Hàm số lượng giác phương trình lượng giác, Exercises of Mathematics

Download Hàm số lượng giác phương trình lượng giác and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!

CHƯƠNG 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

cos

sin

O

+

A A(1; 0)

′ (−1; 0)

B(0; 1)

B

′ (0; −1)

(II) (I)

(III) (IV)

x

y

α

O

H M

K

• sin α = OH
• cos α = OK

Góc phần tư

Giá trị lượng giác I II III IV

sin α + + − −

cos α + − − +

tan α + − + −

cot α + − + −

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin

2 x + cos

2 x = 1 1 + tan

2 x =

cos^2 x

1 + cot

2 x =

sin

2 x

tan x cot x = 1

3 Cung góc liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π

cos(− α ) = cos α cos( π − α ) = − cos α cos( α + π ) = − cos α

sin(− α ) = − sin α sin( π − α ) = sin α sin( α + π ) = − sin α

tan(− α ) = − tan α tan( π − α ) = − tan α tan( α + π ) = tan α

cot(− α ) = − cot α cot( π − α ) = − cot α cot( α + π ) = cot α

2 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Cung phụ nhau Cung hơn kém

π

cos

(

π

− α

)

= sin α cos

(

π

• α

)

= − sin α

sin

(

π

− α

)

= cos α sin

(

π

• α

)

= cos α

tan

(

π

− α

)

= cot α tan

(

π

• α

)

= − cot α

cot

(

π

− α

)

= tan α cot

(

π

• α

)

= − tan α

4 Công thức cộng

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

tan(a + b) =

tan a + tan b

1 − tan a tan b

tan(a − b) =

tan a − tan b

1 + tan a tan b

tan

(

π

• x

)

=

1 + tan x

1 − tan x

tan

(

π

− x

)

=

1 − tan x

1 + tan x

5 Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc

sin 2 α = 2 sin α cos α sin

2 α =

1 − cos 2 α

cos 2 α = cos

2 α − sin

2 α = 2 cos

2 α − 1 = 1 − 2 sin

2 α cos

2 α =

1 + cos 2 α

tan 2 α =

2 tan α

1 − tan

2 α

tan

2 α =

1 − cos 2 α

1 + cos 2 α

cot 2 α =

cot

2 α − 1

2 cot α

cot

2 α =

1 + cos 2 α

1 − cos 2 α

Công thức nhân 3

[

sin 3 α = 3 sin α − 4 sin

3 α

cos 3 α = 4 cos

3 α − 3 cos α

tan 3 α =

3 tan α − tan

3 α

1 − 3 tan

2 α

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a + cos b = 2 cos

a + b

cos

a − b

cos a − cos b = −2 sin

a + b

sin

a − b

sin a + sin b = 2 sin

a + b

cos

a − b

sin a − sin b = 2 cos

a + b

sin

a − b

tan a + tan b =

sin(a + b)

cos a cos b

tan a − tan b =

sin(a − b)

cos a cos b

cot a + cot b =

sin(a + b)

sin a sin b

cot a − cot b =

sin(b − a)

sin a sin b

1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM 3

Đặc biệt

sin x + cos x =

p 2 sin

(

x +

π

)

=

p 2 cos

(

x −

π

)

sin x − cos x =

p 2 sin

(

x −

π

)

= −

p 2 cos

(

x +

π

)

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

cos a · cos b =

[cos(a^ −^ b)^ +^ cos(a^ +^ b)]

sin a · sin b =

[cos(a^ −^ b)^ −^ cos(a^ +^ b)]

sin a · cos b =

[sin(a − b) + sin(a + b)]

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

độ 0

◦ 30

◦ 45

◦ 60

◦ 90

◦ 120

◦ 135

◦ 150

◦ 180

◦ 360

◦

rad 0

π

π

π

π

2 π

3 π

5 π

π 2 π

sin α 0

p 2

p 3

p 3

p 2

0 0

cos α 1

p 3

p 2

0 −

−

p 2

−

p 3

− 1 1

tan α 0

p 3

p

3 kxđ −

p 3 − 1 −

p 3

0 0

cot α kxđ

p 3 1

p 3

0 −

p 3

− 1 −

p

3 kxđ kxđ

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ

M(cos α , sin α )

4 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

y

0

◦

◦

◦

◦

120

◦

◦

◦

◦

◦

270

◦

◦

◦

◦

π 6

π 4

π 3

π 2 2 π 3 3 π 4

5 π 6

π

7 π 6

5 π 4 4 π 3 3 π 2

5 π 3

7 π 4

11 π 6

2 π

( (^) p 3 2

,

1 2

)

( p 2 2

,

p 2 2

)

(

1 2

,

p 3 2

)

(

−

p 3 2

,

1 2

)

(

−

p 2 2

,

p 2 2

)

(

−

1 2

,

p 3 2

)

(

−

p 3 2

, −

1 2

)

(

−

p 2 2

, −

p 2 2

)

(

−

1 2

, −

p 3 2

)

( p 3 2

, −

1 2

)

( (^) p 2 2

, −

p 2 2

)

(

1 2

, −

p 3 2

)

(− 1 , 0) (1, 0)

(0, −1)

(0, 1)

BÀI 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất của hàm số

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số y = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D thì

−x ∈ D và f (−x) = f (x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm số y = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D thì

−x ∈ D và f (−x) = − f (x). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

b) Hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập (a; b) ⊂ R.

Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến trên (a; b) nếu ∀x 1 , x 2 ∈ (a; b) có x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) <

f (x 2 ).

Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b) nếu ∀x 1 , x 2 ∈ (a; b) có x 1 < x 2 ⇒

f (x 1 ) > f (x 2 ).

c) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có

số T 6 = 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có (x + T) ∈ D và (x − T) ∈ D và f (x + T) = f (x).

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì

của hàm tuần hoàn f.

2 Hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x có tập xác định là D = R ⇒ y = sin [ f (x)] xác định ⇔ f (x) xác định.

Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa là − 1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒

∣

∣

∣

∣

◦ 0 ≤ | sin x| ≤ 1

◦ 0 ≤ sin

2 x ≤ 1.

