algebra lineal, Apuntes de Álgebra. Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)
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Asignatura: Álgebra, Profesor: Adela Parisi, Carrera: Ingeniería Telemática, Universidad: UC3M
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CURSO 2012/2013 GRADO EN INGENIERÍA TELEMÁTICA ASIGNATURA: ÁLGEBRA LINEAL PROFESORA: ADELA APARISI CALVO

TEMA 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.1. Sistemas de ecuaciones lineales

De…nición: Se de…ne una ecuación lineal con variables x1; x2; :::; xn;como la expresión a1x1 + a2x2 + :::+ anxn = b, donde, b; a1; a2;:::; an 2 R:

De…nición: Se de…ne un sistema de m ecuaciones lineales con variables x1; x2; :::; xn, como el conjunto,

S =

8>>>>>><>>>>>>:

a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2

: : :

am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm

Ejemplo: Analiza geométricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 3x1 + x2 = 3 2x1 � x2 = 1

De…nición: De…nimos una solución del sistema de ecuaciones S, como el conjunto (s1; s2; :::; sn) 2 Rn tales que,

S =

8>>>>>><>>>>>>:

a11s1 + a12s2 + :::+ a1nsn = b1 a21s1 + a22s2 + :::+ a2nsn = b2

: : :

am1s1 + am2s2 + :::+ amnsn = bm

Ejemplo: Veri…ca que ( 45 ; 3 5 ) es una solución del sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.

De…nición: Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es consistente o compatible cuando tiene una solución o un número in…nito de soluciones, y decimos que es inconsistente o incompatible, cuando no tiene ninguna solución.

De…nición: Se de…ne una matriz de orden m n al conjunto de m  n números dispuestos en m …las y n columnas:[email protected] a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n : : : : : : : : :

am1 am2 : : : amn

1CCCCCCA donde aij 2 R:

1

De…nición: Dado el sistema de ecuaciones S, lo expresamos matricialmente como:

[email protected] a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n : : : : : : : : :

am1 am2 : : : amn

1CCCCCCA

[email protected] x1 x2 : : : xn

1CCCCCCA = [email protected]

b1 b2 : : : bm

1CCCCCCA donde,

[email protected] a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n : : : : : : : : :

am1 am2 : : : amn

1CCCCCCA es la matriz de coe…cientes

[email protected] x1 x2 : : : xn

1CCCCCCA es el vector de incógnitas

[email protected] b1 b2 : : : bm

1CCCCCCA es el vector de términos independientes

[email protected] a11 a12 : : : a1n b1 a21 a22 : : : a2n b2 : : : : : : : : :

am1 am2 : : : amn bm

1CCCCCCA es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones

Ejemplo: Escribe en forma matricial el sistema de ecuaciones:

8<: x2 + 4x3 = �5x1 + 3x2 + 5x3 = �2 3x1 + 7x2 + 7x3 = 6

De…nición: Se consideran operaciones elementales de …la: - Reemplazar una …la por la suma de sí misma y de un múltiplo de otra. - Intercambiar dos …las. - Multiplicar todos los términos de una …la por una costante diferente de cero.

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior, realiza en él, cinco operaciones de …la.

2

De…nición: Dos matrices son equivalentes por operaciones elementales de …la si existe una sucesión de operaciones elementales de …la que transforma una matriz en la otra.

Ejemplo: Obtén, en el ejemplo anterior, dos matrices equivalentes por operaciones elementales de …la.

Propiedad : Si las matrices ampliadas de dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes por operaciones elementales de …la, entonces, los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo: Resuelve matricialmente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

8<: x2 + 4x3 = �5x1 + 3x2 + 5x3 = �2 3x1 + 7x2 + 7x3 = 6

b)

8<: x1 � 5x2 + 4x3 = �32x1 � 7x2 + 3x3 = �2�2x1 + x2 + 7x3 = �1 1.2. Reducción por …las y formas escalonadas.

