Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
Ovaj dokument sadrži niz geometrijskih zadataka i problema koji pokrivaju različite oblasti matematike, uključujući analitičku geometriju, vektorsku algebru, stereometriju i trigonometriju. Zadaci se bave izračunavanjem površina, zapremina, dužina, uglova i drugih geometrijskih veličina za različite geometrijske objekte poput pravougaonika, trapezoida, piramida, prizmi, valjaka i drugih. Dokument je podeljen na veći broj poglavlja, a na kraju nekih poglavlja nalaze se dodatni zadaci koji zahtevaju kreativnost u rešavanju. Ovaj dokument bi mogao biti koristan za studente matematike, fizike, inženjerstva i srodnih oblasti kao izvor vežbi, zadataka i primera za pripremu ispita, seminara i drugih akademskih aktivnosti.
Typology: Exercises
1 / 74
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Збирка решених задатака
за III разред
гимназија и техничких школа Девето
допуњено издање,.
”к р у г “ (^) \ / Ј БЕОГРАД, 2008.
Аутори: мр Срђан Огњановић, професор
Живорад ИвановиН, професор
Збирка решених задатака за III разред гимназија и техничких школа Девето
допуњено издање
Издавач: Издавачко предузеће „ Круг“, Београд, Устаничка 244 г За
издавача: Маријана Милошевић
Рецензенти: др Мирко Јанц, доцент Математичког факултета у Београду др Драгослав
Љубић, доцент Математичког факултета у Београду Јасна Филиповић, професор Девете
београдске гимназије
Уредник: Живорад Ива.новић
Текст је обрађен компјутерски применом програмског пакета 4 М
5-Т5# Америчког математичког друштва
Цртежи: Гордана Лазић, дипл. инж. грађевине
С 1 Р - Каталогизација у публикацији
Народна библиотека Србије, Београд
ОГЊ АНОВИЋ, Срђан
Математика 3 : збирка решених задатака [и
тестова] за III разред гимназија и техничких
школа / Срђан Огњановић, Живорад Ивановић ;
[цртежи Гордана Лазић]. - 9. допуњено изд. -
Београд : Круг, 2008 (Лапово : Колор прес). 278
стр. : граф. прикази ; 24 сш
ТиражЗООО. - Библиографија: стр. [279].
Тираж: 3000 примерака
Штампа: „Колор прес“ - Лапово
Ова збирка задатака писана је према измењеном наставном плану и програму за трећи
разред гимназија, и техничких школа , који се примењује од школске 1992/93. године. У
њој су обрађени задаци из следећих тема:
Вектори
алфа
бета
гама
А делта епсилон
3 зета
ета
0 тета 1 јота
X капа
А А ламбда ми
V ни
кси
ро
<Ј сигма
тау
V ипсилон (^) ч> фи
хи
пси
омега
многоугла........................................................................... 1 1.2. Површина круга и
његових делова.................................................... 5 1.3. Додатак уз главу I
.............................................................................. 7
Узајамни положај тачака, правих и равни. Диедар. Рогаљ ......... 9 2.2. Призма, пирамида
и њихови равни пресеци ................................... 11 2.3. Површина и запремина
полиедара .................................................... 13
2.3.1. Призма ....................................................................................... 13 2.3.2.
Пирамида .................................................................................. 17 2.3.3.
Зарубљена пирамида ............................................................... 21
2.4. Правилни полиедри.............................................................................. 22 2.5.
Додатак уз главу I I .............................................................................. 24 3. Обртна тела
................... ............................................................. 27 3.1. Ваљак, купа и зарубљена
купа........................................................... 27 3.1.1. В аљ
ак......................................................................................... 27 3.1.2. Купа
............................................................................................ 29 3.1.3. Зарубљена к уп
а......................................................................... 32 3.2. Л оп та
..................................................................................................... 34 3.2.1. Лопта, лопта и
раван............................................................... 34 3.2.2. Површина лопте, сферне калоте и
појаса .............................. 35 3.2.3. Запремина лопте
...................................................................... 35 3.2.4. Уписана и описана лопта
полиедара и обртних т е л а ......... 36 3.2.5. Запремина делова лопте
........................................................ 39 3.3. Додатак уз главу III
........................................................................... 39 4. Детерминанте и системи линеарних
једначина и
неједначина ................................................................................... 42 4.1.