Hàm số y = f (x) = sin x là hàm số lẻ vì f (−x) = sin(−x) = − sin x = − f (x). Nên đồ thị

hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T 0 = 2 π , nghĩa là sin (x + k 2 π ) = sin x. Hàm

số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 =

2 π

|a|

.

Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng

(

−

π

• k 2 π ;

π

• k 2 π

)

và nghịch biến

trên mỗi khoảng

(

π

• k 2 π ;

3 π

• k 2 π

)

với k ∈ Z.

Hàm số y = sin x nhận các giá trị đặc biệt

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

◦ sin x = 1 ⇔ x =

π

• k 2 π

◦ sin x = 0 ⇔ x = k π

◦ sin x = − 1 ⇔ x = −

π

• k 2 π

, k ∈ Z.

Đồ thị hàm số

x

y

− π π

−

π 2

π 2

3 Hàm số y = cos x

Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos [ f (x)] xác định ⇔ f (x) xác định.

Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa là − 1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒

{

0 ≤ | cos x| ≤ 1

0 ≤ cos

2 x ≤ 1.

Hàm số y = cos x là hàm số chẵn vì f (−x) = cos(−x) = cos x = f (x) nên đồ thị của hàm

số nhận trục tung O y làm trục đối xứng.

Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T 0 = 2 π , nghĩa là cos(x + 2 π ) = cos x. Hàm số

y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 =

2 π

|a|

.

Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (− π + k 2 π ; k 2 π ) , k ∈ Z và nghịch biến

trên các khoảng (k 2 π ; π + k 2 π ) , k ∈ Z.

Hàm số y = cos x nhận các giá trị đặc biệt

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

◦ cos x = 1 ⇔ x = k 2 π

◦ cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2 π

◦ cos x = 0 ⇔ x =

π

• k π

, k ∈ Z.

Đồ thị hàm số

6 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

y

− π π

−

π 2

π 2

4 Hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \

{

π

• k π , k ∈ Z

}

, nghĩa là x 6 =

π

+ k π ⇒ hàm

số y = tan [ f (x)] xác định ⇔ f (x) 6 =

π

+ k π ; (k ∈ Z).

Tập giá trị T = R.

Hàm số y = tan x là hàm số lẻ vì f (−x) = tan(−x) = − tan x = − f (x) nên đồ thị của

hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.

Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T 0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu

kì T 0 =

π

|a|

.

Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng

(

−

π

• k π ;

π

• k π

)

, k ∈ Z.

Hàm số y = tan x nhận các giá trị đặc biệt

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

◦ tan x = 1 ⇔ x =

π

• k π

◦ tan x = − 1 ⇔ x = −

π

• k π

◦ tan x = 0 ⇔ x = k π

, k ∈ Z.

Đồ thị hàm số

x

y

O

− π

π

−

π 2

π 2

5 Hàm số y = cot x

Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {k π , k ∈ Z}, nghĩa là x 6 = k π ⇒ hàm số

y = cot [ f (x)] xác định ⇔ f (x) 6 = k π ; (k ∈ Z).

Tập giá trị T = R.

Hàm số y = cot x là hàm số lẻ vì f (−x) = cot(−x) = − cot x = − f (x) nên đồ thị của hàm

số đối xứng qua gốc tọa độ O.

Hàm số y = y = cot x tuần hoàn với chu kì T 0 = π ⇒ y = cot(ax+ b) tuần hoàn với chu

kì T 0 =

π

|a|

.

Hàm số y = y = cot x nghịch biến trên các khoảng (k π ; π + k π ) , k ∈ Z.

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 7

Hàm số y = y = cot x nhận các giá trị đặc biệt

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

◦ cot x = 1 ⇔ x =

π

• k π

◦ cot x = − 1 ⇔ x = −

π

• k π

◦ cot x = 0 ⇔ x =

π

k π

, k ∈ Z.

Đồ thị hàm số

x

y

O

− π

π

−

π 2

π − (^2)

3 π 2

3 π 2

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

{ DẠNG 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp giải : Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

1 y = tan f (x) =

sin f (x)

cos f (x)

; Điều kiện xác định: cos f (x) 6 = 0 ⇔ f (x) 6 =

π

+ k π , (k ∈ Z).

2 y = cot f (x) =

cos f (x)

sin f (x)

; Điều kiện xác định: sin f (x) 6 = 0 ⇔ f (x) 6 = k π , (k ∈ Z).

3 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

y =

P(x)

, điều kiện xác định là P(x) 6 = 0.

y =

2 n

p

P(x) , điều kiện xác định là P(x ≥ 0).

y =

2 n

p P(x)

, điều kiện xác định là P(x) > 0.

4 Lưu ý rằng: − 1 ≤ sin f (x); cos f (x) ≤ 1 và A · B 6 = 0 ⇔

{

A 6 = 0

B 6 = 0.

5 Với k ∈ Z , ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:

8 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

     

sin x = 1 ⇔ x =

π

• k 2 π

sin x = 0 ⇔ x = k π

sin x = − 1 ⇔ x = −

π

• k 2 π











cos x = 1 ⇔ x = k 2 π

cos x = 0 ⇔ x =

π

• k π

cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2 π

     

tan x = 1 ⇔ x =

π

• k π

tan x = 0 ⇔ x = k π

tan x = − 1 ⇔ x = −

π

• k π

      

cot x = 1 ⇔ x =

π

• k π

cot x = 0 ⇔ x =

π

• k π

cot x = − 1 ⇔ x = −

π

• k π

VÍ DỤ 1. Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x) =

sin 3x

tan

2 x − 1

+

√

2 − cos x

1 + cos x

. ĐS:

D = R \

{

±

π

• k π ;

π

• k π ; π + k 2 π

}

.

Lời giải.

Điều kiện xác định của hàm số:





















tan

2 x − 1 6 = 0

cos x 6 = 0

2 − cos x

1 + cos x

≥ 0

cos x 6 = − 1.

Do − 1 ≤ cos x ≤ 1 nên ⇐

{

1 ≤ 2 − cos x ≤ 3

0 ≤ 1 + cos x ≤ 2

. Từ đó suy ra:

2 − cos x

1 + cos x

≥ 0 , ∀x ∈ R.

Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi



















x 6 = ±

π

• k π

x 6 =

π

• k π

x 6 = π + k 2 π.

, nên D = R \

{

±

π

• k π ;

π

• k π ; π + k 2 π

}

. ‰

VÍ DỤ 2. Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x) =

p 4 π^2 − x^2

cos x

. ĐS:

D =

{

− 2 π ≤ x ≤ 2 π ; x 6 =

π

• k π

}

.

Lời giải.

Điều kiện xác định của hàm số:

{

4 π

2 − x

2 ≥ 0

cos x 6 = 0

⇔







− 2 π ≤ x ≤ 2 π

x 6 =

π

• k π.

. Vậy D =

{

− 2 π ≤ x ≤ 2 π ; x 6 =

π

• k π

}

.

‰

1 BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y = cos

x

1. ĐS: D = R \ { 0 }. cos

p

2 2 x. ĐS: D = [0; +∞).

y =

1 + cos x

sin x

3 ĐS: D = R \ {k π }. y =

tan 2x

1 + cos

2 x

. ĐS: D = R \

{

π

+

k π

}

y =

tan 2x

sin x − 1

. ĐS: D = R \

{

π

+

k π

;

π

• k 2 π

}

5. y =

√

cos x + 4

sin x + 1

. ĐS: D = R \

{

−

π

• k 2 π

}

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 9

y =

√

cos x − 2

1 − sin x

7. ĐS: D = ∅.

Lời giải.

1 Điều kiện xác định: x 6 = 0.

2 Điều kiện xác định: 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

3 Điều kiện xác định: sin x 6 = 0 ⇔ x 6 = k π.

4 Điều kiện xác định: cos 2x 6 = 0 ⇔ 2 x 6 =

π

• k π ⇔ x 6 =

π

+

k π

.

5 Điều kiện xác định:

{

cos 2x 6 = 0

sin x 6 = 1

⇔







x 6 =

π

+

k π

x 6 =

π

• k 2 π.

6 Điều kiện xác định:







cos x + 4

sin x + 1

≥ 0

sin x + 1 6 = 0.

Do − 1 ≤ sin x; cos x ≤ 1 nên

cos x + 4

sin x + 1

≥ 0 ; ∀x ∈ R.

Vậy hàm số xác định khi x 6 = −

π

+ k 2 π.

7 Điều kiện xác định:







cos x − 2

1 − sin x

≥ 0

1 − sin x 6 = 0.

Do − 1 ≤ sin x; cos x ≤ 1 nên

cos x − 2

1 − sin x

≤ 0 ; ∀x ∈ R.

Vậy tập xác định của hàm số là: ∅.

‰

BÀI 2. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y =

p π

2 − x

2

sin 2x

. ĐS: D =

{

− π ≤ x ≤ π ; x 6 =

k π

}

y =

p

π^2 − 4 x^2 + tan 2x. ĐS: D =

{

−

π

≤ x ≤

π

; x 6 =

π

+

k π

}

tan

(

2 x −

π

)

√

1 − sin

(

x −

π

)

. ĐS: D = R \

{

3 π

+

k π

;

5 π

• k 2 π

}

y =

tan

(

x −

π

)

1 − cos

(

x +

π

). ĐS: D = R \

{

3 π

• k π ; −

π

• k 2 π

}

Lời giải.

1 Điều kiện xác định:

{

π

2 − x

2 ≥ 0

sin 2x 6 = 0

⇔







− π ≤ x ≤ π

x 6 =

k π

.

10 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2 Điều kiện xác định:

{

π

2 − 4 x

2 ≥ 0

cos 2x 6 = 0

⇔









−

π

≤ x ≤

π

x 6 =

π

+

k π

.

3 Điều kiện xác định:











cos

(

2 x −

π

)

6 = 0

1 − sin

(

x −

π

)

> 0

⇔











cos

(

2 x −

π

)

6 = 0

1 − sin

(

x −

π

)

6 = 0

⇔











x 6 =

3 π

+

k π

x 6 =

5 π

• k 2 π.

4 Điều kiện xác định:







cos

(

x −

π

)

6 = 0

1 − cos

(

x +

π

)

6 = 0

⇔







x 6 =

3 π

• k π

x 6 = −

π

• k 2 π.

‰

2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 3. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y =

√

2 + sin x

cos x + 1

1. ĐS: D = R \ { π + k 2 π } y =

cot 2x p 1 − cos^2 x

. ĐS: D = R \

{

k π

}

y =

√

1 − sin x

1 + cos x

3. ĐS: D = R \ { π + k 2 π } y =

p x

sin π x

4. ĐS: D = [0; +∞) \ Z

y =

cos 2x

1 − sin x

+ tan x. ĐS: D = R \

{

π

• k π

}

5 y =

x

2

• 1

x cos x

. ĐS: D = R \

{

π

• k π ; 0

}

y =

tan 2x p sin x + 1

. ĐS:

D = R \

{

π

+

k π

; −

π

• k 2 π

}

BÀI 4. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y =

1 + tan

(

π

− x

)

cos x − 2

. ĐS: D = R \

{

−

π

• k π

}

y =

p 3 − sin 4x

cos x + 1

2. ĐS: D = R \ { π + k 2 π }.

y =

cos x − cos 3x

. ĐS: D = R \

{

k π ;

k π

}

y = cot

(

2 x +

π

)

· tan 2x. ĐS: D = R \

{

−

π

+

k π

;

π

+

k π

}

y =

p 2 + sin x −

tan

2 x − 1

. ĐS: D = R \

{

±

π

• k π

}

y =

sin

2 x − cos

2 x

. ĐS: D = R \

{

π

+

k π

}

y = cot

(

x +

π

)

+

√

1 + cos x

1 − cos x

. ĐS: D = R \

{

−

π

• k π ; k 2 π

}

y =

1 + cot

(

π

• x

)

tan

2

(

3 x −

π

). ĐS: D = R \

{

−

π

• k π ;

π

+

k π

;

π

+

k π

}

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11

{ DẠNG 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn

◦ − 1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒

[

0 ≤ | sin x| ≤ 1

0 ≤ sin

2 x ≤ 1

hoặc − 1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒

[

0 ≤ | cos x| ≤ 1

0 ≤ cos

2 x ≤ 1.

