Download Tóm tắt lý thuyết và trắc nghiệm mặt cầu and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity! Trang 1/51 RI BA CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: 2/ Các dạng phương trình mặt cầu : Dạng 1 : Phương trình chính tắc Mặt cầu (S) có tâm ( ); ;I a b c , bán kính 0>R . ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 : S x a y b z c R− + − + − = Dạng 2 : Phương trình tổng quát 2 2 2 ( ) : 2 2 2 0 + + − − − + =S x y z ax by cz d (2) ⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu: 2 2 2 0 a b c d+ + − > • (S) có tâm ( ); ;I a b c . • (S) có bán kính: 2 2 2= + + −R a b c d . 3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng : Cho mặt cầu ( );S I R và mặt phẳng ( )P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( )P ⇒ =d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P . Khi đó : + Nếu >d R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. + Nếu =d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: ( )P là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm. + Nếu :d R< Mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán kính 2 2 = −r R IH P M2 M1 H IR R I HP d r I' α R I Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng : Cho mặt cầu ( );S I R và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó : + >IH R : ∆ không cắt mặt cầu. + =IH R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu. ∆ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm. + <IH R : ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. R I ∆ H H ∆ I R H B A I R Δ Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. Kí hiệu: ( );S I R ( ) { }; / ⇒ = =S I R M IM R Trang 2/51 * Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: + Xác định: ( ); .d I IH∆ = + Lúc đó: 2 2 2 2 2 = + = + ABR IH AH IH ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ * Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng ( )α . ( ) 2 2 2 : 2 2 2 0 S x y z ax by cz d+ + − − − + = ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = * Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C). + Tâm ( )'I d α= ∩ . Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp ( )α + Bán kính ( ) ( )( ) 222 2 ' ' ; R R II R d I α = − = − 5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. + Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S)⇔ ( ) ; .d I R∆ = + Mặt phẳng ( )α là tiếp diện của (S) ⇔ ( )( ) ; .d I Rα = * Lưu ý: Tìm tiếp điểm ( )0 0 0 0; ;M x y z . Sử dụng tính chất : ( ) 0 0 0 0 α α ⊥ ⊥ ⇔ ⊥ ⊥ dIM d IM a IM IM n Trang 5/51 Theo giả thiết: ( )( ) ( )( ) 1 51 5 , , 3 1 53 3 α β − = −− − = ⇔ = ⇔ ⇒ = − = − t tt t d I d I t t t . Suy ra: ( )3; 1; 3− −I và ( )( ) 2d , 3 α= =R I . Vậy (S) : ( ) ( ) ( )2 2 2 43 1 3 9 − + + + + =x y z . Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm ( ) ( )2;6;0 , 4;0;8A B và có tâm thuộc d: 1 5 1 2 1 − + = = − x y z . Bài giải: Ta có 1 : 2 5 = − = = − + x t d y t z t . Gọi ( )1 ;2 ; 5− − + ∈I t t t d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm. Ta có: ( ) ( )1 ;6 2 ;5 , 3 ; 2 ;13IA t t t IB t t t= + − − = + − − . Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B⇔ =AI BI ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 221 6 2 5 3 4 13⇔ + + − + − = + + + −t t t t t t 2962 32 178 20 12 116 3 ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = −t t t t 32 58 44; ; 3 3 3 ⇒ − − I và 2 233= =R IA . Vậy (S): 2 2 232 58 44 932 3 3 3 − + + + + = x y z . Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm ( )2;3; 1−I và cắt đường thẳng 1 1: 1 4 1 + − ∆ = = − x y z tại hai điểm A, B với 16=AB . Bài giải: Chọn ( ) ( )1;1;0 3; 2;1− ∈∆⇒ = − − M IM . Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là ( )1; 4;1∆ = − u . Ta có: ( ) ( ) , , 2;4;14 d , 2 3 ∆ ∆ ∆ = ⇒ ∆ = = IM u IM u I u . Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : ( ) 2 2 d , 2 19. 4 = ∆ + = ABR I Vậy (S): ( ) ( ) ( )2 2 22 3 1 76− + − + + =x y z . Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng ( ) ( ): 5 4 6 0, : 2 7 0− + − = − + + =P x y z Q x y z và đường thẳng 1 1: 7 3 2 − − ∆ = = − x y z . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và ∆ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20π . Bài giải: Ta có 1 7 : 3 1 2 = + ∆ = = − x t y t z t . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: 1 7 (1) 3 (2) 1 2 (3) 5 4 6 0 (4) = + = = − − + − = x t y t z t x y z Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )5 1 7 4 3 1 2 6 0 0 1;0;1+ − + − − = ⇔ = ⇒t t t t I . Ta có : ( )( ) 5 6, 3 d I Q = . Trang 6/51 Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 220 2 5.π π= ⇔ =r r R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm. Theo giả thiết: ( )( ) 2 2 330, . 3 R d I Q r = + = Vậy (S) : ( ) ( )2 22 1101 1 3 − + + − =x y z . Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0− − − =P x y z và đường thẳng : 2 1 2 = − = − = + x t d y t z t . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. Bài giải: Gọi ( );2 1; 2 :− − + ∈I t t t d là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S). Theo giả thiết : ( )( ) 2 2; 4 9 13 = + = + = R d I P r . Mặt khác: ( )( ) 1 2 2 1 2 4 2 6; 2 2 6 5 6 114 1 4 6 =− − + − − − = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + + = − tt t t d I P t t * Với 1 6 =t : Tâm 1 1 2 13; ; 6 3 6 − − I , suy ra ( ) 2 2 2 1 1 2 13: 13 6 3 6 + + + + − = S x y z . * Với 11 6 = −t : Tâm 2 11 2 1; ; 6 3 6 − I , suy ra ( ) 2 2 2 2 11 2 1: 13 6 3 6 − + + + − = S x y z . Bài tập 9: Cho điểm ( )1;0;3I và đường thẳng 1 1 1: 2 1 2 − + − = = x y zd . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho ∆IAB vuông tại I. Bài giải : Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương ( )2;1;2= u và ( )1; 1;1− ∈P d . Ta có: ( )0; 1; 2= − − IP ( ), 0; 4; 2 ⇒ = − − u IP . Suy ra: ( ) , 20d ; 3 = = u IP I d u . Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, ∆IAB vuông tại I ( )2 2 2 2 1 1 1 2 402 2d , 3 ⇒ = + = ⇔ = = =R IH I d IH IA IB R Vậy (S) : ( ) ( )2 22 401 3 9 − + + − =x y z . Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): 2 2 2 4 4 4 0+ + − − − =x y z x y z và điểm ( )4;4;0A . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Bài giải : (S) có tâm ( )2;2;2 ,I bán kính 2 3=R . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S). Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp / 4 2 3 3 = = OAR . Khoảng cách : ( )( ) ( )22 / 2; 3 d I P R R= − = . Trang 7/51 Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ( ) ( )2 2 20 0 *+ + = + + >ax by cz a b c Do (P) đi qua A, suy ra: 4 4 0+ = ⇔ = −a b b a . Lúc đó: ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2d ; 32 2 + + = = ⇒ = + + + + a b c c c I P a b c a c a c 2 2 22 3 1 = ⇒ + = ⇒ = − c a a c c c . Theo (*), suy ra ( ) : 0− + =P x y z hoặc 0.− − =x y z Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian. Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P). Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): ( )( ) 22 ; r R d I P = − Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu 2 2 2( ) : 2 3 0+ + − − =S x y z x cắt mặt phẳng (P): 2 0− =x theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). Bài giải : * Mặt cầu (S) có tâm ( )1;0;0I và bán kính 2=R . Ta có : ( )( )d , 1 2= < = ⇔I P R mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m) * Đường thẳng d qua ( )1;0;0I và vuông góc với (P) nên nhận ( )1;0;0= Pn làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình 1 : 0 0 = + = = x t d y z . + Tọa độ tâm /I đường tròn là nghiệm của hệ : ( )/ 1 2 0 0 2;0;0 0 0 2 0 = + = = ⇔ = ⇒ = = − = x t x y y I z z x . + Ta có: ( )( ), 1d I P = . Gọi r là bán kính của (C), ta có : ( )( ) 22 , 3.r R d I P = − = Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S)⇔ ( ) ; .d I R∆ = + Mặt phẳng ( )α là tiếp diện của (S) ⇔ ( )( ) ; .d I Rα = * Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao. Bài tập 1: Cho đường thẳng ( ) 1 2: 2 1 1 − − ∆ = = − x y z và và mặt cầu ( )S : 2 2 2 2 4 1 0+ + − + + =x y z x z . Số điểm chung của ( )∆ và ( )S là : A. 0.B.1.C.2.D.3. Bài giải: Đường thẳng ( )∆ đi qua ( )0;1;2M và có một vectơ chỉ phương là ( )2;1; 1= − u Mặt cầu ( )S có tâm ( )1;0; 2I − và bán kính 2.R = Trang 10/51 Đường thẳng d qua ( )0;0;5A và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương ( )3; 2;2= − Pn , có phương trình d: 3 2 2 5 x t y t z t = = − = + . Bài tập 10: Cho 2 2 2( ) : 6 6 2 3 0+ + − − + + =S x y z x y z và hai đường thẳng 1 1 1 1: ; 3 2 2 + + − ∆ = = x y z 2 1 2 : 2 2 1 − − ∆ = = x y z . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1∆ và 2∆ đồng thời tiếp xúc với (S). Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm ( )3;3; 1 , 4− =I R . Ta có: 1∆ có một vectơ chỉ phương là ( )1 3;2;2= u . 2∆ có một vectơ chỉ phương là ( )2 2;2;1= u . Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P). Do: 1 1 2 2 ( ) / / ( ) / / ∆ ⊥ ⇔ ⇒ ∆ ⊥ P n u P n u chọn [ ] ( )1 2, 2; 1;2= = − − n u u Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : 2 2 0− − + + =x y z m . Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) ( ) 5 ;( ) 4 3 + ⇔ = ⇔ = m d I P R 7 5 12 17 = ⇔ + = ⇔ = − m m m . Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : 2 2 7 0, 2 2 17 0− − + + = − − + − =x y z x y z . Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( ) 2 2 2: 2 4 6 5 0+ + + − − + =S x y z x y z , biết tiếp diện: a) qua ( )1;1;1M . b) song song với mặt phẳng (P) : 2 2 1 0+ − − =x y z . b) vuông góc với đường thẳng 3 1 2: 2 1 2 − + − = = − x y zd . Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm ( )1;2;3−I , bán kính 3=R . a) Để ý rằng, ( )∈M S . Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là ( )2; 1; 2= − − IM , có phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ): 2 1 1 2 1 0 2 2 1 0.α − − − − − = ⇔ − − + =x y z x y z b) Do mặt phẳng ( ) ( )/ /α P nên ( )α có dạng : 2 2 0+ − + =x y z m . Do ( )α tiếp xúc với (S) ( )( ) 63 d , 3 3 9 123 α = −− ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = mm I R m m . * Với 6= −m suy ra mặt phẳng có phương trình : 2 2 6 0.+ − − =x y z * Với 12=m suy ra mặt phẳng có phương trình : 2 2 12 0.+ − + =x y z c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ( )2;1; 2= − du . Do mặt phẳng ( )α ⊥ d nên ( )α nhận ( )2;1; 2= − du làm một vectơ pháp tuyến. Suy ra mặt phẳng ( )α có dạng : 2 2 0+ − + =x y z m . Trang 11/51 Do ( )α tiếp xúc với (S) ( )( ) 36 , 3 6 9 153 mm d I R m m α = −− ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = . * Với 3= −m suy ra mặt phẳng có phương trình : 2 2 3 0.+ − − =x y z * Với 15=m suy ra mặt phẳng có phương trình : 2 2 15 0.+ − + =x y z C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ? A. 2 2 2 2 0.+ + − =x y z x B. 2 2 2 2 1 0.+ − + − + =x y z x y C. ( )22 2 22 2 2 1.+ = + − + −x y x y z x D. ( )2 22 1.x y xy z+ = − − Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ? A. 2 2 2 2 0.+ + − =x y z x B. ( )22 2 22 2 2 1.+ = + − + −x y x y z x C. 2 2 2 2 2 1 0.+ + + − + =x y z x y D. ( )2 22 1 4 .+ = − + −x y xy z x Câu 3. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ? A. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 1 6.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 6.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1 6.− + − + + =x y z D. ( )2 22 3 6 .+ = − + −x y xy z x Câu 4. Cho các phương trình sau: ( )2 2 21 1;− + + =x y z ( )22 22 1 4;+ − + =x y z 2 2 2 1 0;+ + + =x y z ( ) ( )2 2 22 1 2 1 4 16.+ + − + =x y z Số phương trình là phương trình mặt cầu là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 5. Mặt cầu ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 9− + + + =S x y z có tâm là: A. ( )1; 2;0 .−I B. ( )1;2;0 .−I C. ( )1;2;0 .I D. ( )1; 2;0 .− −I Câu 6. Mặt cầu ( ) 2 2 2: 8 2 1 0+ + − + + =S x y z x y có tâm là: A. ( )8; 2;0 .−I B. ( )4;1;0 .−I C. ( )8;2;0 .−I D. ( )4; 1;0 .−I Câu 7. Mặt cầu ( ) 2 2 2: 4 1 0S x y z x+ + − + = có tọa độ tâm và bán kính R là: A. ( )2;0;0 , 3.I R = B. ( )2;0;0 , 3.I R = C. ( )0;2;0 , 3.I R = D. ( )2;0;0 , 3.I R− = Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm ( )1;2; 3I − − , bán kính 3R = là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9.x y z− + + + − = B. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 3.x y z+ + − + + = C. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9.x y z+ + − + + = D. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9.x y z+ + − + + = Câu 9. Mặt cầu ( ) ( )2 2: 2 1 4+ = − + −S x y xy z x có tâm là: A. ( )2;0;0 .−I B. ( )4;0;0 .I C. ( )4;0;0 .−I D. ( )2;0;0 .I Câu 10. Đường kính của mặt cầu ( ) ( )22 2: 1 4S x y z+ + − = bằng: A. 4. B. 2. C. 8. D. 16. Câu 11. Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là ( )1;1;0 ?−I A. 2 2 2 2 2 0.+ + − + =x y z x y B. 2 2 2 2 2 1 0.+ + + − + =x y z x y C. ( )22 2 22 2 2 1 2 .+ = + − + − −x y x y z x xy D. ( )2 22 1 4 .+ = − + −x y xy z x Câu 12. Mặt cầu ( ) :S 2 2 23 3 3 6 12 2 0+ + − + + =x y z x y có bán kính bằng: Trang 12/51 A. 7 3 . B. 2 7 3 . C. 21 3 . D. 13 3 . Câu 13. Gọi I là tâm mặt cầu ( ) ( )22 2: 2 4S x y z+ + − = . Độ dài OI (O là gốc tọa độ) bằng: A. 2. B. 4. C. 1. D. 2. ` Câu 14. Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ? A. 2 2 2 6 0.+ + − =x y z z B. 2 2 2 6 0.+ + − =x y z y C. 2 2 2 9.+ + =x y z D. 2 2 2 6 0.+ + − =x y z x Câu 15. Mặt cầu ( ) 2 2 2: 2 10 3 1 0+ + − + + + =S x y z x y z đi qua điểm có tọa độ nào sau đây? A. ( )2;1;9 . B. ( )3; 2; 4 .− − C. ( )4; 1;0 .− D. ( )1;3; 1 .− − Câu 16. Mặt cầu tâm ( )1;2; 3− −I và đi qua điểm ( )2;0;0A có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 22.+ + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 11.+ + − + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 22.− + + + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 22.− + − + − =x y z Câu 17. Cho hai điểm ( )1;0; 3−A và ( )3;2;1B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A. 2 2 2 4 2 2 0.+ + − − + =x y z x y z B. 2 2 2 4 2 2 0.+ + + − + =x y z x y z C. 2 2 2 2 6 0.+ + − − + − =x y z x y z D. 2 2 2 4 2 2 6 0.+ + − − + + =x y z x y z Câu 18. Nếu mặt cầu ( )S đi qua bốn điểm ( ) ( ) ( )2;2;2 , 4;0;2 , 4;2;0M N P và ( )4;2;2Q thì tâm I của ( )S có toạ độ là: A. ( )1; 1;0 .− − B. ( )3;1;1 . C. ( )1;1;1 . D. ( )1;2;1 . Lựa chọn đáp án A. Câu 19. Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm ( ) ( ) ( )1;0;1 , 1;0;0 , 2;1;0M N P và ( )1;1;1Q bằng: A. 3 . 2 B. 3. C. 1. D. 3 . 2 Câu 20. Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 4 0+ + − =S x y z và 4 điểm ( ) ( )1;2;0 , 0;1;0 , M N ( )1;1;1P , ( )1; 1;2−Q . Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu ( )S ? A. 2 điểm. B. 4 điểm. C. 1 điểm. D. 3 điểm. Câu 21. Mặt cầu ( )S tâm ( )1;2; 3− −I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0+ + + =P x y z có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 . 