Детерминанте реда два и три ........................................................... 42 4.2. Системи
линеарних једначина ........................................................... 44 4.3. Системи линеарних
неједначина са две непознате........................... 48 4.4. Линеарно програмирање
.................................................................... 49
Вектори у правоуглом координатном систему................................. 51 5.2. Линеарна
зависност вектора ............................................................. 53 5.3. Скаларни производ
.............................................................................. 55 5.4. Векторски и мешовити производ
...................................................... 58
две тачке. Подела дужи у датој размери. Површина троугла
................................................................................................ 61
6.2. Права у равни ..................................................................................... 64 6.2.1.
Разни облици једначине праве ............................................... 64 6.2.2. Међусобни
положај две праве ............................................... 67 6.2.3. Прамен правих
......................................................................... 69 6.2.4. Нормални облик
једначине праве .......................................... 70 6.2.5. Додатак уз поглавља 6.1 до
6.3. К р у г ....................................................................................................... 74
6.4. Елипса ................................................................................................... 80
6.5. Хипербола ............................................................................................ 84 6.6.
Парабола .............................................................................................. 88 6.7.
Додатак уз главу VI ........................................................................... 91
Математичка индукција и њене примене.......................................... 95 7.2.
Елементарна теорија бројева............................................................. 98
7.2.1. Дељивост. Прости бројеви...................................................... 98 7.2.2.
Конгруенције и примене........................................................... 99 7.2.3.
Диофантове једначине ............................................................. 101
7.3. Основни појмови о низовима ............................................................. 102 7.4.
Аритметички и геометријски низ ...................................................... 104 7.5.
Конвергентни низови ........................................................................... 110 7.6.
Неке примене низова ........................................................................... 113 7.7.
Једноставније диференцне једначине ............................................... 116
Комплексни бројеви ........................................................................... 117 8.1.1.
Комплексни бројеви. У в о д ...................................................... 117
8.1.2. Тригонометријски облик комплексног броја. Моаврова формула. Кореновање
комплексних бројева.......................... 119 8.2. Полиноми
.............................................................................................. 122 8.2.1. Дељење у
прстену полинома ................................................. 122 8.2.2. Вијетове формуле
.................................................................... 124 8.2.3. Полиноми са реалним
коефицијентима ................................. 126 8.3. Системи алгебарских једначина
вишег р е д а ................................... 127
9.1. Површина геометријских фигура у равни........................................ 128 9.2.
углови троугла)
Трапез: Р = у - ћ (а , 6 - основице, ћ - висина трапеза)
Делтоид: Р = —^ (г/|, - дијагонале делтоида)
Правилни многоугао: Р = - 8 г (5 - обим, г - полупречник уписаног круга) *
2 Текстови задатака — Глава I
Наћи странице правоугаоника чији је обим 5 = 20 с т , а површина му је | једнака
површини квадрата странице с = 4 с т.
увећамо за 5, површина правоугаоника ће бити већа за 32. Одредити те странице. ј
је стаза ширине 120 с т. Израчунати површину стазе.
2 ху = 117.
= 9,64 с т (узети: /2 = 1,41).
за колико површина тог квадрата?
правоугаоника.
=
.
ницу и оштар угао ромба.
дијагонале и површину ромба.
основице и износи 4,2 ст.
150 с т , израчунати његову висину.
, а једна од дијагонала дужине 35 с т.
висине се односе као 2:3.
60°. Израчунати висине и површину паралелограма.
1.1. Површина многоугла 3
Висина паралелограма АВСБ образује са странидом АВ угао од 20°. __ Одредити углове тог
паралелограма.
је обим паралелограма 38 с т и СЕ = З ст, израчунати ' странице паралелограма.
Израчунати површину троугла.
Израчунати обим троугла.
троугла изражене у с т. Израчунати површину тог троугла.
дужине страница тог троугла и његову површину.
једнакостранични троугао Е М И , чија су темена на страницама троугла АВС
и деле сваку од
њих у односу 1 : 2. Израчунати површину троугла ЈјМИ.
ако су познате његове странице:
ч 25 269 183 ч ,
троугла 45, 40 и 13.
дуж која одговара трећој страници 1 С = 28.
троугла дате су једначинама: (а— 5)" --(а+9)(а —11) = 4 и 3(26 — 1) — 2(6 + 4) = 21.
Израчунати полупречник описаног круга око тог троугла.
круга тог троугла.
полупречнике уписаног и описаног круга тог троугла, као и одстојање ^ њихових средишта и
!
површина кругова уписаног и описаног око троугла.
угла. На тај начин формирана су три мања троугла чије су површине 1 , 4 и 9.
Одредити површину троугла АВС.
је трећој висини ћс. Одредити трећу страницу с.
Одредити трећу страницу троугла.
на троуглове А О А В , АО ВС, А О С Б и АОИА. Доказати да је производ :!
В С ш А О О А.