De…niciones:

1. Una matriz escalonada es aquella que tiene las siguientes propiedades: a) Las primeras …las son las …las diferentes de cero. b) Cada entrada principal de una …la está en una columna a la derecha de la entrada principal de una …la superior. c) Todas las entradas de una columna que estén debajo de una entrada principal son cero.

2. Una matriz escalonada reducida es una matriz escalonada que veri…ca: a) La entrada principal de cada …la diferente de cero es 1. b) Cada 1 principal es la única entrada diferente de cero en su columna

3. Una posición pivote es la posición en una matriz que corresponde a una entrada principal en su matriz escalonada.

4. Una columna pivote es una columna que contiene una posición pivote.

5. Un pivote es un número diferente de cero en una posición pivote que se usa para crear ceros por medio de operaciones elementales de …la.

Ejemplo: Determina cuáles de las siguientes matrices están en forma escalonada y cuáles en forma escalonada reducida:

[email protected] 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 1

1A ; [email protected] 1 0 1 00 1 1 0 0 0 0 1

1A ; [email protected] 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1CCA ; [email protected] 1 1 0 1 1 0 2 0 2 2 0 0 0 3 3 0 0 0 0 4

1CCA Ejemplo: Reduce por …las las matrices siguientes a su forma escalonada reducida y enumera las posiciones pivote, los pivotes y las columnas pivote:

3

a)

[email protected] 1 2 3 45 6 7 8 6 7 8 7

1A

b)

[email protected] 1 3 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1

1CCA Observación: Los pasos seguidos para obtener una matriz en forma escalonada se llama fase progresiva y los pasos seguidos para transformar una matriz escalonada en escalonada reducida se llama fase regresiva.

De…nición: Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante operaciones elementales de …la, las variables correspondientes a las columnas pivote se llaman variables básicas y a las restantes variables se les llaman variables libres.

Ejemplo: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales indicando las variables básicas y las variables libres si las hubiere.

a) 

x+ 3y � 3z = 7 3x+ 9y � 4z = 1

b)

8<: x+ 2y = 4�2x� 3y = �5 2x+ y = �1

1.3. Ecuaciones vectoriales.

De…nición: Se de…ne un vector columna de Rn, �!u , como la matriz de una columna y n …las:

�!u =

[email protected] x1 x2 : : : xn

1CCCCCCA donde xi 2 R; i = 1; :::; n: Si �!u es una matriz de una …la y n columnas, entonces �!u es un vector …la:

�!u = (x1; x2; :::; xn)

Operaciones: Dados los vectores �!u =

[email protected] x1 : : : xn

1CCCCA ;�!v = [email protected]

y1 : : : yn

1CCCCA 2 Rn y 2 R, entonces:

�!u +�!v =

[email protected] x1 + y1

: : :

xn + yn

1CCCCA, �!u = [email protected]

x1 : : :

xn

1CCCCA. 4

Signi…cado geométrico:

Propiedades: Dados los vectores �!u ;�!v ;�!w 2 Rn y los escalares ; 2 R, se veri…can las propiedades siguientes:

a) �!u +�!v = �!v +�!u (Propiedad conmutativa) b) (�!u +�!v ) +�!w = �!u + (�!v +�!w ) (Propiedad asociativa) c) �!u +�!0 = �!0 +�!u = �!u (Existencia de elemento neutro) d) �!u + (��!u ) = (��!u ) +�!u = �!0 (Existencia de elemento opuesto) e) (�!u +�!v ) = �!u + �!v (Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores) f) ( + )�!u = �!u + �!u (Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares) g) ( �!u ) = ( )�!u (Propiedad asociativa respecto al producto de escalares) h) 1�!u = �!u (Existencia de elemento neutro respecto al producto por un escalar)

De…nición: Decimos que el vector �!v 2 Rn es una combinación lineal de los vectores �!v1 ;�!v2 ; :::;�!vn 2 Rn, si existen escalares (llamados pesos) 1; 2; :::; n 2 R, tales que,

�!v = 1�!v1 + 2�!v2 + :::+ n�!vn

Signi…cado geométrico:

Ejemplo: Estudia si el vector �!v =

[email protected] �511 �7

1A es combinación lineal de los vectores �!v1 = [email protected] 1�2

2

1A ;�!v2 = [email protected] 05 5

1A ; �!v3 =

[email protected] 20 8

1A : De…nición: Al conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores �!v1 ;�!v2 ; :::;�!vn 2 Rn se le llama subespacio vectorial generado por �!v1 ;�!v2 ; :::;�!vn y se denota por Gen f�!v1 ;�!v2 ; :::;�!vng

5

Signi…cado geométrico:

Teorema: Si A es una matriz m n, con columnas �!a1;�!a2; :::;�!an, y si �! b 2 Rn, entonces, la ecuación A�!x = �!b , donde

�!x =

[email protected] x1 : : : xn

1CCCCA 2 Rn, tiene el mismo conjunto solución que la ecuación vectorial x1�!a1+x2�!a2+ :::+xn�!an = �!b , que a su vez tiene el mismo conjunto solución que el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es (�!a1 �!a2 :::�!an

�! b ):

Ejemplo: Expresa matricialmente las ecuaciones vectoriales:

a)x1

[email protected] 21 3

1A+ x2 [email protected] 32

�2

1A+ x3 [email protected] 50 0

1A = [email protected] 13 2

1A b) x1

 2 �2

 + x2

 1 0

 + x3

 2 7

 =

 8 �2



Teorema: Sea A una matriz m n. Entonces, las siguientes a…rmaciones son equivalentes:

a) Para cada �! b 2 Rm, la ecuación A�!x = �!b tiene una solución.

b) Las columnas de A generan Rm: c) A tiene una posición pivote en cada …la.

Ejemplo: Dados los vectores �!v1 =

[email protected] 00 4

1A ;�!v2 = [email protected] 0�5

6

1A ;�!v3 = [email protected] 21

�3

1A, ¿se veri…ca que R3 = Gen f�!v1 ;�!v2 ;�!v3g? 1.4. Conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales.

De…nición: Dada la matriz A de orden m n y el vector �!b 2 Rm, decimos que el sistema de ecuaciones lineales expresado matricialmente como A�!x = �!b es homogéneo si �!b = �!0 : En caso contrario diremos que el sistema es no homogéneo.

Observación: Un sistema homogéneo siempre es compatible porque al menos tiene como solución �!x = �!0 que se llama solución no trivial.

Descripción del conjunto de soluciones:

El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de las siguientes formas: Implícita: Mediante un cierto número de ecuaciones igualadas a cero.

6

Explícita: Resolviendo las ecuaciones implícitas que describen las soluciones del sistema de ecuaciones. Vectorial paramétrica: Expresando las soluciones como una combinación lineal de un punto (que puede ser

�! 0 ) y

un conjunto de vectores.

Ejemplo: Expresa de todas las formas posibles el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y da una interpretación geométrica de las soluciones:

a)

8<: x1 � 5x2 + 9x3 = 0�x1 + 4x2 � x3 = 0 2x1 � 8x2 + 9x3 = 0

b) 

5x1 � x2 + 3x3 = 0 4x1 � 3x2 + 7x3 = 0

c)

8<: x1 � 3x2 � 2x3 = �5x2 � x3 = 4�2x1 + 3x2 + 7x3 = �2 d)

8<: 3x1 + 5x2 � 4x3 = 0�3x1 � 2x2 + 4x3 = 0 6x1 + x2 � 8x3 = 0

e) 10x1 � 3x2 � 2x3 = 0

f) A�!x = �!b , donde, A =

[email protected] 3 5 �4�3 �2 4 6 1 �8

1A ;�!b = [email protected] 7�1

4

1A 1.5. Independencia lineal.

De…nición: Un conjunto de vectores �!v1 ;�!v2 ; :::;�!vn 2 Rn es linealmente independientes si la ecuación vectorial x1 �!v1 + x2�!v2 + :::+ xn�!vn =

�! 0 tiene únicamente la solución trivial. En caso contrario, diremos que es linealmente

dependiente.

Signi…cado geométrico:

Observación: La expresión x1 �!v1 + x2�!v2 + :::+ xn�!vn =

�! 0 se puede expresar matricialmente como A�!x = �!0 donde

A = (�!v1 �!v2 ...�!vn) y �!x = (x1; :::; xn)t. Entonces, si A�!x = �! 0 tienen sólo la solución trivial, el conjunto de vectores es

linealmente independiente, y recíprocamente.

Ejemplo: Estudia si el conjunto de vectores

8<:�!v1 = [email protected] 30 0

1A ;�!v2 = [email protected] �32

3

1A ;�!v3 = [email protected] 64 0

1A9=; es linealmente independiente o linealmente dependiente.

7

Ejemplo: Estudia si las columnas de A =

[email protected] 0 1 41 2 �1 5 8 0

1Ason linealmente independientes.: Teorema: Un conjunto de vectores �!v1 ;�!v2 ; :::;�!vn 2 Rn es linealmente independiente si y sólo si al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los otros.

Teorema: Un conjunto de vectores �!v1 ;�!v2 ; :::;�!vp 2 Rn, p > n es siempre linealmente dependiente.

Teorema: Si un conjunto de vectores �!v1 ;�!v2 ; :::;�!vp 2 Rn contiene al vector cero, entonces, el conjunto es linealmente dependiente.

Ejemplo: Estudia, por inspección, si los siguientes conjuntos de vectores son l.dependientes:

a) �!v1 =  5 5

 , �!v2 =

 6 1

 , �!v3 =

 2 4

 , �!v4 =

 3

�6



b) �!v1 =

[email protected] 2�5 1

1A, �!v2 = [email protected] 00 0

1A, �!v3 = [email protected] �65

3

1A c) �!v1 =

 7 �3

 , �!v2 =

 �21 9



1.6. Transformaciones lineales.

De…nición: Una transformación (o función o mapeo) T de Rn a Rm es una regla que asigna a cada vector �!x de Rn un vector T (�!x ) en Rm:

Signi…cado geométrico:

De…nición: Sea T : Rn ! Rm una transformación. Entonces, el subconjunto de Rn formado por todos los vectores que tienen imagen se llama dominio de T y se denota por D(T ), y el subconjunto de Rm formado por todos los vectores que son la imagen de algún vector del dominio de T se le llama imagen de T o rango de T y se denota por Im(T ) o rg(T ).

Signi…cado geométrico:

8

De…nición: Decimos que una transformación T : Rn ! Rm es una transformación lineal si veri…ca las condiciones:

a) T (�!u +�!v ) = T (�!u ) + T (�!v ); �!u ;�!v 2 Rn b) T ( �!u ) = T (�!u ), 2 R

Signi…cado geométrico:

Ejemplo: Determina cuáles de las siguientes transformaciones son lineales:

a) T

[email protected] xy z

1A = [email protected] z0

x+ y

1A

b) T 

x1 x2

 =

[email protected] 2x13x1 + x2 x1 + x2

1A c) T

 x y

 = 2xy

Observación: Si T es una transformación lineal, entonces veri…ca: a) T (

�! 0 ) =

�! 0

b) T ( �!u + �!v ) = T (�!u ) + T (�!v )

Observación: Si T : Rn ! Rm es una transformación lineal, la podemos expresar matricialmente mediante una matriz A m n, tal que, T (�!x ) = A(�!x ):

Ejemplo: Sea T : R2 ! R3 una transformación lineal representada matricialmente por A =

[email protected] 1 �33 5 �1 7

1A. Sean �!u =

 2 �1

 , �!v =

[email protected] 32 �5

1A, �!w = [email protected] 32 5

1A. a) Encuentra la expresión de T para cualquier vector �!x =

 x1 x2

 .

b) Calcula la imagen de �!u mediante T .

9

c) Encuentra los vectores �!x de R2 tales que su imagen mediante T sea �!v .

d) Estudia si �!w 2 Im(T ).

Ejemplo: Sea A =  �1 0 0 �1

 , �!u =

 5 2

 , �!v =

 3 �1

 . Sea T (�!x ) = A(�!x ).

a) Representa grá…camente �!u , �!v , T (�!u ), T (�!v )

b) Estudia geométricamente lo que hace T .

Ejemplo: Sea T (�!x ) =  5 0 0 5

 x1 x2

 . Estudia geométricamente lo que hace T .

Transformaciones lineales en R2:

1. Dilataciones

T

 x y

 =

 k 0 0 k

 x y

 , k 2 R

2. Giros (sentido positivo)

T

 x y

 =

 cos( ) � sin( ) sin( ) cos( )

 x y



3. Re‡exiones.

T

 x y

 =

 1 0 0 �1

 x y

 (Re‡exión sobre el eje x)

T

 x y

 =

 �1 0 0 1

 x y

 (Re‡exión sobre el eje y)

T

 x y

 =

 0 �1 �1 0

 x y

 (Re‡exión sobre la recta y = �x)

T

 x y

 =

 �1 0 0 �1

 x y

 (Re‡exión del origen)

4. Contracciones y expansiones

T

 x y

 =

 k 0 0 1

 x y

  Contracción horizontal si 0 < k < 1 Expansión horizontal si k > 1

T

 x y

 =

 1 0 0 k

 x y

  Contracción vertical si 0 < k < 1 Expansión vertical si k > 1

10

5. Trasquilados

T

 x y

 =

 1 k 0 1

 x y

  Trasquilado horizontal derecha si k > 0 Trasquilado horizontal izquierda si k < 0

T

 x y

 =

 1 0 k 1

 x y

  Trasquilado vertical hacia arriba si k > 0 Trasquilado vertical hacia abajo si k < 0

6. Proyecciones

T

 x y

 =

 1 0 0 0

 x y

 (Proyección sobre el eje X)

T

 x y

 =

 0 1 0 0

 x y

 (Proyección sobre el eje Y)

Signi…cado geométrico:

Ejemplo: Sea T : R2 ! R2 la tranformación lineal que gira en el sentido de giro de las manecillas del reloj un ángulo de 2 rad. Encuentra la matriz canónica de T .

Ejemplo: Sea T : R2 ! R2 una tranformación lineal. Encuentra la matriz canónica de T en los siguientes casos:

a) T es trasquilado vertical que mapea �!e1 en �!e1 + 2�!e2 pero no modi…ca �!e2 .

b) T es una re‡exión sobre la recta y = x seguida de una re‡exión sobre el eje X.

c) T primero gira vectores en sentido positivo 4 rad y luego re‡eja el resultado sobre el eje Y.

De…nición: Decimos que una transformación T : Rn ! Rm es inyectiva si dados �!x , �!y 2 D(T ) tales que T (�!x ) = T (�!y ), entonces, �!x = �!y .

11

Signi…cado geométrico:

De…nición: Decimos que una transformación T : Rn ! Rm es sobreyectiva si 8 �!y 2 Rm, 9 algún �!x 2 Rn tal que T (�!x ) = �!y :

Signi…cado geométrico:

De…nición: Decimos que una transformación T : Rn ! Rm es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Signi…cado geométrico:

Teoremas:

1. Sea T : Rn ! Rm es una transformación lineal. Entonces, T es inyectiva si y sólo si la ecuación T (�!x ) = �!0 sólo tiene la solución trivial.

2. Sea T : Rn ! Rm es una transformación lineal y A la matriz canónica de T Entonces:

a) T es sobreyectiva si y sólo si las columnas de A generan Rm.

b) T es inyectiva si y sólo si las columnas de A son linealmente independientes.

Ejemplo: Estudia si las transformaciones lineales siguientes son inyectivas y/o sobreyectivas:

a) T (x; y; z) = (y; z; 0)

b) T (x; y) = (x; x+ y) 12

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