9 − + + + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 . 9 + + − + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 . 3 + + − + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 2 161 2 3 . 3 + + − + + =x y z Câu 22. Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm ( )2;1;3I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0+ + + =P x y z ? A. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 3 16.x y z− + − + − = B. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 4.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 25.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 9.+ + + + + =x y z Câu 23. Mặt cầu ( )S tâm ( )3; 3;1−I và đi qua ( )5; 2;1−A có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 23 3 1 5.− + + + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 25 2 1 5.− + + + − =x y z Trang 15/51 A. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 18.− + − + − =x y z B. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 12.− + − + − =x y z C. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 16.− + − + − =x y z D. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 9.− + − + − =x y z Câu 40. Cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q có phương trình ( ) : 2 1 0− + − =P x y z và ( ) : 2 3 0.Q x y z+ − + = Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng ( )P và tiếp xúc với mặt phẳng ( )Q tại điểm M , biết rằng M thuộc mặt phẳng ( )Oxy và có hoành độ 1=Mx , có phương trình là: A. ( ) ( ) ( )2 2 221 5 10 600.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 219 15 10 600.+ + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 221 5 10 100.− + − + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 221 5 10 600.+ + + + − =x y z Câu 41. Cho hai điểm ( )1;0;4M , ( )1;1;2N và mặt cầu ( ) 2 2 2: 2 2 2 0.+ + − + − =S x y z x y Mặt phẳng ( )P qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( )S có phương trình: A. 4 2 8 0+ + − =x y z hoặc 4 2 8 0.− − + =x y z B. 2 2 6 0+ + − =x y z hoặc 2 2 2 0.− − + =x y z C. 2 2 6 0.+ + − =x y z D. 2 2 2 0.− − + =x y z Câu 42. Cho hai điểm ( ) ( )1; 2;3 , 1;0;1A B− − và mặt phẳng ( ) : 4 0+ + + =P x y z . Phương trình mặt cầu ( )S có bán kính bằng 6 AB có tâm thuộc đường thẳng AB và ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là: A. ( ) ( ) ( )2 2 2 14 3 2 . 3 − + + + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 2 14 3 2 3 − + + + − =x y z hoặc ( ) ( ) ( )2 2 2 16 5 4 . 3 − + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 2 14 3 2 . 3 + + − + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 2 14 3 2 3 + + − + + =x y z hoặc ( ) ( ) ( )2 2 2 16 5 4 . 3 + + − + + =x y z Câu 43. Cho đường thẳng d : 1 2 3 2 1 2 − − − = = x y z và hai mặt phẳng ( )1 : 2 2 2 0;P x y z+ + − = ( )2 : 2 2 1 0P x y z+ + − = . Mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( ) ( )1 2, P P , có phương trình: A. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 9.+ + + + + =S x y z B. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 9+ + + + + =S x y z hoặc ( ) 2 2 219 16 15 9: . 17 17 17 289 + + + + + = S x y z C. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 9.− + − + − =S x y z D. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 9− + − + − =S x y z hoặc ( ) 2 2 219 16 15 9: . 17 17 17 289 + + − + − = S x y z Câu 44. Cho điểm (1;3;2)A , đường thẳng 1 4: 2 1 2 + − = = − − x y zd và mặt phẳng ( ) : 2 2 6 0− + − =P x y z . Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( )P là: A. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 1 3 2 4.S x y z− + − + + = Trang 16/51 B. 2 2 2( ) : ( 1) ( 3) ( 2) 16+ + + + − =S x y z hoặc 2 2 283 87 70 13456( ) : . 13 13 13 169 − + + + + = S x y z C. 2 2 2( ) : ( 1) ( 3) ( 2) 16− + − + + =S x y z hoặc 2 2 283 87 70 13456( ) : . 13 13 13 169 + + − + − = S x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 1 3 2 16.S x y z− + − + + = Câu 45. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 0− − + =P x y z và hai đường thẳng 1 2 1: 1 1 1 − − ∆ = = − x y z , 2 2 3: 1 1 4 − + ∆ = = x y z . Mặt cầu ( )S có tâm thuộc 1∆ , tiếp xúc với 2∆ và mặt phẳng ( )P , có phương trình: A. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 9− + + + − =x y z hoặc 2 2 211 7 5 81. 2 2 2 4 − + − + + = x y z B. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 9+ + − + + =x y z hoặc 2 2 211 7 5 81. 2 2 2 4 + + + + − = x y z C. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 9.− + + + − =x y z D. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 3.− + + + − =x y z Câu 46. Cho mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S có phương trình lần lượt là ( ) 2 2 2 2: 2 2 4 5 0; ( ) : 2 2 2 6 0+ + − + − = + + − + − − =P x y z m m S x y z x y z . Giá trị của m để ( )P tiếp xúc ( )S là: A. 1= −m hoặc 5.=m B. 1=m hoặc 5.= −m C. 1.= −m D. 5.=m Câu 47. Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 2 4 2 3 0+ + − + + − =S x y z x y z và mặt phẳng ( ) : 2 4 0+ − + =P x y z . Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại ( )3; 1;1−A và song song với mặt phẳng ( )P là: A. 3 4 1 6 . 1 = − = − + = + x t y t z t B. 1 4 2 6 . 1 = + = − − = − − x t y t z t C. 3 4 1 6 . 1 = + = − − = − x t y t z t D. 3 2 1 . 1 2 = + = − + = + x t y t z t Câu 48. Cho điểm ( )2;5;1A và mặt phẳng ( ) : 6 3 2 24 0+ − + =P x y z , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( )P . Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: A. ( ) ( ) ( )2 2 28 8 1 196.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 28 8 1 196.+ + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 216 4 7 196.+ + + + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 216 4 7 196.− + − + + =x y z Câu 49. Cho mặt phẳng ( ) : 2 5 0+ − + =P x y z và các điểm ( ) ( )0;0;4 , 2;0;0A B . Phương trình mặt cầu đi qua , , O A B và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 6.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 6.+ + + + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 6.− + + + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 6.− + − + + =x y z Trang 17/51 Câu 50. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0+ − + =P x y z và điểm ( )2; 3;0−A . Gọi B là điểm thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có bán kính bằng 2. Tọa độ điểm B là: A. ( )0;1;0 . B. ( )0; 4;0 .− C. ( )0;2;0 hoặc ( )0; 4;0 .− D. ( )0;2;0 . Câu 51. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 3 2 0,+ − + =P x y z ( ) : 2 2 0− − + =Q x y z . Phương trình mặt cầu ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại điểm ( )1; 1;1A − và có tâm thuộc mặt phẳng ( )Q là: A. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 3 7 3 56.+ + + + − =S x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 3 7 3 56.− + − + + =S x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 3 7 3 14.+ + + + − =S x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 3 7 3 14.− + − + + =S x y z Câu 52. Cho điểm (0;0;3)I và đường thẳng 1 : 2 . 2 = − + = = + x t d y t z t Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm , A B sao cho tam giác IAB vuông là: A. ( )22 2 33 . 2 + + − =x y z B. ( )22 2 83 . 3 + + − =x y z C. ( )22 2 23 . 3 + + − =x y z D. ( )22 2 43 . 