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ANNALES CORRIG´EES

ET COMPL´EMENTS

du cours de

M´ecanique des Milieux Continus

Professeur Olivier THUAL

INPT/ENSEEIHT

15 d´ecembre 2006

Sommaire

Ce fascicule contient des documents compl´ementaires au polycopi´e principal du cours intitul´e “INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX´ CONTINUS DEFORMABLES” dans le cadre de la premi´ ere ann´ee de for- mation du cycle d’ing´enieur du D´epartement “Hydraulique et M´ecanique des Fluides” de l’ENSEEIHT.

Il contient les ´el´ements suivants :

• Organisation g´en´erale du cours “m´ecanique des milieux conti- nus” : syllabus du cours, d´eroulement pratique du cours, programme d´etaill´e cours/TD et fiche d’´evaluation de l’enseignement.
• Errata du livre : Introduction a la M´ecanique des Milieux Continus D´eformables - O. Thual - C´epadues 1997.
• Annales corrig´ees des partiels : portant sur les chapitre 1 `a 5.
• Annales corrig´ees des examens : portant sur les chapitre 1 `a 8.
• Pr´esentation synth´etique du cours : copie des planches du diapo- rama de pr´esentation du cours.
• Copie des transparents du cours.

L’´eventuelle mise a jour (voir les dates) de ces documents est disponiblea l’adresse : http://www.enseeiht.fr/hmf/enseignants/thual

ORGANISATION G´EN´ERALE DU COURS DE

M´ECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

O. Thual, 15 septembre 2006

L’objet de cette note est de donner un certain nombre d’informations pra- tiques concernant l’organisation du cours de “M´ecanique des Milieux Con- tinus” en premi`ere ann´ee de la formation d’ing´enieur du D´epartement “Hy- draulique - M´ecanique des Fluides” de l’ENSEEIHT.

0.1 SYLLABUS

M´ECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Semestre A Cours : 11 x 1h45 h TD : 11 x 1h45 h Cr´edits : 4

Mots-Cl´es : m´ecanique, milieux continus, ´equations de bilan, lois de com- portement, ´equations de Navier-Stokes.

Bibliographie : [1] Introduction a la M´ecanique des Milieux Continus D´e- formables - O. Thual - C´epadues 1997. [2] http://www-hmf.enseeiht.fr

Objectif : Assimiler les concepts de base de la m´ecanique des milieux conti- nus en amont des cours d’´elasticit´e et de m´ecanique des fluides. Comprendre la d´erivation exhaustive des ´equations de Lam´e (´elasticit´e) et de Navier-Stokes (m´ecanique des fluides).

Programme : Le cours d´ebute par la pr´esentation de quelques exp´eriences de base. L’´etude des grandes d´eformations permet de pr´esenter le tenseur des dilatations et d’introduire les notions de repr´esentations lagrangienne et eul´erienne. L’´etude de la cin´ematique des milieux continus comprend la pr´esentation du tenseur des taux de d´eformation et d´ebouche sur les th´eoremes de transport. Les notions de vecteur flux et de tenseur des contraintes sont pr´esent´eesa partir de l’hypoth`ese de milieu continu.

Tous les outils sont alors en place pour appliquer aux milieux continus les principales lois de conservation de la m´ecanique : masse, quantit´e de mou- vement et ´energie. La pr´esentation des lois de comportement de l’´elasticit´e lin´eaire et des fluides newtoniens permet de conclure en ´ecrivant les ´equations de Lam´e et de Navier-Stokes.

O. THUAL, C. BOSC, M. DUVAL

0.2. D EROULEMENT PRATIQUE´ 5

0.2 D´EROULEMENT PRATIQUE

• Informations en ligne : comme pour les autres enseignements, les informations en ligne sur ce cours sont accessibles `a la rubrique “Pr´e- sentation des enseignements et Cours en ligne” de l’INTRANET du D´epartement, sous forme lisible en INTERNET : http://www-hmf.enseeiht.fr/ On y trouve, par exemple, le texte du livre corrig´e des errata connus, tous les partiels et examens des ann´ees pr´ec´edentes, un film en anglais illustrant le cours, le pr´esent document, etc.
• Horaires : la pr´esence des ´el`eves est souhait´ee aux horaires l´egaux d´efinis par le D´epartement et qui sont 8h00 - 9h45, 10h15 - 12h00, 14h00 - 15h45, 16h15 - 18h00.
• Cours magistral : le cours oral proprement dit durer entre 1h45 sans pause.
• Evaluations : l’´evaluation est effectu´ee a l’aide d’un partiela mi- parcours et d’un examen `a la fin du cours. Ces contrˆoles ´ecrits sont indi- viduels et sans documents. Cependant, les ´etudiants ont la possibilit´e de se munir d’un aide-m´emoire d’une page manuscripte A4 recto-verso pour le partiel et de deux pages pour l’examen. Ces aide-m´emoires auront ´et´e pr´epar´es individuellement par les ´etudiants lors de leurs r´evisions.
• Coefficients : le coefficient du partiel est ´egal au coefficient du contrˆole. Le coefficient total du cours est d´ecid´e par le D´epartement.
• Travaux Dirig´es : les enseignants des Travaux Dirig´es ont la possibilit´e de donner des sujets de contrˆole a fairea la maison et de les noter. Les notes inf´erieures `a 10 pourront ˆetre alors incluses dans la moyenne avec un coefficient pouvant ´egaler ceux du partiel et du contrˆole.
• Livre du cours : le support ´ecrit principal pour ce cours est l’ouvrage “Introduction a la M´ecanique des Milieux Continus D´eformables” (O. Thual, C´epadues 1997) qui est distribu´e aux ´etudiants en d´ebut de scolarit´e pour une p´eriode de trois ans. Cet ouvrage contient un cer- tain nombre d’exercices que les ´etudiants sont encourag´es `a travailler.
• Film sur CD-ROM : plusieurs CD-ROMs sont disponibles pour un prˆet de courte dur´ee, afin de pouvoir visionner, sur un ordinateur (for- mat .mpg) un film d’environ une heure illustrant l’exercie 3.8 du cours. Voir aussi les pages du cours en ligne.
• Fiches d’´evalution du cours et des TDs : les ´etudiants sont invit´es a remplir une fiche d’´evaluation du cours et une fiche d’´evaluation des TDs, eta les remettre le jour de l’examen final.

• Travaux des ´eleves : un certain nombre de travaux d’´eleves de seconde ou de troisieme ann´ee sont accessiblesa l’adresse : http://www.enseeiht.fr/travaux La consultation de ces pages peut servir, entre autres choses, `a mˆurir les choix d’options ou de stage tout au long de la scolarit´e.
• Bibliographie : prˆet a la bibliotheque des ouvrages de la bibliographie du livre.

