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Medidas Estadísticas de Tendencia Central: Guía de Estudio con Ejercicios, Cheat Sheet of Law

Una guía completa sobre las medidas estadísticas de tendencia central, incluyendo la media aritmética, la mediana y la moda. Se explican los conceptos básicos, se proporcionan ejemplos prácticos y se incluyen fórmulas para el cálculo de cada medida. El documento también abarca medidas de posición como cuartiles, deciles y percentiles, con ejemplos ilustrativos.

Typology: Cheat Sheet

2023/2024

Uploaded on 09/27/2024

cesar-augusto-maas-bol
cesar-augusto-maas-bol 🇺🇸

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MEDIDAS

ESTADISTICAS

DE TENDENCIA

CENTRAL

MEDIDAS ESTADISTICAS DE TENDENCIA CENTRAL

Se llaman medidas estadísticas de tendencia central porque los valores obtenidos

tienden al centro de la distribución.

Estas medidas tienen como objetivo proporcionar un valor que represente al total de

los casos.

1. MEDIA ARITMETICA

Es una de las medidas más usadas, conocida también como promedio aritmético, o

simplemente media.

a) PARA DATOS SIN AGRUPAR

La media será igual a la suma de todos los valores, dividida entre el número total de

casos.

𝑋 =

σ (^) 𝑋

𝑛

Donde:

𝑋 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑋 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

EJEMPLO

Se cuenta con los registros sobre el número de clientes atendidos en los

siguientes meses: Enero 25 , Febrero 28 , Marzo 33 , Abril 39 , Mayo 24 y Junio 31.

Hallar el promedio del número de clientes.

R// El promedio mensual de clientes atendidos es de…

b) PARA UNA SERIE SIMPLE

Cuando los datos se encuentran agrupados es necesario incluir en los cálculos las

frecuencias absolutas.

𝑋 =

σ 𝑓𝑋

𝑛

Donde:

𝑋 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒

𝑋 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

EJEMPLO

Las ventas diarias de un grupo de tiendas durante cierto tiempo, son las

siguientes:

VENTAS Q No. De tiendas

10 5

15 8

25 10

30 7

40 2

TOTAL 32

EJEMPLO

Las ventas diarias de un grupo de tiendas durante cierto tiempo, son las

siguientes:

R// El promedio de ventas en las tiendas evaluadas es de…

X f fX

10 5 50

15 8 120

25 10 250

30 7 210

40 2 80

TOTAL 32 710

b) PARA DATOS AGRUPADOS EN CLASES

Se aplica el mismo procedimiento a una serie simple, a diferencia que X representa la

marca de clase.

𝑋 =

σ 𝑓𝑋

𝑛

Donde:

𝑋 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒

𝑋 = 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒

𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

EJEMPLO

Las ventas diarias en miles de Q. de un grupo de comercios de zona 1 , son las

siguientes:

Ventas Q No. De

comercios

2 - 4 4

5 - 7 8

8 - 10 16

11 - 13 4

14 - 16 2

TOTAL 34

EJEMPLO

Las ventas diarias en miles de Q. de un grupo de comercios de zona 1 , son las

siguientes:

R// El promedio de ventas en los comercios evaluados es de Q8.29 miles

Ventas Q f X fX

2 - 4 4 3 12

5 - 7 8 6 48

8 - 10 16 9 144

11 - 13 4 12 48

14 - 16 2 15 30

TOTAL 34 - 282

2. MEDIANA

La mediana es otra medida de localización central. Se define como aquel

valor que es alcanzado por el 50 % de los casos y superado por el otro 50 %.

También se dice que es el valor que divide una distribución en dos partes

iguales.

a) PARA DATOS SIN AGRUPAR

1 ) Serie impar

La mediana es igual al valor central de una serie de datos, que se determina luego de

haberlos ordenado de menor a mayor.

Ejemplo: 3 , 7 , 1 , 8 , 9

Se ordenan: 1 , 3 , 7 , 8 , 9

La media es 7

a) PARA DATOS SIN AGRUPAR

2 ) Serie par

La mediana es igual a la sumatoria de los valores centrales, dividido entre dos.

Ejemplo: 4 , 6 , 3 , 8 , 1 , 5

Se ordenan: 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8

La media será Me = ( 4 ´+ 5 )/ 2 Me = 4. 5

a) PARA DATOS AGRUPADOS EN UNA SERIE SIMPLE

Primero, determinar las frecuencias acumuladas

Luego, localizar cuantos casos se necesitan, es decir el 50 %

Por ultimo se busca la columna con las frecuencias acumuladas donde este el 50 %

VENTAS f

45 2

60 5

65 7

72 9

78 11

TOTAL 34

a) PARA DATOS AGRUPADOS EN CLASES

Primero, determinar las frecuencias acumuladas

Luego, localizar cuantos casos se necesitan, es decir el 50 %

Se debe establecer el limite real inferior

Por ultimo aplicar la formula.

𝑀𝑒 = 𝐿𝑟𝑖 +

𝑛

− 𝐹𝑎

𝑓

∗ 𝑖

Donde:

Me = Media para datos agrupados en clases

Lri = Limite real inferior

n = Número de casos

Fa = Frecuencia acumulada anterior a la clase media

f = Frecuencia absoluta de la clase media

i = Intervalo de clase

EJEMPLO

IMPUESTOS EN

MILES DE Q

CANTIDAD DE

CONTRIBUYENTES

2 - 11 500

12 - 21 852

22 - 31 730

32 - 41 632

42 - 51 423

TOTAL 3137

2. MODA

La tercera medida de localización es la moda. La moda es el valor que se presenta con

mayor frecuencia.

a) MODA POR INSPECCIÓN

Se cuenta con los siguientes montos ahorras en miles de Q por un muestreo de

usuarios de determinada agencia bancaria, 2 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 7 , 8 , 8 , 8 , 10

La moda es la variable con mayor frecuencia, en este caso es 5

R// Es más común que los usuarios de x agencia bancaria tengan un monto de ahorro

de Q 5 mil

b ) MODA INTERPOLADA PARA DATOS AGRUPADOS EN CLASES

Primero, identificar la clase modal, donde existan mayores frecuencias.

Determinar el limite real inferior

Se aplica la formula y se obtiene la moda

𝑀𝑜 = 𝐿𝑟𝑖 +

𝑓 − 𝑓𝑎

𝑓 − 𝑓𝑎 + (𝑓 − 𝑓𝑏)

∗ 𝑖

Donde:

Mo = Moda

Lri = Limite real inferior

f = Frecuencia absoluta de la clase modal

fa = Frecuencia absoluta anterior a la clase modal

fb = Frecuencia absoluta siguiente a la clase modal

i = Intervalo de clase

EJEMPLO

IMPUESTOS EN

MILES DE Q

CANTIDAD DE

CONTRIBUYENTES

2 - 11 500

12 - 21 852

22 - 31 730

32 - 41 632

42 - 51 423

TOTAL 3137

MEDIDAS DE POSICION

a) CUARTILES; Los cuartiles dividen a una distribución en cuatro partes iguales.

Q 1 es el valor que es alcanzado por el 25 % de los casos y es superado por el 75 % de los casos.

Q 2 es el valor que es alcanzado por el 50 % de los casos y es superado por el 50 % de los casos.

Q 3 es el valor que es alcanzado por el 75 % de los casos y es superado por el 25 % de los casos.

Q1 Q2 Q3 Q

25% 25% 25% 25%

MEDIDAS DE POSICION

a) CUARTILES;

FORMULA

𝑄𝑥 = 𝐿𝑟𝑖 +

𝑥(𝑛/ 4 ) − 𝐹𝑏

𝑓

∗ 𝑖

Donde:

Q = Cuartil

X = Cuartil que se desea 1 , 2 , o 3

Lri = Limite real inferior

f = Frecuencia absoluta de la clase cuartil

Fb = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior

i = Intervalo de clase

MEDIDAS DE POSICION

a) DECILES; Los deciles dividen a una distribución en 10 partes iguales, cada decil representa un

10 % de la distribución, de tal manera que:

D 1 es el valor que es alcanzado por el 10 % de los casos y es superado por el 90 % de los casos.

D 2 es el valor que es alcanzado por el 20 % de los casos y es superado por el 80 % de los casos.

D 3 es el valor que es alcanzado por el 30 % de los casos y es superado por el 70 % de los casos.

Y así sucesivamente, tomando en cuenta que cada decil representa un diez por ciento, en virtud

que dividen en 10 partes iguales a una distribución.

MEDIDAS DE POSICION

b) DECIL;

FORMULA

D𝑥 = 𝐿𝑟𝑖 +

𝑋(𝑛/ 10 ) −𝐹𝑏

𝑓

∗ 𝑖

Donde:

D = Decil

X = Decil que se desea

Lri = Limite real inferior

f = Frecuencia absoluta de la clase

Fb = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior

i = Intervalo de clase

MEDIDAS DE POSICION

a) PERCENTIL; Los percentiles dividen a una distribución en 100 partes iguales, cada percentil

representa un 1 % de la distribución, de tal manera que:

P 1 es el valor que es alcanzado por el 1 % de los casos y es superado por el 99 % de los casos.

P 2 es el valor que es alcanzado por el 2 % de los casos y es superado por el 98 % de los casos.

P 3 es el valor que es alcanzado por el 3 % de los casos y es superado por el 97 % de los casos.

Y así sucesivamente, tomando en cuenta que cada percentil representa un uno por ciento, en

virtud que dividen en 100 partes iguales a una distribución.

MEDIDAS DE POSICION

c) PERCENTIL;

FORMULA

P𝑥 = 𝐿𝑟𝑖 +

𝑋(𝑛/ 100 ) −𝐹𝑏

𝑓

∗ 𝑖

Donde:

P = Percentil

X = Percentil que se desea

Lri = Limite real inferior

f = Frecuencia absoluta de la clase

Fb = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior

i = Intervalo de clase