3 + + − =x y z Câu 53. Cho đường thẳng 2 3: 1 1 1 + − ∆ = = − − x y z và và mặt cầu (S): 2 2 2 4 2 21 0+ + + − − =x y z x y . Số giao điểm của ( )∆ và ( )S là: A. 2. B.1. C.0. D.3. Câu 54. Cho đường thẳng 2 2 3: 2 3 2 + − + = = x y zd và mặt cầu (S) : ( )22 2 2 9+ + + =x y z . Tọa độ giao điểm của ( )∆ và ( )S là: A. ( ) ( )0;0;2 , 2;2; 3 .− −A B B. ( )2;3;2 .A C. ( )2;2; 3 .− −A D. ( )∆ và (S) không cắt nhau. Câu 55. Cho đường thẳng ( ) 1 : 2 4 7 = + ∆ = = − + x t y z t và mặt cầu ( )S : 2 2 2 2 4 6 67 0+ + − − + − =x y z x y z . Giao điểm của ( )∆ và ( )S là các điểm có tọa độ: A. ( )∆ và (S) không cắt nhau. B. ( ) ( )1;2;5 , 2;0;4 .−A B C. ( ) ( )2; 2;5 , 4;0;3 .−A B D. ( ) ( )1;2; 4 , 2;2;3 .−A B Câu 56. Cho điểm ( )1;0;0I và đường thẳng 1 1 2: 1 2 1 − − + = = x y zd . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho 4=AB là: A. ( )2 2 21 9.− + + =x y z B. ( )2 2 21 3.− + + =x y z C. ( )2 2 21 3.+ + + =x y z D. ( )2 2 21 9.+ + + =x y z Câu 57. Cho điểm ( )1;1; 2−I đường thẳng 1 3 2: . 1 2 1 + − − = = x y zd Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho 6=AB là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 27.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 27.+ + + + − =x y z Trang 20/51 Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ( )1;2;1A và ( )0;1;1B . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là: A. 2 6. B. 6. C. 2 5. D. 12. Câu 75. Cho các điểm ( )2;1; 1−A và ( )1;0;1B . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy có đường kính là: A. 2 2. B. 2 6. C. 4 2. D. 6. Câu 76. Cho các điểm ( )0;1;3A và ( )2;2;1B và đường thẳng 1 2 3: 1 1 2 − − − = = − − x y zd . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là: A. 13 17 12; ; . 10 10 5 B. 3 3; ;2 . 2 2 C. 4 2 7; ; . 3 3 3 D. 6 9 13; ; . 5 5 5 Câu 77. Cho các điểm ( )1;3;0A và ( )2;1;1B và đường thẳng 3: 2 1 1 − = = x y zd . Mặt cầu S đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm của S là: A. ( )4;5;2 . B. ( )6;6;3 . C. ( )8;7;4 . D. ( )4;1; 2 .− − Câu 78. Cho các điểm ( )1;1;3A và ( )2;2;0B và đường thẳng 2 3: 1 1 1 − − = = − x y zd . Mặt cầu S đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm S là: A. 11 23 7; ; . 6 6 6 − B. 5 7 23; ; . 6 6 6 C. 5 7 25; ; . 6 6 6 D. 1 9 19; ; . 6 6 6 Câu 79. Cho đường thẳng : 1 3 1 = = − + = x t d y t z . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là: A. ( ) ( )2 22 11 2 . 2 − + + − =x y z B. ( ) ( )2 22 11 2 . 4 + + + + =x y z C. ( )2 2 2 11 . 2 − + + =x y z D. 2 2 21 1 1 . 3 2 4 − + + − = x y z Câu 80. Cho hai đường thẳng 2 : 4 = = = x t d y t z và ' ' : 3 ' 0 x t d y t z = = − = . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là: A. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 4.− + − + − =x y z B. ( )2 2 22 4.− + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 2.− + − + − =x y z D. ( ) ( )2 2 22 1 4.+ + + + =x y z Câu 81. Cho các điểm ( )2;4;1−A và ( )2;0;3B và đường thẳng 1 2 3: 2 1 2 − + − = = − − x y zd . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D. Bán kính mặt cầu (S) bằng: A. 1169 . 4 B. 873 . 4 C. 1169 . 16 D. 967 . 2 Trang 21/51 Câu 82. Cho các điểm ( )2;4; 1−A và ( )0; 2;1−B và đường thẳng 1 2 : 2 1 = + = − = + x t d y t z t . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D. Đường kính mặt cầu ( )S bằng: A. 2 19. B. 2 17. C. 19. D. 17. Câu 83. Mặt cầu tâm ( )2;4;6I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 16.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 36.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 4.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 56.− + − + − =x y z Câu 84. Mặt cầu tâm ( )2;4;6I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 16.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 4.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 36.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 56.− + − + − =x y z Câu 85. Phương trình mặt cầu tâm ( )2;4;6I nào sau đây tiếp xúc với trục Ox: A. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 20.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 40.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 52.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 56.− + − + − =x y z Câu 86. Mặt cầu tâm ( )2;4;6I tiếp xúc với trục Oz có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 20.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 40.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 52.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 56.− + − + − =x y z Câu 87. Cho mặt cầu ( )S : ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9− + − + − =x y z . Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy): A. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9.+ + + + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9.+ + − + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9.− + + + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9.− + − + + =x y z Câu 88. Cho mặt cầu ( )S : ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 4+ + − + − =x y z . Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 4.− + + + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 4.+ + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 4.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 4.+ + − + + =x y z Câu 89. Đường tròn giao tuyến của ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 16− + − + − =S x y z khi cắt bởi mặt phẳng (Oxy) có chu vi bằng : A. 7 .π B. 2 7 .π C. 7 .π D. 14 .π Trang 22/51 D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A A B C A B D A A D A B B A B A C A D A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 A A B A C A D A B II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ? A. 2 2 2 2 0.+ + − =x y z x B. 2 2 2 2 1 0.+ − + − + =x y z x y C. ( )22 2 22 2 2 1.+ = + − + −x y x y z x D. ( )2 22 1.x y xy z+ = − − Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( )S có hai dạng là: (1) ( ) ( ) ( )2 2 2 2− + − + − =x a y b z c R ; (2) 2 2 2 2 2 2 0+ + − − − + =x y z ax by cz d với 2 2 2 0+ + − >a b c d . Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên. Lựa chọn đáp án A. Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ? A. 2 2 2 2 0.+ + − =x y z x B. ( )22 2 22 2 2 1.+ = + − + −x y x y z x C. 2 2 2 2 2 1 0.+ + + − + =x y z x y D. ( )2 22 1 4 .+ = − + −x y xy z x Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( )S có hai dạng là : (1) ( ) ( ) ( )2 2 2 2− + − + − =x a y b z c R ; (2) 2 2 2 2 2 2 0+ + − − − + =x y z ax by cz d với 2 2 2 0+ + − >a b c d . Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên. Ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy nhiên ở đáp án A thì phương trình: ( )22 2 2 2 2 22 2 2 1 2 2 1 0+ = + − + − ⇔ + + − − + =x y x y z x x y z xy x không đúng dạng phương trình mặt cầu. Lựa chọn đáp án A. Câu 3. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ? A. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 1 6.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 6.− + − + − =x y z Trang 25/51 Mặt cầu ( )S có tâm ( ) ( )0;0;2 0;0;2 2.I OI OI⇒ = ⇒ = Lựa chọn đáp án A. Câu 14. Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ? A. 2 2 2 6 0.+ + − =x y z z B. 2 2 2 6 0.+ + − =x y z y C. 2 2 2 9.+ + =x y z D. 2 2 2 6 0.+ + − =x y z x Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm ( )0;0;0O và bán kính R=3 có phương trình: ( ) 2 2 2: 9.