0.3 PROGRAMME D´ETAILL´E COURS/TD

Cours/TD Programme Date CR 01 Chapitre 1 , Chapitre 2 18/ TD 1 Exos 1.1 et 1.2 19/ CR 02 Chapitre 2 - exo 2.1 25/ TD 2 Exo 2.2 et 2.3 23/ CR 03 Chapitre 2, Chapitre 3 - exo 3.1 26/ TD 3 Exos 3.2 et 3.6 27/ CR 04 Chapitre 3 2/ TD 4 Exo 3.7 3/ DM Pb 3.8 en “DM” a remettre 5/ CR 05 Chapitre 3 (suite et fin) 9/ TD 5 Exercices du partiel 2005 10/ Partiel Chapitre 1a 3 16/ CR 06 Chapitre 4, Chapitre 5 - exo 5.1 23/ TD 6 Exos 5.2 et 5.3 24/ CR 07 Chapitre 6 13/ TD 7 Questions 1-7 de l’examen 2005 14/ CR 08 Chapitre 6, Chapitre 7 20/ TD 8 Exo 7.2 et 7.3 21/ CR 09 Chapitre 7 27/ TD 9 Pb 7.5 28/ CR 10 Chapitre 8 4/ TD 10 Examen 2002 5/ Examen Chapitres 1 `a 8 11/

0.3. PROGRAMME D ETAILL ´ E COURS/TD´ 7

FICHE D’´EVALUATION DU COURS DE

M´ECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Afin d’´etablir un bilan du cours et d’envisager des modifications de l’enseignement, merci de bien vouloir remplir ce questionnaire.

NOM (facultatif : ) :

Tr`es Bien Bien Moyen Passable Mauvais Commentaires D´efinition des objectifs du cours Documentation ´ecrite du cours Intervention de l’enseignant Contrˆole des connaissances Atteinte des objectifs du cours

Commentaires suppl´ementaires :

FICHE D’´EVALUATION DES TD ASSOCI´ES AU COURS

NOM DE L’ENSEIGNANT DE TD :

Afin d’´etablir un bilan des TD et d’envisager des modifications de l’enseignement, merci de bien vouloir remplir ce questionnaire.

NOM (facultatif : ) :

Tres Bien Bien Moyen Passable Mauvais Commentaires Choix des sujets d’exercices Documentation ´ecrite du TD Intervention de l’enseignant Participation des ´eleves Articulation avec le cours

Commentaires suppl´ementaires :

ERRATA DU LIVRE

Erreurs portant sur le fond

1. p. viii : remplacer l’expression “produit contract´e” par “produit dou- blement contract´e” dans tout le livre A : A′^ Produit doublement contract´e de deux tenseurs
2. p. 11, Figure 1.7 : le z´ero de l’axe x 3 est sur la plaque du bas et non sur la plaque du haut.
3. p. 26, titre de 2.2.1 : C(a, δa, δa′) au lieu de C(a, δa, δa′^ )
4. p. 33 ´equation (2.27) : A au lieu de A.
5. p. 40 : une rotation ... au lieu de un rotation
6. p. 49, ligne fin-2 : eul´erienne B(E)(x, t) d’un champ ... au lieu de B(L)
7. p. 58, paragraphe 2, ligne 2 : du voisinage de x ... au lieu de x(t)
8. p. 59, ´equation (3.44) : K [x(t), t] au lieu de K(x, t) (2 occurences)
9. p. 59 ´equation (3.46) : D [x(t), t] au lieu de D(x, t)
10. p. 59 ´equation (3.45) : K [x(t), t], tK [x(t), t] et D [x(t), t], au lieu de K(x, t) tK(x, t) et D(x, t) (respectivement)
11. p. 63, entre (3.55) et (3.56) : K [x(t), t] au lieu de K [x, t]
12. p. 76, Exercice 3.1 : β(t) = β 0 sin(2ωt) au lieu de β(t) = β 0 sin ωt
13. p. 79, Exercice 3.6, ligne 1 : U 3 = 0 au lieu de U 3 = 0
14. p. 79, Exercice 3.6, question 3 : A 21 = 4λ au lieu de A 21 = − 4 λ
15. p. 79, Probleme 3.7 : la convention U = −e(3)^ ∧ grad ψ conduita changer l’´equation (3.102) en

U 1 (x, t) = ∂ψ(x, t) ∂x 2

et U 2 (x, t) = − ∂ψ(x, t) ∂x 1

, ( 3 .102)

10 M´ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006

au lieu de

U 1 (x, t) = −

∂ψ(x, t) ∂x 2 et U 2 (x, t) =

∂ψ(x, t) ∂x 1

, ( 3 .102)

16. p. 80, Probl`eme 3.7, question 3 : ... v´erifiant ψ [x(s), t] = ψ 0 au lieu de ψ [x(s)] = ψ 0 (t)
17. p. 80, question 12 : supprimer la question 12 qui a d´ej`a ´et´e pos´ee
18. p. 81, Probl`eme 3.8, question 4 : Calculer les deux premiers termes du d´eveloppement limit´e au lieu de Calculer le d´eveloppement limit´e
19. p. 82, Probl`eme 3.8, question 11 : d´efins par a( 1 i )= (n − |i|/n) δl au lieu de a( 1 i )= (|n − i|/n) δl
20. p. 87, : ce r´esultat ... au lieu de cet r´esultat
21. p. 89, Figure 4.2 : Log h sur l’axe des abscisses au lieu de LogV (Dh)
22. p. 128, ´equation (5.30) : il manque xj dans le dernier terme de l’´equation

∂ ∂xl

[εijk xj σkl (x)] = εijk δjl σkl (x) + εijk xj ∂σkl ∂xl

(x) , ( 5 .30)

23. p. 145 et 146, section 6.2.2 : f au lieu de ρ f ou f (^) cont au lieu de ρ f (^) cont dans les ´equations suivantes

d dt σ [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

x ∧ f d^3 x +

∫∫∫

D(t)

x ∧ f (^) cont d^3 x. ( 6 .24)

Mextvol [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

x ∧ f d^3 x , ( 6 .25)

Mcont [D(t)] =

∫∫

∂D(t)

x ∧ T (x, n) dS =

∫∫∫

D(t)

x ∧ f (^) cont d^3 x ( 6 .26)

d dt

∫∫∫

D(t)

ρ x∧U d^3 x−

∫∫

∂D(t)

x∧T (x, n) dS =

∫∫∫

D(t)

x∧f d^3 x ( 6 .28)

24. p. 161 et 162, equation (6.81) : terme cW en trop

d dt

∫∫∫

D(t)

c d^3 x +

∫∫

∂D(t)

Qc · n dS

−

∫∫

Σ(t)∩D(t)

[[Qc]] · n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d^3 x. ( 6 .82)

M´ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006 11

25. p. 168 : H(a) δa au lieu de H(a) · δa

dx − δa = ξ(a′) − ξ(a) = H(a)δa + O[(δa)^2 ] , ( 7 .1)

26. p. 169, ´equation (7.7) : produit δa′^ ·ǫ(a)· δa non d´efini dans ce cours tδa′ (^) ǫ(a) δa = δa′ i ǫij^ (a)^ δaj^.^ (^7 .7)
27. p. 172, ´equation 7.16 : Supx∈Ω au lieu de Supx∈Ω

l− B^1 = Supx∈Ω ‖grad ∣ B(E)(x)‖ ∣B(E)(x)∣∣.^ (^7 .16)

