Apuntes ACE universidad de huelva utiles. tema 6, Apuntes de Ingeniería electrónica. Universitat de Barcelona (UB)
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Apuntes ACE universidad de huelva utiles. tema 6, Apuntes de Ingeniería electrónica. Universitat de Barcelona (UB)

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Asignatura: Sistemes digitals, Profesor: Anna Vila, Carrera: Enginyeria Electrònica de Telecomunicació, Universidad: UB
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Diapositiva 1

Gerardo Maestre Universidad de Huelva 0

Tema 5: Filtros activos. Presentación

1. Introducción………………………………………………………………………….T1 2. Clasificación de los filtros…………………………………………………………T4 3. Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden…………………………T9 4. Filtros prototipos reales paso alto de primer orden.

Transformación RC-CR…………………………………………………………….T13 5. Escalados…………………………………………………………………………….T17 6. Filtro prototipo de segundo orden………………………………………………T27 7. Filtro de segundo orden Sallen-Key…………………………………………….T30 8. Filtro pasa banda. Filtro de banda eliminada………………………………….T39 9. Filtros de orden “n”. Filtros de Butterworth…………..………………………T46

CUESTIONES DEL TEMA - V

El tema 5 está dedicado al análisis y diseño de filtros activos.

Inicialmente se realiza una clasificación de los filtros.

Posteriormente se propone el uso de filtros prototipos y el escalado como técnicas de diseño para los filtros de primer y segundo orden.

Finalmente se tratan los filtros normalizados de Butterworth para el diseño de filtros de orden superior a dos.

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Tema 5: Filtros activos. 1.- Introducción.

Un filtro es un circuito electrónico selectivo de frecuencias. En sentido ideal:

► Transmite desde su entrada hasta su salida todas las señales cuyas frecuencias estén comprendidas dentro de una o más bandas de frecuencias.

► Rechaza las señales cuyas frecuencias no estén comprendidas en dichas bandas.

( )IV jω ( )0V jω( )Avf jω

FILTRO ACTIVO

( )Avf jω

0

1

Cω (rad/seg)ω

∞ BANDA DE PASO

BANDA DE RECHAZO

Respuesta en frecuencia ideal de un filtro paso bajo.

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Tema 5: Filtros activos. 1.- Introducción.

En la respuesta en frecuencia del filtro paso bajo ideal observamos:

► Existe una banda de frecuencia, banda de paso, en la cual el módulo de la ganancia vale la unidad, y por tanto la salida del filtro es igual a la entrada (La señal de entrada del filtro pasa sin modificación hacia su salida).

► Existe una banda de frecuencia, banda de rechazo, en la cual el módulo de la ganancia vale la cero, y por tanto la salida del filtro es igual a cero (La señal de entrada del filtro no pasa hacia su salida).

Es imposible conseguir filtros con respuestas en frecuencia ideales.

♦ Las respuestas en frecuencia de los filtros reales presentan una banda de transición entre las bandas de paso y las bandas de rechazo.

♦ Tanto las bandas de paso como la bandas de rechazo pueden presentar un rizado.

► La trecuencia ωC es la frecuencia de cruce que separa la banda de paso de la banda de rechazo.

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Tema 5: Filtros activos. 1.- Introducción.

Avf ( j )ω

BANDA DE PASO

BANDA DE RECHAZO

BANDA DE TRANSICIÓN

sωcω ω

0

1

sA

CA

Plantilla de la respuesta en frecuencia real de un filtro paso bajo.

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Tema 5: Filtros activos. 2.- Clasificación de filtros.

ORDEN DE UN FILTRO:

( )5 2

10 s 2 Avf (s)

s 5s 1 +

= + +

El orden del filtro cuya función compleja se representa es dos, puesto que el mayor exponente de la variable compleja “s” del polinomio denominador es dos.

CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS SEGÚN SUS COMPONENTES.

a) Filtros pasivos

Están formados por autoinducciones, capacidades y resistencias.

→ No tienen ganancia.

→ Trabajan con frecuencias superiores al Megahercio.

→ Son voluminosos y caros debido a las autoinduciones.

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Tema 5: Filtros activos.

b) Filtros activos.

2.- Clasificación de filtros.

Están formados por capacidades, resistencias y un elemento activo tal como un amplificador operacional.

→ Pueden tener ganancia.

→ No son voluminosos y se pueden integrar en un Chip.

→ Trabajan con frecuencias inferiores al Megahercio.

CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS SEGÚN SU RESPUESTA EN FRECUENCIA.

1) Filtro paso bajo. ( )Avf jω

0

1

C Frecuencia de cruce.ω = (rad/seg)ω

∞ BANDA DE PASO

BANDA DE RECHAZO

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Tema 5: Filtros activos. 2.- Clasificación de filtros.

La banda de paso está comprendida entre cero y la frecuencia de cruce, y la banda de rechazo comprende todas las frecuencias superiores a la de cruce.

2) Filtro paso alto.

( )Avf jω

0

1

Cω (rad/seg)ω

∞ BANDA DE RECHAZO

BANDA DE PASO

La banda de rechazo está comprendida entre cero y la frecuencia de cruce, y la banda de paso comprende todas las frecuencias superiores a la de cruce.

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Tema 5: Filtros activos. 2.- Clasificación de filtros.

3) Filtro pasa banda.

H L H L C H L

log( ) log( ) log( )log( ) log 2 2

ω + ω ω ω ω = = = ω ω

ωL = frecuencia de cruce inferior.

ωH = frecuencia de cruce superior.

ωC = frecuencia central.

BW = (ωH - ωL ) = ancho de banda.

C H Lω = ω ω

( )Avf jω

0

1

Cω (rad/seg)ω

∞ BANDA DE RECHAZO

BANDA DE PASO

BANDA DE RECHAZO

Lω Hω

BW

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Tema 5: Filtros activos. 2.- Clasificación de filtros.

La banda de paso está comprendida entre las frecuencias de cruce inferior y superior. Las bandas de rechazo están comprendidas entre cero y la frecuencia de cruce inferior, y entre la frecuencia de cruce superior e infinito.

3) Filtro de banda eliminada.

( )Avf jω

0

1

Cω (rad/seg)ω

∞ BANDA

DE RECHAZO

BANDA DE PASO

Lω Hω

BANDA DE PASO

La banda de rechazo está comprendida entre las frecuencias de cruce inferior y superior. Las bandas de paso están comprendidas entre cero y la frecuencia de cruce inferior, y entre la frecuencia de cruce superior e infinito.

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Tema 5: Filtros activos. 3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.

Para diseñar filtros activos reales utilizaremos la técnica que consiste en partir de un filtro prototipo, el cual tiene todas las capacidades de 1 F y todas las resistencias de 1 Ω, y después transformarlo en el filtro diseñado.

a) Análisis de un filtro prototipo paso bajo sin ganancia..

1 Ohm Vx

Vo

1F

+

_

Vi

0

En este circuito VO = VX, y la función de transferencia compleja es:

1 Vo(s) 1sAvf (s) 1Vi(s) s 11

s

= = = ++

Filtro de primer orden.

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Tema 5: Filtros activos.

1 Ohm Vx

R2

R1

Vo

1F

+

_

Vi

0 0

1Avf ( j )

1

1 1 jj 1 = =ω

ω⎛+ +ω ⎞⎜ ⎟ ⎝ ⎠

La función de transferencia en alta frecuencia es:

b) Análisis de un filtro prototipo paso bajo con ganancia..

( ) ( ) 2

2

2 O X I

1 1

1R R 1V (s) 1 V (s

R1 R

) 1 Vi(s) V (s) R R s 1 s 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Función de transferencia del amplificador en baja frecuencia K

3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.

Un polo con frecuencia ωC = 1 rad/seg.

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Tema 5: Filtros activos.

( ) 0

vf i

V (s)A (s) Vs( s 1

K = =

+

( ) vf

vf (N) A (s)A (s)

K s 1 1

= = +

Para un filtro lo importante son los valores de las bandas y es irrelevante el valor de la ganancia K en baja frecuencia. Por este motivo, las funciones de transferencia complejas de los filtros se normalizan dividiendo dicha función por la ganancia K.

La función de transferencia normalizada en alta frecuencia es:

vf (N) 1A ( j )

1 j 1

ω = ω⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

Función de transferencia compleja:

3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.

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Tema 5: Filtros activos.

Trazado de la respuesta en frecuencia de un filtro prototipo normalizado paso bajo de primer orden.

dB

rad / seg. C 1ω =

0 3−

-20 dB/dec

Podemos afirmar que las respuestas en frecuencia de los filtros prototipos paso bajo de primer orden con ganancia y sin ganancia son equivalentes.

3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.

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Tema 5: Filtros activos. 4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CR

Cualquier tipo de filtro prototipo paso bajo con frecuencia de cruce ωC = 1 rad/seg se puede convertir en un filtro prototipo paso alto con ωC = 1 rad/seg, utilizando la transformación RC-CR, que consiste en intercambiar las capacidades de 1F por resistencias de 1Ώ y las resistencias de 1Ώ por capacidades de 1F.

a) Análisis de un filtro prototipo paso alto sin ganancia..

1 Ohm Vo

0

1F Vx

+

_

Vi

1 1 1 s

sAvf (s) 1 s

= = + +

Función de transferencia compleja: Función de transferencia en alta frecuencia.

jAvf ( j ) 1 j

1

ω ω =

ω⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎝ ⎠

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Tema 5: Filtros activos. 4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CR

a) Análisis de un filtro prototipo paso alto con ganancia..

1 Ohm

Vo

0

1F

R1

Vx

+

_

R2

Vi

0

2

1

RK 1 R

⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Función de transferencia compleja.

v

2 2

1 1

f

R R s sKVo(s) 1 Vx(s) 1 Vi(s) Vi(s) R R 1 s 1 s

Vo(s) V

sK i(s

(s) 1)

A s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎝ ⎠

= = +

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Tema 5: Filtros activos.

Función de transferencia en alta frecuencia normalizada.

4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CR

Función de transferencia compleja normalizada.

N sAvf (s)

1 s = +

N jAvf ( j )

1 j 1

ω ω =

ω⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Trazado de la respuesta en frecuencia de un filtro prototipo paso alto de primer orden.

dB

rad / seg. C 1ω =

0 3−

+20 dB/dec

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Tema 5: Filtros activos. 4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CR

Hay que resaltar que la transformación RC-CR sobre el circuito de un filtro equivale a sustituir en su función de transferencia compleja “s” por “1/s”.

La función de transferencia compleja de un filtro prototipo paso bajo de primer orden es:

1Avf (s) 1 s = +

1 s

Al sustituir s por:

1 1 sAvf 1s s 11 s

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ +

Obtenemos la función de transferencia de un filtro prototipo paso alto de primer orden.

Ejercicio 1.

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Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

Los escalados son métodos que nos permite diseñar cualquier filtro a partir de un filtro prototipo.

Sobre la función de t ransferencia. Sobre el circ

De frecuencia

De impedancia sobre e uito del fil

l circuito d ESCA

el filtro. LADOS tro.

⎧ ⎧ ⎪ ⎨ ⎨ ⎩ ⎪ ⎩

a) Escalado de frecuencia sobre la función de transferencia.

Escalar en frecuencia la función de transferencia compleja de cualquier filtro consiste en sustituir en dicha función s por s/α siendo α > 0 el factor de escalado en frecuencia. Sea un filtro paso bajo de primer orden sin escalar cuya función de transferencia compleja es:

vf

C

1A (s) s1

= ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ω⎝ ⎠

Respuesta en frecuencia en

línea gruesa roja

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Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

dB

XωCω C C'ω = αω

X X'ω = αω

Filtro sin escalar

Filtro escalado en frecuencia

0 3−

x

vf

C C

C

s 1 1 1A s s s1 1

'1

⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α αω ω+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Al escalar en frecuencia la función de transferencia anterior obtenemos:

Respuesta en frecuencia en

línea gruesa azul

Gerardo Maestre Universidad de Huelva 19

Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

El escalado en frecuencia produce un desplazamiento hacia la derecha de la respuesta en frecuencia del filtro sin escalar, de modo que todas las frecuencias quedan multiplicadas por el factor de escalado en frecuencia α.

b) Escalado de frecuencia sobre el circuito del filtro.

Si tenemos en cuenta que en el dominio de la variable compleja s:

( )

( )

1C s sC

R s R

=

=

Al escalar en frecuencia:

s 1 1C s CC s

sR R

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟α ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎜ ⎟α α⎝ ⎠

⎛ ⎞ =⎜ ⎟α⎝ ⎠

Gerardo Maestre Universidad de Huelva 20

Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

Realizar un escalado en frecuencia α sobre los componentes de un filtro consiste en dividir las capacidades por α sin modificar las resistencias.

Ejercicio 2.

Diseñar un filtro activo paso bajo de primer orden que tenga un ancho de banda (frecuencia de cruce) de 10 K Hz.

dB

C 1ω = 4C C' 2 10ω = αω = α = π

Filtro prototiopo sin escalar

Filtro diseño escalado

0 3−

20 dB/dec−

Rad / seg

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Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

La frecuencia a -3 dB del filtro diseñado es:

C C 42 10 rad/s' f e2 g.α πω = = π =

5 4

C

R ' 1 1 1 1C'= 1,59 10 F=15,9 uF

2 f 2 10 −

= Ω

= = = × α π π

Realizando un escalado en frecuencia sobre los componentes del filtro prototipo obtenemos los valores de los componentes del filtro diseño:

1 Ώ Vi

Vo

15.9 uF

0

-

+

Filtro diseñado.

Gerardo Maestre Universidad de Huelva 22

Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

La resistencia del filtro de 1 Ω es de valor muy pequeña y es necesario elevarla. Ello se consigue con el escalado en impedancia.

El escalado de impedancia de un circuito consiste en reemplazar en un filtro R por βR y C por C/β siendo β > 0 el factor de escalado de impedancia. El escalado de impedancia no modifica la respuesta en frecuencia del filtro.

c) Escalado de impedancia sobre el circuito del filtro.

Ejercicio 3.

R Vi

Vo

C

0

-

+

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Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

Dado el circuito de la figura anterior, comprobar que un escalado en impedancia no modifica la respuesta en frecuencia del filtro.

( ) 0

vf i

C

1 V (s) 1 1sCA (s) 1V (s) 1 sRC sR 1sC

= = = = + ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ω⎝ ⎠

( )vf

C

1 Cs

1 1 1A' (s) 1 1 sRCC sR 1 s R 1Cs

β= = = = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ β + β +⎜ ⎟ ⎜ ⎟β ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

β

Realizando el escalado en impedancia:

Se obtiene la misma función de transferencia, luego el filtro no cambia.

C 1

RC ω =

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Tema 5: Filtros activos. 5.- Escalados.

Diseñar un filtro activo paso alto de primer orden con una ganancia en alta frecuencia de 0 dB y una atenuación de 30 dB (una ganancia de – 30 dB) a 40 Hz. Utilizar condensadores de 5 nF

Ejercicio 4.

dB

ω ' 2 40ω = αω = π

Filtro prototiopo sin escalar

Filtro diseño escalado

0

20 dB/dec+

Rad / seg

30 −

Lo normal es realizar primeramente un escalado en frecuencia y después realizar une escalado en impedancia.

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