+ + =S x y z Lựa chọn đáp án A. Câu 15. Mặt cầu ( ) 2 2 2: 2 10 3 1 0+ + − + + + =S x y z x y z đi qua điểm có tọa độ nào sau đây? A. ( )2;1;9 . B. ( )3; 2; 4 .− − C. ( )4; 1;0 .− D. ( )1;3; 1 .− − Hướng dẫn giải: Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu. Tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc mặt cầu. Lựa chọn đáp án A. Câu 16. Mặt cầu tâm ( )1;2; 3− −I và đi qua điểm ( )2;0;0A có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 22.+ + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 11.+ + − + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 22.− + + + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 22.− + − + − =x y z Hướng dẫn giải: Ta có : ( )3; 2;3 22= − ⇒ = IA IA . Vậy ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 22+ + − + + =S x y z . Lựa chọn đáp án A. Câu 17. Cho hai điểm ( )1;0; 3−A và ( )3;2;1B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A. 2 2 2 4 2 2 0.+ + − − + =x y z x y z B. 2 2 2 4 2 2 0.+ + + − + =x y z x y z C. 2 2 2 2 6 0.+ + − − + − =x y z x y z D. 2 2 2 4 2 2 6 0.+ + − − + + =x y z x y z Hướng dẫn giải: Ta có ( )2;2;4 2 6= ⇒ = AB AB . Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB nên ( )2;1; 1−I , bán kính 6 2 ABR = = . Lựa chọn đáp án A. Câu 18. Nếu mặt cầu ( )S đi qua bốn điểm ( ) ( ) ( )2;2;2 , 4;0;2 , 4;2;0M N P và ( )4;2;2Q thì tâm I của ( )S có toạ độ là: A. ( )1; 1;0 .− − B. ( )3;1;1 . C. ( )1;1;1 . D. ( )1;2;1 . Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt cầu (S) : 2 2 2 2 2 2 0+ + − − − + =x y z ax by cz d , ( )2 2 2 0a b c d+ + − > . Do ( ) ( )2;2;2M S∈ ⇔ 4 4 4 12− − − + = −a b c d (1) ( ) ( )4;0;2 8 4 20N S a c d∈ ⇔ − − + = − (2) ( ) ( )4;2;0P S∈ ⇔ 8 4 20a b d− − + = − (3) ( ) ( )4;2;2 8 4 4 24Q S a b c d∈ ⇔ − − − + = − (4) Trang 26/51 Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có 1, 2, 1, 8a b c d= = = = − , suy ra mặt cầu (S) có tâm ( )1;2;1I Lựa chọn đáp án A. Câu 19. Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm ( ) ( ) ( )1;0;1 , 1;0;0 , 2;1;0M N P và ( )1;1;1Q bằng: A. 3 . 2 B. 3. C. 1. D. 3 . 2 Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt cầu ( )S có dạng 2 2 2 2 2 2 0+ + − − − + =x y z ax by cz d với 2 2 2 0+ + − >a b c d . Do ( )S đi qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình: 3 22 2 2 12 1 2 4 2 5 1 2 2 2 3 2 2 = − − + = − − + = − = ⇔ − − + = − = − − − + = − = a a c d a d b a b d ca b c d d . Vậy 2 2 23 1 1 32 . 2 2 2 2 = + + − = R Lựa chọn đáp án A. Câu 20. Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 4 0+ + − =S x y z và 4 điểm ( ) ( )1;2;0 , 0;1;0 , M N ( )1;1;1P , ( )1; 1;2−Q . Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu ( )S ? A. 2 điểm. B. 4 điểm. C. 1 điểm. D. 3 điểm. Hướng dẫn giải: Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu ( )S , ta thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn. Lựa chọn đáp án A. Câu 21. Mặt cầu ( )S tâm ( )1;2; 3− −I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0+ + + =P x y z có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 . 9 − + + + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 . 9 + + − + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 . 3 + + − + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 2 161 2 3 . 3 + + − + + =x y z Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( )S tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng ( ) ( )( ) 2; . 3 ⇔ = ⇔ =P d I P R R ( )⇒ S : ( ) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 . 9 + + − + + =x y z Lựa chọn đáp án A. Câu 22. Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm ( )2;1;3I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0+ + + =P x y z ? A. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 3 16.x y z− + − + − = B. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 4.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 25.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 9.+ + + + + =x y z Hướng dẫn giải: Do mặt cầu ( );S I R tiếp xúc với mặt phẳng ( ) ( )( ); 4⇔ = ⇔ =P d I P R R . Trang 27/51 ( )⇒ S : ( ) ( ) ( )2 2 22 1 3 16.x y z− + − + − = Lựa chọn đáp án A. Câu 23. Mặt cầu ( )S tâm ( )3; 3;1−I và đi qua ( )5; 2;1−A có phương trình: A. ( ) ( ) ( )2 2 23 3 1 5.− + + + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 25 2 1 5.− + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 23 3 1 5.− + + + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 25 2 1 5.− + + + − =x y z Hướng dẫn giải: Bán kính mặt cầu là: 2 2 22 1 0 5= = + + =R IA Vậy phương trình của mặt cầu là: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 3 3 1 5− + + + − =S x y z . Lựa chọn đáp án A. Câu 24. Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với ( ) ( )1;3;2 , 3;5;0A B là: A. 2 2 2( 2) ( 4) ( 1) 3.− + − + − =x y z B. 2 2 2( 2) ( 4) ( 1) 2.− + − + − =x y z C. 2 2 2( 2) ( 4) ( 1) 2.+ + + + + =x y z D. 2 2 2( 2) ( 4) ( 1) 3.+ + + + + =x y z Hướng dẫn giải: Trung điểm của đoạn thẳng AB là ( )2;4;1I , 2 2 22 2 ( 2) 2 3AB = + + − = Mặt cầu đường kính AB có tâm ( )2;4;1I , bán kính 3 2 = = ABR Vậy phương trình của mặt cầu là: 2 2 2( 2) ( 4) ( 1) 3.− + − + − =x y z [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có: 2 2 22 2 2 ( 2) 2 3 3.= = + + − = ⇔ =R AB R ⇒ Các đáp án B và C bị loại. Với đáp án D thì: ( )2 2 2(1 2) (3 4) (2 1) 3 67 3+ + + + + = ⇔ = ⇒ ∉A S ⇒ Đáp án D bị loại. Lựa chọn đáp án A. Câu 25. Cho ( )1;2;4I và mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0+ + − =P x y z . Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P , có phương trình là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 4 4.x y z− + + + − = B. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 4 1.x y z+ + + + + = C. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 4 4.x y z− + − + − = D. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 4 3.x y z− + − + − = Hướng dẫn giải: Bán kính mặt cầu là : ( )( ) 2 2 2 2.1 2.2 4 1 , 3 2 2 1 R d I α + + − = = = + + . Phương trình mặt cầu là: 2 2 2( 1) ( 2) ( 4) 3x y z− + − + − = . Lựa chọn đáp án A. Câu 26. Cho đường thẳng 1 1: 1 2 1 − + = = − x y zd và điểm ( )5;4; 2−A . Phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng ( )Oxy là: A. ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 64.− + + + =S x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 1 9.+ + − + =S x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 1 65.+ + + + =S x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 1 ( 2) 65.+ + − + + =S x y z Hướng dẫn giải: Trang 30/51 Phương trình mặt cầu tâm ( )1; 2;3A − , bán kính 5 2=R là ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: –1 2 – 3 50S x y z+ + + = . Lựa chọn đáp án C. Câu 32. Cho đường thẳng d: 1 1 3 1 1 − += =x y z và mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0+ − + =P x y z . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với ( )P và đi qua điểm ( )1; 1;1A − là: A. ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 1.x y z+ + + + + = B. ( ) ( )2 224 1 1.x y z− + + − = C. ( ) ( )2 2 21 1 1.x y z− + + + = D. ( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 1.x y z− + − + − = Hướng dẫn giải: Gọi I là tâm của (S). ( )1 3 ; 1 ;I d I t t t∈ ⇒ + − + . Bán kính 211 2 1= = − +R IA t t . Mặt phẳng ( )P tiếp xúc với ( )S nên 5 3( , ( )) 3 + = = td I P R . ⇔ 237 24 0− =t t ⇔ 0 1 24 77 37 37 = ⇒ = = ⇒ = t R t R . Vì ( )S có bán kính nhỏ nhất nên chọn 0, 1= =t R . Suy ra ( )1; 1;0I − . Vậy phương trình mặt cầu (S): ( ) ( )2 2 21 1 1x y z− + + + = . Lựa chọn đáp án C. Câu 33. Phương trình mặt cầu có tâm ( )1;2;3I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )Oxz là: A. 2 2 2 2 4 6 10 0.