◦ Biến đổi đưa về dạng m ≤ y ≤ M.

Kết luận: max y = M và min y = m.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) =

√

5 − 2 cos^2 x sin

2 x

.

ĐS: min y =

p 5

, max y =

p 2

Lời giải.

Ta có

y = f (x) =

√

5 − 2 cos^2 x sin

2 x

=

√

5 −

(2 cos^ x^ sin^ x)

2

=

√

5 −

sin

2 2 x

.

Do 0 ≤ sin

2

2 x ≤ 1 nên 5 ≥ 5 −

sin

2 2 x ≥

. Suy ra

p 5

≤ y =

√

5 −

sin

2 2 x

≤

p 2

.

◦ y =

p 5

khi sin 2x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y =

p 2

khi sin 2x = 1 hoặc sin 2x = − 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy min y =

p 5

và max y =

p 2

. ‰

VÍ DỤ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) = 3 sin

2 x + 5 cos

2

x − 4 cos 2x − 2.

ĐS: min y = − 1 , max y = 5

Lời giải.

Ta có

f (x) = 3 sin

2 x + 5 cos

2 x − 4 cos 2x − 2

= 3

(

sin

2 x + cos

2 x

)

• 2 cos

2 x − 4

(

2 cos

2 x − 1

)

− 2

= 5 − 6 cos

2 x.

Do 0 ≤ cos

2

x ≤ 1 nên 5 ≥ f (x) = 5 − 6 cos

2

x ≥ − 1.

◦ f (x) = 5 khi cos x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

◦ f (x) = − 1 khi cos

2

x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

Vậy max f (x) = 5 và min f (x) = − 1. ‰

VÍ DỤ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) = sin

6 x + cos

6

x + 2 , ∀x ∈

[

−

π

;

π

]

.

12 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ĐS: min y =

, max y = 3

Lời giải.

Ta có

f (x) = sin

6 x + cos

6 x + 2 =

(

sin

2 x + cos

2 x

) 3

− 3 sin

2 x cos

2 x

(

sin

2 x + cos

2 x

)

= 1 −

(2 sin x cos x)

2

• 2 = 3 −

sin

2 2 x.

Do 0 ≤ sin

2

2 x ≤ 1 nên 3 ≥ f (x) ≥

.

◦ f (x) = 3 khi sin 2x = 0 ⇔ x = ±

π

hoặc x = 0

(

do x ∈

[

−

π

;

π

])

.

◦ f (x) =

khi sin

2 2 x = 1 ⇔ x = ±

π

(

do x ∈

[

−

π

;

π

])

.

Vậy max f (x) = 3 và min f (x) =

. ‰

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

y = 5

p

3 + cos 2x + 4 ĐS: min y = 5

p

1 2 + 4 , max y = 14

y =

p

1 − cos 4x ĐS: min y = 0 , max y =

p 2 2

y = 3 sin

2

3 2 x − 4 ĐS: min y = − 4 , max y = − 1

y = 4 − 5 sin

2 2 x cos

2

2 x ĐS: min y =

4 , max y = 4

5 y = 3 − 2 | sin 4x| ĐS: min y = 1 , max y = 3

Lời giải.

Do − 1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 2 ≤ 3 + cos 2x ≤ 4. Suy ra 5

p 2 + 4 ≤ y = 5

p

3 + cos 2x + 4 ≤ 14.

◦ y = 5

p

2 + 4 khi cos 2x = − 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

◦ y = 14 khi cos 2x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

Vậy min y = 5

p

2 + 4 và max y = 14.

Do − 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên

p 2 ≥ y =

p

1 − cos 4x ≥ 0.

◦ y =

p

2 khi cos 4x = − 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

◦ y = 0 khi cos 4x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

Vậy max y =

p

2 và min y = 0.

Do 0 ≤ sin

2

2 x ≤ 1 nên − 4 ≤ y = 3 sin

2

2 x − 4 ≤ − 1.

◦ y = − 4 khi sin 2x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y = − 1 khi sin

2

2 x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy min y = − 4 và max y = − 1.

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 13

Ta có

y = 4 − 5 sin

2 2 x cos

2 2 x = 4 −

(2 sin 2x cos 2x)

2 = 4 −

sin

2 2 x.

Do 0 ≤ sin

2

2 x ≤ 1 nên 4 ≥ y ≥

.

◦ y = 4 khi sin 2x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y =

khi sin

2

2 x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy max y = 4 và min y =

.

Do 0 ≤ | sin 4x| ≤ 1 nên 3 ≥ y = 3 − 2 | sin 4x| ≥ 1.

◦ y = 3 khi sin 4x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y = 1 khi | sin 4x| = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy max y = 3 và min y = 1.

‰

BÀI 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

y = − sin

2

x − cos x + 2 ĐS: min y =

,

max y = 3

1 y = sin

4 x − 2 cos

2

x + 1 ĐS: min y = − 1 ,

max y = 2

y = cos

2

3 x+2 sin x+ 2 ĐS: min y = 0 , max y = 4 y = sin

4 x+cos

4

x+ 4 ĐS: min y =

4 , max y = 5

y =

√

2 − cos 2x + sin

2

x ĐS: min y = 1 ,

max y = 2

5 y = sin

6 x + cos

6

x ĐS: min y =

6 , max y = 1

y = sin 2x +

p

3 cos 2x + 4 ĐS: min y = 2 ,

max y = 6

Lời giải.

Ta có

y = − sin

2 x − cos x + 2 = −

(

1 − cos

2 x

)

− cos x + 2 = cos

2 x − cos x + 1 =

(

cos x −

) 2

+

.

Do − 1 ≤ cos x ≤ 1 nên −

≤ cos x −

≤

.

Suy ra 0 ≤

(

cos x −

) 2

≤

⇔

≤ y ≤ 3.

◦ y =

khi cos x =

, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

◦ y = 3 khi cos x = − 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π.

Vậy min y =

và max y = 3.

14 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Ta có

y = sin

4 x − 2 cos

2 x + 1 = sin

4 x − 2

(

1 − sin

2 x

)

• 1 = sin

4 x + 2 sin

2 x − 1 =

(

sin

2 x + 1

) 2

− 2.

