Download Taller 4 vc and more Exams Mathematical Methods in PDF only on Docsity! Variable Compleja, Taller 4 Programa de Matemáticas, Universidad Sergio Arboleda 1. Evaluar las siguientes integrales: (a) ∫ γ z2+1 z(z2+4) dz, donde γ(t) = reit, 0 ≤ t ≤ 2π para todos los posibles valores de r, 0 < r < 2 y 2 < r < +∞. (b) ∫ γ z1/m (z−1)mdz, donde γ(t) = 1 + 1/2e it, 0 ≤ t ≤ 2π y m ∈ N. (c) ∫ 2π 0 e cos θ cos(sen(θ))dθ = 2π. Indicación: Escriba esta integral como parte de una integral compleja. 2. Asuma que f es anaĺıtica y satisface que |f(z) − 1| < 1 para z ∈ Ω. Demostrar que∫ γ f ′(z) f(z) dz = 0 para toda curva diferenciable a trozos cerrada γ en Ω. 3. Utilizando las desigualdades de Cauchy demostrar las siguientes afirmaciones: (a) Si f es entera y existen constantes M,R > 0 y un entero n ≥ 1 tal que |f(z)| ≤M |z|n para todo |z| > R entonces f es un polinomio de grado a lo más n. (b) Si f es anaĺıtica y satisface |f(z)| ≤ A(1 + |z|)η, η ∈ R fijo, en Ω = {x + iy ∈ C|x ∈ R,−1 < y < 1} entonces para cada n ∈ N existe An ≥ 0 tal que |f (n)(x)| ≤ An(1 + |x|)η para todo x ∈ R. 4. Usando el teorema de Liouville demostrar las siguientes afirmaciones: (a) Si f es entera y Im(f(z)) ≥ 0 para todo z ∈ C entonces f es constante. (Indicación: Considere eif(z)). (b) Si f es entera y Re(f(z)) ≤M para todo z ∈ C entonces f es constante. (Indicación: Considere ef(z)). (c) Si f es entera, f(0) = 0 y |f(z) − ezsen(z)| < 4 para todo z ∈ C entonces f(z) = ezsen(z). 1