algebra lineal T3, Apuntes de Álgebra. Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)
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Asignatura: Álgebra, Profesor: Adela Parisi, Carrera: Ingeniería Telemática, Universidad: UC3M
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CURSO 2012/2013 GRADO EN INGENIERÍA TELEMÁTICA ASIGNATURA: ÁLGEBRA LINEAL PROFESORA: ADELA APARISI CALVO

TEMA 3. DETERMINANTES

3.1. INTRODUCCIÓN A LOS DETERMINANTES

De…nición: Se de…ne una matriz A de orden n n, se de…ne el menor de un elemento aij de A, y lo denotamos por Aij , como el determinante de orden n� 1 que resulta de eliminar la …la i y la columna j de la matriz A.

De…nición: Dada una matriz A = (aij) de orden n n, se de…ne el cofactor (i; j) de A como el número cij dado por cij = (�1)i+j Aij .

De…nición: Dada una matriz A = (aij) de orden n n, se de…ne el determinante de A y se denota por det(A) o jAj, como la suma

det(A) = nX j=1

aij  cij , para i …jo (desarrollo por la i-ésima …la)

o

det(A) = nX i=1

aij  cij , para j …jo (desarrollo por la j-ésima columna)

Desarrollo:

Ejemplo 1.: Calcula los determinantes de las matrices siguientes usando desarrollos por …las o por columnas:

a) A =  a11 a12 a21 a22



b) B =

[email protected] a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

1A

c) C =

[email protected] 3 0 42 3 2 0 5 �1

1A 1

d) D =

[email protected] 1 �2 5 2 0 0 3 0 2 �6 �7 5 5 0 4 4

1CCA

e) E =

[email protected] a11 a12 a130 a22 a23 0 0 a33

1A 3.2. Propiedades de los determinantes

Teorema: Sea A una matriz cuadrada .Entonces, se veri…can las a…rmaciones siguientes: 1. Si se suma un múltiplo de una …la de A a otra …la para producir una matriz B, entonces, det(A) = det(B) 2. Si se intercambian dos …las de A para producir B, entonces, det(A) = �det(B) 3. Si una …la de A se multiplica por k 2 R para producir B, entonces, det(A) = k det(B)

Ejemplo 2.: Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

a) A =

[email protected] 1 �4 2�2 8 �9 1 7 0

1A

b) B =

[email protected] 2 5 �3 �1 3 0 1 �3 �6 0 �4 9 4 10 �4 �1

1CCA Teorema: Si A es una matriz de orden n n, entonces, det(At) = det(A):

Observación: Este teorema demuestra que las operaciones por columna en una matriz tienen los mismos efectos sobre los determinantes que las operaciones por …la.

Teorema: Si A y B son matrices n n, entonces, det(A B) = det(A)  det(B).

Propiedad : Los determinantes veri…can la siguiente propiedad:

det

[email protected] a11 : : a1j + b1j : : a1n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : an1 : : anj + bnj : : ann

1CCCCA = det [email protected] a11 : : a1j : : a1n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : an1 : : anj : : ann

1CCCCA+ det [email protected] a11 : : b1j : : a1n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : an1 : : bnj : : ann

1CCCCA

Ejemplo 3.: Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular los determinantes de las siguientes matrices:

a) A =

[email protected] a b cd e f 5g 5h 5i

1A

b) B =

[email protected] a b c2d+ a 2e+ b 2f + c g h i

1A 2

c) C =

[email protected] a+ d b+ e c+ fd e f g h i

1A Teorema: Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si det(A) 6= 0.

Ejemplo 4.: Estudia si la siguiente matriz es invertible y, si lo es, calcula su inversa:

A =

[email protected] 2 3 01 3 4 1 2 1

1A Ejemplo 5.: Estudia si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente:

�!u1 =

[email protected] 7�4 �6

1A, �!u2 = [email protected] �85

7

1A, �!u3 = [email protected] 70

�5

1A 3.3. Aplicaciones

1. Regla de Cramer :

Sea A una matriz invertible de orden nn. Para cualquier �!b 2 Rn, la única soluxión de �!x del sistema de ecuaciones A�!x = �!b es,

xi = det  Ai

�! b 

det (A) , i = 1; 2; :::; n

donde Ai �! b  es la matriz obtenida a partir de A al reemplazar la columna i por el vector

�! b .

Ejemplo 6.: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer;8<: 2x1 + x2 = 7�3x1 + x3 = �8 x2 + 2x3 = �3

Ejemplo 7.: Determina el valor de s para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga sólo una solución y para ese valor

de s, resuelve el sistema:  2sx1 + x2 = 1

3sx1 + 6sx2 = 2

2. Inversa de una matriz :

De…nición: Dada una matriz A de orden n n, se de…ne su matriz de cofactores a la [email protected] c11 c12 : : : c1n c21 c22 : : : c2n : : : : : : : : : : : : : : : : : : cn1 cn2 : : : cnn

1CCCCCCA 3

donde los cij son los cofactores (i; j) de A.

De…nición: Dada una matriz A de orden n n, se de…ne su matriz adjunta, y se denota por Adj(A) a su matriz de cofactores.

Teorema: Dada una matriz A de orden n n, invertible, entonces,

A�1 = 1

det (A)  (Adj (A))t

Ejemplo 8.: Calcula, si es posible, la inversa de la matriz,

A =

[email protected] 3 6 70 2 1 2 3 4

1A 3. Áreas y Volúmenes:

Teorema: Si A es una matriz 2 2, el area del paralelogramo determinado por la columnas de A es jdet (A)j. Si A es una matriz 3 3, el volumen del paralelepípedo determinado por las columnas de A es jdet (A)j.

Signi…cado geométrico:

Ejemplo 9.: Calcula el área del paralelogramo cuyos vértices son lo puntos (�1; 0), (0; 5), (1;�4), (2; 1).

Ejemplo 10.: Encuentra el volumen del paralelepípedo que tiene un vértice en el origen de coordenadas y vértices adyacentes en (1; 4; 0), (�2;�5; 2), (�1; 2;�1).

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