+ + + + + − =x y z x y z B. 2 2 2 2 4 6 10 0.+ + − − − + =x y z x y z C. 2 2 2 2 4 6 10 0.+ + − − + + =x y z x y z D. 2 2 2 2 4 6 10 0.+ + + + + − =x y z x y z Hướng dẫn giải: Gọi M là hình chiếu của ( )1;2;3I lên mặt phẳng ( )Oxz , ta có: ( )1;0;3M . ( )0; 2;0 2IM R IM= − ⇒ = = là bán kính mặt cầu cần tìm. Vậy phương trình mặt cầu là ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 4x y z− + − + − = Hay 2 2 2 2 4 6 10 0.+ + − − − + =x y z x y z Lựa chọn đáp án B. Câu 34. Mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu tâm ( )1; 3;2−I tại điểm ( )7; 1;5−M có phương trình là: A. 6 2 3 55 0.+ + + =x y z B. 3 22 0.+ + − =x y z C. 6 2 3 55 0.+ + − =x y z D.3 22 0.+ + + =x y z Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( )S có tâm ( )1; 3;2−I Vì mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm M nên mặt phẳng ( )P qua ( )7; 1;5−M và có vectơ pháp tuyến ( )6;2;3= = n IM Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 6 2 3 55 0+ + − =P x y z . Lựa chọn đáp án C. Trang 31/51 Lưu ý : Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm ( )7; 1;5M − nên điểm M thuộc mặt phẳng cần tìm hơn nữa khoảng cách từ tâm ( )1; 3;2I − đến mặt phẳng cần tìm bằng IM cũng chính là bán kính mặt cầu. Từ các nhận xét đó để tìm ra đáp án của bài này ta có thể làm như sau: B1: Thay tọa độ M vào các đáp án để loại ra mặt phẳng không chứa M B2: Tính IM và ( )( );d I P và kết luận Câu 35. Cho mặt cầu 2 2 2( ) : 2 4 6 2 0+ + − − − − =S x y z x y z và mặt phẳng ( ) : 4 3 12 10 0α + − + =x y z . Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( )α có phương trình là: A. 4 3 12 78 0.+ − + =x y z B. 4 3 12 78 0+ − − =x y z hoặc 4 3 12 26 0.+ − + =x y z C. 4 3 12 26 0.+ − − =x y z D. 4 3 12 78 0+ − + =x y z hoặc 4 3 12 26 0.+ − − =x y z Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S) có tâm ( )1;2;3I và bán kính 2 2 21 2 3 2 4= + + + =R Gọi ( )β là mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( )α . Vì ( ) / /( ) ( ) : 4 3 12 0 (D 10)x y z Dβ α β⇒ + − + = ≠ Mặt phẳng ( )β tiếp xúc với mặt cầu ( )S ( )( ) ( )22 2 4.1 3.2 12.3 , 4 4 3 12 β + − + ⇔ = ⇔ = + + − D d I R 78 26 52 26 = ⇔ − = ⇔ = − D D D ( thỏa điều kiện) Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4 3 12 78 0β + − + =x y z hoặc ( ) : 4 3 12 26 0β + − − =x y z . Lựa chọn đáp án D. Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học bài toán được thì ta có thể dự đoán được có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 36. Cho mặt cầu ( ) ( )2 2 2( ) : 2 1 14S x y z− + + + = . Mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại A và B ( 0)<Az . Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của ( )S tại B : A. 2 3 9 0.− − + =x y z B. 2 3 9 0.− − − =x y z C. 2 3 0.− − − =x y z D. 2 3 0.− + + =x y z Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S) có tâm ( )2; 1;0−I Vì ( )0;0;∈ ⇒ AA Oz A z ( 0)<Az ( ) ( ) ( )2 2 2 20 2 0 1 14 9 3A A AA S z z z∈ ⇒ − + + + = ⇒ = ⇒ = − Nên mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại ( )0;0; 3−A và ( )0;0;3B Gọi ( )α là tiếp diện của mặt cầu ( )S tại B . Mặt phẳng ( )α qua ( )0;0;3B và có vectơ pháp tuyến ( )2;1;3= = − n IB Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 2 3 9 0.α − − + =x y z Lựa chọn đáp án A. Câu 37. Cho 4 điềm ( ) ( ) ( )3; 2; 2 , 3;2;0 , 0;2;1A B C− − và ( )1;1;2D − . Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( )BCD có phương trình là: A. ( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 14.x y z− + + + + = B. ( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 14.x y z+ + − + − = Trang 32/51 C. ( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 14.x y z+ + − + − = D. ( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 14.x y z− + + + + = Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( )BCD đi qua ( )3;2;0B và có vectơ pháp tuyến ( ), 1;2;3 = = n BC BD ( ) : 2 3 7 0⇒ + + − =BCD x y z Vì mặt cầu ( )S có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( )BCD nên bán kính ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2. 2 3. 2 7 , 14 1 2 3 R d A BCD + − + − − = = = + + . Vậy phương trình mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 3 2 2 14.S x y z− + + + + = Lựa chọn đáp án D. Câu 38. Cho mặt phẳng ( ) : 2 3 2 0+ + − =P x y z . Mặt cầu ( )S có tâm I thuộc trục Oz, bán kính bằng 2 14 và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình: A. ( )22 2 23 7 + + − =x y z hoặc ( )22 2 24 . 7 + + − =x y z B. ( )22 2 21 7 + + − =x y z hoặc ( )22 2 22 . 7 + + + =x y z C. 2 2 2 2 7 + + =x y z hoặc ( )22 2 24 . 7 + + − =x y z D. 2 2 2 2 7 + + =x y z hoặc ( )22 2 21 . 7 + + − =x y z Hướng dẫn giải: Vì tâm ( )0;0;∈ ⇒I Oz I z Mặt cầu ( )S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P ( )( ) 2 2 2 2.0 3.0 1. 2 2, 142 3 1 β + + − ⇔ = ⇔ = + + z d I R ( ) ( ) 0 0;0;0 2 2 4 0;0;4 = ⇒ ⇔ − = ⇔ = ⇒ z I z z I Vậy phương trình mặt cầu . ( ) 2 2 2 2: 7 + + =S x y z hoặc ( ) ( )22 2 2: 4 . 7 + + − =S x y z Lựa chọn đáp án C. Câu 39. Cho đường thẳng 5 7: 2 2 1 + − = = − x y zd và điểm ( )4;1;6I . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S tâm I tại hai điểm A, B sao cho 6=AB . Phương trình của mặt cầu ( )S là: A. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 18.− + − + − =x y z B. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 12.− + − + − =x y z C. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 16.− + − + − =x y z D. 2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 9.− + − + − =x y z Hướng dẫn giải: ( )2; 2;1= − a là vectơ chỉ phương của d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d là trung điểm của 3⇒ =AB HA Ta có : . 0 ∈ = H d IH a ( )5 2 ;7 2 ; t∈ ⇒ − + −H d H t t Trang 35/51 D. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 9− + − + − =S x y z hoặc ( ) 2 2 219 16 15 9: . 17 17 17 289 + + − + − = S x y z Hướng dẫn giải: ( )2 1; 2;2 3∈ ⇒ + + +I d I t t t Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( )( ) ( )( )1 2; ;⇔ =d I P d I P 08 9 9 9 8 9 9 9 188 9 9 9 17 =+ = + ⇔ + = + ⇔ ⇔ − − = − − = tt t t t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 1;2;3 ; 3 : 1 2 3 9.= ⇒ = ⇒ − + − + − =t I R S x y z ( ) 2 2 218 19 16 15 3 19 16 15 9; ; ; : . 17 17 17 17 17 17 17 17 289 = − ⇒ − = ⇒ + + − + − = t I R S x y z Lựa chọn đáp án D. Câu 44. Cho điểm (1;3;2)A , đường thẳng 1 4: 2 1 2 + − = = − − x y zd và mặt phẳng ( ) : 2 2 6 0− + − =P x y z . Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( )P là: A. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 1 3 2 4.S x y z− + − + + = B. 2 2 2( ) : ( 1) ( 3) ( 2) 16+ + + + − =S x y z hoặc 2 2 283 87 70 13456( ) : . 13 13 13 169 − + + + + = S x y z C. 2 2 2( ) : ( 1) ( 3) ( 2) 16− + − + + =S x y z hoặc 2 2 283 87 70 13456( ) : . 13 13 13 169 + + − + − = S x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 2( ) : 1 3 2 16.S x y z− + − + + = Hướng dẫn giải: d có phương trình tham số 1 2 4 2 = − + = − = − x t y t z t Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên ( )1 2 ;4 ; 2I t t t− + − − Theo đề bài, (S) có bán kính ( )( );= =R IA d I P . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 2 6 2 2 1 2 2 2 2 1 t t t t t t − + − − − − ⇒ − + − + + = + + 2 4 16 9 2 9 3 − ⇔ − + = t t t ( ) ( )22 2 1 9 9 2 9 4 16 65 110 175 0 35 13 t t t t t t t = ⇔ − + = − ⇔ + − = ⇔ = − . Với ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1;3; 2 , 4 ( ) : 1 3 2 16.t I R S x y z= ⇒ − = ⇒ − + − + + = Với 35 83 87 70 116; ; ; 13 13 13 13 13 = − ⇒ − = t I R 2 2 283 87 70 13456( ) : . 13 13 13 169 ⇒ + + − + − = S x y z Lựa chọn đáp án C. Trang 36/51 Câu 45. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 0− − + =P x y z và hai đường thẳng 1 2 1: 1 1 1 − − ∆ = = − x y z , 2 2 3: 1 1 4 − + ∆ = = x y z . Mặt cầu ( )S có tâm thuộc 1∆ , tiếp xúc với 2∆ và mặt phẳng ( )P , có phương trình: A. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 9− + + + − =x y z hoặc 2 2 211 7 5 81. 2 2 2 4 − + − + + = x y z B. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 9+ + − + + =x y z hoặc 2 2 211 7 5 81. 2 2 2 4 + + + + − = x y z C. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 9.− + + + − =x y z D. 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 3.− + + + − =x y z Hướng dẫn giải: 1 2 : 1 = + ∆ = = − x t y t z t ; 2∆ đi qua điểm (2;0; 3)−A và có vectơ chỉ phương 2 (1;1;4)= a . Giả sử 1(2 ; ;1 )+ − ∈∆I t t t là tâm và R là bán kính của mặt cầu ( )S . Ta có: ( ; ;4 )= − AI t t t ⇒ 2, (5 4;4 5 ;0) = − − AI a t t ⇒ ( ) 2 2 2 , 5 4; 3 − ∆ = = AI a td I a 2 2 2(1 ) 10 10( , ( )) 31 4 4 + − − − + + = = + + t t t td I P . ( )S tiếp xúc với 2∆ và ( )P ⇔ 2( , ) ( , ( ))∆ =d I d I P ⇔ 5 4 10− = +t t ⇔ 7 2 1 = = − t t . • Với 7 2 =t ⇒ 11 7 5; ; 2 2 2 − I , 9 2 =R ⇒( ) 2 2 211 7 5 81: 2 2 2 4 − + − + + = S x y z . • Với 1= −t ⇒ (1; 1;2), 3− =I R ⇒ ( ) 2 2 2: ( 1) ( 1) ( 2) 9− + + + − =S x y z . Lựa chọn đáp án A. Câu 46. Cho mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S có phương trình lần lượt là ( ) 2 2 2 2: 2 2 4 5 0; ( ) : 2 2 2 6 0+ + − + − = + + − + − − =P x y z m m S x y z x y z . Giá trị của m để ( )P tiếp xúc ( )S là: A. 1= −m hoặc 5.=m B. 1=m hoặc 5.= −m C. 1.= −m D. 5.=m Hướng dẫn giải: 2 2 2( ) : 2 2 2 6 0+ + − + − − =S x y z x y z có tâm ( )1; 1;1−I và bán kính 3=R . ( )P tiếp xúc ( )S ( )( );⇔ =d I P R 2 2 2 2 2 2.1 2.( 1) 1.1 4 5 3 4 4 9 2 2 1 + − + − + − ⇔ = ⇔ − + = + + m m m m 2 2 2 4 4 9 1 4 5 0 . 54 4 9 − + = = − ⇔ ⇔ − − = ⇔ =− + = − m m m m m mm m Lựa chọn đáp án A. Trang 37/51 Câu 47. Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 2 4 2 3 0+ + − + + − =S x y z x y z và mặt phẳng ( ) : 2 4 0+ − + =P x y z . Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại ( )3; 1;1−A và song song với mặt phẳng ( )P là: A. 3 4 1 6 . 1 = − = − + = + x t y t z t B. 1 4 2 6 . 1 = + = − − = − − x t y t z t C. 3 4 1 6 . 1 = + = − − = − x t y t z t D. 3 2 1 . 1 2 = + = − + = + x t y t z t Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( )S có tâm ( ) ( )1; 2; 1 2;1;2− − ⇒ = I IA Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại 7 2 1 = = − t t và song song với mặt phẳng ( )P nên đường thẳng d có vettơ chỉ phương ( ) ( ), 4; 6; 1 = = − − d Pa n IA Vậy phương trình đường thẳng 3 4 : 1 6 . 1 = + = − − = − x t d y t z t Lựa chọn đáp án A. Câu 48. Cho điểm ( )2;5;1A và mặt phẳng ( ) : 6 3 2 24 0+ − + =P x y z , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( )P . Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: A. ( ) ( ) ( )2 2 28 8 1 196.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 28 8 1 196.+ + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 216 4 7 196.+ + + + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 216 4 7 196.− + − + + =x y z Hướng dẫn giải: Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P . Suy ra 2 6 : 5 3 1 2 = + = + = − x t d y t z t Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên ( )P nên ( )= ∩H d P . Vì ∈H d nên ( )2 6 ;5 3 ;1 2+ + −H t t t . Mặt khác, ( )∈H P nên ta có: ( ) ( ) ( )6 2 6 3 5 3 2 1 2 24 0 1+ + + − − + = ⇔ = −t t t t Do đó, ( )4;2;3−H . Gọi ,I R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu. Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 24 784 14π π= ⇒ =R R . Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại H nên ( )⊥ ⇒ ∈IH P I d . Do đó tọa độ điểm I có dạng ( )2 6 ;5 3 ;1 2+ + −I t t t , với 1≠ −t . Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 2 6 3 5 3 2 1 2 24 114( , ( )) 14 6 3 ( 2) 13 14 2 26 3 2 14 + + + − − + === + + −⇔ ⇔ ⇔ == − < − < <+ + − < t t t t d I P tt AI tt t t Trang 40/51 Câu 54. Cho đường thẳng 2 2 3: 2 3 2 + − + = = x y zd và mặt cầu (S) : ( )22 2 2 9+ + + =x y z . Tọa độ giao điểm của ( )∆ và ( )S là: A. ( ) ( )0;0;2 , 2;2; 3 .− −A B B. ( )2;3;2 .A C. ( )2;2; 3 .− −A D. ( )∆ và (S) không cắt nhau. Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình: ( ) ( ) 22 2 2 2 2 3 0 2;2; 3 .3 2 2 9 = − + = + ⇒ = ⇒ − − = − + + + + = x t y t t Az t x y z Lựa chọn đáp án C. Câu 55. Cho đường thẳng ( ) 1 : 2 4 7 = + ∆ = = − + x t y z t và mặt cầu ( )S : 2 2 2 2 4 6 67 0+ + − − + − =x y z x y z . Giao điểm của ( )∆ và ( )S là các điểm có tọa độ: A. ( )∆ và (S) không cắt nhau. B. ( ) ( )1;2;5 , 2;0;4 .−A B C. ( ) ( )2; 2;5 , 4;0;3 .−A B D. ( ) ( )1;2; 4 , 2;2;3 .−A B Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1;2; 42 4 7 1 2;2;3 2 4 6 67 0 = + = ⇒ −= ⇒ = − + = ⇒ + + − − + − = x t t Ay z t t B x y z x y z Lựa chọn đáp án D. Câu 56. Cho điểm ( )1;0;0I và đường thẳng 1 1 2: 1 2 1 − − + = = x y zd . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho 4=AB là: A. ( )2 2 21 9.− + + =x y z B. ( )2 2 21 3.− + + =x y z C. ( )2 2 21 3.+ + + =x y z D. ( )2 2 21 9.+ + + =x y z Hướng dẫn giải: Đường thẳng ( )d đi qua ( )1; 1; 2−M và có vectơ chỉ phương ( )1;2;1= u . Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có: ( ) , ; 5 = = = u MI IH d I AB u 2 2 2 9 2 ⇒ = + = ABR IH . Vậy phương trình mặt cầu: ( )2 2 21 9.− + + =x y z Lựa chọn đáp án A. Trang 41/51 Câu 57. Cho điểm ( )1;1; 2−I đường thẳng 1 3 2: . 1 2 1 + − − = = x y zd Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho 6=AB là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 27.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 27.+ + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 24.− + − + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 54.− + − + + =x y z Hướng dẫn giải: Đường thẳng ( )d đi qua ( )1; 3;2−M và có vectơ chỉ phương ( )1;2;1= u . Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : ( ) , ; 18 = = = u MI IH d I AB u 2 2 2 27 2 ⇒ = + = ABR IH . Vậy phương trình mặt cầu: ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 27.− + − + + =x y z Lựa chọn đáp án A. Câu 58. Cho điểm ( )1;0;0I và đường thẳng 1 1 2: 1 2 1 − − + = = x y zd . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là: A. ( )2 2 21 12.− + + =x y z B. ( )2 2 21 10.− + + =x y z C. ( )2 2 21 8.+ + + =x y z D. ( )2 2 21 16.− + + =x y z Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua ( )1; 1; 2−M và có vectơ chỉ phương ( )1;2;1= u . Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : ( ) , ; 5 = = = u MI IH d I AB u 2 2 2 10 2 ⇒ = + = ABR IH . Vậy phương trình mặt cầu là : ( )2 2 21 10.− + + =x y z Lựa chọn đáp án B. Câu 59. Cho điểm ( )1;0;0I và đường thẳng 1 : 1 2 2 = + = + = − + x t d y t z t . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là: A. ( )2 2 2 201 . 3 x y z+ + + = B. ( )2 2 2 201 . 3 x y z− + + = C. ( )2 2 2 161 . 4 − + + =x y z D. ( )2 2 2 51 . 