Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari, Thesis for Geometry
ginopino90
ginopino90

Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari, Thesis for Geometry

1 page
14Number of visits
Description
Teorema fondamentale sulle applicazioni linear
20 points
Download points needed to download
this document
Download the document
Preview1 page / 1
Download the document

Teorema fondamentale sulle applicazioni

lineari

Teorema. Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K. Fissati un riferimento R = (e1, e2, . . . , en) di V e un sistema S = [w1,w2, . . . ,wn] di n vettori di W , esiste un’unica applicazione lineare f : V −→ W tale che f(ei) = wi, i = 1, 2, . . . , n.

Dimostrazione. Proviamo l’esistenza. Sia v un arbitrario vettore di V , tale vettore è esprimibile come combinazione lineare dei vettori di R, ovvero:

v = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen.

Sia f l’applicazione che al vettore v ∈ V associa il vettore

f(v) ≡ x1w1 + x2w2 + · · ·+ xnwn ∈ W.

Proviamo che f è lineare. Siano v e v′ due vettori di V , allora si ha v = x1e1 +x2e2 + · · ·+xnen e v′ = x′1e1 +x′2e2 + · · ·+x′nen. Sommando membro a membro si ottiene v + v′ = (x1 + x

′ 1)e1 + (x2 + x

′ 2)e2 + · · ·+ (xn + x′n)en.

Ne segue, per definizione di f , che f(v+v′) = (x1 +x

′ 1)w1 + (x2 +x

′ 2)w2 + · · ·+ (xn +x′n)wn = (x1w1 +x2w2 +

· · ·+ xnwn) + (x′1w1 + x′2w2 + · · ·+ x′nwn) = f(v) + f(v′). Sia k ∈ K e sia v ∈ V . Si ha v = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen, e dunque kv = kx1e1 + kx2e2 + · · · + kxnen. Ne segue, per definizione di f , che f(kv) = kx1w1+kx2w2+· · ·+kxnwn = k(x1w1+x2w2+· · ·+xnwn) = kf(v). Inoltre, essendo ei = 0e1 + · · ·+0ei−1 +1ei +0ei+1 + · · ·+0en, si ottiene, per definizione di f , che f(ei) = 0w1+· · ·+0wi−1+1wi+0wi+1+· · ·+0wn = wi. Proviamo l’unicità. Siano g : V −→ W e h : V −→ W , due applicazioni lineari tali che g(ei) = h(ei) = wi. Sia v un arbitrario vettore di V , dunque v = x1e1 + · · ·+ xnen. Allora si ha g(v) = g(x1e1 + · · ·+ xnen) = x1g(e1) + · · ·+ xng(en) = x1h(e1)+ · · ·+xnh(en) = h(x1e1 + · · ·+xnen) = h(v). Le applicazioni lineari g e h dunque coincidono. 2

1

no comments were posted
Download the document