28. p. 174, titre de 7.3.3 et ligne suivante : γ(x, δa, δa′) au lieu de γ(x, δa, δa′^ )
29. p. 179, : On rappelle l’on a... au lieu de On rappelle l’on l’a
30. p. 182, ´equation (7.49) : remplacer l’´equation par

Φ(ǫ) =

λ [tr (ǫ)]^2 + μ ǫ : ǫ

=

λ (ǫii)^2 + μ ǫij ǫij

=

λ (ǫ 11 + ǫ 22 + ǫ 33 )^2 +

μ

( ǫ^211 + ǫ^222 + ǫ^233 + 2ǫ^212 + 2ǫ^213 + 2ǫ^223

) ,( 7 .49)

31. p. 197, question 11) : k au lieu de R
32. p. 199, ´equation (7.106) : remplacer l’´equation par

1 c^2

∂^2 ξ ∂t^2

=

∂^2 ξ ∂z^2

. ( 7 .106)

33. p. 200, premi`ere ´equation : remplacer l’´equation x 1 = l sin(kx 3 − ωt) ... par x 1 = l sin(kx 3 +ωt) et x 2 = 0 ,
34. p. 200, ´enonc´e : remplacer k = 40 cm−^1 par k = 401 cm−^1.
35. p. 200, question 8 : remplacer la question par 8) Calculer le terme de production d’´energie interne et commenter le r´esultat.
36. p. 214, Exercice 8.2, question 6 : Calculer la chaleur totale d´egag´ee par cette compression au lieu de ... chaleur totale par cette compression
37. p. 215, Tableau A : 2 μn Ω : Ω au lieu de − 2 μn Ω : Ω
38. p. 222, Corrig´e 1.1, question 1 : ∆ 2 = −ν ∆ 1

12 M´ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006

39. p. 222, Corrig´e 1.2, question 3 : ∆ = ... = 13.5 10−^6. On en d´eduit ... sans unit´e au lieu de ∆ = ... = 13.5 10−^6 Pa. On en d´eduit ...
40. p. 223, Corrig´e 1.2, question 7 : Q=... = 13.5 10−^6. On en d´eduit ... sans unit´e au lieu de = 13.5 10−^6 Pa. On en d´eduit ...
41. p. 223, Corrig´e 2.2, question 3 : sin γ 12 = C 12 /

√

C 11

√

C 22 au lieu de γ 12 =

√

C 11

√

C 22

42. p. 224, Corrig´e 2.3, question 4 : “lorsque k est petit, c’est une exp´erience ...”
43. p. 224, Corrig´e 3.2, question 4 : les unit´es sont des Pa/s
44. p. 226, Corrig´e 3.7, question 1 : div U = ∂^2 ψ/∂x 1 ∂x 2 −∂^2 ψ/∂x 1 ∂x 2 = 0 au lieu de div U = −∂^2 ψ/∂x 1 ∂x 2 + ∂^2 ψ/∂x 1 ∂x 2 = 0 avec la nouvelle convention pour la fonction de courant.
45. p. 226, Corrig´e 3.7, question 2 : Seule la troisieme composante au lieu de Seule la deuxieme composante
46. p. 226, Corrig´e 3.7, question 3 : avec la nouvelle convention pour la fonction de courant (^) dsd ψ[x(s), t] = ... = φ(s)

( − (^) ∂x∂ψ 2 ∂x^ ∂ψ 1 + (^) ∂x∂ψ 1 ∂x^ ∂ψ 2

) = 0 au lieu de (^) dsd ψ[x(s), t] = ... = φ(s)

( − (^) ∂x∂ψ 2 ∂x^ ∂ψ 1 + (^) ∂x∂ψ 1 ∂x^ ∂ψ 2

) = 0.

47. p. 228, question 9 : s’´ecrit (s − 1)[s^2 − (2 + k^2 )s + 1] au lieu s[s^2 − (2 + k^2 )s + 1]
48. p. 228, question 11 : a( 1 i )= (n − |i|/n) δl au lieu a( 1 i )= (|n − i|/n) δl
49. p. 235, question 1 : remplacer ge(3)^ par g(cos α e(3)^ − sin αe(1)).
50. p. 235, question 6 : remplacer p(x, z) = f (x)−ρ 0 gz cos α par p(x, z) = f (x) − ρ 0 g(z − h) cos α.
51. p. 235, question 8 : remplacer U ′′(z) = par U ′′(z) = −g sin ν^ α.
52. p. 235, question 11 : contrainte au lieu de force
53. p. 235, question 11 : (cos α e(3)^ − sin αe(1)) au lieu de e(3).
54. p. 236, ´equation (9.1) : remplacer l’´equation par

σ = −patm

 

  (^) − ρ 0 g(h − z)

 

− cos α 0 sin α 0 − cos α 0 sin α 0 − cos α

 

( 9 .1)

55. p. 236, question 17 : remplacer = −ρ 0 Sgh^3 sin^2 α/(3νn ) par = −ρ 0 S g^2 h^3 sin^2 α/(3νn )

M´ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17, 2006 13

Erreurs portant sur la forme

1. p. 13, paragraphe 2, ligne 1 : ... ´elastique (chapitre 7), on ...
2. p. 20, ligne 3 : ... une masse de 4,5 tonnes ...
3. p. 26, paragraphe 4 : En notation indic´ee on peut alors ´ecrire ...
4. p. 27, ´equation (2.9) : = au lieu de = =
5. p. 27, ´equation (2.11) : Fni(a) Fnj (a) au lieu de Fni(a) , Fnj (a)
6. p. 27, ´equation (2.11) :
7. p. 40, paragraphe 2, ligne 6 : une rotation au lieu de un rotation.
8. p. 81, Probl`eme 3.8, ligne 4 : {e(1), e(2), e(3)}.
9. p. 87, paragraphe 3, ligne 4 : Ce r´esultat au lieu de Cet r´esultat.
10. p. 119, Tableau 5.1 : remplacer 0 par 0 pour les grandeurs vectorielles nulles
11. p. 142, titre de 6.1.4 : Loi de conservation de la masse au lieu de Lois de conservation de la masse
12. p. 179, ligne 1 : que l’on a fait au lieu de que l’on l’ a fait.
13. p. 183, ´equation (7.54) : λ = ... et μ = ... (7.54) au lieu de λ = ... μ = ... et. (7.54)

• 14 M´ecanique des Milieux Continus, O. Thual, December 17,

PARTIELS

Les partiels portent sur les chapitres 1 a 5 du livre “Introductiona la M´ecanique des Milieux Continus D´eformables”, O. Thual, C´epadu`es-Editions 1997.´

PARTIEL 2006

PROBL`EME 9.1 La gomme et le chat

On considere, dans ce probleme, une longueur de r´ef´erence l que l’on prendra ´egale `a 2 cm pour les trac´es graphiques. On d´efinit le domaine Ω 0 par :

Ω 0 =

{ a ∈ IR^3 tel que 0 ≤ a 2 ≤ l , |a 1 | ≤ l et −

√ l^2 − a^21 ≤ a 3 ≤ l

} .