3 − + + =x y z Hướng dẫn giải: Đường thẳng∆ đi qua ( )1;1; 2= −M và có vectơ chỉ phương ( )1;2;1= u Ta có ( )0; 1;2= − MI và ( ), 5; 2; 1 = − − u MI Trang 42/51 Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : ( ) , ; 5 = = = u MI IH d I AB u . Xét tam giác IAB, có 3 2 2 15. 2 33 = ⇒ = = IHIH R R Vậy phương trình mặt cầu là: ( )2 2 2 201 . 3 x y z− + + = Lựa chọn đáp án B. Câu 60. Cho các điểm ( )1;1; 2−I và đường thẳng 1 : 3 2 2 = − + = + = + x t d y t z t . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 3.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 9.+ + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 9.− + − + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 36.− + − + + =x y z Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua ( )1; 3;2−M và có vectơ chỉ phương ( )1;2;1= u . Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : ( ) , ; 18 = = = u MI IH d I AB u 2 2 2 36 2 ⇒ = + = ABR IH . Vậy phương trình mặt cầu là: ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 36.− + − + + =x y z Lựa chọn đáp án D. Câu 61. Cho điểm ( )1;1; 2−I đường thẳng 1 3 2: . 1 2 1 + − − = = x y zd Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 24.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 24.+ + + + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 18− + − + + =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 18.+ + + + − =x y z Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua ( )1; 3;2−M và có vectơ chỉ phương ( )1;2;1= u . Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : ( ) , ; 18 = = = u MI IH d I AB u . 3 2. 2 6 2 3 ⇒ = ⇒ = = IHIH R R . Vậy phương trình mặt cầu là : ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 24.− + − + + =x y z Lựa chọn đáp án A. Câu 62. Cho điểm ( )1;1; 2−I đường thẳng 1 3 2: 1 2 1 + − − = = x y zd . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho 30= oIAB là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 72.− + − + + =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 36.+ + + + − =x y z Trang 45/51 Câu 70. Gọi (S) là mặt cầu có tâm ( )1; 3;0−I và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều. Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S): A. ( )1; 3;2 3 .− − B. ( )3; 3;2 2 .− C. ( )3; 3; 2 2 .− − D. ( )2; 1;1 .− Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của ( )1; 3;0−I trên Ox ( )1;0;0⇒ H ( ); 3⇒ = =IH d I Ox 3 2. 2 3 2 3 ⇒ = ⇒ = = IHIH R R Vậy phương trình mặt cầu là: ( ) ( )2 2 21 3 12− + + + =x y z ( ) ( )2; 1;1 .⇒ − ∉ S Lựa chọn đáp án D. Câu 71. Cho các điểm ( )1;0;0−I và đường thẳng 2 1 1: 1 2 1 − − − = = x y zd . Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và tiếp xúc d là: A. ( )2 2 21 5.+ + + =x y z B. ( )2 2 21 5.− + + =x y z C. ( )2 2 21 10.+ + + =x y z D. ( )2 2 21 10.− + + =x y z Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua ( )2;1;1I và có một vectơ chỉ phương : ( )1;2;1= u ( ) , ; 5 ⇒ = = u MI d I d u Phương trình mặt cầu là: ( )2 2 21 5.+ + + =x y z Lựa chọn đáp án A. Câu 72. Cho điểm ( )1;7;5I và đường thẳng 1 6: 2 1 3 − − = = − x y zd . Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là: A. ( ) ( ) ( )2 2 21 7 5 2018.− + − + − =x y z B. ( ) ( ) ( )2 2 21 7 5 2017.− + − + − =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 21 7 5 2016.− + − + − =x y z D. ( ) ( ) ( )2 2 21 7 5 2019.− + − + − =x y z Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của ( )1;7;5I trên d ( )0;0; 4⇒ −H ( ); 2 3⇒ = =IH d I d 2. 8020 2 ∆ ∆ = ⇒ = =AIB AIB SIH ABS AB IH 2 2 2 2017 2 ⇒ = + = ABR IH Vậy phương trình mặt cầu là: ( ) ( ) ( )2 2 21 7 5 2017.− + − + − =x y z Lựa chọn đáp án B. Câu 73. Cho các điểm ( )1;3;1A và ( )3;2;2B . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz có đường kính là: A. 14. B. 2 14. C. 2 10. D. 2 6. Hướng dẫn giải: Gọi ( )0;0;I t trên Oz vì =IA IB ( )3 0;0;3⇒ = ⇒t I 14⇒ = = ⇒R IA đường kính là: 2 14 . Lựa chọn đáp án B. Trang 46/51 Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ( )1;2;1A và ( )0;1;1B . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là: A. 2 6. B. 6. C. 2 5. D. 12. Hướng dẫn giải: Gọi ( );0;0I t trên Ox. Vì =IA IB ( )2 2;0;0⇒ = ⇒t I 6⇒ = = ⇒R IA đường kính bằng 2 6 . Lựa chọn đáp án A. Câu 75. Cho các điểm ( )2;1; 1−A và ( )1;0;1B . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy có đường kính là: A. 2 2. B. 2 6. C. 4 2. D. 6. Hướng dẫn giải: Gọi ( )0; ;0I t trên Oy vì =IA IB ( )2 0;2;0⇒ = ⇒t I 6⇒ = = ⇒R IA đường kính bằng 2 6 . Lựa chọn đáp án A. Câu 76. Cho các điểm ( )0;1;3A và ( )2;2;1B và đường thẳng 1 2 3: 1 1 2 − − − = = − − x y zd . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là: A. 13 17 12; ; . 10 10 5 B. 3 3; ;2 . 2 2 C. 4 2 7; ; . 3 3 3 D. 6 9 13; ; . 5 5 5 Hướng dẫn giải: Gọi ( )1 ;2 ;3 2+ − −I t t t trên d vì =IA IB 3 13 17 12; ; . 10 10 10 5 ⇒ = ⇒ t I Lựa chọn đáp án A. Câu 77. Cho các điểm ( )1;3;0A và ( )2;1;1B và đường thẳng 3: 2 1 1 − = = x y zd . Mặt cầu S đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm của S là: A. ( )4;5;2 . B. ( )6;6;3 . C. ( )8;7;4 . D. ( )4;1; 2 .− − Hướng dẫn giải: Gọi ( )2 ;3 ;+I t t t trên d vì =IA IB ( )4 8;7;4 .⇒ = ⇒t I Lựa chọn đáp án C. Câu 78. Cho các điểm ( )1;1;3A và ( )2;2;0B và đường thẳng 2 3: 1 1 1 − − = = − x y zd . Mặt cầu S đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm S là: A. 11 23 7; ; . 6 6 6 − B. 5 7 23; ; . 6 6 6 C. 5 7 25; ; . 6 6 6 D. 1 9 19; ; . 6 6 6 Hướng dẫn giải: Gọi ( );2 ;3− +I t t t trên d vì =IA IB 11 11 23 7; ; . 6 6 6 6 − ⇒ = − ⇒ t I Lựa chọn đáp án A. Trang 47/51 Câu 79. Cho đường thẳng : 1 3 1 = = − + = x t d y t z . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là: A. ( ) ( )2 22 11 2 . 2 − + + − =x y z B. ( ) ( )2 22 11 2 . 4 + + + + =x y z C. ( )2 2 2 11 . 2 − + + =x y z D. 2 2 21 1 1 . 3 2 4 − + + − = x y z Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ); 1 3 ;1 ; ';0;0− + ∈ ∈A t t d B t Ox ( )' ;1 3 ; 1 ,⇒ = − − − AB t t t ( ) ( )1;3;0 , 1;0;0 .= = du i Ta có: . 0 1' 3. 0 = ⇒ = = = dAB u t t AB i và 2 2 21 1 1 1 . 2 3 2 4 = ⇒ − + + − = R x y z Lựa chọn đáp án C. Câu 80. Cho hai đường thẳng 2 : 4 = = = x t d y t z và ' ' : 3 ' 0 x t d y t z = = − = . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là: A. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 4.− + − + − =x y z B. ( )2 2 22 4.− + + =x y z C. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 2.− + − + − =x y z D. ( ) ( )2 2 22 1 4.+ + + + =x y z Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( )2 ; ;4 ; ';3 ';0 '∈ − ∈A t t d B t t d ( )' 2 ;3 ' ; 4 ,⇒ = − − − − AB t t t t ( ) ( )'2;1;0 , 1; 1;0= = − d du u Ta có: ( ) ( )' 1 2;1;4. 0 ' 2 2;1;0. 0 = ⇒= ⇒ = ⇒= d d t AAB u t BAB u ( )2;1;2⇒ I và ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 2 4.= ⇒ − + − + − =R x y z Lựa chọn đáp án A. Câu 81. Cho các điểm ( )2;4;1−A và ( )2;0;3B và đường thẳng 1 2 3: 2 1 2 − + − = = − − x y zd . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D. Bán kính mặt cầu (S) bằng: A. 1169 . 4 B. 873 . 4 C. 1169 . 16 D. 967 . 2 Hướng dẫn giải: Gọi ( )1 2 ; 2 ;3 2+ − − −I t t t trên d vì =IA IB 11 1169 . 4 4 − ⇒ = ⇒ =t IA Lựa chọn đáp án A. Câu 82. Cho các điểm ( )2;4; 1−A và ( )0; 2;1−B và đường thẳng 1 2 : 2 1 = + = − = + x t d y t z t . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D. Đường kính mặt cầu ( )S bằng: A. 2 19. B. 2 17. C. 19. D. 17. Hướng dẫn giải: