Waves - Classical Mechanics - Lecture Slides, Slides for Classical Mechanics
janam
janam24 July 2013

Waves - Classical Mechanics - Lecture Slides, Slides for Classical Mechanics

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These main points are discussed in these Lecture Slides : Waves, Masses on a String, Displacements, Separation, Constraints, Potential From String Tension, Displacements, Replace Tension, Elastic, Large Matrix
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Waves 

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Masses on a String 

• Equal masses on a massless  string  – Displacements i  – Separation a – Constraints 0 = n+1 = 0 – Potential from string tension   

• Longitudinal problem is similar  – Displacements in x – Replace tension with elastic 

springs 

x

1

Transverse vibration, n segments

0 2 3 n

n+1

a

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Small Displacements 

• Potential energy per segment  V.  – Assume dependence only on 

nearest coordinates  – Tension  times extension  – Elements 2 /a on diagonal  – Elements /a off diagonal     

• Kinetic energy from motion of  masses .  – Matrix is diagonal 

ijijG 

 

 

 

  

  

 

  

1

1

21

1

1

212

2

n

j

jj

n

j

jj

a aV

aaV





  

 1

0

2

2

n

j

jT 

)1( 3

 jiijij aa V 

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Large Matrix  • The direct solution is not 

generally possible.

• Solution is harmonic oscillator.  – Each row related to the previous 

one. 

  • Eigenvector equation reduces to 

three terms.   

0

20

2

02

2

2

2











a

aa

aa

01   ijjij ee  

02 2   

     

 ii e aa

e a

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Fixed Boundaries 

• The eigenvalue equation gives  a result based on .  

• Phase difference  depends on  initial conditions.  – Pick sin for 0  – Find the other end point  – Requires periodicity   

• Substitute to get  eigenfrequencies  – Integer m gives values for 

    cos122  a

0ImIm 10  n

tA  sin0 

tAeijj   sin

tnAn  sin)1sin(Im 1 

0)1sin(  n

  

  

 

1 cos122

n m

a

 

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Standing Wave 

• The  are the  eigenfrequencies.  

• Components of the  eigenvectors are similar.  – All fall on a sine curve  – Wavelength depends on m.   

• The eigenvectors define a  series of standing waves.   

  

  

 

1 cos122

n m

a

 

1 sin

1 2,

 

n jm

n x jk

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Periodic Boundaries 

• To simulate an infinite string,  use boundaries that repeat.  

• Phase  repeats after n.  – Require whole number of 

wavelengths  – Integer m gives possible 

solutions with that period. 

  • Substitute to get 

eigenfrequencies as before 

    cos122  a

n 0

n m 2

  

   

n m

a

  2cos122

11  n

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Traveling Wave 

• In a traveling wave the initial  point is not fixed.  

• Other points derive from the  initial point as before.       

• The position can be expressed  in terms of the unit length and  wavenumber.   

tiiti eeAAe   0

  

     t

n jmAj 2sinIm

  

   

 

t

n jmi

j Ae 2

   tmkaAj sinIm na mk 2

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Wave Velocity 

• The phase and group velocity follow from the  form of the eigenfrequencies.  – Phase velocity  – Approximate for m << n.       

– Group velocity  

 

  a m na

k vp  2

next

  k

g kaka

akk v

 

  sincos12 

  

 

 

   

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