Probabilidad y estadística distribución, Study notes of Probability and Statistics

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4. La distribución normal

Introducción

Como sabes una distribución es la relación entre los valores que pueden tomar una variable y la probabilidad que le corresponde. En este caso estudiaremos la distribución de una variable aleatoria continua la cual proviene de una medición, por ejemplo la estatura de un grupo de chicos entre 15 y 18 años; el peso en kilogramos de estos chicos; la medición de las placas de acero para una estructura, etc. La mejor forma de trabajar con una variable aleatoria continua es por medio del área bajo la curva, cuyo tema lo viste y trabajaste en la unidad de aprendizaje de Cálculo Integral. La forma de representar las probabilidades de una variable aleatoria continua es por medio de una gráfica de una función simétrica, cuyos límites están entre menos infinito y más infinito. El área bajo esta curva es igual a 1 o 100%; esto debido a los axiomas de probabilidad que ya viste con anterioridad. Veamos ahora cómo esa curva simétrica se estudia mediante una distribución de probabilidad normal. La distribución de probabilidad normal es aquella en la cual, a partir de un punto central de máxima frecuencia (la media de la distribución), los valores mayores y menores que la media se distribuyen simétricamente a derecha e izquierda, disminuyendo gradualmente hasta desaparecer.

Esta distribución permite resolver, en forma aproximada, los problemas propios de las distribuciones binomial o de Poisson, por lo que su importancia en probabilidad y estadística es fundamental.

Aunque los conceptos básicos fueron planteados inicialmente por el matemático francés Abraham de Moivre (1667- 1754) y por el astrónomo francés Marques Pedro Simon de Laplace (1749-1827), fue el matemático alemán Karl Fiedrich Gauss (1777-1855) quien presentó las leyes fundamentales de la distribución normal de probabilidad, de manera que ésta se conoce también como distribución gausiana y su curva (curva normal), se denomina igualmente campana de Gauss.

Propiedades de la curva normal o campana de Gauss

1. Es simétrica en forma de campana.

2. La media, la mediana y la moda tienen el mismo valor, ubicado al centro de la figura.

3. Teóricamente, la curva se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, sin tocar nunca el eje horizontal.

Para poder calcular probabilidades con esta curva normal, es necesario hacer varias transformaciones, esto debido a que si utilizamos la integración de área bajo la curva, dicha integración es muy compleja.

La función de distribución normal con parámetros μ y σ es:

Como un número elevado de fenómenos se comportan o pueden ser aproximados por una distribución normal es de importancia fundamental su estudio y utilización. Por ello nos apoyamos en su expresión gráfica que es la Curva Normal, la cual proviene de una distribución de frecuencias que tiene muchas observaciones cercanas al centro de la distribución para luego disminuir gradual y simétricamente en ambas direcciones.

Distribución Normal Estándar

Las variables aleatorias continuas serán transformadas en puntajes estándar o tipificaciones, esto para poder localizar las variables sobre la gráfica de la curva normal.

La función de Distribución Normal Estándar queda establecida por:

La transformación la realizaremos mediante la siguiente equivalencia o tipificación, bajo el cambio de variable:

Tipificación

Ahora seguiremos trabajando en resolver cuestiones de probabilidad del tipo P (a ≤ x ≤ b) pero usando la estandarización y tablas de áreas bajo la curva normal estándar, las cuales ya fueron determinadas por matemáticos para evitar perder tiempo en el manejo y cálculo de áreas bajo la curva por medio de integrales.

Comienza a tipificar analizando los siguientes ejemplos en los cuales, como primer paso, encontrarás el valor de z probabilísticamente.

Ejemplo 1 Obtener la probabilidad de que el puntaje estándar sea menor o igual que -2. Entenderás que esto significa z ≤ - 2. Como z tiene un signo negativo indica que el valor está a la izquierda del centro, pero el signo debe eliminarse antes de utilizar la tabla de área bajo la curva.

En la tabla busca el valor absoluto de 2.

De la lectura de la tabla, podemos determinar que Como la pregunta dice que debe ser menor o igual que La probabilidad buscada es el área generada de 0 a y ésta se localiza en el área sombreada de la gráfica siguiente:

Toma en cuenta que la tabla da valores del centro a la izquierda o del centro a la derecha, por tal motivo el área sombreada es el resultado de

Finalmente la probabilidad cuando es de 0.87% que es casi nula.

Ejemplo 2 Obtener la probabilidad cuando la variable aleatoria continua tome valores de 20 o menos, si la media es 10 y la desviación es 8. De los datos dados en el enunciado, podemos determinar los siguientes valores: Para poder encontrar la probabilidad harás uso de la fórmula de tipificación, puesto que no te dan el puntaje estándar, sino la variable, por lo tanto hay que transformarla en puntaje estándar.

Como es positiva estará en el lado derecho de la media.

En la tabla busca el valor absoluto cuando es igual a 1.

De allí se obtiene que Como la pregunta dice que debe ser menor o igual que 1.25, la probabilidad buscada es la que está en el área sombreada que va de 0 a 1.25 de la gráfica siguiente:

Toma en cuenta que la tabla da valores del centro a la izquierda o del centro a la derecha, por tal motivo el área sombreada es el resultado de:

Finalmente la probabilidad de es de 89.44%

Ejemplo 3 Obtener la probabilidad de que el puntaje estandarizado sea mayor o igual que 1.

Como tiene un signo positivo indica que el valor está a la derecha del centro.

Al buscar en la tabla se define que Como la pregunta dice que debe ser mayor o igual que 1.5, entonces el área buscada es el resultado de:

Lo que nos indica, que la probabilidad buscada es la que corresponde al área sombreada, la cual va de

Finalmente la probabilidad cuando es de 6.68%

Ejemplo 4 Determinar la probabilidad de que el puntaje estándar sea mayor o igual que -0.

Como tiene un signo negativo, indica que el valor está a la izquierda del centro.

En la tabla se define el valor absoluto de

Dado que debe ser mayor o igual que 0.69 indica que la probabilidad buscada es la que está en el área sombreada que va de la gráfica siguiente:

Por tal motivo, el área sombreada es el resultado de:

Finalmente la probabilidad cuando es de 75.49%

Ejemplo 5

Determinar la probabilidad de los puntajes estándar que están entre esto es:

De tablas se obtienen los siguientes valores y

Por la posición del área sombreada para obtener la probabilidad será de la manera siguiente: "área mayor menos área menor".

Finalmente la probabilidad cuando es de 43.55%

Como habrás observado estos ejemplos te permitieron poder localizar en la gráfica de la campana de Gauss los puntajes estándar, que más adelante te servirán para poder resolver ejercicios del ámbito general. Recuerda que es indispensable graficar la posición del puntaje estándar para poder determinar el área bajo la curva, que finalmente es la probabilidad buscada.

Como ya aprendiste a ubicar correctamente los puntajes estándar y además a encontrar el área bajo la curva que en sí es la probabilidad, vamos emplear estos procedimientos para resolver los ejemplos que se presentan a continuación.

Ejemplo 6 La estatura promedio de los empleados de una empresa es de 1.65m con una desviación estándar de 0.062m. Supón una distribución normal y determina qué porcentaje de los empleados mide: a) más de 1.57m b) menos de 1.70m c) entre 1.57m y 1.70m

a) Empleados que miden más de 1.57m Como puedes darte cuenta, el ejemplo nos proporciona la media y la desviación estándar, datos que podemos emplear directamente en la fórmula de tipificación, ya que si observas la estatura es una variable aleatoria continua que se comporta como una distribución normal, puesto que viene de una medición y no de un conteo.

En este caso el área buscada va de , como se muestra a continuación:

Al buscar en la tabla, definimos que el valor absoluto de Como la pregunta dice que debe ser mayor o igual que 1.29, la probabilidad buscada es la que está en el área sombreada que va de , tal como se muestra en la gráfica siguiente:

Por tal motivo el área sombreada es el resultado de:

Finalmente la probabilidad o porcentaje de los empleados que miden más de 1.57m es de 90.15%.

b) Empleados que miden menos de 1.70m

Tenemos la media y la desviación estándar, datos para sustituir directamente en la fórmula de tipificación.

Graficando la posición obtenida tenemos:

Por lo tanto, el área buscada va de

Por los valores de la tabla, encontramos que

Como la pregunta dice que debe ser menor o igual que 0.81, la probabilidad buscada es la que está representada por el área sombreada que va de de la gráfica siguiente:

De manera que el área sombreada es:

Finalmente, la probabilidad o porcentaje de cuántos empleados miden menos de 1.70m es de 79.10%

c) Empleados que miden entre 1.57 y 1.70 m.

Sustituimos los valores de la media y la desviación estándar en la fórmula de tipificación, obteniendo dos valores de , uno para cada límite:

Por lo tanto, el área buscada va de -1.29 a 0.

En la tabla busca el valor absoluto de 1.29 a 0.

Como la pregunta dice que debe estar entre -1.29 a 0.81, la probabilidad buscada es el área bajo la curva normal que se encuentra en dicho intervalo, como se muestra en la siguiente gráfica:

El área sombreada es el resultado de:

Por lo cual podemos decir que la probabilidad o porcentaje de empleados que miden entre 1.57m y 1.70m es de 69.25%

Ejemplo 7 En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación estándar 5°. Calcula el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27° Sustituimos los valores conocidos en la fórmula de tipificación y se obtiene: Graficando las posiciones obtenidas para los valores de z tenemos:

Por lo que a probabilidad buscada es la que está definida por el área sombreada que va de -0.4 a 0.

Con los valores de la tabla encontramos: Z(0.4)=0. Z(0.8)=0. El área sombreada es el resultado de: 0.1554+0.2881=0.

Por lo cual podemos decir que la cantidad de días que se esperan con una máxima de temperatura entre 21° y 27° es:

0.4435 X 30 =13.03 ≈13 días

Ejemplo 8: La vida de cierto tipo de refrigerador está distribuida normalmente con una media de 7.2 años y con una desviación estándar de 1. años. Suponga que el fabricante quiere establecer una garantía, de que aproximadamente el 15% de los refrigeradores sólo necesitarán ser reparados bajo esta garantía. ¿Cuál es el punto de separación entre aquellos que recibirán reparación bajo garantía y los que no?

𝜇 = 7.2 𝑎ñ𝑜𝑠

𝜎 = 1.9 𝑎ñ𝑜𝑠

De la gráfica 0.5- 0.15 = 0.

Por tablas para un área de 0.35, z (1.04)= 0.35. Como se encuentra a la izquierda de la media z = - 1.

De la fórmula de tipificación o cambio de variable y despejando la variable original x.

Sustituyendo los valores de la media, la desviación estándar y el valor encontrado de z

Así, a partir de los 5.2 años ya no se tiene garantía de reparación.

El teorema de Tchebyshef puede utilizarse para obtener un límite inferior de la probabilidad de que la variable aleatoria de interés “Y” caiga en un intervalo de la forma 𝜇 ± 𝑘𝜎. Donde sea Y una variable aleatoria con una media finita μ y varianza.

Entonces, para cualquier constante positiva k: