2º Parcial Junio 2018, Ejercicios de Álgebra Lineal. Universidad de Granada (UGR)
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2º Parcial Junio 2018, Ejercicios de Álgebra Lineal. Universidad de Granada (UGR)

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Asignatura: Álgebra lineal y geometría, Profesor: Manuel Barros Díaz, Carrera: Física, Universidad: UGR
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ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA (Grado en F́ısica)

Segundo Parcial (06/06/2018)

1. (3 puntos) En el espacio S2(R) de las matrices simétricas de orden 2 se considera el endomor- fismo

f : S2(R)→ S2(R), f(A) = ( −1 1 1 0

) ·A ·

( −1 1 1 0

) .

(a) Probar que f es autoadjunto respecto de la métrica euclidiana

g : S2(R)× S2(R)→ R, g(A,C) = Traza(A · C).

(b) Calcular las coordenadas del tensor Tf ∈ T 11 (S2(R)) asociado a f en la base B11 inducida por la base natural B de S2(R):

B =

{( 1 0 0 0

) ,

( 0 1 1 0

) ,

( 0 0 0 1

)} .

2. (2 puntos) En el plano vectorial R2 se considera la base B = {e1 = (1, 2), e2 = (1, 1)} y una métrica eucĺıdea g que verifica:

‖e1‖g = √

2, ‖e2‖g = √

2, ]g(e1, e2) = π

3 .

(a) Calcular la matriz de g en la base usual.

(b) Hallar la proyección ortogonal (respecto a g) sobre el eje OX ≡ {y = 0}.

3. (3 puntos) Probar que la aplicación

f(x, y, z) =

( 1

2 (x− y −

√ 2z),

1

2 (−x+ y −

√ 2z),

1√ 2

(x+ y)

) es una isometŕıa del espacio vectorial eucĺıdeo usual. Clasificarla y hallar sus elementos notables.

4. (2 puntos) Encontrar los valores del parámetro a ∈ R para los cuales la ecuación:

ax2 + 4ax+ (a− 1)y2 + 2 = 0

define una cónica no degenerada de R2, y clasificarla.

Duración del examen: 3 h.

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