Do 0 ≤ sin

2

x ≤ 1 nên 1 ≤ sin

2

x + 1 ≤ 2.

Suy ra 1 ≤

(

sin

2 x + 1

) 2

≤ 4 ⇔ − 1 ≤ y ≤ 2.

◦ y = − 1 khi sin x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y = 2 khi sin

2

x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy min y = − 1 và max y = 2.

Ta có

y = cos

2 x + 2 sin x + 2 =

(

1 − sin

2 x

)

• 2 sin x + 2 = − sin

2 x + 2 sin x + 3 = 4 − (sin x − 1)

2 .

Do − 1 ≤ sin x ≤ 1 nên − 2 ≤ sin x − 1 ≤ 0.

Suy ra 0 ≤ (sin x − 1)

2

≤ 4 ⇔ 4 ≥ y ≥ 0.

◦ y = 4 khi sin x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

◦ y = 0 khi sin x = − 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = −

π

.

Vậy max y = 4 và min y = 0.

Ta có

y = sin

4 x + cos

4 x + 4 =

(

sin

2 x + cos

2 x

) 2

− 2 sin

2 x cos

2 x + 4 = 1 −

(2 sin x cos x)

2

• 4 = 5 −

sin

2 2 x.

Do 0 ≤ sin

2

2 x ≤ 1 nên 5 ≥ y ≥

.

◦ y = 5 khi sin 2x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y =

khi sin

2

2 x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy max y = 5 và min y =

.

Ta có

y

2 = 2 − cos 2x + sin

2 x = 2 −

(

1 − 2 sin

2 x

)

• sin

2 x = 3 sin

2 x + 1 ⇒ y =

√

3 sin

2 x + 1.

Do 0 ≤ sin

2

x ≤ 1 nên 1 ≤ 3 sin

2

x + 1 ≤ 4.

Suy ra 1 ≤ y ≤ 2.

◦ y = 1 khi sin x = 0 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.

◦ y = 2 khi sin

2

x = 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy min y = 1 và max y = 2.

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 15

Ta có

y = sin

6 x + cos

6 x =

(

sin

2 x + cos

2 x

) 3

− 3 sin

2 x cos

2 x

(

sin

2 x + cos

2 x

)

= 1 −

(2 sin x cos x)

2 = 1 −

sin

2 2 x.

Do 0 ≤ sin

2

2 x ≤ 1 nên 1 ≥ y ≥

.

◦ y = 1 khi sin 2x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±

π

(

do x ∈

[

−

π

;

π

])

.

◦ y =

khi sin

2 2 x = 1 ⇔ x = ±

π

(

do x ∈

[

−

π

;

π

])

.

Vậy max y = 1 và min y =

.

Ta có

y

=

sin 2x +

p 3

cos 2x + 2 = cos

(

π

− 2 x

)

• 2 ⇒ y = 2 cos

(

π

− 2 x

)

Do − 1 ≤ cos

(

π

− 2 x

)

≤ 1 nên 2 ≥ y ≥ 6.

◦ y = 2 khi cos

(

π

− 2 x

)

= − 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

− π

.

◦ y = 6 khi cos

(

π

− 2 x

)

= 1 , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x =

π

.

Vậy min y = 2 và max y = 6.

‰

BÀI 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y = sin 2x, ∀x ∈

[

0;

π

]

1 ĐS: min y = 0 , max y = 1

y = cos

(

x +

π

)

, ∀x ∈

[

−

2 π

; 0

]

ĐS: min y =

2 , max y = 1

y = sin

(

2 x +

π

)

, ∀x ∈

[

−

π

;

π

]

ĐS: min y = −

p 2

3 , max y = 1

Lời giải.

Do x ∈

[

0;

π

]

nên 2 x ∈ [0; π ]. Suy ra 0 ≤ y = sin 2x ≤ 1

◦ y = 0 khi x = 0 hoặc x =

π

.

◦ y = 6 khi x =

π

.

Vậy min y = 0 và max y = 1.

Do x ∈

[

−

2 π

; 0

]

nên x +

π

∈

[

−

π

;

π

]

. Suy ra

= cos

π

≤ y = cos

(

x +

π

)

≤ 1

◦ y =

khi x = −

2 π

hoặc x = 0.

◦ y = 1 khi x = −

π

.

Vậy min y =

và max y = 1.

16 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Do x ∈

[

−

π

;

π

]

nên 2 x +

π

∈

[

−

π

;

3 π

]

. Suy ra −

p 2

≤ y = sin

(

2 x +

π

)

≤ 1.

◦ y = −

p 2

khi x = ±

π

.

◦ y = 1 khi x = −

π

.

Vậy min y = −

p 2

và max y = 1.

‰

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y =

√

4 − 2 sin

5

2 x − 8 ĐS: min y = − 8 +

p

2 , max y = − 8 +

p 1 6

y = y =

1 + 3 cos

2 x

2 ĐS: min y = 1 , max y = 4

y =

√

5 − 2 cos^2 x sin

2 x

3 ĐS: min y =, max y =

y =

p 2 √

4 − 2 sin

2 3 x

ĐS: min y =

p 2

4 , max y = 1

y =

3 −

p 1 − cos x

ĐS: min y = 1 , max y =

9 − 3

p 2

√

2 − cos

(

x −

π

)

ĐS: min y = −

p 6

6 , max y = 2

y =

p 3 sin 2x + cos 2x

7 ĐS: min y = − 1 , max y = 1

BÀI 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y = cos

2

1 x + 2 cos 2x ĐS: min y = − 2 , max y = 3

y = 2 sin

2

2 x − cos 2x ĐS: min y = − 1 , max y = 3

y = 2 sin 2x(sin 2x − 4 cos 2x) ĐS: min y = 1 −

p

17 , max y = 1 +

p 3 17

y = 3 sin

2 x + 5 cos

2

4 x − 4 cos 2x ĐS: min y = 1 , max y = 7

y = 4 sin

2 x +

p

5 5 sin 2x + 3 ĐS: min y = 2 , max y = 8

y = (2 sin x + cos x)(3 sin x − cos x) ĐS: min y = 5 −

p 2

, max y = 5 +

p 2

y = sin x + cos x + 2 sin x cos x − 1 ĐS: min y = −

, max y =

p 7 2

y = 1 − (sin 2x + cos 2x)

3

ĐS: min y = 1 − 2

p

2 , max y = 1 + 2

p 8 2

9 y = |5 sin x + 12 cos x − 10 | ĐS: min y = 0 , max y = 23

y = 2 sin x +

p 2 sin

(

π

− x

)

− 1 ĐS: min y = − 1 −

p

2 , max y = − 1 +

p 10 2

y = 2

[

cos 2x + cos

(

2 x +

2 π

)]

11 + 3 ĐS: min y = 1 , max y = 5

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 17

BÀI 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y = sin

4 x + cos

4

x, ∀x ∈

[

0;

π

]

ĐS: min y =

1 , max y = 1

y = 2 sin

2

x − cos 2x, ∀x ∈

[

0;

π

]

2 ĐS: min y = − 1 , max y = 2

y = cot

(

x +

π

)

, ∀x ∈

[

−

3 π

; −

π

]

3 ĐS: min y = −∞, max y = 0

{ DẠNG 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.

Nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D ⇒ D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.

Bước 2. Tính f (−x) , nghĩa là sẽ thay x bằng −x , sẽ có 2 kết quả thường gặp sau

- Nếu f (−x) = f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn. - Nếu f (−x) = − f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ.

!

Nếu không là tập đối xứng (∀x ∈ D ⇒ −x ∉ D) hoặc f (−x) không bằng f (x) hoặc

− f (x) ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể

cos(−a) = cos a , sin(−a) = − sin a , tan(−a) = − tan a , cot(−a) = − cot a.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

f (x) = sin

2

2 x + cos 3x ĐS: f (x) là hàm số

chẵn

1 f (x) = cos

p x

2

− 16 ĐS: f (x) là hàm số

chẵn

Lời giải.

Tập xác định D = R.

∀x ∈ R ⇒ −x ∈ D = R nên ta xét

f (−x) = sin

2 (− 2 x) + cos(− 3 x) = sin

2 2 x + cos 3x = f (x).

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

Tập xác định D = (−∞; −4] ∪ [4; +∞).

∀x ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞) ⇒

[

x ∈ (−∞; −4]

x ∈ [4; +∞)

⇒

[

− x ∈ [4; +∞)

− x ∈ (−∞; −4]

⇒ −x ∈ D

Xét f (−x) = cos

√

(−x)^2 − 16 = cos

p

x^2 − 16 = f (x).

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

‰

18 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

1 y = f (x) = tan x + cot x ĐS: f (x) là hàm số lẻ

y = f (x) = tan

7

2 2 x · sin 5x ĐS: f (x) là hàm số chẵn

y = f (x) = sin

(

2 x +

9 π

)

3 ĐS: f (x) là hàm số chẵn

Lời giải.

Tập xác định D = R \

{

k π

: k ∈ Z

}

.

∀x ∈ R \

{

k π

: k ∈ Z

}

⇒ x 6 =

k π

⇒ −x 6 = −

k π

⇒ −x ∈ D

Xét f (−x) = tan(−x) + cot(−x) = − tan x − cot x = − f (x).

Vậy f (x) là hàm số lẻ.

Tập xác định D = R \

{

π

+

k π

: k ∈ Z

}

.

∀x ∈ R \

{

π

+

k π

: k ∈ Z

}

⇒ x 6 =

π

+

k π

⇒ −x 6 = −

π

−

k π

=

π

+

−(k + 1) π

⇒ −x ∈ D

Xét f (−x) = tan

7 (− 2 x) · sin(− 5 x) =

(

− tan

7 2 x

)

· (− sin 5x) = tan

7

2 x · sin 5x = f (x).

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

Tập xác định D = R.

∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R nên ta xét

f (−x) = sin

(

− 2 x +

9 π

)

= sin

(

− 2 x −

9 π

• 9 π

)

= − sin

(

− 2 x −

9 π

)

= sin

(

2 x +

9 π

)

= f (x).

Vậy f (x) là hàm số chẵn.

‰

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

y = f (x) = −2 cos

3

(

3 x +

π

)

1 ĐS: f (x) là hàm số lẻ.

y = f (x) = sin

3

2 (3x + 5 π ) + cot(2x − 7 π ) ĐS: f (x) là hàm số lẻ.

3 y = f (x) = cot(4x + 5 π ) tan(2x − 3 π ) ĐS: f (x) là hàm số chẵn.

y = f (x) = sin

p

4 9 − x^2 ĐS: f (x) là hàm số chẵn.

y = f (x) = sin

2

5 2 x + cos 3x ĐS: f (x) là hàm số chẵn.

3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Với k ∈ Z, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau

sin a = sin b ⇔

[

a = b + k 2 π

a = π − b + k 2 π.

cos a = cos b ⇔

[

a = b + k 2 π

a = −b + k 2 π.

tan x = tan b ⇔ a = b + k π.

cot x = cot b ⇔ a = b + k π.

Nếu đề bài cho dạng độ ( α

◦

) thì ta sẽ chuyển k 2 π → k 360

◦

, k π → k 180

◦

, với π = 180

◦

.

Những trường hợp đặc biệt

sin x = 1 ⇔ x =

π

+ k 2 π.

sin x = 0 ⇔ x = k π.

sin x = − 1 ⇔ x = −

π

+ k 2 π.

tan x = 0 ⇔ x = k π.

tan x = 1 ⇔ x =

π

+ k π.

tan x = − 1 ⇔ x = −

π

+ k π.

cos x = 1 ⇔ x = k 2 π.

cos x = 0 ⇔ x =

π

+ k π.

cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2 π.

cot x = 0 ⇔ x =

π

+ k π.

cot x = 1 ⇔ x =

π

+ k π.

cot x = − 1 ⇔ x = −

π

+ k π.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải các phương trình

1 sin 2x = −

. ĐS:







x = −

π

• k π

x = −

7 π

• k π

(k ∈ Z)

2 cos

(

x −

π

)

= − 1. ĐS: x =

4 π

• k 2 π (k ∈ Z)

3 tan(2x − 30

◦ ) =

p

3. ĐS: x = 45

◦

• k 90

◦ (k ∈ Z)

4 cot(x −

π

) = 1. ĐS: x =

7 π

• k π (k ∈ Z)

Lời giải.

1 sin 2x = −

⇔







2 x = −

π

• k 2 π

2 x = −

7 π

• k 2 π

⇔







x = −

π

• k π

x = −

7 π

• k π

(k ∈ Z).

2 cos

(

x −

π

)

= − 1 ⇔ x −

π

= π + k 2 π ⇔ x =

4 π

+ k 2 π (k ∈ Z).

3 tan(2x − 30

◦ ) =

p 3 ⇔ 2 x − 30

◦ = 60

◦

• k 180

◦ ⇔ x = 45

◦

• k 90

◦

(k ∈ Z).

4 cot

(

x −

π

)

= 1 ⇔ x −

π

=

π

• k π ⇔ x =

7 π

+ k π (k ∈ Z).

‰

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau

1 sin x = sin

2 π

. ĐS:







x =

2 π

• k 2 π

x =

π

• k 2 π

(k ∈ Z)

2 sin

(

2 x −

π

)

=

. ĐS:







x =

π

• k π

x =

π

• k π

(k ∈ Z)

3 sin

(

2 x +

π

)

= − 1. ĐS: x = −

π

• k π (k ∈ Z)

4 cos

(

2 x +

π

)

= cos

π

. ĐS:







x = −

π

• k π

x = −

7 π

• k π

(k ∈ Z)

5 cos x = −

. ĐS: x = ±

2 π

• k 2 π (k ∈ Z)

6 cos

(

x +

π

)

= 1. ĐS: x = −

π

• k 2 π (k ∈ Z)

Lời giải.

1 sin x = sin

2 π

⇔







x =

2 π

• k 2 π

x =

π

• k 2 π

(k ∈ Z).

2 sin

(

2 x −

π

)

=

⇔







2 x −

π

=

π

• k 2 π

2 x −

π

=

5 π

• k 2 π

⇔







x =

π

• k π

x =

π

• k π

(k ∈ Z).

3 sin

(

2 x +

π

)

= − 1 ⇔ 2 x +

π

= −

π

• k 2 π ⇔ x = −

π

+ k π (k ∈ Z).

4 cos

(

2 x +

π

)

= cos

π

⇔







2 x +

π

=

π

• k 2 π

2 x +

π

= −

π

• k 2 π

⇔







x = −

π

• k π

x = −

7 π

• k π

(k ∈ Z).

5 cos x = −

⇔ x = ±

2 π

+ k 2 π (k ∈ Z).

6 cos

(

x +

π

)

= 1 ⇔ x +

π

= k 2 π ⇔ x = −

π

+ k 2 π (k ∈ Z).

‰

3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 2.

1 2 sin(x + 30

◦ ) +

p

3 = 0. ĐS:

[

x = − 90

◦

• k 360

◦

x = − 150

◦

• k 360

◦

(k ∈ Z)

2 cot(4x + 35

◦

) = − 1. ĐS: x = − 20

◦

• k 45

◦ (k ∈ Z)

3 2 cos

(

x −

π

)

+

p

3 = 0. ĐS:





x = π + k 2 π

x = −

2 π

• k 2 π

(k ∈ Z)

4 (1 + 2 cos x)(3 − cos x) = 0. ĐS: x = ±

2 π

• k 2 π (k ∈ Z)

5 tan(x − 30

◦ ) cos(2x − 150

◦

) = 0. ĐS: x = 30

◦

• k 180

◦ (k ∈ Z)

p

2 sin 2x + 2 cos x = 0. ĐS:

      

x =

π

• k π

x = −

π

• k 2 π

x =

5 π

• k 2 π

(k ∈ Z)

7 sin x +

p 3 sin

x

= 0. ĐS:





x = k 2 π

x = ±

5 π

• k 4 π

(k ∈ Z)

8 sin 2x cos 2x +

= 0. ĐS:









x = −

π

+

k π

x =

7 π

+

k π

(k ∈ Z)

9 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x =

. ĐS: x =

π

+

k π

(k ∈ Z)

B MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

{ DẠNG 3.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos(−a) = cos a sin( π − a) = sin a sin

(

π

− a

)

= cos a

sin(−a) = − sin a cos( π − a) = − cos a cos

(

π

− a

)

= sin a

tan(−a) = − tan a tan( π − a) = − tan a tan

(

π

− a

)

= cot a

cot(−a) = − cot a cot( π − a) = − cot a cot

(

π

− a

)

= tan a

Cung hơn kém π Cung hơn kém

π

sin( π + a) = − sin a sin

(

π

• a

)

= cos a

cos( π + a) = − cos a cos

(

π

• a

)

= − sin a

tan( π + a) = tan a tan

(

π

• a

)

= − cot a

cot( π + a) = cot a cot

(

π

• a

)

= − tan a

Tính chu kỳ

sin(x + k 2 π ) = sin x cos(x + k 2 π ) = cos x

sin(x + π + k 2 π ) = − sin x cos(x + π + k 2 π ) = − cos x

tan(x + k π ) = tan x cot(x + k π ) = cot x

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)

1 sin 2x = cos

(

x −

π

)

. ĐS:







x =

5 π

+

k 2 π

x =

π

• k 2 π

(k ∈ Z).

2 tan

(

2 x −

π

)

= cot

(

x +

π

)

. ĐS: x =

π

+

k π

(k ∈ Z).

Lời giải.

1 Ta có phương trình tương đương

sin 2x = sin

[

π

−

(

x −

π

)]

⇔ sin 2x = sin

(

5 π

− x

)

⇔









2 x =

5 π

− x + k 2 π

2 x = π −

(

5 π

− x

)

• k 2 π

(k ∈ Z) ⇔







x =

5 π

+

k 2 π

x =

π

• k 2 π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm là







x =

5 π

+

k 2 π

x =

π

• k 2 π

(k ∈ Z).

2 Điều kiện: 2 x −

π

=

π

• k π , x +

π

= k π (k ∈ Z).