површину трапеза ако су површине троуглова АОВ и БОС редом једнаке р 2 и д2. I
1.2. Површина круга и његових делова
Обим круга: 5 = 2 жг (г - полупречник круга)
^ , ТЋОС
Кружни лук: I = ( а - централни угао)
Површина круга: Р = г 2 тг (Р површина, г полупречник круга).
Т ЋСХ.
Површина кружног исечка: Р = ------ (Р површина, полупречник, оОи
централни угао исечка у степенима); или Р = (а централни угао исечка у
радијанима).
^ ћсх 1
Површина кружног одсечка: Р = — - г 2 нш а (а - централни угао мерен у
степенима) "
а) (3 и за I е { - , 7 , — , I I; б) I и за /3 6 {60°, 20°,45°, 90°}. 6 4 12 9 Ј
а) централни угао тог многоугла;
I
одговара централни угао од 120°, а тетива тог одсечка је удаљена од центра З ст.
Израчунати површину одсечка.
6 Текстови задатака — Глава I
ако је полупречник круга 9 ст.
б) Израчунати дужину полупречника круга ако централном углу од а = 36° } ;
одговара кружни лук дужине I = 45 ст.
в) Одредити величину централног угла, код кога је полупречник круга једнак! ;
одговарајућем кружном луку.
је познато да је дужина тетиве спољашњег круга, која додирује унутрашњи а = ј 4 с
т.
површине описаног и уписаног круга тог троугла.
чунати површину описаног и уписаног круга тог многоугла.
уписаног у тај квадрат?
крака 17 с т. Одредити површину трапеза.
круг. Одредити полупречник круга.
уписаног у тај ромб једнака б1.
је центар круга к 2 полупречника а ј 2. Израчунати површину пресека ; та два круга.
правоуглог троугла. Наћи површину овог троугла.
полупречник описаног круга тог троугла.
уписаног круга 7,5 с т. Одредити површину овог троугла.
разлика добијопих тстива јо '2/2. Израчуиати површину круга. 84. Око круга описан је
трапез АВ С Б чији краци граде са већом од паралелних страница, АВ, оштре углове и /3.
Ако је површина трапеза <5, израчунати полупречник круга.
Доказати да је површина датог троугла Р = лЈтпр(т + п + р).
између н.их.
уписаног круга, а .5 полуобим четвороугла.
н.егов полуобим.
круга; ‘2 п
г , „ 2 180° ) Р = пр„ ——. где је рп полупречник његовог уписаног круга;
јс правоугаоник највеће површине чија с/граница припада основици троугла. Одредити
дужине страница правоугаоника.
Глава II
ПОЛИЕДРИ
2.1. Узајамни положај тачака, правих и
равни. Диедар. Рогаљ
Нормалност праве и равни. Дефиниција: Права која сече раван нор мална је на ту
раван ако је нормална на сваку праву те равни са којом се сече.
Теорема: Права је нормална на раван ако сече раван и нормална је на две различите
праве те равни са којима се сече.
Теорема о три нормале. Нека је права која сече раван у тачки и нека је подножје
нормале из тачке Абрна раван а. Права с равни кроз тачку нормална је на ВС ако и
само ако је нормална на АС. Угао између праве и равни. Дефиниција: Угао између
праве и равни
је угао између праве и њене нормалне пројекције на ту раван. Угао диедра.
Дефиниција: Угао диедра је угао између полуправих нор малних на ивицу диедра,
од којих свака припада по једној страни диедра.
106. Катета једнакокраког правоуглог троугла заклапа угао од 45° са равни у којој је
друга катета. Колики угао заклапа хипотенуза тог троугла са том равни?
107. Једнакостранични троугао А В С , чија је страница а, има страницу АВ паралелну
равни а, а равни АВС и граде диедар од 30°. Наћи обим пројекције троугла АВС у равни а.
тачка која је од темена троугла АВС удаљена за —а. Израчунати растојање тачке од равни
тг.
10 Текстови задатака — Глава II
109. Дат је ромб АВСБ и раван а. Наћи одстојање темена од равни која , __ садржи теме ако
су одстојања тачака и од равни а , редом, б и с.
којој удаљености од равни троугла је тачка А/?
111. Из тачака А и В, које припадају странама диедра, конструисане су нормале _ААх и ВВ_
на ивицу диедра.
је а.
! 112. Тачка је на
113. Катета АС правоуглог троугла АВС {/.(' = 90°) налази зе у равни а, а | равни и АВС
образују диедар од 45°. Ако је АС = 2 т , АВ : ВС = 3:1, наћи одстојање тачке од равни а.
114. Дате су праве а. I) и с. Наћи праву која је компланарна са сваком од њих. 115. Дате су некомпланарне тачке А, В, С и О. Тачке М, N. Р и ф деле, редом, дужи АВ,
ВС, С1) и Г)А у односу
АМ ВМ 1 )Р А д
МВ N 0 " РС СјО к.
Доказати да се дужи М Р и ИС) секу у некој тачки и Да је п ј ж томе М О : ОР = ()() : О !V = к.
116. Разлика углова које гради раван са две дате праве је мања од угла који граде те две
праве. Доказа.ти.
117. У триедру 8 А В С су сви ивични углови прави. Доказати:
а) Ортоцентар троугла АВС је подножје нормале из тачке на раван АВС.
б) Површина троугла 8 АВ је геометријс.ка средина површина троуглова Н АВ и САВ.
в) Збир квадрата површина троуглова 8 ЛВ, 8В С и 8 СА једнак је квадрату површине
троугла АВС.
134. Вочна ивица зарубљене пирамиде је а, а одговарајућа бочна ивица целе |
Израчунати површине основа зарубљене пирамиде.
12 Текстови задатака — Глава II
135. Пирамида је пресечена равни паралелном основи. У ком односу раван дели висину
пирамиде ако је познато да се површина пресека односи према површини основе исто као
и писина зарубљено пирамидс према висини целе пирамиде?
136. Лве пирамиде једнаких основа В. а тшсина и 4 II. пресеченс су са равни на истом
растојању од оспове. Наћи односс поврпшна _Р_ и _2 {Р_ < Р2) прссека тих пирамида. ако
је растојан.е пресека од основе јсднако 3/4 ман.е висине.
138. Основа пирамиде је једнакостранични троугао. једна од бочних страна је нормална
основом граде бочне ивице.
139. Угао измсђу бочне ивице и равни основе иравилне четвоространс пирамиде је 60°, а
дужина бочне ивице је а. Симетријска раван једне од бочних ивица еече пирамиду. Наћи
површину пресека.
140. Правилна тространа пирамида пресечена је равни нормалном на равни основе која
дели две ивице основе на једнаке дслове. Паћи површину нрссска ако је висина пирамиде
Н , а ивица основе а.
141. Основа пирамиде је квадрат странице м, а њсна висина, чија дужина је Н. има
подножје у цснтру основе. Пирамида јс пресечена равни паралелном основи на растојању
од ње. Израчунати повргаину пресека као функцију од .т.
142. Основе зарубљене пирамиде имају површине и В. Кроз средиште ви сине
конструисана је раван паралелна основама. Колика јс површина насталог пресека?
143. Правилна осмострана пирамида основне ивице иресечена јс равни пара лелном
основи која дели висину у размери т : п, рачунајући од врха. Израчунати површину
нресска.
V_________________________________ _____________ ______
2.3. Површина и запремина полиедара 13
2.3. Површина и запремина полиедара 2.3.1.
Површина и запремина призме:
(В хтовршина основе. повргаиаа омотача, висина призмо) Правилни
хексаедар (коцка);
(а - ивица коцке)
Квадар (правоугли паралелепипед)
Правилна тространа призма:
(а - ивица основе, Н - висина призме)
Правилна шестострана призма:
144. Израчунати површину квадра чија је дужина дијагонале 20 с т , а дужине\ основних
Колика је укупна површина паралелепипеда? \ ј 146. Основне ивице правог паралелепипеда
површину паралелепипеда. 147. Ивице квадра осносе се као 1 : 2 : 5, а његова дијагонала дуга
је 5/бст. Колика је површина квадра?
148. Површина правилне тростране призме је Р = 20/Зст2, а основна ивица 4 с т. Наћи
висину призме.
149. Израчунати површину праве призме чија је основа ромб странице а, са оштрим углом
од 60° , ако је висина призме једнака већој дијагонали основе. 150. Основне ивице праве
тростране призме односе се као 17 : 10 : 9, бочна ивица __
је 16, а површина призме 1440.
Израчунати основне ивице.
т и 5 с т , а : висина призме је 4 с т. Израчунати површину призме.
14 Текстови задатака — Глава II
170. Коса призма пресечена је равни нормалном на бочне ивице. Ако је обим
пресека , а бочне ивице призме /. колика је површина омотача призме?
171. Ивица коцке је = 2 с т. Сваку дијагоналу коцке продужимо са обе стране I за
по 1 с т. Тако добијених осам тачака су темена нове коцке. Колика је њена ј ј
запремина?
172. Израчунати запремину правог паралелепипеда, чија је основа паралелограм ;
| са страницама дужине 4 а и а, и оштрим углом од 60°, а већа дијагонала парале
лепипеда је дужине 5 а.
I 1 173. Основа праве призме је ромб, њен омотач је 360 с 1 т2. Дијагонала боч не
стране је 20,5 с 1 ш. а растојање наспрамних бочних страна једнако је висини
призме. Израчунати запремину призме.
174. Основа косе призме је паралелограм са страницама ЗЉп и 6 с 1 т и оштрим : ј
углом од 45°. Бочна ивица призме је 4 с 1 т и са равни основе гради угао од 30°.
Израчунати запремину призме.
175. Основа правог паралелепипеда је паралелограм са страницама 4 сш и 1 с т и
оштрим углом 60°. Дужа дијагонала паралелепипеда је 5 с т. Израчунати > '
запремину тог паралелепипеда.
176. Четворострана призма има за основу квадрат. Један врх горње основе је ј
једнако удаљен од свих врхова доње основе. Ако све ивице призме имају дужину |
177. Површина основе праве тростране призме једнака је 4 с т 2; површине бочних
178. Основа праве призме је трапез. Површине паралелних бочних страна су 51! и
82 , а њихово одстојање је <1. Колика је запремина призме?
179. Основа правог паралелепипеда је ромб површине В. Површине дијагонал- :
них пресека су бјји 8 %. Израчунати запремину паралелепипеда.
180. Дијагонала правилне четворостране призме има дужину I), а са бочном ј
страном призме заклапа угао а. Израчунати запремину те призме.
181. Дијагонале правог паралелепипеда су 9 сш и ч/З^сш. Обим основе је 18 с т ,
| ј а бочна ивица 4 с т. Одредити површину и запремину паралелепипеда. 182.
Површине трију страна правоуглог паралелепипеда, које се састају у истом
темену, односе се као 4:3:1. Израчунати површину и запремину паралелепипеда ; |
ако је његова дијагонала = 78 ст.
183. Дијагонала правоуглог паралелепипеда има дужину / и нагнута је према
равни основе под углом а. Наћи површину омотача паралелепипеда ако је
површина његове основе 8.
I
16 Текстови задатака — Глава II
184. Дата је коса четворострана призма чије су основе квадрати странице а, а једно теме
горње основе налази се изнад центра доње основе на одстојању 1 > од доње основе.
Израчунати новршину нризме.
185. Стране паралелепипеда су подударни ромбови странице и оштрог утла 60°. Наћи
запрсмину паралелепипеда.
186. Основа косог паралелепипеда јс ромб са оштрим углом од 60°, а једна бочна ивица
гради са суседним ивицама основе углове од 45°. Израчунати запремину паралелепипеда
ако су дужине свих његових ивица једнаке а.
187. Основа правс призме је једнакокраки троугао чија основица има дужину «, а угао
при основици је а. Наћи запремину приз.ме ако је површина њеног омотача једнака збиру
површииа њених основа.
188. Основа праве призме је правоугли гроугао обима 2« са онттрим углом а. Израчунати
иовршину омотача призме ако је познато да се у н>у може уписати лопта.
189. Основа нравог наралеленипеда је паралелограм са страницама и и оштрим углом а.
Мања дијагонала паралелепипеда једнака је већој дијагонали основе. Израчунати
запремину иаралелепипеда.
_ЛЛ_ такође је једнака а и са ивицама ЛВ и Л1) чини угао од тг/4. Одредити запремину
паралелепипеда.
191. Основа квадра висине 5 с т је правоугаоник обима 4 с т. Колике треба да буду
основне ивице да би квадар имао максималну запремину?
192. Основа косе четворостране призме је квадрат ЛВСВ странице а. Бочна ивица _ЛЛ_
има дужину а. Управна пројекција тачке на основу је центар квадрата АВСВ. Израчунати
површин.у и запремипу призме и наћи нагибни угао бочних ивица према равни основе.
193. Израчунати и V праве призме висине // — 4, чија је основа троугао са елементима:
а) а + с = 21. 1> = 15 и а — 60°; б) а = /19, I) + = 7 и а = 60°.
^-------------------------------------------------------------------
)
2.3. Површина и запремина полиедара 17
Површина и запремина пирамиде:
у = з в н
(В - површина основе, М - површина омотача, Н - висина пирамиде) Правилна
четворострана пирамида:
Р = а(а + 2ћа), у = -а*Н
(а — ивица основе, ћа - висина бочне стране (апотема), висина пира миде)
Правилна тространа пирамида (тетраедар):
Р = - ( а Љ + §ћа), У = ~ а 2 Н Љ (^) 4 12
Правилни тетраедар:
