice m, alors la suite converge.)
3. Soit x = (xn) une suite de l∞^ ; montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite y de terme g´en´eral yn = x^1 +x^2 + n··· +xnest un intervalle. En d´eduire que l’application f de l∞^ dans lui-mˆeme qui associe y `a x, n’est pas bijective.

3 Notions de topologie III

3.1 Hom´eomorphisme

Exercice 101 1. Montrer que Z et Q (munis de la topologie induite par celle de R) ne sont pas hom´eomorphes. On peut par ailleurs montrer que deux sous-ensembles d´enombrables denses de R sont toujours hom´eomorphes.

2. Trouver un hom´eomorphisme de ] − 1 , 1[ sur R ; de ] − 1 , 1[ sur ]a, b[.
3. Montrer que si I est un intervalle ouvert de R, et c un point n’appartenant pas `a I, les ensembles I et I ∪ {c} ne sont pas hom´eomorphes bien qu’en bijection.

Exercice 102 Soit f une injection continue de R dans R.

1. Montrer a l’aide du th´eoreme des valeurs interm´ediaires que f est strictement monotone.
2. Montrer que l’image par f d’un intervalle ouvert est encore un intervalle ouvert ; en d´eduire que f est ouverte et donc un hom´eomorphisme de R sur f (R).

Exercice 103 Soit f une application de X dans Y s´epar´e. Montrer que si f est continue, son graphe G est ferm´e dans X × Y , et l’application x → (x, f (x)) est un hom´eomorphisme de X sur le graphe G de f. Montrer sur un exemple que la r´eciproque est fausse en g´en´eral (mais vraie si Y est compact).

Exercice 104 Montrer que le carr´e unit´e ferm´e et le disque ferm´e dans R^2 sont hom´eomorphes.

Exercice 105 Montrer que la boule unit´e ouverte de Rn^ est hom´eomorphe `a Rn^ tout entier, et que deux boules ouvertes sont hom´eomorphes entre elles.

Exercice 106 On note S^1 le cercle unit´e dans R^2 , et h l’application de R dans S^1 : t → (cos 2πt, sin 2πt).

1. Montrer que le cercle priv´e d’un point, S^1 {a}, est hom´eomorphe `a l’intervalle ]0, 1[.
2. Montrer que h est une bijection continue de [0, 1[ sur S^1 , mais n’est pas un hom´eomorphisme.
3. Soit f une application continue de R dans S^1 {a}, cette fois plong´e dans C. Montrer que f admet un “logarithme continu”, c’est-`a-dire qu’il existe g continue de R dans R telle que f = eig^.

Exercice 107 Soit F l’application de R+^ dans C^2 qui `a x associe (exp(2iπx), exp(2iπx

√

2)) dont l’image est la courbe γ.

1. Montrer que F est continue injective.
2. Montrer que l’adh´erence de γ dans C^2 est S^1 × S^1.
3. Montrer que F −^1 n’est continue en aucun point de γ.

Exercice 108 (Projection st´er´eographique) Soit Sn−^1 = {x = (x 1 , · · · , xn) ∈ Rn/ ‖x‖^2 =

∑n 1 x 2 i = 1}, la sph`ere unit´e de Rn, p son pˆole nord i.e. le point p = (0, · · · , 0 , 1), et A = Sn−^1 {p}.

1. Montrer que le “plan” de l’´equateur E est hom´eomorphe `a Rn−^1.
2. A tout point x de A on associe h(x) le point d’intersection de la droite issue de p passant par ce point, avec le plan E. Expliciter h, puis h−^1 et montrer ainsi que la sphere est hom´eomorphea Rn−^1. (On ´etablira h(x) = p + 1 x−−xpn et h−^1 (y) = (^) 1+^2 ‖yy‖ 2 + p 1 −‖y‖

2 1+‖y‖^2 ).

3. En d´eduire un hom´eomorphisme de S^1 sur R.

3 Notions de topologie III 16

3.2 Dualit´e, isom´etrie

Exercice 109 Soit E un evn, f un ´el´ement non nul du dual de E, et L l’hyperplan affine {x ∈ E/f (x) = 1}.

1. Montrer que inf x∈L ‖x‖ >

‖f ‖

.

2. On peut trouver dans la sphere unit´e une suite (xn) telle que |f (xn)| > (^) nn+1 ‖f ‖ (justifier) et,a l’aide de cette suite, montrer que l’on a finalement

inf x∈L

‖x‖ =

‖f ‖

.

Exercice 110 Soit E = C([0, 1]), μ(x) =

∫ 1

0 x(t)^ dt,^ μn(x) =^

1 n

∑n k=1 x(^

k n ).

1. Calculer ‖μ‖ et ‖μn‖.
2. Montrer que μn(x) converge vers μ(x) pour toute x dans E, mais que ‖μ − μn‖ = 2.

Exercice 111 Soit E = C([0, 1]) et (tn) une suite de points distincts, convergente dans [0, 1]. Montrer que f d´efinie par f (x) =

∑∞

1

(−1)n 2 n^ x(tn) est un ´el´ement de^ E

′ (^) de norme 1 qui n’atteint sa norme en aucun point de

la boule unit´e de E.

Exercice 112 Soit a, b ∈ E evn, B 1 = {x ∈ E/‖x − a‖ = ‖x − b‖ = 12 ‖a − b‖}, et pour n > 1, Bn = {x ∈ Bn− 1 /‖x − y‖ 6 12 δ(Bn− 1 ), ∀y ∈ Bn− 1 }, ou δ(B) d´esigne le diametre de l’ensemble B.

1. Montrer que δ(Bn) 6 12 δ(Bn− 1 ), et que

⋂

n Bn^ =^ {^

a+b 2 }.

2. Soit f une isom´etrie de E sur F evn, telle que f (0) = 0. Montrer en consid´erant la suite (f (Bn)) que pour tous a, b ∈ E, f (

a + b 2

) =

f (a) + f (b) 2

.

En d´eduire que f est une isom´etrie lin´eaire. Que peut-on dire plus g´en´eralement d’une isom´etrie f de E sur F.

3. On note l∞ n l’espace Rn^ muni de la norme sup 16 i 6 n |xi|, et on considere l’application f : l∞ n → l n∞+1 d´efinie par f (x 1 , · · · , xn) = (x 1 , · · · , xn, sin x 1 ). V´erifier que f est une isom´etrie non lin´eaire entre evn ; pourquoi n’a-t-on pas de contradiction avec ce qui pr´ecede?

Exercice 113 1. Soit (un) une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite born´ee de complexes (vn), la s´erie

∑

unvn converge. Montrer que (un) est dans l’espace l^1.

2. Soit (un) une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite (vn) dans l^2 , la s´erie

∑

unvn converge. Montrer que (un) est dans l’espace l^2. Indication : Soit (an) une s´erie positive divergente. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral a Snnα , o`u Sn = ∑n k=0 ak^ converge si^ α >^ 1 et diverge sinon. Utiliser ensuite cette remarque pour conduire un raisonnement par l’absurde.

Exercice 114 On va montrer que le dual de l^2 est isom´etriquement isomorphe a l^2. On note comme d’habitude en l’´el´ement de l^2 dans toutes les composantes sont nulles, sauf la n-ieme qui vaut 1.

1. Soit x ∈ l^2. Montrer que la suite d’´el´ements de l^2 xn =

∑n 1 x(k)ek^ converge vers^ x^ dans^ l

(^2) (autrement dit, les suites nulles `∑ a partir d’un certain rang sont denses dans l^2 .) En d´eduire que si f ∈ (l^2 )′, f (x) = ∞ 1 x(n)f^ (en).

2. Montrer que ‖f ‖ > (

∑n 1 |f^ (ek)| (^2) ) 12 , et que (f (en))n est un ´el´ement de l (^2).

3. Montrer alors que pour tout x ∈ l^2 , |f (x)| 6 ‖x‖ 2 ‖(f (en))‖ 2 , et que ‖f ‖ = ‖(f (en))‖ 2. En d´eduire que l’application f → (f (en)) est un isomorphisme isom´etrique du dual de l^2 sur l^2.

Exercice 115 En suivant la mˆeme d´emarche que l’exercice 114, montrer que le dual topologique de c 0 est isom´etriquement isomorphe `a l^1.

3 Notions de topologie III 17

3.3 Prolongement de fonctions

Exercice 116 1. Montrer que si deux fonctions continues sur un espace topologique X co¨ıncident sur un ensemble dense dans X, elles sont ´egales.

2. Soit f une fonction r´eelle d´efinie continue sur [− 1 , 1]. Montrer que si pour tout n,

∫ 1

− 1 f^ (x)^ x

n (^) dx est nulle, alors f est nulle. (Indication : Consid´erer l’application g →

∫ 1

− 1 f^ (x)^ g(x)^ dx.)

Exercice 117 Soit F un ferm´e de R, et f une application continue de F dans R. Montrer que f se prolonge en une fonction continue sur R tout entier. Peut-on remplacer “ferm´e” par “ouvert”?

Exercice 118 Soit n → rn une bijection de N sur Q ∩ [0, 1], et f la fonction d´efinie sur Q ∩ [0, 1] par

f (x) =

∑

rn<x

2 −n.

Montrer que f est continue, mais qu’elle ne peut ˆetre prolong´ee en aucune fonction continue sur [0, 1].

Exercice 119 Soit (X, d) un espace m´etrique ; on rappelle tout d’abord les propri´et´es de la fonction dA : x → d(x, A) o`u A est une partie de X :

1. dA est 1-lipschitzienne, et dA(x) = 0 si et seulement si x ∈ A. On en d´eduit que tout ferm´e est un Gδ et que tout ouvert est un Fσ.
2. Montrer qu’un espace m´etrique possede une propri´et´e forte de s´eparation,a savoir : deux ferm´es disjoints F 1 et F 2 peuvent ˆetre s´epar´es par deux ouverts disjoints, en consid´erant {x/d(x, F 1 ) > d(x, F 2 )}.
3. Montrer que la propri´et´e pr´ec´edente est ´equivalente `a l’existence d’une fonction continue f valant 0 sur F 1 et 1 sur F 2.
4. Soit F 1 , F 2 ,...,Fn, n ferm´es disjoints dans X, et c 1 , c 2 ,...cn, n nombres r´eels. Montrer que la fonction f valant ci sur Fi peut se prolonger en une fonction continue `a X tout entier.

Exercice 120 Soit (X, d) un espace m´etrique, et Y un sous-espace non vide de X. On va montrer que toute fonction f : Y → R, k-lipschitzienne, admet un prolongement g : X → R qui est aussi k-lipschitzien. Soit donc f ainsi ; pour tout x ∈ X et y ∈ Y , on pose

fy (x) = f (y) + kd(x, y).

1. Montrer que pour x fix´e, l’ensemble {fy (x)} lorsque y parcourt Y est minor´e. On pose g(x) = infy∈Y {fy (x)}.
2. Montrer que l’application g ainsi d´efinie sur X, r´ealise un prolongement k-lipschitzien de f.
3. Donner une condition suffisante pour que ce prolongement soit unique.

3.4 M´etrique de la convergence uniforme

Exercice 121 On consid`ere l’espace m´etrique E = C([0, 1]) muni de d∞, et pour f ∈ E, on note M (f ) le maximum de f sur [0, 1]. Montrer que l’application f → M (f ) est 1-lipschitzienne.

Exercice 122 Soit (fn) une suite de polynˆomes qui converge uniform´ement sur [0, 1] vers une fonction qui n’est pas un polynˆome. Montrer que la suite des degr´es tend vers l’infini.

Exercice 123 On consid`ere la suite de polynˆomes sur [− 1 , 1]

fn(x) =

∫ (^) x 0 (1^ −^ t

(^2) )n (^) dt ∫ (^1) 0 (1^ −^ t

(^2) )n (^) dt

.

1. Montrer que pour tout ε, cette suite converge uniform´ement vers 1 sur l’intervalle [ε, 1], et vers −1 sur l’intervalle [− 1 , −ε]. Indication : Comparer

∫ 1

0 (1^ −^ t

(^2) )n (^) dt `a ∫^1 0 (1^ −^ t)

n (^) dt.

2. En d´eduire que la suite gn(x) =

∫ (^) x 0 fn(t)^ dt^ converge uniform´ement vers^ |x|^ sur [−^1 ,^ 1].

3. Montrer que dans l’exercice 96 la convergence est aussi uniforme sur [− 1 , 1], en ´etablissant une relation de r´ecurrence satisfaite par l’erreur εn(t) = |t| − pn(t).

4 Connexit´e 18

Exercice 124 Une fonction f : [0, 1] → R est dite r´egl´ee, si elle a en tout point une limite a droite et une limitea gauche (et bien sˆur, une limite a droite en 0, une limitea gauche en 1.) Montrer qu’une limite uniforme de fonctions en escalier est une fonction r´egl´ee (la r´eciproque sera ´etablie ult´erieurement).

Exercice 125 Soit E l’espace Cb(R, C) des fonctions continues born´ees sur R muni de la m´etrique de la convergence uniforme d.

1. On rappelle qu’un espace topologique est s´eparable s’il contient un d´enombrable dense. Montrer que dans un espace m´etrique s´eparable, toute collection d’ouverts deux `a deux disjoints est au plus d´enombrable.
2. Soit λ et μ deux r´eels distincts. Montrer que d(eiλx, eiμx) > 2. En d´eduire que E n’est pas s´eparable.

3.5 Th´eor`eme de Baire

Exercice 126 On dit qu’un point x d’un espace topologique Y est isol´e dans X ⊂ Y , s’il existe V , voisinage de x dans Y , tel que V ∩ X = {x}. Montrer qu’un point x est isol´e dans X si et seulement si {x} est ouvert dans X ; en d´eduire, a l’aide du th´eoreme de Baire, qu’un ferm´e d´enombrable de R a au moins un point isol´e. Que peut-on dire de l’ensemble de Cantor?

Exercice 127 Montrer que Q n’est pas un Gδ c’est-`a-dire n’est pas intersection d´enombrable d’ouverts de R. Indication : on pourra raisonner par l’absurde et consid´erer ωn = R{qn} si Q = {q 1 ,... , qn,.. .}.

Exercice 128 Soit B un espace de Banach ; on rappelle que tout sous-espace propre de B est d’int´erieur vide dans B. Montrer que si B est de dimension infinie, B ne poss`ede pas de base alg´ebrique d´enombrable. En d´eduire que l’espace des polynˆomes n’est complet pour aucune norme.

Exercice 129 Soit f une application d´efinie sur un espace m´etrique complet (X, d), `a valeurs r´eelles et semi- continue inf´erieurement. Montrer qu’il existe un ouvert non vide O sur lequel f est major´ee. Application : soit (fn) une suite de formes lin´eaires sur un Banach B, v´erifiant

∀x ∈ B, sup n

|fn(x)| < ∞.

En utilisant ce qui pr´ec`ede, montrer que supn ‖fn‖ < ∞.

Exercice 130 Soit (X, T ) un espace topologique de Baire, c’est-a-dire pour lequel le th´eoreme de Baire est valide. On va montrer que tout ouvert de X muni de la topologie induite est encore un espace de Baire.

1. Soit (On) une suite d’ouverts denses dans O ; montrer que chaque ωn = On ∪ O c est un ouvert dense dans X (on rappelle qu’un ensemble est dense dans X s’il rencontre tout ouvert de X).
2. Montrer que pour tout ouvert ω de O, (∩nOn) ∩ ω 6 = ∅ En d´eduire le r´esultat.

Exercice 131 On sait que l^1 est inclus dans l^2 (au fait pourquoi ?) mais n’est pas ferm´e dans l^2 (re-pourquoi ?) ; on va montrer qu’il est de premi`ere cat´egorie dans l^2 c.a.d. r´eunion d´enombrable de ferm´es d’int´erieur vide (dans l^2 ).

1. On consid`ere pour chaque p > 1, Fp = {(an) ∈ l^2 /

∑

|an| 6 p}

Montrer que Fp est ferm´e dans l^2 et d’int´erieur vide.

2. En d´eduire le r´esultat.

4 Connexit´e

4.1 Connexit´e

Exercice 132 Montrer que Z et Q (munis de la topologie induite par celle de R) ne sont pas hom´eomorphes, mais sont tous les deux “totalement discontinus” au sens suivant : leurs seuls connexes sont les points. (Remar- quer que A connexe dans Y ⇒ A connexe dans X si Y ⊂ X).

Exercice 133 Soit A une partie du cercle unit´e S^1 = ∂D ; montrer que D ∪ A est connexe.

4 Connexit´e 19

Exercice 134 1. Montrer qu’il y a ´equivalence pour X espace topologique entre :

i) Toute application continue ϕ : X → Z est constante. ii) X est connexe.

2. Retrouver ainsi diff´erents r´esultats du cours (f (C) connexe si C connexe et f continue ; B connexe si A connexe et A ⊂ B ⊂ A ; un produit de deux connexes est encore connexe ; etc)
3. Soit A, B connexes de X tels que A ∩ B 6 = ∅ ; montrer `a l’aide de a) que A ∪ B est connexe.

Exercice 135 Existe-t-il une application continue f : R → R telle que f (x) ∈ Q si x /∈ Q et f (x) ∈/ Q si x ∈ Q? (Regarder l’image de f .)

Exercice 136 Soit X = Q muni de la topologie induite par celle de R. Montrer que les seuls connexes de X sont les points. (A connexe dans X ⇒ A connexe dans R)

Exercice 137 Soit X un ouvert d’un espace vectoriel norm´e E ; montrer que X est connexe si et seulement si il est connexe par arcs. (Indication : fixer a ∈ X et consid´erer A = {x ∈ X, reli´e `a a par un chemin dans X}.)

Exercice 138 Soit f une surjection continue de R^2 sur R. Montrer que l’image r´eciproque de tout point est non born´ee (raisonner par l’absurde et utiliser que le compl´ementaire d’un disque dans R^2 est connexe).

Exercice 139 Soit P ∈ C[X] un polynˆome de racines z 1 ,... , zn distinctes ou non, situ´ees dans un convexe K de C.

1. On suppose que P ′(z) = 0 et z /∈ {z 1 ,... , zn} ; montrer qu’il existe des r´eels λ 1 (z),... , λn(z), inconnus mais > 0, tels que l’on ait :

∑n k=1 λk(z)(z^ −^ zk) = 0. (Indication : consid´erer^

P ′(z) P (z) et son conjugu´e).

2. Montrer que P ′^ a aussi toutes ses racines dans K (th´eor`eme de Gauss-Lucas).

Exercice 140 On dit qu’un espace topologique poss`ede la propri´et´e du point fixe si toute fonction continue de X dans X admet un point fixe.

1. Montrer qu’un espace topologique poss´edant cette propri´et´e est n´ecessairement connexe.
2. Montrer que si X a cette propri´et´e, tout Y hom´eomorphe a X la possede aussi.
3. Montrer ainsi que S^1 n’est pas hom´eomorphe `a un segment.

Exercice 141 Soit I = [a, b] et f : I → R d´erivable ; soit A =

{

(x, y) ∈ I × I; y > x

}

et g : A → R d´efinie par

g(x, y) = f^ (y y)−−fx^ ( x).

1. Montrer que g(A) ⊂ f ′(I) ⊂ g(A).
2. Montrer que f ′^ a la propri´et´e de la valeur interm´ediaire : si elle prend les valeurs α et β, elle prend toute valeur γ ∈ [α, β].

Exercice 142 On va d´emontrer `a l’aide de la connexit´e, le r´esultat classique : “f : R → R continue injective =⇒ f strictement monoton”. Pour cela, consid´erons l’application F d´efinie sur R^2 par F (x, y) = f (x) − f (y) et C = {(x, y) ∈ R^2 / x > y}

1. Montrer que F (C) est un connexe de R.
2. En d´eduire le r´esultat.

Exercice 143 On d´efinit la projection st´er´eographique h de S^1 sur R∪{∞}, h(x, y) ´etant le point d’intersection avec l’axe r´eel de la droite issue de (0, 1) passant par (x, y) si (x, y) 6 = (0, 1) et h(0, 1) = ∞. V´erifier qu’il s’agit d’un hom´eomorphisme. En d´eduire que R ∪ {∞} et R ∪ {+∞} ∪ {−∞} ne sont pas hom´eomorphes.

Exercice 144 Soit X un espace m´etrique. Alors :

1. X est connexe si et seulement si toute application continue f : X → { 0 , 1 } est constante.
2. Soit A une partie de X connexe. Montrer que toute partie B ⊂ E v´erifiante A ⊂ B ⊂ A est connexe.
3. Si (⋃ An)n> 0 est une suite de parties connexes de X telle que An ∩ An+1 6 = ∅ pour tout n > 0. Prouver que n> 0 An^ est connexe.

Exercice 145 D´eterminer les parties connexes de

{(x, y) ∈ R^2 ; x 6 = y} et de {(z, w) ∈ C^2 ; z 6 = w}.

4 Connexit´e 20

Exercice 146 Soit A et B des parties de X. On suppose B connexe et que B ∩ A et B ∩ {A sont non vides. Montrer que B coupe la fronti`ere de A.

Exercice 147 Notons T = { 0 } × [− 1 , 1] ∪ [− 1 , 1] × { 0 } muni de la topologie induite par celle de R^2.

1. Montrer que T est compact et connexe et que f (T ) est un segment si f : T → R est une fonction continue.
2. D´eterminer les points x ∈ T pour lesquels T \ {x} est connexe.
3. Montrer que T n’est hom´eomorphe `a aucune partie de R.

Exercice 148 1. Montrer qu’il existe une surjection continue de R sur S^1 = {z ∈ C ; |z| = 1} et qu’il n’existe pas d’injection continue de S^1 dans R.

2. Montrer qu’il n’existe pas d’injection continue de R^2 dans R.

Exercice 149 Dans R^2 , soit Ba l’ensemble {a}×]0, 1] si a est rationnel et Ba = {a}×[− 1 , 0] si a est irrationnel. Montrer que B =

⋃

a∈R Ba^ est une partie connexe de^ R

[Exercice corrig´e]

Exercice 150 Soit I un intervalle ouvert de R et soit f : I → R une application d´erivable. Notons A = {(x, y) ∈ I × I ; x < y}.

1. Montrer que A est une partie connexe de R^2.
2. Pour (x, y) ∈ A, posons g(x, y) = f^ (y y)−−fx^ ( x). Montrer que g(A) ⊂ f ′(I) ⊂ g(A).
3. Montrer que f ′(I) est un intervalle.

Ce r´esultat signifie que la d´eriv´ee de toute fonction d´erivable possede la propri´et´e de la valeur interm´ediaire (un th´eoreme de Darboux).

Exercice 151 Soit X un espace m´etrique. Etablir l’´´ equivalence des assertions suivantes :

1. X est compact connexe.
2. Pour tout recouvrement ouvert (Ui)i∈I , il existe n ∈ N et i 1 , ..., in ∈ I tels que

⋃^ n

k=

Uik = X et Uik ∩ Uik+1 6 = ∅ pour k = 1, ..., n − 1.

4.2 Connexit´e par arcs

Exercice 152 A et B sont des parties d’un espace topologique X. Vrai ou faux?

1. Si A est connexe, ∂A est connexe?
2. Si A est connexe, A est connexe?
3. Si A et B sont connexes et A ∩ B 6 = ∅, A ∩ B est connexe?
4. Si X est un evn et A et B convexes avec A ∩ B 6 = ∅, A ∩ B est connexe?
5. Si A et B sont connexes, A ∪ B est connexe?
6. Soit f continue de X dans Y espace topologique. Si A est connexe par arcs , f (A) est connexe par arcs?
7. Soit f continue de X dans Y evn. Si A est convexe, f (A) est convexe?

Exercice 153 Dans R^2 on consid`ere l’ensemble A des points dont une coordonn´ee au moins est irrationnelle.

1. Soit α ∈ R\Q ; d´ecrire l’ensemble A ∩ {(x, y) ∈ R^2 , x = α}.
2. Montrer que A est connexe par arcs (plus pr´ecis´ement deux points de A peuvent ˆetre reli´es par une ligne polygonale).

Exercice 154 1. Montrer que dans Rn, n > 2, les sous-ensembles suivants sont connexes :

B(0, r); Rn\B(0, r); Sn−^1 (0, r) = {x ∈ Rn^ / ||x|| = r}.

2. Montrer que R et R^2 ne sont pas hom´eomorphes ( sinon enlever un point `a R).

5 Compacit´e 21

Exercice 155 On rappelle que si X est r´eunion disjointe de parties non vides ωi ouvertes et connexes, les ωi sont les composantes connexes de X. Trouver les composantes connexes du compl´ementaire des ensembles suivants :

{(x, y) ∈ R^2 /y^2 − x = 0}; {(x, y, z) ∈ R^3 / 0 < x^2 + y^2 + z^2 6 1 };

Sn−^1 = {x ∈ Rn/||x|| = 1}; Q × Q ⊂ R^2.

Exercice 156 Soit H un sous-espace vectoriel de Rn, n > 2. Montrer que

1. si dim H = n − 1, Rn\H a deux composantes connexes ;
2. si dim H 6 n − 2, Rn\H est connexe.

Exercice 157 On consid`ere le sous-ensemble suivant du plan complexe :

C = ∪n> 1 [0, 1 + i n

] ∪ [

, 1] = A ∪ [

, 1]

1. Montrer que C est connexe. Soit γ un chemin reliant un point de A `a un point de [ 12 , 1] et d’image dans C.
2. Si γ ne passe pas par 0, montrer que γ(t) = r(t)eiθ(t)^ o`u r(t) > 0 et 0 6 θ(t) < π 2 , et r, θ continues.
3. Montrer que θ ne prend qu’un nombre d´enombrable de valeurs et aboutir `a une contradiction.
4. Dans tous les cas, montrer qu’il existe t 0 ∈]0, 1[ tel que γ(t) ne passe pas par 0 pour t > t 0. En d´eduire que C n’est pas connexe par arcs.

Exercice 158 Soit f une application continue de [a, b] dans R v´erifiant

f (

x + y 2

) 6

(

f (x) + f (y)

)

∀x, y ∈ [a, b].

1. On suppose f (a) = f (b) = 0. On consid`ere E = {x ∈]a, b[ / f (x) = sup t∈[a,b]

f (t)}. Montrer que E est ouvert

et ferm´e dans ]a, b[. En d´eduire que f est < 0 ou identiquement nulle sur ]a, b[.

2. Montrer dans tous les cas que f est convexe ie f v´erifie f ((1 − t)x + ty) 6 (1 − t)f (x) + tf (y) pour tous x, y ∈ [a, b] et t ∈ [0, 1] (On se ram`enera au cas a) en consid´erant f priv´ee de sa corde sur [a, b]).

Exercice 159⋂ Soit X un espace m´etrique et (Ai)i∈I une famille de parties connexes par arcs de X telle que

i∈I Ai^6 =^ ∅. Montrer que^

⋃

i∈I Ai^ est connexe par arcs

Exercice 160 Dans R^2 on consid`ere l’ensemble A = {(x, sin( (^1) x )) ; x > 0 }.

1. Montrer que A est une partie connexe et connexe par arcs de R^2.
2. D´eterminer A et justifier que A est connexe.
3. Montrer que A n’est pas connexe par arcs.

5 Compacit´e

5.1 Espaces topologiques compacts

Exercice 161 1. Soit X un espace topologique s´epar´e. Montrer qu’il est compact et discret si et seulement si il est fini.

2. Montrer que dans un espace topologique s´epar´e, l’ensemble constitu´e d’une suite convergente et de sa limite est compact.

Exercice 162 Soit X un espace topologique compact et f 1 , f 2 ,... , fn, n fonctions continues r´eelles qui s´eparent les points de X. Montrer que X est hom´eomorphe `a une partie de Rn.

Exercice 163 Soit X, Y deux espaces topologiques s´epar´es et (Kn) une suite d´ecroissante de compacts non vides de X. Soit f : X → Y une application continue. Montrer que f (∩nKn) = ∩nf (Kn).

Exercice 164 Soit X un espace topologique s´epar´e et A et B deux compacts disjoints dans X. Montrer qu’ils possedent des voisinages ouverts disjoints. (Commencer par le cas ou B est r´eduit `a un point).

5 Compacit´e 22

Exercice 165 Soit (fn) une suite croissante de fonctions r´eelles d´efinies sur un espace topologique compact X, convergeant simplement vers une fonction f ; on suppose que les fonctions fn et f sont continues. Montrer que la convergence est uniforme sur X. Application : montrer que la suite de fonctions fn d´efinies sur [0, 1] par fn(x) =

∑n− 1 1 x k(1 − x)n−k (^) converge

vers 0 uniform´ement sur [0, 1].

Exercice 166 Soit X un espace topologique compact et C(X) l’espace des fonctions r´eelles continues sur X avec la norme uniforme. Soit J un id´eal propre de C(X) ; on va montrer par l’absurde que toutes les fonctions de J s’annulent en un mˆeme point de X.

1. Sinon, montrer qu’on peut trouver n points de X, x 1 , · · · , xn, V 1 , · · · , Vn o`u Vi voisinage de xi et n fonctions de J, f 1 , · · · , fn tels que X = ∪i Vi, fi|Vi 6 = 0.
2. Construire alors une fonction g dans J ne s’annulant jamais et en d´eduire que 1 ∈ J, d’o`u la contradiction.

Exercice 167 Soit X un espace topologique s´epar´e.

1. Soit A et B deux compacts disjoints dans X. Montrer qu’ils possedent des voisinages ouverts disjoints (commencer par le cas ou B est r´eduit `a un point).
2. Soit K un compact non vide de X et U un ouvert de X contenant K. Montrer qu’il existe r > 0 tel que pour tout x ∈ X, on ait l’implication :

d(x, K) < r ⇒ x ∈ U.

Exercice 168 Montrer qu’une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact.

Exercice 169 Soient K, F ⊂ Rn^ des parties non vides, K compact et F ferm´e. Montrer qu’il existe a ∈ K et b ∈ F tel que ‖a − b‖ = dist(K, F ).

Exercice 170 Soit E un espace compact et soit (F, d) un espace m´etrique. Soit f : E → F une application localement born´ee, ce qui signifie que, pour tout y ∈ E, il existe un voisinage Vy de y sur lequel f est born´ee. Montrer que f est born´ee sur E.

Exercice 171 Soit X un espace topologique s´epar´e.

1. Soit (Fn)n une suite d´ecroissante de ferm´es de X et soit (xn)n une suite convergente telle que xn ∈ Fn pour tout n > 0. Montrer que lim n→∞ xn ∈

⋂

n> 0

Fn.

Donner un exemple pour lequel

⋂

n> 0 Fn^ =^ ∅.

2. Soit maintenant (Kn)n une suite d´ecroissante de compacts non vides de X. V´erifier que K =

⋂

n> 0 Kn^ est non vide et que tout ouvert Ω qui contient K contient tous les Kn `a partir d’un certain rang.

Exercice 172 Soit X un espace topologique et f : X × [0, 1] → R continue. Montrer que l’application g : x ∈ X →

∫ 1

0 f^ (x, y)^ dy^ est continue.

Exercice 173 Soit X un espace topologique et f : X × [0, 1] → R continue. Montrer que l’application g : x ∈ X →

∫ 1

0 f^ (x, y)^ dy^ est continue.

Exercice 174 Soit X = [a, b] et on se donne une m´etrique d sur X telle que la topologie d´efinie par d est moins fine sur X que la topologie usuelle. Montrer que tout sous-ensemble de X compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie d´efinie par d ; puis montrer cette propri´et´e pour les ferm´es. En d´eduire que la topologie d´efinie par d est la topologie usuelle.

Exercice 175 Soit X un espace topologique s´epar´e et (Kn) une suite d´ecroissante de compacts non vides de X. Montrer que K = ∩Kn est non vide et que si Ω est un ouvert contenant K, il contient tous les Kn `a partir d’un certain rang.

Exercice 176 Soit f et g deux fonctions r´eelles continues sur un espace topologique compact X, telles que f > 0, et f (x) > 0 si g(x) 6 0. Montrer qu’il existe une constante A > 0 telle que

Af (x) + g(x) > 0 , ∀x ∈ X.

(Indication : raisonner par l’absurde, et consid´erer les ensembles An = {x ∈ X/nf (x) + g(x) 6 0 }).

5 Compacit´e 23

Exercice 177 Soit X un espace topologique compact et f 1 , f 2 ,... , fn, n fonctions continues r´eelles qui s´eparent les points de X. Montrer que X est hom´eomorphe `a une partie de Rn.

Exercice 178 Montrer que toute fonction r´egl´ee sur [0, 1] s’approche uniform´ement par des fonctions en escalier.

Exercice 179 Soit (fn) une suite croissante de fonctions r´eelles d´efinies sur un espace topologique compact X, convergeant simplement vers une fonction f ; on suppose que les fonctions fn et f sont continues. Montrer que la convergence est uniforme sur X.

Exercice 180 Soit X un espace topologique compact et C(X) l’espace des fonctions continues sur X avec la norme uniforme.

1. Soit J un id´eal propre de C(X) ; montrer que toutes les fonctions de J s’annulent en un mˆeme point de X. Indication : raisonner par l’absurde, utiliser le fait qu’une fonction continue 6 = 0 en x, est 6 = 0 sur un voisinage de x et recouvrir X avec de tels voisinages.

Pour f ∈ J, on note Zf = f −^1 ({ 0 }), l’ensemble des z´eros de f.

2. Soit J un id´eal de C(X) et Z = ∩f ∈J Zf ; Z est ferm´e. (a) Soit K un ferm´e de X disjoint de Z. Par un raisonnement analogue `a celui du 1., construire f ∈ J, f > 0 et ne s’annulant pas sur K. Etudier la limite F de (^) 1+nfnf dans C(X). (b) Montrer que si g ∈ C(X) s’annule sur un ouvert contenant Z, alors g ∈ J et Z 6 = ∅. (c) Soit g ∈ C(X) nulle sur Z ; par un bon choix de K, montrer que g ∈ J. En d´eduire la description des id´eaux ferm´es de C(X).

5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es

Exercice 181 Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif C∗^ sont contenus dans U le sous-groupe des nombres complexes de module 1.

Exercice 182 On rappelle la construction de l’ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0, 1] dont on supprime l’intervalle m´edian ] 13 , 23 [ ; a la deuxieme ´etape, on supprime les intervalles ] 19 , 29 [ et ] 79 , 89 [ etc. On note Kn la r´eunion des intervalles restants a la n-ieme ´etape, et K =

⋂

Kn. Montrer que K est un compact d’int´erieur vide, sans point isol´e.

Exercice 183 On considere dans Mn(R) le sous-ensemble des matrices de d´eterminant ´egala 1. Est-il compact? On note O(n) le sous-ensemble des matrices orthogonales (tA.A = I) ; montrer que O(n) est compact.

Exercice 184 Montrer que dans un evn, la boule unit´e ferm´ee est compacte si et seulement si la sph`ere unit´e est compacte.

Exercice 185 Soit A une partie d’un espace norm´e E. On note co(A), l’enveloppe convexe de A ie l’ensemble {

∑

finie λj^ aj^ , λj^ >^0 ,^

∑

λj = 1} des combinaisons convexes de points de A.

1. Montrer que si A est fini, co(A) est compacte.
2. Montrer que si E est de dimension finie n et A compact, co(A) est compacte (on admettra que tout point de co(A) est combinaison convexe d’au plus n + 1 points de A).

Exercice 186 Soit (X, d) un espace m´etrique.

1. Soit A une partie compacte de X ; montrer qu’il existe x, y ∈ A tels que diamA = d(x, y).
2. Soit A et B deux parties compactes disjointes de X. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que d(a, b) > δ ∀a ∈ A, b ∈ B. En d´eduire une d´emonstration simple de l’exercice 10 dans le cadre m´etrique.
3. Montrer que le r´esultat est encore vrai si l’une est compacte et l’autre ferm´ee, mais devient faux si les deux parties sont seulement ferm´ees.

Exercice 187 Soit f une surjection continue de R^2 sur R. On va montrer que l’image r´eciproque de tout point est non born´ee. On raisonne par l’absurde : Sinon, il existe a ∈ R et un disque ferm´e D du plan tel que f −^1 ({a}) ⊂ D ; en ´etudiant f (Dc) et f (D) montrer que f (R^2 ) ne peut ˆetre ´egal `a R tout entier.

5 Compacit´e 24

Exercice 188 Soit F 1 , F 2 , ..., Fp, p ferm´es d’un espace m´etrique compact E, tels que F 1 ∩ ... ∩ Fp = ∅. Montrer qu’il existe ε > 0 tel que toute partie A de E rencontrant tous les Fi ait un diam`etre > ε (raisonner par l’absurde).

Exercice 189 Soit X = X 1 × X 2 × · · · × Xn o`u les Xi sont n espaces m´etriques, et on note pi la projection de X sur Xi. Montrer que A ⊂ X est compact si et seulement si A est ferm´e dans X et les pi(A) sont tous compacts.

Exercice 190 1. Montrer que la boule unit´e ferm´ee d’un evn de dimension finie est compacte.

2. Soit E un espace vectoriel norm´e et F un sous-espace de E de dimension finie. Montrer que d(x, F ) = inf{d(x, y), y ∈ F, ||y|| 6 2 ||x||} ; en d´eduire que F est ferm´e dans E.
3. Soit (fn) une suite de polynˆomes qui converge uniform´ement sur [0, 1] vers une fonction qui n’est pas un polynˆome. Montrer que la suite des degr´es tend vers l’infini (raisonner par l’absurde).

Exercice 191 (Partiel de d´ecembre 1998) Soit E un espace vectoriel norm´e sur C de boule unit´e ferm´ee B et F un sous-espace vectoriel ferm´e de E. On a montr´e dans le liste pr´ec´edente que si F 6 = E, supx∈B d(x, F ) =

On va montrer qu’un evn dont la boule unit´e ferm´ee est compacte est n´ecessairement de dimension finie. On suppose donc que B est compacte.

1. Montrer que pour tout ε > 0 on peut trouver un nombre fini de points x 1 , · · · , xk ∈ B tels que B ⊂ ∪kj=1B(xj , ε).
2. Montrer que E est de dimension finie : pour cela, consid´erer le sous-espace vectoriel engendr´e par x 1 , · · · , xk.

Exercice 192 Voici quelques applications du fait important suivant : dans un espace m´etrique compact, toute suite ayant une seule valeur d’adh´erence converge.

1. Soit (an) une suite born´ee de r´eels, telle que (eitan^ ) converge pour un ensemble non d´enombrable de t ∈ R ; montrer que la suite (an) converge.
2. Soit f une application de R dans R et G son graphe. Montrer que si G est connexe par arcs, f est continue.
3. Soit f une application de X dans Y , espaces m´etriques et G le graphe de f. Montrer que G est ferm´e dans X × Y si f est continue. Montrer que la r´eciproque est vraie lorsque Y est compact.
4. Soit X un espace m´etrique, Y un espace m´etrique compact et f : X × Y → R une application continue telle que, pour tout x ∈ X, l’´equation f (x, y) = 0 ait une unique solution y ∈ Y. Montrer que l’application u : x ∈ X → y ∈ Y ainsi d´efinie est continue.

Exercice 193 On consid`ere une suite (xn) de [0, 1] telle que xn+1 − xn tend vers 0. Soit A l’ensemble de ses valeurs d’adh´erence.

1. Justifier le fait que A est non vide. Si α /∈ A, montrer qu’il existe ε > 0 et n 0 tels que les points xn, n > n 0 , soient en dehors de [α − ε, α + ε]. Montrer ainsi que A est un intervalle (si α et β ∈ A, α+ 2 β∈ A).
2. On suppose de plus que cette suite est une suite r´ecurrente i.e. d´efinie par xn+1 = f (xn) o`u f est continue de [0, 1] dans lui-mˆeme, et un point initial x 0 ∈ [0, 1]. Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si x ∈ A, alors x = f (x), et que si xm ∈ A pour un indice m, alors la suite converge.)
3. Soit x = (xn) une suite de l∞^ ; montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite y de terme g´en´eral yn = x^1 +x^2 + n··· +xnest un intervalle. En d´eduire que l’application f de l∞^ dans lui-mˆeme qui associe y `a x, n’est pas bijective.

Exercice 194 On note S^1 le cercle unit´e dans R^2 , et h l’application de R dans S^1 : t → (cos 2πt, sin 2πt).

1. Montrer que le cercle priv´e d’un point, S^1 {a}, est hom´eomorphe `a l’intervalle ]0, 1[.
2. Montrer que h est une bijection continue de [0, 1[ sur S^1 , mais n’est pas un hom´eomorphisme.

Exercice 195 D´emontrer de plusieurs fa¸cons que le cercle unit´e S^1 ⊂ R^2 est compact.

Exercice 196 Soit (X, d) un espace m´etrique, A et B deux parties de X. On pose d(A, B) = infa∈A,b∈B d(a, b).

1. Si A et B sont disjointes, l’une compacte et l’autre ferm´ee, montrer que d(A, B) > 0.
2. Montrer, par un contre-exemple, que ceci peut ˆetre faux si les deux parties sont seulement ferm´ees.

Exercice 197 Soit E un espace norm´e, X et Y deux sous-ensembles de E. Montrer que

1. X + Y est ouvert si X est ouvert ;

5 Compacit´e 25

2. X + Y est compact si X et Y sont compacts ;
3. X + Y est ferm´e si X est compact et Y ferm´e.

Que peut-on dire de X + Y si X et Y sont seulement ferm´es?

Exercice 198 Soit E un espace norm´e, X et Y deux parties compactes de E. Montrer que la r´eunion des segments joignant un point x ∈ X `a un point y ∈ Y est encore compacte.

Exercice 199 Soit K un convexe compact sym´etrique de Rn^ contenant 0 comme point int´erieur. Alors K est la boule unit´e ferm´ee associ´ee `a une norme de Rn^ : consid´erer pour cela

p(x) = inf{t > 0 /

x t

∈ K}

Exercice 200 Trouver l’ensemble des valeurs d’adh´erence quand x → 0 de f (x) = sin (^1) x ; g(x) = (^) x^1 sin (^1) x.

Exercice 201 1. Soit X un espace m´etrique compact et (fn) une suite d’applications continues `a valeurs dans un espace m´etrique Y , convergeant vers f uniform´ement sur X. Montrer que si (xn) est une suite de points de X convergeant vers x ∈ X, alors fn(xn) tend vers f (x).

2. Application : Soit X un espace m´etrique compact, et soit (fn) une suite d’applications de X dans X, ayant chacune un point fixe ; on suppose que la suite (fn) converge vers une fonction f uniform´ement sur X. Montrer que f a aussi un point fixe.
3. Soit K un convexe compact de Rn^ et f une application continue de K dans K v´erifiant

‖f (x) − f (y)‖ 6 ‖x − y‖;

En consid´erant les fonctions fn d´efinies sur K par fn(x) = (^) n^1 f (x 0 ) + (1 − (^) n^1 )f (x), o`u x 0 ∈ K, montrer que f a un point fixe. Est-il unique? Que se passe-t-il si K n’est plus convexe?

Exercice 202 Soit A une partie d’un espace norm´e E. On note co(A), l’enveloppe convexe de A ie l’ensemble {

∑

f inie λj^ aj^ , λj^ >^0 ,^

∑

λj = 1} des combinaisons convexes de points de A.

1. Montrer que si A est fini, co(A) est compacte.
2. Montrer que si E est de dimension finie et A compact, co(A) est compacte.

Exercice 203 Soit E = Cb(R) muni de la norme uniforme ; pour f ∈ E, on note fa la translat´ee de f par a, ie la fonction x → f (x − a), et Of l’ensemble des translat´ees de f.

1. Montrer que si f est p´eriodique, Of est compact (consid´erer l’application a → fa).
2. Soit f une limite uniforme sur R de fonctions p´eriodiques ; montrer que Of est pr´ecompact.
3. On suppose cette fois Of pr´ecompact ; on va montrer que f est uniform´ement continue. (a) De toute suite (fan ) de Of on peut extraire une sous-suite convergente dans E. (b) Si xn − yn tend vers 0, montrer que (fxn−yn ) n’a qu’une valeur d’adh´erence f ; en d´eduire que f (xn) − f (yn) tend vers 0. (c) Montrer que f est uniform´ement continue.

Exercice 204 Soit E l’ensemble des suites infinies de nombres r´eels x = (x 1 , x 2 , · · · ) `a valeurs 0 ou 1. Si x et y sont deux ´el´ements de E, on pose

d(x, y) = sup k> 1

(

k

|xk − yk|)

1. Montrer que d est une distance sur E.
2. Soit ε > 0 ; montrer qu’il existe une partie finie Eε de E qui poss`ede la propri´et´e suivante : les boules ferm´ees de rayon ε centr´ees en un point de Eε recouvrent E.
3. Montrer que E est compact.

Exercice 205 Soit K un convexe compact de R^2.

1. Si K est d’int´erieur vide, montrer que K est hom´eomorphe au segment [0, 1].
2. Si K n’est pas d’int´erieur vide, montrer que K est hom´eomorphe au disque unit´e ferm´e en consid´erant l’application p(x) = inf{a > 0 ; xa ∈ K} ; on montrera que 0 est un point int´erieur, que δ||x|| 6 p(x) 6 C||x|| puis que p est continue.