algebra lineal T2, Apuntes de Álgebra. Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)
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Asignatura: Álgebra, Profesor: Adela Parisi, Carrera: Ingeniería Telemática, Universidad: UC3M
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CURSO 2012/2013 GRADO EN INGENIERÍA TELEMÁTICA ASIGNATURA: ÁLGEBRA LINEAL PROFESORA: ADELA APARISI CALVO

TEMA 2. ÁLGEBRA DE MATRICES

2.1. OPERACIONES CON MATRICES

De…nición: Se de…ne una matriz de orden m n al conjunto de m  n números dispuestos en m …las y n columnas:[email protected] a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n : : : : : : : : :

am1 am2 : : : amn

1CCCCCCA donde aij 2 R:

De…nición: Dada una matriz de orden m n A = (aij), los elementos aii forman la diagonal principal de A.

Desarrollo:

De…nición: Dada la matriz A de ordenmn, decimos que es lamatriz identidad si todos los elementos de la diagonal principal son unos y losdemás son ceros. Se denota por I. Si todos los elementos de la matriz son ceros, decimos que A es la matriz cero. Se denota por 0.

Desarrollo:

Suma de matrices: Dadas dos matrices A y B de orden m n, tales que, A = (aij) y B = (bij), entonces, se de…ne la suma de A y B como la matriz de orden m n,

A+B = (aij + bij)

1

Desarrollo:

Producto de una matriz por un escalar : Dada la matriz A = (aij) de orden m n y dado 2 R, entonces,

A = ( aij)

Ejemplo 1.: Dadas las matrices,

A =

 7 0 �1 �1 5 2

 y B =

 �1 4 1 5 �3 0



resuelve las operaciones siguientes: a) A+B b) �2A c) B � 2A

Propiedades: Sean A, B, C matrices de orden m n y sean , 2 R, entonces, se cumplen las propiedades siguientes: 1. A+B = B +A 2. (A+B) + C = A+ (B + C) 3. A+ 0 = A 4. (A+B) = A+ B 5. ( + )A = A+ A 6. ( A) = ( )A

Producto de matrices: Dadas dos matrices A = (aij) de orden mn y B = (bij) de orden np, entonces, A B = (cij) de orden m p tal que,

cij = ai1  b1j + ai2  b2j + :::+ ain  bnj , i = 1; :::;m, j = 1; :::; p

Desarrollo:

2

Ejemplo 2.: Dadas las matrices

A =

 7 0 �1 �1 5 2

 , B =

 1 0 �2 1

 , C =

 1 4 �4 0

 resuelve las operaciones siguientes: a) A  C b) B  C

Ejemplo 3.: Dadas las matrices

A =

[email protected] 1 �12 3 3 �2

1A , B =  4�2  , C =

� 5 6 �3 1

 resuelve las operaciones siguientes: a) A B b) B  C

Propiedades: Dadas las matrices A, B, C de tamaños que permitan las operaciones siguientes, y dado 2 R, entonces, se cumplen las propiedades: 1. A(B  C) = (A B)C 2. A (B + C) = A B +A  C 3. (B + C)A = B A+ C A 4. (A B) = ( A)B 5. I A = A

Potencia de una matriz : Dada una matriz A de orden m n, entonces,

Ak = A A  ::: A (k-veces)

Ejemplo 4.: Dadas las matrices

A =

 1 �1 3 1

 y B =

[email protected] 1 0 00 2 0 0 0 3

1A resuelve las operaciones siguientes: a) A3

b) B20

Traspuesta de una matriz : Dada una matriz A de orden m n, la matriz traspuesta de A, At, es la matriz que se obtiene colocando las …las de A como columnas o las columnas de A como …las.

Ejemplo 5.: Dadas las matrices A y B del ejemplo anterior, obtén At y Bt.

Propiedades: Dadas las matrices A y B de tamaños que permitan las operaciones siguientes, y dado 2 R, entonces, se cumplen las propiedades: 1. (At)t = A 2. (A+B)t = At +Bt

3. ( A)t = (At) 4. (A B)t = Bt At

3

1.2. Matriz inversa

De…nición: Decimos que una matriz A de orden n n es invertible o no singular si existe la única matriz A�1 de orden n n llamada inversa de A tal que A A�1 = A�1 A = I.Si A�1 no existe, decimo que A no es invertible o es singular.

Teorema: Una matriz A de orden nn es invertible si y sólo si A es equivalente por …las a In. En este caso, cualquier secuencia de operaciones elementales de …la que reduzca A a I, también transforma I en A�1.

Desarrollo:

Ejemplo 6.: Dadas las matrices A =  1 2 5 9

 y B =

[email protected] 1 0 01 1 5 3 2 6

1A, calcula A�1 y B�1:

Ejemplo 7.: Utilizando matrices inversas, resuelve el sistema de ecuaciones:

 x+ 2y = 5 3x+ 8y = 7

Propiedades: 1. Si A es una matriz invertible, entonces, A�1 también lo es y se cumple (A�1)�1 = A. 2. Si A y B son matrices de orden nn e invertibles, entonces, A B también lo es y se cumple (A B)�1 = B�1 A�1. 3. Si A es una matriz invertible, entonces, At también lo es y se veri…ca, (At)�1 = (A�1)t.

Ejemplo 8.: Dada la matriz A =

[email protected] 1 1 11 1 1 1 1 1

1A, demostrar, utilizando inducción, An = 3n�1A. Ejemplo 9.: Demuestra que si las matrices A y B son conmutativas con respecto al producto, entonces, A�1 y B también lo son.

Ejemplo 10.: Supongamos que A y B son dos matrices de orden n n y que B y AB son invertibles. Demuestra que

A es invertible.

Ejemplo 11.: Sea A =  2 1 1 2

 una matriz que veri…ca A2 + A+ I = 0:

a) Halla y . b) Obtén A�1 utilizando A2 + A+ I = 0.

De…nición: Sea T : Rn ! Rn una transformación lineal y sea A su matriz estándar. Entonces, decimos que T es 4

invertible si y sólo si A lo es.

Signi…cado geométrico:

Teorema: Sea A una matriz n n, entonces, las siguientes a…rmacione son equivalentes: 1. A es invertible. 2. A es equivalente por operaciones elementales de …la a I. 3. A tiene n posiciones pivote. 4. La ecuación A�!x = �!0 tiene solamente la solución trivial. 5. Las columnas de A forman un conjunto linealmente independiente. 6. La tranformación T cuya matriz es A es inyectiva. 7. La ecuación A�!x = �!b sólo tiene una solución. 8. Las columnas de A generan Rn. 9. La transformación T cuya matriz es A es sobreyectiva. 10. At es invertible.

2.3. Matrices partidas

De…nición: Una matriz partida en bloques es aquella cuyos elemento son submatrices.

Ejemplo 12.: Haz una partición en bloques de las matrices siguientes:

A=

[email protected] 3 7 4 31 2 �2 9 0 0 1 4

1A y B =  2 0 0 3 1 4 7 2



Operaciones: -Suma:Si A y B son dos matrices del mismo tamaño y están partidas en bloques de la misma manera, entonces, cada bloque de la matriz A+B es la suma de los bloques correspondientes de A y B: -Multiplicación por un escalar: Si A es una matriz partida en bloques y 2 R, entonces, cada bloque de la matriz A es el producto de por cada bloque de A. -Producto de dos matrices: Dadas dos matrices partidas en bloques cuyos tamaños permitan el producto A B, se pueden multiplicar en bloques mediante la regla usual del producto de matrices …la-columna.

Ejemplo 13.: Dadas las matrices,

A =

[email protected] 2 1 �1 �2 0 3 2 2 2 �1 2 8

1CCA y B = [email protected] �1 0 26 3 9

4 �4 0

1A, 5

haz una partición adecuada por bloques y resuelve A B.

Ejemplo 14.: Dadas las matrices n n, I, A, B, C, X, Y , Z, invertibles, encuentra fórmulas para X, Y , Z sabiendo

que  A B C 0

 I 0 X Y

 =

 0 I Z 0



Teorema: Si A es una matriz m n y B es una matriz n p, entonces,

A B = col1(A)  fila1(B) + col2(A)  fila2(B) + :::+ coln(A)  filan(B)

Ejemplo 15.: Sean A =

[email protected] 3 �10 2 1 7

1A y B =  1 1 �1 �1 2 3 4 5

 , utiliza el producto expansión columna-…la de A B

para multiplicarlas.

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