Grandes d´eformations

On consid`ere un mouvement x = X(a, t) d´efini par

x 1 = k(t) a 1 , x 2 = a 2 , et x 3 = a 3 + β(t) a^21 , ( 9 .2)

avec k(t) = 1 + α[1 − cos(2 ω t)] et β = β 0 sin(ω t) avec α ≥ 0 et β 0 ≥ 0. Pour les trac´es graphiques, on consid´erera les valeurs num´eriques α = 1/2, β 0 = 1 cm−^1 et ω = π/4 s−^1.

1. Tracer l’intersection entre le domaine Ω 0 et le plan a 2 = 0.
2. Tracer sur un mˆeme graphe les fonctions k(t) et β(t) en fonction du temps.
3. Calculer le tenseur des dilations C(a, t) pour tout point a.
4. Calculer le volume du domaine Ω 0 et de son image Ω(t).
5. On consid`ere les points Ei, i = 1, ..., 6 dont les coordonn´ees respectives a = (a 1 , a 2 , a 3 ) sont E 1 : (−l, 0 , 0), E 2 : (0, 0 , −l), E 3 : (l, 0 , 0), E 4 : (l, 0 , l), E 5 : (0, 0 , l) et E 6 : (−l, 0 , l). Tracer ces six points dans Ω 0.
6. Tracer les images Hi, i = 1, ..., 6 des ces six points de coordonn´ees x = X(a, t) au temps t∗ = 2 s.

16 PARTIEL 2006, MMC, O. Thual, December 17, 2006

7. Calculer la jacobienne F (a, t∗) pour le point E 6 au temps t = t∗.
8. Dessiner deux petits vecteurs δa = δa e(1)^ et δa′^ = δa e(3)^ autour de E 6 en choisissant δa quelconque. Dessiner leurs images respectives δx et δx′ autour du point H 6.
9. D´eduire des questions pr´ec´edentes un trac´e approximatif de la fronti`ere ∂Ω(t∗) du domaine Ω(t∗) dans le plan (x 1 , x 3 ).

Images de cercles

10. Interpr´eter les composantes de C(0, t) pour tous temps.
11. On consid`ere Cb le cercle de centre a = 0 et de rayon l/4 dans le plan (x 1 , x 3 ). Dessiner le cercle Cb dans le domaine Ω 0 ainsi que son image au temps t = t∗ = 2 s dans le domaine Ω(t∗), mˆeme sch´ematiquement.
12. Donner l’´equation de cette image `a l’aide des coordonn´ees (x 1 , x 3 ).
13. On consid`ere les points G et D dont les coordonn´ees a respectives sont G : (−l/ 2 , 0 , l/2) et D : (l/ 2 , 0 , l/2). Dessiner ces points dans le domaine Ω 0 ainsi que leurs images respectives L and R au temps t = t∗ dans le domaine Ω(t∗).
14. Calculer la jacobienne F (a, t∗) autour du point D.
15. Dessiner deux petits vecteurs δa = δa e(1)^ et δa′^ = δa e(3)^ autour de D en choisissant δa quelconque. Dessiner leurs images respectives δx et δx′ autour de l’image de D au temps t = t∗.
16. Calculer, pour le temps t = t∗, l’angle de glissement des directions Ox 1 et Ox 3 prises autour du point D `a t = 0 s. Comparer avec la question pr´ec´edente.
17. D´eduire des questions pr´ec´edentes le trac´e approximatif de l’image au temps t = t∗ des petits cercles de centres respectifs G ou D et de rayon l/10.
18. Dessiner approximativement les images successives de Ω 0 de t = 0 s `a t = 4 s.
19. A quoi est ´` egal Ω(t) pour t = 4 s?

Cin´ematique

20. Calculer le champ de vitesse eul´erien U (x, t) associ´e au mouvement X(a, t) ci-dessus.
21. Donner l’expression B(L)(a, t) de la repr´esentation lagrangienne du champ B dont la repr´esentation eul´erienne est B(x, t) = γ x^23 pour x 3 ≥ 0 et B(x, t) = 0 pour x 3 ≤ 0, o`u γ est un constante.
22. Donner l’expression de dB dt (x, t).
23. Calculer les tenseurs des taux de d´eformation D(x, t).
24. Tracer la trajectoire issue du point D a t = 0 s jusqu’a t = 4 s.
25. Calculer le taux de dilation relatif (^) δV^1 (t) dt^ d [δV(t)] d’un petit volume δV(t) pris autour de cette trajectoire.

PARTIEL 2006, MMC, O. Thual, December 17, 2006 17

26. Donner l’expression du vecteur rotation ω(x, t).
27. Tracer les lignes de champs du champ de vitesse pour t = t∗ = 2 s.
28. On note ρ(x, t) la masse volumique d’un milieu continu contenu dans le domaine Ω(t). Ecrire l’´´ equation de conservation de la masse `a l’aide des fonctions k(t), β(t).
29. En d´eduire, en supposant que ρ(x, 0) = ρ 0 est un champ homogenea t = 0, son expression pour tout temps.
30. Comparer ce r´esultat avec l’expression du jacobien J(a, t).
31. On note B(t) =

∫∫∫ Ω(t) B(x, t)^ d (^3) x. Calculer B(0).

Corrig´e page 17

Corrig´e La gomme et le chat

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0

a) b)

E 1

E 2

E 6

E 5 E 4

E 3

H (^1) H 3

H 2

H 4

H 5

H 6

G D Cb (^) X ( Cb )

L R D

Figure 9 .1: a) Ω 0 avant d´eformation pour t = 0, b) Ω(t∗) au temps t∗ = 2 s.

Grandes d´eformations 1)La trace de la fronti`ere ∂Ω 0 dans le plan x 2 = 0 est repr´esent´ee sur la figure 9 .1a). 2)La fonction k(t) oscille entre k(0) = 1 et k(2) = 2 avec une p´eriode de 4 s. La fonction β(t) oscille entre β(6) = −1 et β(2) = 1 sur une p´eriode de 8 s. 3)On a C 11 = k^2 + 4βa^21 , C 22 = C 33 = 1, C 13 = C 31 = 2βa 1 et Cij = 0 sinon. 4)Le domaine Ω 0 ´etant un cylindre dont la section droite est la r´eunion d’un rectangle et d’un demi-disque, on calcule ais´ement que son volume est∫∫∫ V(Ω 0 ) = (2 + π/2)l^3. Comme J(a, t) = k(t), on a V[Ω(t)] = Ω(t) dx

3 = ∫∫∫

Ω 0 J(a, t)^ da (^3) = k(t)V(Ω 0 ) 5)Les coordonn´ees x = (x 1 , x 2 , x 3 ) des points images des points Ei sont H 1 : (− 4 , 0 , 4), H 2 : (0, 0 , −2), H 3 : (4, 0 , 4), H 4 : (4, 0 , 6), H 5 : (0, 0 , 2) et H 6 : (− 4 , 0 , 6) exprim´ees en cm. 6)Ces points sont repr´esent´es sur la figure 9 .1b). 7)Les composantes de F (a, t∗) pour a = (−l, 0 , l) sont F 11 = 2, F 31 = −4, F 22 = F 33 = 1 et Fij = 0

18 PARTIEL 2006, MMC, O. Thual, December 17, 2006

sinon. 8)On a δx = F (a, t∗)δa et δx′^ = F (a, t∗)δa′^ ou a est le vecteur des composantes du point E 6. On a donc δx = δa(2, 0 , −4) et δx′^ = δa(0, 0 , 2). 9)Le trac´e de la frontiere de Ω(t∗) est effectu´e sur la figure 9 .1b).

Images de cercles

10)Les composantes de C(0, t) sont C 11 = k^2 , C 22 = C 33 = 1 et Cij = 0 sinon. Les angles de glissement des directions de base sont nulles. La dilation relative dans la direction e(1)^ est k(t). Elle est ´egale `a un pour les autres directions. 11)La question pr´ec´edente permet un trac´e approxi- matif du cercle Cb et de son image X(Cb, t∗) qui sont repr´esent´es sur la fig- ure 9 .1. 12)L’´equation du contour ferm´e X(Cb, t∗) dans le plan (x 1 , x 3 ) s’´ecrit x^21 /k^2 (t) +

[ x 3 − β(t) x^21 /k^2 (t)

] 2 = l^2 /16. 13)Le trac´e des points G et D et de leurs images L and R est effectu´e sur la figure 9 .1. 14)Les composantes de F (a, t∗) ou a = (l/ 2 , 0 , l/2) sont F 11 = 2, F 22 = F 33 = 1, F 31 = 2 et Fij = 0 sinon. 15)On a δx = F (a, t∗)δa et δx′^ = F (a, t∗)δa′^ ou a est le vecteur des composantes du point D. On a donc δx = δa(2, 0 , −4) et δx′^ = δa(0, 0 , 2). 16)Les deux petits vecteurs δx et δx′^ font un angle de π/4. L’angle de glissement est donc γ 12 = π/4. 17)Comme l/10 peut ˆetre consid´er´e comme relativement petit devant l’´echelle 1/β 0 , l’image des “yeux du chat” sont des presque des ellipses que l’on peut tracer a partir des petits vecteurs δx et δx′. 18)Les images successives de Ω 0 pour t ∈ [0s, 8 s] sont visibles sous forme d’animationa l’adresse http://www.enseeiht.fr/ thual/otmmc/. 19)On a Ω(t) = Ω 0 pour t = 4 s.

Cin´ematique

20)Les composantes du champ de vitesse U (x, t) sont U 1 = k˙(t)x 1 /k(t), U 2 = 0 et U 3 = β˙(t)x^21 /k^2 (t). 21)On a B(L)(a, t) = γ [a 3 + β(t) a^21 ]^2 pour a 3 ≥ β(t) a^21 et B(L)(a, t) = 0 pour a 3 ≤ β(t) a^21. 22)On a dB dt (x, t) = U (^3) ∂x∂B 3 =

2 γ β˙(t)x^21 x 3 /k^2 (t). 23)Les composantes de D(x, t) sont D 11 = k˙(t)/k(t), D 13 = D 31 = β˙(t)x 1 /k^2 (t) et Dij = 0 sinon. 24)Les trajectoires x(t) telles que x(0) = a sont des paraboles d’´equation x 1 = a 1 + 2α(x 3 − a 3 )^2 /

( β 02 a^31

) . Le trac´e de la trajectoire, d’´equation x 1 = 1 + .5[1 − cos(πt/2)] cm et x 3 = 1 + sin(π t/4) est donc le morceau de parabole DR de la figure 9 .1b). 25)Le taux de dilatation div U = k˙(t)/k(t) ne d´epend pas du point de d´epart de la trajectoire. 26)Le vecteur rotation est ω(x, t) = − β˙(t) x 1 /k^2 (t) e(2). 27)Les lignes de champs `a t = t∗ sont d´efinies par dx 1 /U 1 = dx 3 /U 3 ce

qui entraˆıne dx 3 /dx 1 = U 3 /U 1 = β˙(t∗)x 1 /

[ k˙(t∗)k(t∗)

] en choissant de les param`etrer par la variable x 1. Ces lignes sont alors des paraboles d’´equations x 3 = β˙(t∗)x^21 /

[ 2 k˙(t∗)k(t∗)

]

• b 3 o`u b 3 est une constante. 28)La loi de conser-

vation de la masse s’´ecrit dρ dt +ρ div U = 0 avec div U = k˙(t)/k(t). 29)Comme dρ dt /ρ^ =^ −^ k˙(t)/k(t), on peut ´ecrire ∂ρ ∂t

(L) (a, t)/ρ(L)(a, t) = − k˙(t)/k(t) et donc ρ(L)(a, t) = C/k(t) o`u C est une constante. En utilisant la condition initiale ρ(a, 0) = ρ 0 et le fait que k(0) = 1, on obtient ρ(x, t) = ρ 0 /k(t). 30)Ce

PARTIEL 2005, MMC, O. Thual, December 17, 2006 19

r´esultat peut se trouver directement en remarquant que ρ(L)(a, t) = ρ 0 J(a, t) avec J(a, t) = k(t). 31)On a B(0) =

∫ (^) l 0 da^2

∫ (^) l −l da^1

∫ (^) l 0 γa 2 3 da^3 =^ 2 3 γl

PARTIEL 2005

PROBL`EME 9.3 Chat dans un ´ecoulement parabolique

On considere, dans ce probleme, une longueur de r´ef´erence d que l’on prendra ´egale a 1 cm pour les trac´es graphiques. La valeur num´erique d’une deuxieme longueur, not´ee l, n’est pas pr´ecis´ee ici. Etant donn´´ ees trois longueurs X, Y et L, on d´efinit le domaine Ω 0 (X, Z, L) par :

Ω 0 (X, Z, L) =

{ a ∈ IR^3 tel que 0 ≤ a 2 ≤ l , |a 1 − X| ≤ L

et (a 1 − X)^2 L

≤ a 3 − Z ≤

L +

(a 1 − X)^2 4 L

}

1. Sur un mˆeme graphique, tracer la projection dans le plan (a 1 , a 3 ) des domaines Ω 0 (0, 0 , 4 d), Ω 0 (− 2 d, 2 d, d/2), Ω 0 (2d, 2 d, d/2) et Ω 0 (0, d/ 2 , d).

Champ de vitesse

On consid`ere un mouvement d´efini par sa repr´esentation eul´erienne U(x, t) dont les composantes sont U 1 = 0, U 2 = 0 et U 3 = β

( 16 d^2 − x^21

) o`u β est une constante positive qui prendra la valeur β = 161 cm−^1 s−^1 dans pour les trac´es graphiques.

2. Calculer l’acc´el´eration dU dt (x, t).
3. Calculer D(x, t) pour les points x tels que x 1 = 2d.
4. Calculer le vecteur rotation ω(x, t) pour ces mˆemes points.
5. Tracer le profil de vitesse U 3 en fonction de x 1.
6. Calculer la trajectoire x(t) issue du point a = (a 1 , a 2 , a 3 ).
7. Tracer les lignes de champs du champ de vitesse U (x, t).
8. Donner l’expression du mouvement X(a, t).
9. En d´eduire l’expression du mouvement inverse A(x, t).
10. Donner l’expresssion de la repr´esentation lagrangienne U (L)(a, t) du champ de vitesse.

D´eform´ee du chat

11. Montrer que la projection dans le plan (x 1 , x 3 ) de l’image Ωt(X, Z, L) au temps t de configuration de r´ef´erence Ω 0 (X, Z, L) est une surface comprise en deux courbes que l’on explicitera. On pourra noter γ = β t.
12. Sur le mˆeme graphique, tracer pr´ecisement la projection, dans le plan (x 1 , x 3 ), du domaine d´eform´e Ωt(0, 0 , 4 d) pour t = 4 s.

20 PARTIEL 2005, MMC, O. Thual, December 17, 2006

13. Tracer pr´ecisement la projection, dans le plan (x 1 , x 3 ), du domaine d´eform´e Ωt(0, d/ 2 , d) pour t = 4 s.
14. Toujours sur le mˆeme graphique, tracer sch´ematiquement et sans calculs la projection dans le plan (x 1 , x 3 ) des domaines d´eform´es Ωt(2d, 2 d, d/2) et Ωt(− 2 d, 2 d, d/2) pour t = 4 s.
15. Donner l’expression B(L)(a, t) de la repr´esentation lagrangienne du champ B dont la repr´esentation eul´erienne est B(x, t) = α x^21 o`u α est un con- stante.
16. On note D(t) = Ωt(0, 0 , 4 d) et B(t) =

∫∫∫ D(t) B(x, t)^ d (^3) x. Calculer B(0).

17. Calculer (^) dtd B(t).
18. En d´eduire B(t) pour tout temps t.

Grande d´eformation

On consid`ere la grande d´eformation X(a) d´efinie par ses composante X 1 = a 1 , X 2 = a 2 et X 3 = a 3 + γ (16 d^2 − a^21 ) avec d = 1 cm et γ = 14 cm−^1.

19. Quel lien existe-t-il entre cette grande d´eformation X(a) et le mouvement X(a, t) des questions pr´ec´edentes.
20. Calcul le gradient de la d´eformation F (a) pour a = 2 d

( e(1)^ + e(3)

) .

21. En d´eduire le trac´e des images respectives des petits vecteurs δa = δa e(1) et δa′^ = δa e(3)^ pris autour du point a = 2d

( e(1)^ + e(3)

) .

22. En d´eduire un trac´e sch´ematique de Ωt(2d, 2 d, d/2) pour t = 4 s.
23. Calculer le volume du domaine Ω 0 (0, 0 , 4 d).
24. En d´eduire le volume du domaine Ωt(0, 0 , 4 d) pour t = 4 s.
25. Calculer le tenseur des dilatations C(a) pour a = 2d

( e(1)^ + e(3)

) .

26. En d´eduire l’angle de glissement des directions e(1)^ et e(3). Comparer avec le r´esultat d’une des questions pr´ec´edentes.
27. En d´eduire la dilatation relative des petits vecteurs orient´e dans la direc- tion e(3).
28. Calculer le tenseur des dilatations C(0) obtenus pour a = 0.
29. Comparer avec le trac´e de Ωt(0, d/ 2 , d). Corrig´e page 20

Corrig´e Chat dans un ´ecoulement parabolique

1)En projection dans le plan (a 1 , a 3 ), le domaine Ω 0 (0, 0 , L) est compris au- dessus d’un morceau de parabole reliant les points (−L, L), (0, 0) et (L, L), et au-dessous d’un morceau de parabole reliant les points (−L, L), (0, 3 L/4) et (L, L), ce qui ressemble a un croissant inscrit dans un carr´e de cˆot´e 2L. Le domaine Ω 0 (X, Y, L) s’obtienta partir de Ω 0 (0, 0 , L) par une translation de vecteur (X, 0 , L). Le trac´e des quatre ensembles indiqu´es ressemble a une tˆete de chat (voir figure) inscrit dans un parral´epipede rectangle dont la projection dans le plan (a 1 , a 3 ) est un carr´e de cˆot´e 8d.

PARTIEL 2005, MMC, O. Thual, December 17, 2006 21

Champ de vitesse 2)Comme ∂U ∂t = 0, U 1 = U 2 = 0 et (^) ∂x∂U 3 = 0, on a dU dt = 0. 3)Les composantes Kij du gradient des vitesses K sont toutes nulles sauf K 31 = − 2 β x 1. On en d´eduit que les composantes Dij sont toutes nulles sauf D 13 = D 31 = −β x 1 , qui valent D 13 = D 31 = − 2 β d au point indiqu´e. 4)Les composantes du tenseur des rotations Ω sont toutes nulles sauf Ω 13 = −Ω 31 = β x 1. En util- isant la relation Ω 31 + ω 2 = 0, on en d´eduit ω = β x 1 e(2)^ qui vaut ω = 2 β d au point indiqu´e. 5)Le profil de vitesse U 3 (x 1 ) est celui d’une parabole qui s’annule pour |x 1 | = 4 d et est maximum pour x 1 = 0. 6)L’´equation de la tra- jectoire est x(t) = a + β(16d^2 − a^21 ) t e(3). Ces trajectoires formes des droites parallelesa e(3). 7)Comme le champ de vitesse est stationnaire, lignes de champ et trajectoires sont confondues. 8)On a X(a, t) = a+β(16d^2 −a^21 ) t e(3). 9)On en d´eduit A(x, t) = x − β(16d^2 − x^21 ) t e(3). 10)On a U (L)(a, t) = β (16d^2 − a^21 ).

D´eform´ee du chat 11)La projection de Ωt(X, Z, L) dans le plan (x 1 , x 3 ) est comprise au-dessus de la parabole d’´equation x 3 = Z +γ(16d^2 −x^21 )+(x 1 −X)^2 /L, qui s’´ecrit aussi x 3 −

( Z + 16γd^2 + X 2 L

)

( 1 L −^ γ

) x^21 − (^2) LX x 1 et en-dessous de la parabole d’´equation aussi x 3 −

( Z + 16γd^2 + X 2 4 L +^

3 L 4

)

( 1 4 L −^ γ

) x^21 − (^2) LX x 1. 12)La projection de Ω( t(0, 0 , 4 d) est la surface au-dessus de la parabole x 3 − 16 γd^2 = 1 4 d −^ γ

) x^21 et au-dessous de la parabole x 3 − 16 γd^2 − 3 d =

( 1 16 d −^ γ

) x^21. En utilisant les valeurs num´eriques de β, t et d qui conduisent `a γ = 14 cm−^1 et d = 1 cm, ces ´equations s’´ecrivent respectivement x 3 = 4cm et x 3 − 7cm = −3cm

( (^) x 1 4cm

) 2

. La surface est au-dessus de la droite x 3 = 4cm et en-dessous de la parabole concave passant par (− 4 , 4), (0, 7) et (4, 4) (en cm). 13)L’application num´erique montre que la projection de l’image de Ωt(0, d/ 2 , d) est au-dessus de la parabole x 3 − 4 .5 cm = 0.75 cm

( (^) x 1 1cm

) 2 et en- dessous de la droite x 3 = 5.25 cm. 14)Le trac´e de la forme des “yeux du

−4^0 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7 temps,^ t= 0

a 1

a 3

−4^0 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7 temps,^ t= 4

a 1

a 3

Figure 9 .2: Domaines : a) avant d´eformation pour t = 0, b) au temps t = 4 s.

22 PARTIEL 2004, MMC, O. Thual, December 17, 2006

chat” au temps t = 4 s se fait intuitivement en interpolant la d´eformation des “la tˆete” et “la bouche”. 15)On a B(L)(a, t) = αa^21. 16)On a B(0) = α l

∫ (^4) d − 4 d a (^21)

(∫ 3 d+a^21 /(16d) a^21 /(4d) da^3

) da 1 = α l

∫ (^4) d − 4 d

( 3 da^21 + a

(^41) 16 d −^

a^41 4 d

) da 1 = 2565 α l d^4. 17)On a (^) dtd B(t) =

∫∫∫ D(t)

( dB dt +^ B^ div^ U

) d^3 x = 0 car dB dt = 0 et div U = 0. 18)On en d´eduit que B(t) = B(0).

Grande d´eformation 19)On peut ´ecrire X(a) = X(a, γ/β). On s’int´eresse a la grande d´eformation entre la configuration de r´ef´erencea t = 0 et la configuration `a t = γ/β, qui vaut t = 4 s pour l’application num´erique. 20)Seules les composantes F 11 = F 22 = F 33 = 1, F 31 = − 2 γ a 1 de F (a) sont non nulles. On a F 31 = − 4 γd pour le point particulier indiqu´e. 21)On a δx = F δa = δa

( e(1)^ − 4 γde(3)

)

et δx′^ = F δa′^ = δa e(3). 22)On a δx = δa(e(1)^ − e(3)). Comme la projec- tion de Ω 0 (2d, 2 d, d/2) est inscrite dans le rectangle de sommets (1. 5 d, 2 d), (1. 5 d, 2. 5 d), (2. 5 d, 2. 5 d) et (2. 5 d, 2 d), on peut consid´erer, en consid´erant que δa = d/2 est petit (facteur 8 devant 4d), celle de Ωt(2d, 2 d, d/2) est in- scrite dans le parall´epid`ede de sommets (1. 5 d, 2. 5 d), (1. 5 d, 3 d), (2. 5 d, 2 d) et (2. 5 d, 1. 5 d). On en d´eduit le trac´e approximatif de Ωt(2d, 2 d, d/2). 23)Le volume est V 0 = l

∫ (^4) d − 4 d

∫ (^3) d+a^21 /(16d) a^21 /(4d) da^1 da^3 =^16 d

(^2). 24)Comme J(a) = det F (a) = 1, les volumes sont conserv´es. Le volume de Ωt(0, 0 , 4 d) est ´egal `a 16 d^2 pour tout temps t. 25)On en d´eduit que C 11 = 1+4γa^21 , C 22 = C 33 = 0 et C 13 = C 31 = − 2 γa 1 sont les seules composantes non nulles de C(a). 26)On en d´eduit que sin γ 13 = C 13 /

√

C 11 C 33 = − 2 γa 1 /

√ 1 + 4γa^21. Pour le point consid´er´e, on obtient sin γ 13 = − 4 γd/

√ 1 + 16γd^2. L’application num´erique conduit `a sin γ 13 = − 1 /

√

2 ce qui entraˆıne γ 13 = −π/4. Ce r´esultat est con- forme avec la r´eponse de la question 21. 27)La dilatation relative dans la direction e(3)^ est

√

C 33 = 1. 28)On a C(0) = I. Il n’y a pas de d´eformation dans le voisinage de 0. 29)On remarque que la d´eformation de la bouche du chat est faible, mˆeme si elle est visible `a cause de sa taille finie.

PARTIEL 2004

Certaines questions du probleme sont construites sous forme de “Question- nairea Choix Multiples” (QCM) avec trois r´eponses possibles [(a), (b) ou (c)] sugg´er´ees dans un tableau. Pour chaque ligne, on justifiera la r´eponse choisie a l’aide d’une d´emonstration, succinte mais complete.

EXERCICE 9.5 Calcul tensoriel axisym´etrique 2D

On se place dans le plan [e(1), e(2)] en notant x 1 = x et x 2 = y les coordonn´ees. On note respectivement B(x) = B(x, y) et V (x) = [V 1 (x, y), V 2 (x, y)] un champ scalaire ou un champ vectoriel bidimensionnel (2D). On note alors grad B = ( ∂B ∂x , ∂B ∂y ) le champ de vecteurs de composantes ∂B ∂xi et grad V le

PARTIEL 2004, MMC, O. Thual, December 17, 2006 23

champ de matrices 2 × 2 de composantes ∂V ∂xji. Etant donn´´ es deux champs de

vecteurs U (x) et V (x) bidimensionnels, on note A = U ⊗ V la matrice 2 × 2 de composantes Aij = Ui Vj. On note R(x) = R(x, y) =

√ x^2 + y^2 le champ scalaire 2D appel´e “rayon”. On note enfin er(x) = (^) R(^1 x) x = (^) R(x,y^1 ) (x, y)

et eθ(x) = (^) R^1 (x) e(3)^ ∧ x = (^) R(x,y^1 ) (−y, x) deux champs de vecteurs unitaires 2D respectivement appel´es “vecteur unitaire radial” et “vecteur unitaire az- imuthal”.

1. Choisir la bonne expression de chacun des champs de la colonne de gauche du tableau 1. (a) : = (b) : = (c) : = grad (Bn) n Bn−^1 grad B n Bn−^1 grad B nBngrad B grad (B V ) grad B ⊗ V V ⊗ grad B + B grad V B grad V t (^) (U ⊗ V ) V ⊗ U U ⊗ V U · V (U ⊗ V ) W = (U · V ) W (U · W ) V (V · W ) U grad [F (B)] F ′(B) grad B F ′(B) ⊗ grad B F ′(B) grad B

Table 9 .1: Calcul de cinq expressions de champs

2. Choisir la bonne expression de grad B dans le tableau 2.
3. Choisir la bonne expression de chacun des champs de la colonne de gauche du tableau 3.
4. Choisir la bonne expression de grad V dans le tableau 4.
5. Choisir la bonne expression de grad V dans le tableau 5.

La suite du partiel ´etait constitu´ee des questions 2 a 14 de l’examen 2004 regroup´ees sous le titre “Tourbillons en repere tournant”.

EXERCICE 9.6 Acc´el´eration de Coriolis

On note β(t) = Ω(t − t∗) o`u t est le temps et t∗ une constante. On appelle “mouvement d’entraˆınement” l’application X(ent)(a, t) d´efinie par

X(ent)(a, t) = R[β(t)] a avec R(α) =

 

cos α − sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1

  (^).

On appelle “mouvement relatif” l’application qui associe `a tout point a une matrice colonne not´ee X(rel)(a, t) et de composantes X i(rel) (a, t). On appelle enfin “mouvement absolu” le mouvement d´efini par

X(abs)(a, t) = R[β(t)] X(rel)(a, t).

1. Calculer les composantes de la repr´esentation lagrangienne U (ent)(L)(a, t) du champ de vitesse d’entraˆınement.
2. En d´eduire que la repr´esentation eul´erienne de ce champ de vitesse s’´ecrit U (ent)(x, t) = Ω e(3)^ ∧ x.

24 PARTIEL 2004, MMC, O. Thual, December 17, 2006

B (a) : grad B = (b) : grad B = (c) : grad B = x^2 2 x er(x) ‖x‖ grad ‖x‖ R^2 (x) er(x) ‖x‖ grad |x‖ 2 x R^2 n(x) 2 n R^2 n−^1 er(x) 2 n R^2 n−^1 x 2 n R^2 n−^1 eθ(x) R(x) x er(x) 12 er(x) F [R(x)] F ′[R(x)] er(x) F ′[R(x)] x F ′[R(x)] eθ(x)

Table 9 .2: Calcul de grad B pour cinq champs B(x)

(a) : = (b) : = (c) : = R^2 er ⊗ er

( −xy x^2 −y^2 xy

) ( x^2 xy xy y^2

) ( y^2 −xy −xy x^2

)

R^2 er ⊗ eθ

( −xy x^2 −y^2 xy

) ( x^2 xy xy y^2

) ( y^2 −xy −xy x^2

)

R^2 eθ ⊗ er

( x^2 xy xy y^2

) ( −xy −y^2 x^2 xy

) ( y^2 −xy −xy x^2

)

R^2 eθ ⊗ eθ

( y^2 −xy −xy x^2

) ( −xy x^2 −y^2 xy

) ( x^2 xy xy y^2

)

er ⊗ er + eθ ⊗ eθ 2 I −I I

Table 9 .3: Calcul de cinq expressions de champs de tenseurs

V (a) : grad V = (b) : grad V = (c) : grad V = x er ⊗ er I eθ ⊗ eθ Rn^ x Rn^

( n er ⊗ er + I

) (n + 1) Rn^ I n Rn−^1 I Rn+1^ er (n + 1) Rn^ I n Rn−^1 I Rn^

( n er ⊗ er + I

)

er (^) R^1 eθ ⊗ eθ (^) R^1 er ⊗ er (^) R^1 I F (R) er F ′(R) er ⊗ er

• (^) R^1 F (R) er ⊗ eθ

F ′(R) er ⊗ er

• (^) R^1 F (R) eθ ⊗ eθ

F ′(R) eθ ⊗ er

• (^) R^1 F (R) eθ ⊗ eθ

Table 9 .4: Calcul de grad V pour cinq champs V (x)

V (a) : grad V = (b) : grad V = (c) : grad V = R eθ

( 0 1 − 1 0

) ( 0 0 − 1 0

) ( 0 − 1 1 0

)

Rn+1eθ

nRneθ ⊗ er +Rn

( 0 − 1 1 0

) n R n− (^1) er ⊗ eθ +Rn

( 0 − 1 1 0

) nR ner ⊗ eθ +Rn

( 0 1 − 1 0

)

Rn+1eθ

( (^) −nxy R^2 −n

nx^2 R^2 −n −ny^2 R^2 −n

nxy R^2 −n

) ( (^) −nxy R^2 −n

−x^2 −(n+1)y^2 R^2 −n (n+1)x^2 +y^2 R^2 −n

nxy R^2 −n

) ( (^) nxy R^2 −n

y^2 R^2 −n ny^2 R^2 −n

nxy R^2 −n

)

eθ − (^) R^1 er ⊗ eθ − (^) R^1 eθ ⊗ eθ − (^) R^1 er ⊗ er F (R) eθ F ′(R) er ⊗ er − F^ ( RR )er ⊗ eθ

F ′(R) eθ ⊗ er − F^ ( RR )er ⊗ eθ

F ′(R) eθ ⊗ er − F^ ( RR )eθ ⊗ eθ

Table 9 .5: Calcul de grad V pour cinq champs V (x)

PARTIEL 2004, MMC, O. Thual, December 17, 2006 25

3. Montrer que le tenseur des taux de rotation associ´e au champ de vitesse d’entraˆınement est un tenseur Ω(ent)^ constant. Calculer le vecteur rota- tion ω(ent)^ constant associ´e.
4. Montrer, en comparant les repr´esentations eul´erienne et lagrangienne du champ de vitesse d’entraˆınement, que l’on a (^) dtd R[β(t)] = Ω(ent)^ R[β(t)].
5. Exprimer la repr´esentation lagrangienne U (abs)(L)(a, t) de la vitesse ab- solue en fonction de R[β(t)], Ω(ent), X(rel)(a, t) et la repr´esentation la- grangienne U (rel)(L)(a, t) du mouvement relatif.
6. On note respectivement Γ(abs)(L)(a, t) et Γ(rel)(L)(a, t) les repr´esentations lagrangiennes des acc´el´erations des mouvements absolus et relatifs. Mon- trer que

Γ(abs)(L)^ = R(β) Γ(rel)(L)+2 Ω(ent)^ R(β) U (rel)(L)+Ω(ent)^ Ω(ent)^ R(β) X(rel)^.

7. On note respectivement Γ(abs)(x, t) et Γ(rel)(x, t) les repr´esentation eul´eriennes des acc´el´erations des mouvements absolus et relatifs. On suppose que X(abs)(a, t∗) = X(ent)(a, t∗) = X(rel)(a, t∗) = a. Montrer que l’on a alors

Γ(abs)(x, t∗) = Γ(rel)(x, t∗) + 2 ω(ent)^ ∧ U (rel)(x, t∗) + ω(ent)^ ∧

( ω(ent)^ ∧ x

) .

8. Donner un argument permet de g´en´eraliser cette relation vraie pour t = t∗ `a toutes les valeurs de temps t = t′.
9. En notant

( d dt

)(abs) = (^) ∂t∂ + U (abs)^ · grad et

( d dt

)(rel) = (^) ∂t∂ + U (rel)^ · grad , conclure en justifiant la relation ( dU (abs) dt

)(abs)

( dU (rel) dt

)(rel) +2 ω(ent)∧U (rel)−grad

  

( ω(ent)^ ∧ x

) 2

  .

10. Relier l’approche de ce problemea la notion de “points co¨ıncidants” habituellement invoqu´ee pour d´efinir l’acc´el´eration de Coriolis. Corrig´e page 25

Corrig´e Calcul tensoriel et rotation

Calcul tensoriel axisymm´etrique

1)[abaca]. (a) : grad (Bn) = n Bn−^1 grad B car (^) ∂x∂i (Bn) = n Bn−^1 ∂x∂Bi.

(b) : grad (B V ) = V ⊗ grad B + B grad V car (^) ∂x∂j (B Vi) = Vi (^) ∂x∂Bj + B ∂V ∂xji.

(a) : t^ (U ⊗ V ) = V ⊗ U car ses composantes sont Vj Ui. (c) : (U ⊗ V ) W = (V · W )U = Ui Vj Wj. (a) : grad [F (B)] = F ′(B) grad B car (^) ∂x∂i [F (B)] = F ′(B) ∂B ∂xi. 2)[acaba]. (a) : grad (x^2 ) = 2 x car (^) ∂x∂i (xj xj ) = 2 δij xj = 2 xi.