Phương trình tương đương

tan

(

2 x −

π

)

= tan

[

π

−

(

x +

π

)]

⇔ tan

(

2 x −

π

)

= tan

(

π

− x

)

⇔ 2 x −

π

=

π

− x + k π (k ∈ Z)

⇔ 3 x =

π

• k π (k ∈ Z) ⇔ x =

π

+

k π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm là x =

π

+

k π

(k ∈ Z).

‰

VÍ DỤ 2. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)

3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5

1 sin 3x + cos

(

π

− x

)

= 0. ĐS:









x = −

π

+

k π

x = −

5 π

• k π

(k ∈ Z)

2 tan x · tan 3x + 1 = 0. ĐS: x = −

π

+

k π

(k ∈ Z).

Lời giải.

1 Ta có phương trình tương đương

cos

(

π

− x

)

= − sin 3x ⇔ cos

(

π

− x

)

= cos

(

π

• 3 x

)

⇔







π

− x =

π

• 3 x + k 2 π

π

− x = −

π

− 3 x + k 2 π

(k ∈ Z) ⇔









x = −

π

−

k π

x = −

5 π

• k π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm









x = −

π

−

k π

x = −

5 π

• k π

(k ∈ Z).

2 Điều kiện:

{

cos x 6 = 0

cos 3x 6 = 0

⇔







x 6 =

π

• k π

x 6 =

π

+

k π

⇔ x 6 =

π

+

k π

(k ∈ Z).

Xét tan 3x = 0 không là nghiệm, khi đó phương trình tương đương

tan x

cot 3x

+ 1 = 0

⇔ tan x = − cot 3x

⇔ tan x = tan

(

3 x +

π

)

⇔ x = 3 x +

π

• k π ⇔ x = −

π

−

k π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm x = −

π

+

k π

(k ∈ Z).

‰

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định).

1 sin 2x = cos

(

π

− x

)

. ĐS:







x =

π

• k 2 π

x =

2 π

+

k 2 π

(k ∈ Z).

2 cos

(

2 x +

π

)

= sin x. ĐS:









x =

π

+

k 2 π

x = −

3 π

• k 2 π

(k ∈ Z).

3 cos

(

4 x +

π

)

− sin 2x = 0. ĐS:









x =

π

+

k π

x = −

7 π

• k π

(k ∈ Z).

4 cot

(

2 x −

3 π

)

= tan

(

x −

π

)

. ĐS: x =

17 π

+

k π

(k ∈ Z).

Lời giải.

1 Ta có phương trình tương đương

sin 2x = sin

[

π

−

(

π

− x

)]

⇔ sin 2x = sin

(

π

• x

)

⇔







2 x =

π

• x + k 2 π

2 x = π −

(

π

• x

)

• k 2 π

(k ∈ Z) ⇔







x =

π

• k 2 π

x =

2 π

+

k 2 π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm là







x =

π

• k 2 π

x =

2 π

+

k 2 π

(k ∈ Z).

2 Ta có phương trình tương đương

cos

(

2 x +

π

)

= cos

(

π

− x

)

⇔







2 x +

π

=

π

− x + k 2 π

2 x +

π

= x −

π

• k 2 π

(k ∈ Z)

⇔









x =

π

+

k 2 π

x = −

3 π

• k 2 π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm

3 Ta có phương trình tương đương

cos

(

4 x +

π

)

= cos

(

π

− 2 x

)

⇔







4 x +

π

=

π

− 2 x + k 2 π

4 x +

π

= 2 x −

π

• k 2 π

(k ∈ Z)

⇔









x =

π

+

k π

x = −

7 π

• k π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm









x =

π

+

k π

x = −

7 π

• k π

(k ∈ Z).

4 Điều kiện







2 x −

3 π

= k π

x −

π

=

π

• l π

⇔











x 6 =

3 π

+

k π

x 6 =

2 π

• l π

(k, l ∈ Z).

Ta có phương trình tương đương

cot

(

2 x −

3 π

)

= cot

(

2 π

− x

)

⇔ 2 x −

3 π

= −x +

2 π

• k π (k ∈ Z)

⇔ x =

17 π

+

k π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm x =

17 π

+

k π

(k ∈ Z).

3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7

‰

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định).

cos (3x + 45

◦

) = − cos x. ĐS:

[

x = 33 , 75

◦

• k 90

◦

x = − 112 , 5

◦

• k 180

(^1) ◦ (k ∈ Z).

sin

(

x −

π

)

= − sin

(

2 x −

π

)

. ĐS:









x =

5 π

+

k 2 π

x = −

13 π

− k 2 π

2 (k ∈ Z).

tan

(

3 x −

π

)

= − tan x. ĐS: x =

π

+

k π

3 (k ∈ Z).

cos

(

3 x −

π

)

+ cos x = 0. ĐS:







x =

π

+

k π

x = −

π

• k π

4 (k ∈ Z).

sin

(

2 x +

π

)

+ cos x = 0. ĐS:









x = −

3 π

• k 2 π

x =

5 π

+

k 2 π

5 (k ∈ Z).

tan

(

3 x +

π

)

+ tan 2x = 0. ĐS: x = −

π

+

k π

6 (k ∈ Z).

Lời giải.

1 Phương trình tương đương

cos(3x + 45

◦ ) = cos(180

◦ − x)

⇔

[

3 x + 45

◦ = 180

◦ − x + k 360

◦

3 x + 45

◦ = x − 180

◦

• k 360

◦ (k^ ∈^ Z)

⇔

[

x = 33 , 75

◦

• k 90

◦

x = − 112 , 5

◦

• k 180

◦ (k^ ∈^ Z).

Vậy phương trình có nghiệm

[

x = 33 , 75

◦

• k 90

◦

x = − 112 , 5

◦

• k 180

◦

(k ∈ Z).

2 Phương trình tương đương

sin

(

x −

π

)

= sin

(

π

− 2 x

)

⇔







x −

π

=

π

− 2 x + k 2 π

x −

π

= π −

(

π

− 2 x

)

• k 2 π

(k ∈ Z)

⇔









x =

5 π

+

k 2 π

x = −

13 π

− k 2 π

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có nghiệm









x =

5 π

+

k 2 π

x = −

13 π

− k 2 π

(k ∈ Z).