Apuntes Cálculo, Apuntes de Matemáticas. Universidad Rey Juan Carlos (URJC)
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Asignatura: matematicas, Profesor: Rafa Rivero, Carrera: Ingeniería en Tecnologías Industriales, Universidad: UNED
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES APUNTES DE CALCULO II PARA PRIMER CURSO DE LOS

GRADOS DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE TELECOMUNICACION Elaborados por Domingo Pestana y José Manuel Rodŕıguez

1. CONCEPTOS BASICOS

Definición. La norma de un vector x = (x1, x2, . . . , xn) de Rn es x= √

x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n . La

distancia entre dos puntos x, y de Rn es la norma de su diferencia, es decir, dist (x,y) = xy. La norma en Rn verifica propiedades similares al valor absoluto en R, ya que, de hecho, la norma es

igual al valor absoluto si n = 1:

x + y‖ ≤ ‖x+ y‖ , ∣∣ x‖ − ‖y

∣∣ ≤ ‖xy‖ . Definición. La bola abierta B(x0, r) de centro x0 Rn y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor que r del punto x0, es decir,

B(x0, r) = { x Rn : xx0‖ < r

} .

La bola cerrada B(x0, r) de centro x0 Rn y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor o igual que r del punto x0, es decir,

B(x0, r) = { x Rn : xx0‖ ≤ r

} .

Definición. Un conjunto U ⊆ Rn es abierto si para todo x ∈ U existe un r > 0 (que puede depender de x) tal que B(x, r) ⊆ U .

Un entorno de un punto x Rn es un conjunto abierto que contiene a x. Un conjunto F ⊆ Rn es cerrado si su complemento F c = Rn \ F es abierto. La frontera ∂E de un conjunto E ⊆ Rn es el conjunto de puntos x de Rn (no tienen por qué estar en

E) tales que en todo entorno de x hay algún punto de E y algún punto de Ec. Un conjunto E ⊆ Rn es cerrado si y sólo si ∂E ⊆ E. El interior de un conjunto E ⊆ Rn es el subconjunto de puntos x de E para los que existe un r > 0

(que puede depender de x) tal que B(x, r) ⊆ E. De hecho, el interior de E es el mayor subconjunto abierto de E.

La clausura E de un conjunto E ⊆ Rn es E = E∪∂E. De hecho, la clausura de E es el menor conjunto cerrado que contiene a E.

Un conjunto E ⊆ Rn es acotado si existe un r > 0 tal que E ⊆ B(0, r). Un conjunto E ⊆ Rn es compacto si es cerrado y acotado. Es fácil ver que una bola abierta es un conjunto abierto y que una bola cerrada es un conjunto compacto.

También es fácil ver que la unión e intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierto, y que la unión e intersección de un número finito de conjuntos cerrados es cerrado. Definición. Una función es una regla cualquiera que hace corresponder un punto de Rm y sólo uno a cada punto de un cierto conjunto A ⊆ Rn. f(x) es el valor de la función f en el punto x. El dominio de una función es el conjunto de puntos para los que está definida, A en este caso, y se denota por Dom (f). Si no se especifica nada, se sobreentiende que el dominio de una función está formado por todos los puntos para los cuales tiene sentido la definición. Habitualmente escribiremos

f : A −→ Rm

para denotar que A es el conjunto inicial o dominio y Rm el conjunto final, de tal manera que a cada punto de A la función f le asocia un punto de Rm.

La imagen de una función es el conjunto de los puntos y tales que existe un punto x con f(x) = y, y se denota por Img (f).

La gráfica de una función es el conjunto de puntos: {(x, f(x)) : x ∈ Dom(f)}. Sean A ⊆ Rn y f : A −→ R. El conjunto de nivel de valor c es el conjunto de puntos x ∈ A para

los cuales f(x) = c, es decir, el conjunto {x ∈ A : f(x) = c} ⊆ A ⊆ Rn. Si n = 2, hablamos de curva de nivel de valor c, y si n = 3, hablamos de superficie de nivel de valor c.

1

2. LIMITES Y CONTINUIDAD

Definición. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A y f : A −→ Rm. Se dice que l Rm es el ĺımite de f(x) cuando x tiende a x0, y lo escribimos limxx0 f(x) = l, si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que ‖f(x)l‖ < ε si 0 < ‖xx0‖ < δ. Teorema 1. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A y f : A −→ Rm. Si existe el ĺımite cuando x tiende a x0 de f(x), entonces es único. Es decir, si limxx0 f(x) = l1 y limxx0 f(x) = l2, entonces l1 = l2.

Corolario 1. Sean A un subconjunto abierto de R2 que contiene a (0, 0) y f : A −→ R. Si los ĺımites limr→0 f(r cos θ, r sen θ) dependen de θ, entonces no existe el ĺımite lim(x,y)(0,0) f(x, y). Si los ĺımites limr→0 f(r cos θ, r sen θ) no dependen de θ, entonces no se puede afirmar nada sobre la existencia del ĺımite.

Si el punto en el queremos estudiar el ĺımite es (x0, y0) ∈ A, entonces se tiene un resultado similar: Si los ĺımites limr→0 f(x0 + r cos θ, y0 + r sen θ) dependen de θ, entonces no existe el ĺımite lim(x,y)(x0,y0) f(x, y).

Proposición 1. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A y f, g : A −→ R. Si limxx0 f(x) = 0 y g está acotada en un entorno de x0, entonces limxx0 f(x)g(x) = 0.

Teorema 2. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A, c ∈ R y f, g : A −→ Rm. Si existen limxx0 f(x) y limxx0 g(x), entonces:

(1) lim xx0

( cf(x)

) = c

( lim

xx0 f(x)

) .

(2) lim xx0

( f(x) + g(x)

) = lim

xx0 f(x) + lim

xx0 g(x) .

(3) lim xx0

( f(x)g(x)

) =

( lim

xx0 f(x)

)( lim

xx0 g(x)

) , si m = 1 .

(4) lim xx0

f(x) g(x)

= limxx0 f(x) limxx0 g(x)

, si m = 1, y lim xx0

g(x) 6= 0 .

(5) lim xx0

( f(x)

)g(x) = ( lim xx0

f(x) )limxx0 g(x),

si m = 1 y todas las expresiones tienen sentido.

Teorema 3. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A y f : A −→ Rm. Si f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)), donde fi : A −→ R, i = 1, 2, . . . , m, son las funciones componentes de f , entonces limxx0 f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) si y sólo si limxx0 fi(x) = li para cada i = 1, 2, . . . ,m.

Definición. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A y f : A −→ Rm. Se dice que f es continua en el punto x0 si limxx0 f(x) = f(x0).

Teorema 4. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A, c ∈ R y f, g : A −→ Rm. Si f y g son continuas en x0, entonces:

(1) cf(x) es continua en x0. (2) f(x) + g(x) es continua en x0. (3) f(x)g(x) es continua en x0, si m = 1. (4) f(x)/g(x) es continua en x0, si m = 1 y g(x0) 6= 0. (5) (f(x))g(x) es continua en x0, si m = 1 y (f(x))g(x) está definida en un entorno de x0.

Teorema 5. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A y f : A −→ Rm. Si f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)), donde fi : A −→ R, i = 1, 2, . . . , m, son las funciones componentes de f , entonces f es continua en x0 si y sólo si fi es continua para cada i = 1, 2, . . . , m.

Teorema 6. Sean A un subconjunto abierto de Rn, x0 ∈ A, f : A −→ Rm y g : B −→ Rk, donde B es un entorno de f(x0). Si f(x) es continua en x0 y g(x) es continua en f(x0), entonces la composición (g ◦ f)(x) = g(f(x)) es continua en x0. Teorema 7. Sean A ⊆ Rn y f : A −→ R. Si A es compacto y f es continua en A, entonces f está acotada en A.

2

Teorema 8. Sean A ⊆ Rn y f : A −→ R. Si A es compacto y f es continua en A, entonces existen los valores máximo y mı́nimo de f en A.

3. DIFERENCIACION

Definición. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y f : U −→ R. Entonces la derivada parcial ∂f/∂xj de f con respecto a la variable xj se define como

∂f

∂xj (x1, . . . , xn) = lim

h→0 f(x1, x2, . . . , xj + h, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)

h = lim

h→0 f(x + hej)− f(x)

h ,

donde 1 ≤ j ≤ n y ej es el j-ésimo vector de la base canónica; es decir, la derivada parcial de f con respecto a la variable xj es simplemente la derivada “usual” de f con respecto a la variable xj , si se supone que el resto de las variables son constantes.

Si f : U −→ Rm, entonces f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)), y podemos hablar de la derivada parcial ∂fi/∂xj de la componente i-ésima de f con respecto a la variable xj .

Definición. Sean U ⊆ R2 un conjunto abierto, (x0, y0) ∈ U y f : U −→ R. Decimos que f es diferenciable en (x0, y0) si ∂f/∂x y ∂f/∂y existen en (x0, y0) y si

lim (x,y)(x0,y0)

f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f∂x (x0, y0)(x− x0)− ∂f∂y (x0, y0)(y − y0) (x, y)(x0, y0)= 0 .

En este caso se define el plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0, y0) como

z = f(x0, y0) + ∂f

∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f

∂y (x0, y0)(y − y0) .

Definición. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ Rm. Decimos que f es diferenciable en x0 si las derivadas parciales de f existen en x0 y si

lim xx0

‖f(x)− f(x0)T(xx0)‖ ‖xx0= 0 ,

donde T = Df(x0) es la matriz m × n cuyo elemento en la fila i y columna j es ∂fi/∂xj evaluada en x0 y T(xx0) es el producto de T con xx0 (considerado como matriz columna). Llamamos a T la derivada o diferencial o matriz jacobiana de f en x0.

Definición. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y f : U −→ R diferenciable en U . En este caso la matriz derivada de f en x tiene 1 fila y n columnas, es decir, es el vector

Df(x) = (∂f(x)

∂x1 , · · · , ∂f(x)

∂xn

) ,

y también se denomina gradiente de f en x. El gradiente suele designarse por los śımbolos grad f ∇f . Teorema 1. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ Rm. Si f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0.

Observación. Puede ocurrir que existan las derivadas parciales de una función en x0, y que la función no sea continua en x0. Esto demuestra que la definición que hemos dado de función diferenciable es la “correcta”.

Teorema 2. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ Rm. Si existen todas las derivadas parciales ∂fi/∂xj de f y son continuas en un entorno de x0, entonces f es diferenciable en x0.

3

Teorema 3. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U , c ∈ R y f, g : U −→ Rm. Si f y g son diferenciables en x0, entonces:

(1) cf(x) es diferenciable en x0, y D(cf)(x0) = cDf(x0). (2) f(x) + g(x) es diferenciable en x0, y D(f + g)(x0) = Df(x0) + Dg(x0). (3) f(x)g(x) es diferenciable en x0 si m = 1, y D(fg)(x0) = g(x0)Df(x0) + f(x0)Dg(x0). (4) f(x)/g(x) es diferenciable en x0 si m = 1 y g(x0) 6= 0, y

D (f

g

) (x0) =

g(x0)Df(x0)− f(x0)Dg(x0) g(x0)2

.

Teorema 4. (Regla de la cadena.) Sean U ⊆ Rn y V ⊆ Rm conjuntos abiertos con x0 ∈ U y f(x0) ∈ V , f : U −→ Rm y g : V −→ Rk. Si f(x) es diferenciable en x0 y g(x) es diferenciable en f(x0), entonces la composición (g ◦ f)(x) = g(f(x)) es diferenciable en x0, y

D ( g ◦ f)(x0) = (Dg)(f(x0))Df(x0) .

Por ejemplo, si g : R −→ R3, f : R3 −→ R, podemos escribir g(t) = (x(t), y(t), z(t)). Si definimos h : R −→ R por h(t) = f(g(t)), entonces

dh

dt =

∂f

∂x

dx

dt +

∂f

∂y

dy

dt +

∂f

∂z

dz

dt .

Como un segundo ejemplo, si g : R3 −→ R3, f : R3 −→ R, podemos escribir g(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)). Si definimos h : R3 −→ R por h(x, y, z) = f(g(x, y, z)) = f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)), entonces

∂h

∂x =

∂f

∂u

∂u

∂x +

∂f

∂v

∂v

∂x +

∂f

∂w

∂w

∂x ,

∂h

∂y =

∂f

∂u

∂u

∂y +

∂f

∂v

∂v

∂y +

∂f

∂w

∂w

∂y ,

∂h

∂z =

∂f

∂u

∂u

∂z +

∂f

∂v

∂v

∂z +

∂f

∂w

∂w

∂z .

Definición. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U , v Rn y f : U −→ Rm. La derivada direccional de f en x0 a lo largo del vector v se define como

d

dt f(x0 + tv)

∣∣∣ t=0

= lim t→0

f(x0 + tv)− f(x0) t

.

Habitualmente se elige el vector v unitario (con norma 1). En este caso se habla de la derivada direccional de f en x0 en la dirección v.

Teorema 5. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ Rm. Si f es diferenciable en x0 entonces existen todas las derivadas direccionales de f en x0. Además, la derivada direccional de f en x0 en la dirección v es igual a Df(x0)v.

En éste último producto Df(x0)v, el vector v debe escribirse como vector columna para que pueda realizarse el producto de matrices.

Teorema 6. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ R. Si f es diferenciable en x0 y ∇f(x0) 6= 0, entonces ∇f(x0) es perpendicular al conjunto de nivel de f de valor f(x0). Teorema 7. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ R. Si f es diferenciable en x0 y ∇f(x0) 6= 0, entonces ∇f(x0) es la dirección en la que la derivada direccional en x0 de f es máxima y −∇f(x0) es la dirección en la que la derivada direccional en x0 de f es mı́nima (f crece más rápidamente desde x0 en la dirección ∇f(x0), y decrece más rápidamente en la dirección −∇f(x0)).

4

Definición. Una trayectoria en Rn es una aplicación c : [a, b] −→ Rn. Si n = 2 es una trayectoria en el plano, y si n = 3 es una trayectoria en el espacio. Llamamos curva a la imagen de c en Rn. Si c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), definimos la velocidad de c como c′(t) = (x′1(t), . . . , x

′ n(t)), y la aceleración de c

como c′′(t) = (x′′1(t), . . . , x ′′ n(t)). Llamamos rapidez de c a la norma del vector velocidad c

(t).

Definición. Sean U ⊆ R2 un conjunto abierto y f : U −→ R. Definimos las derivadas parciales de orden 2 de f como

2f

∂x2 =

∂x

(∂f ∂x

) ,

2f

∂x∂y =

∂x

(∂f ∂y

) ,

2f

∂y∂x =

∂y

(∂f ∂x

) ,

2f

∂y2 =

∂y

(∂f ∂y

) .

Esto puede repetirse para las derivadas de tercer orden o de orden superior a tres. De forma análoga se definen las derivadas parciales de orden mayor que uno para funciones de n variables.

Definición. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y f : U −→ R. Decimos que f es de clase Ck en U si f y todas sus derivadas parciales de orden 1, 2, . . . , k, son continuas en U .

Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y f : U −→ Rm. Si f = (f1, . . . , fm), decimos que f es de clase Ck en U si fi es de clase Ck en U para i = 1, 2, . . . ,m.

Teorema 8. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y f : U −→ R. Si f es de clase C2 en U entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales, es decir, si 1 ≤ i, j ≤ n se tiene en U

2f

∂xi∂xj =

2f

∂xj∂xi .

Definición. Ya hemos definido el gradiente de f : U ⊆ Rn −→ R como

grad f = ∇f = ( ∂f

∂x1 ,

∂f

∂x2 , . . . ,

∂f

∂xn

) .

Definimos la divergencia de F : U ⊆ Rn −→ Rn (es decir, F = (F1, F2, . . . , Fn)) como

div F = ∇ · F = ∂F1 ∂x1

+ ∂F2 ∂x2

+ · · ·+ ∂Fn ∂xn

.

Definimos el rotacional de F : U ⊆ R3 −→ R3 (es decir, F = (F1, F2, F3)) como

rot F = ∇× F = det

 

i j k

∂x

∂y

∂z

F1 F2 F3

  =

(∂F3 ∂y

− ∂F2 ∂z

, ∂F1 ∂z

− ∂F3 ∂x

, ∂F2 ∂x

− ∂F1 ∂y

) .

Definición. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ R. Decimos que x0 es un máximo local de f si existe un entorno V de x0 tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ V ; x0 es un máximo local estricto de f si existe un entorno V de x0 tal que f(x) < f(x0) para todo x ∈ V \ {x0}. Decimos que x0 es un mı́nimo local de f si existe un entorno V de x0 tal que f(x) ≥ f(x0) para todo x ∈ V ; x0 es un mı́nimo local estricto de f si existe un entorno V de x0 tal que f(x) > f(x0) para todo x ∈ V \ {x0}. El punto x0 es un extremo local de f si es un mı́nimo local o un máximo local. Los puntos x0 que verifican ∇f(x0) = 0 se denominan puntos cŕıticos de f . Un punto cŕıtico que no es un extremo local se denomina punto de silla.

Teorema 9. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, x0 ∈ U y f : U −→ R. Si f es diferenciable en x0 y f presenta en x0 un extremo local, entonces x0 es un punto cŕıtico de f , es decir, ∇f(x0) = 0.

5

Definición. Se define la matriz Hessiana de f : U ⊆ Rn −→ R como

Hf =

 

2f

∂x21

2f

∂x2∂x1 · · · ∂

2f

∂xn∂x1

2f

∂x1∂x2

2f

∂x22 · · · ∂

2f

∂xn∂x2

· · · · · · · · · · · · ∂2f

∂x1∂xn

2f

∂x2∂xn · · · ∂

2f

∂x2n

 

Teorema 10. Sean U ⊆ R2 un conjunto abierto y f : U −→ R una función de clase C2 en U . Un punto (x0, y0) ∈ U es un mı́nimo local estricto de f si se cumplen las tres condiciones siguientes:

(1) (x0, y0) es un punto cŕıtico de f ,

(2) 2f

∂x2 (x0, y0) > 0 ,

(3) D = det Hf = 2f

∂x2 · ∂

2f

∂y2

( 2f ∂x∂y

)2 > 0 , en (x0, y0) .

D se llama discriminante. Si en (2) ponemos < 0 en lugar de > 0, sin cambiar las condiciones (1) y (3), entonces tenemos un máximo local estricto.

Teorema 11. Sean U ⊆ R2 un conjunto abierto, (x0, y0) ∈ U y f : U −→ R una función de clase C2 en U . Si (x0, y0) es un punto cŕıtico de f y el discriminante D de f en (x0, y0) verifica D < 0, entonces (x0, y0) es un punto de silla de f .

Si el discriminante D de f en (x0, y0) verifica D = 0, no podemos deducir que (x0, y0) sea máximo local, mı́nimo local o punto de silla de f .

Teorema 12. Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, f : U −→ R una función de clase C2 en U , y x0 ∈ U un punto cŕıtico de f .

(1) Si todos los autovalores de la matriz Hf(x0) son estrictamente positivos, entonces x0 es un punto mı́nimo local estricto de f .

(2) Si todos los autovalores de la matriz Hf(x0) son estrictamente negativos, entonces x0 es un punto máximo local estricto de f .

(3) Si dos autovalores de la matriz Hf(x0) tienen distinto signo, entonces x0 es un punto de silla de f .

Teorema 13. (Multiplicadores de Lagrange.) Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y f, g : U −→ R funciones de clase C1 en U . Sean x0 ∈ U , c = g(x0) y S el conjunto de nivel de g de valor c (es decir, el conjunto de puntos x ∈ U tales que g(x) = c). Supongamos que ∇g(x0) 6= 0. Si la restricción de f a S (denotada por f |S) tiene un máximo o un mı́nimo local en x0, entonces existe un número real λ tal que

∇f(x0) = λ∇g(x0) .

Los puntos x0 que verifican ∇f(x0) = λ∇g(x0) se denominan puntos cŕıticos de f |S . Teorema 14. (Localización de máximos y mı́nimos absolutos.) Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y acotado, y f : U −→ R una función continua en U . Entonces los valores máximo y mı́nimo de f en U se alcanzan en puntos pertenecientes a alguno de los siguientes conjuntos:

(1) los puntos de U en los que f no es diferenciable, (2) los puntos cŕıticos de f en U , (3) los puntos máximo y mı́nimo de f |∂U .

6

Teorema 14’. (Localización de máximos y mı́nimos absolutos.) Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto y acotado, A un conjunto abierto que contiene a U y f : A −→ R una función diferenciable en A. Supongamos que existen c ∈ R y una función g tales que ∂U = {x Rn : g(x) = c}, g es diferenciable en ∂U y ∇g(x) 6= 0 para todo x ∈ ∂U . Entonces los valores máximo y mı́nimo de f en U se alcanzan en los puntos cŕıticos de f en U o en los puntos cŕıticos de f |∂U .

4. INTEGRAL DE RIEMANN EN DIMENSION n

Definición. Sea R un rectángulo n-dimensional R = [a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn], con ai < bi, para i = 1, . . . , n. Se define la medida (n-dimensional) de R como |R| = (b1 − a1)(b2 − a2) · · · (bn − an). Observación. Habitualmente la dimensión n será dos o tres, por lo que estaremos trabajando con subcon- juntos del plano o del espacio. Si n = 2, la medida de R es el área de R. Si n = 3, la medida de R es el volumen de R. Definición. Una partición P del rectángulo n-dimensional R es una partición de cada uno de los intervalos coordenados [ai, bi], de modo que expresamos R como unión de subrectángulos R = ∪Ni=1Ri. Definición. Sea f una función acotada en un rectángulo n-dimensional R y P una partición de R tal que R = ∪Ni=1Ri. Definimos las siguientes cantidades para i = 1, . . . , N ,

Mi = sup{f(x) : x ∈ Ri} , mi = inf{f(x) : x ∈ Ri} .

La suma superior asociada a P de f y la suma inferior asociada a P de f son respectivamente

Uf (P ) = N

i=1

Mi|Ri| , Lf (P ) = N

i=1

mi|Ri| .

Teorema 1. Sea f una función acotada en R. Entonces

sup P

Lf (P ) inf P

Uf (P ) .

Definición. Si f es una función acotada en R tal que existe un número real I verificando

sup P

Lf (P ) = inf P

Uf (P ) = I

diremos que f es integrable en R. Al número I lo llamaremos la integral (definida) de f en R, y lo escribiremos

I = ∫

R

f = ∫

R

f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn = ∫ bn

an

· · · b1

a1

f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn .

Observación. Si f es integrable en R, el número I es el único que verifica

Lf (P ) ≤ I ≤ Uf (P ) para toda partición P de R.

Teorema 2. Si f es una función acotada en R y existe una sucesión de particiónes {Pn} de R tales que

lim n→∞

Uf (Pn) = lim n→∞

Lf (Pn) ,

entonces f es integrable en R y además

lim n→∞

Uf (Pn) = lim n→∞

Lf (Pn) = ∫

R

f .

Teorema 3. Si f es una función continua en R entonces f es integrable en R.

7

Teorema 4. (Teorema de Fubini). Sea R = [a1, b1]× · · · × [an, bn] = R1 ×R2 un rectángulo n-dimensional, donde R1 = [a1, b1] × · · · × [aj , bj ] y R2 = [aj+1, bj+1] × · · · × [an, bn]. Si f es una función integrable en R entonces ∫

R

f = ∫

R1

( ∫

R2

f(x, y) dy )

dx = ∫

R2

( ∫

R1

f(x, y) dx )

dy ,

donde x = (x1, . . . , xj) e y = (xj+1, . . . , xn).

Definición. Si D es una región acotada en Rn y f es una función acotada en D se define la integral de f en D como ∫

D

f = ∫

R

f∗ ,

donde R es cualquier rectángulo n-dimensional que contenga a D y f∗ es la función definida en todo Rn

como

f∗(x) = {

f(x) si x ∈ D 0 si x /∈ D .

Teorema 5. Si f, g son funciones integrables en la región acotada D y c ∈ R, entonces

(i) f + g es integrable en D y ∫

D

(f + g) = ∫

D

f + ∫

D

g ,

(ii) cf es integrable en D y ∫

D

cf = c

D

f ,

(iii) |f | es integrable en D y ∫

D

∣∣f ∣∣ ∣∣∣ ∫

D

f ∣∣∣ ,

(iv) f · g es integrable en D y ( ∫

D

fg )2

( ∫

D

f2 )( ∫

D

g2 ) .

Observaciones. Las propiedades (i) y (ii) nos indican que el conjunto de las funciones integrables en D es un espacio vectorial y la integral es un operador lineal en este espacio. La propiedad (iv) se denomina desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Definición. Un conjunto A de Rn se dice que tiene medida cero (n-dimensional), y lo escribiremos |A| = 0, si para cada ε > 0 existe un conjunto de rectángulos n-dimensionales R1, R2, . . . finito o numerable tal que

A ⊂ R1 ∪R2 ∪ · · · y |R1|+ |R2|+ · · · < ε .

Diremos que una propiedad se verifica en casi todo punto de B si el conjunto de puntos de B que no verifican esa propiedad tiene medida cero.

Lema 1. (1) Se obtiene una definición equivalente de conjuntos de medida cero si se toman rectángulos abiertos (o bolas abiertas o bolas cerradas) en vez de rectángulos cerrados. (2) Si A ⊂ B y |B| = 0, entonces |A| = 0. (3) Si A es un conjunto finito o numerable, entonces |A| = 0. (4) La unión finita o numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero. (5) Si A ⊂ Rn es un conjunto que tiene “dimensión” menor que n, entonces |A| = 0. Corolario 1. La unión finita o numerable de curvas en Rn tiene medida cero si n ≥ 2. La unión finita o numerable de superficies en Rn tiene medida cero si n ≥ 3. Teorema 6. (1) Sea f una función acotada en el rectángulo R. Entonces f es integrable en R si y sólo si el conjunto de discontinuidades de f en R tiene medida cero. (2) Sea f una función acotada en la región acotada D con |∂D| = 0. Entonces f es integrable en D si y sólo si el conjunto de discontinuidades de f en D tiene medida cero.

8

Definición. Si la región acotada D verifica |∂D| = 0, se define la medida de D como |D| = ∫ D

1. Por tanto, si D ⊂ R2, ∫

D 1 es el área de D y, si D ⊂ R3, ∫

D 1 es el volumen de D.

Teorema 7. Sea D una región acotada. Si las funciones f y g son integrables en D y son iguales en casi todo punto de D, es decir, el conjunto {x ∈ D : f(x) 6= g(x)} tiene medida cero, entonces

D

f = ∫

D

g .

Teorema 8. Si f es integrable en la región acotada D y m ≤ f(x) ≤ M para casi todo x ∈ D entonces

m |D| ≤

D

f ≤ M |D| .

Corolario 2. Sean f, g funciones integrables en la región acotada D.

(i) Si f(x) 0 para casi todo x ∈ D, entonces ∫

D

f ≥ 0 .

(ii) Si f(x) ≥ g(x) para casi todo x ∈ D, entonces ∫

D

f ≥

D

g .

Teorema 9. Sea f una función integrable en la región acotada D. Si f(x) 0 para casi todo x ∈ D y existe un punto x0 ∈ D con f continua en x0 y f(x0) > 0, entonces

D

f > 0 .

Teorema 10. (Teorema del valor medio de la integral). Sean f continua en la región acotada D y g(x) 0 para casi todo x ∈ D. Si f y g son integrables en D, entonces:

(i) Existe c1 ∈ D tal que ∫

D

f = f(c1) |D| .

(ii) Existe c2 ∈ D tal que ∫

D

fg = f(c2) ∫

D

g .

Teorema 11. Sean D una región acotada y f una función definida en D. Si D es la unión de las regiones de interiores disjuntos D = D1 ∪ · · · ∪Dk, con |∂Di| = 0 para i = 1, . . . , k, entonces f es integrable en D si y sólo si es integrable en Di para i = 1, . . . , k. Además se tiene que

D

f = k

i=1

Di

f .

Definición. Una región D ⊂ Rn se dice simétrica con respecto a la variable xj (1 ≤ j ≤ n) si verifica la siguiente propiedad: (x1, . . . , xj−1, xj , xj+1, . . . , xn) ∈ D si y sólo si (x1, . . . , xj−1,−xj , xj+1, . . . , xn) ∈ D.

Una función f definida en D se dice impar en xj si

f(x1, . . . , xj−1,−xj , xj+1, . . . , xn) = −f(x1, . . . , xj−1, xj , xj+1, . . . , xn) ; f se dice par en xj si

f(x1, . . . , xj−1,−xj , xj+1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xj−1, xj , xj+1, . . . , xn) . Teorema 12. Sean D ⊂ Rn una región simétrica con respecto a la variable xj (para algún 1 ≤ j ≤ n) y f una función integrable en D.

(1) Si f es impar en la variable xj , entonces ∫

D f = 0.

(2) Si f es par en la variable xj y se define Dj = {x ∈ D : xj ≥ 0}, entonces ∫

D f = 2

Dj

f .

Definición. Sean D∗ un subconjunto de Rn y T : D∗ −→ Rn una transformación diferenciable. El jacobiano de T es el determinante de la matriz derivada de T , es decir,

JT = det(DT ) .

Observación. Tanto DT como JT son funciones del punto x ∈ D∗.

9

Teorema 13. (Teorema de cambio de variable). Sean D∗ y D regiones de Rn y T : D∗ −→ D una transformación biyectiva de clase C1. Entonces para toda f integrable en D se tiene

D

f(x) dx = ∫

D∗ f(T (u)) |JT (u)| du ,

donde x = (x1, . . . , xn) y u = (u1, . . . , un). Observación 1. El Teorema de cambio de variable sigue siendo cierto si las hipótesis de biyectividad y diferenciabilidad dejan de cumplirse en un conjunto de medida cero. Observación 2. Si T−1 denota la inversa de la aplicación diferenciable T , del teorema de la función inversa se deduce (JT )(JT−1) = 1.

Cambio a coordenadas polares. Este cambio viene dado al pasar de las coordenadas cartesianas (x, y) R2 a (r, θ), con r ≥ 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π, mediante las fórmulas:

x = r cos θ , y = r sen θ .

Observemos que r = √

x2 + y2 , θ = arctan(y/x). El determinante jacobiano del cambio es r.

Cambio a coordenadas ciĺındricas. Este cambio viene dado al pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) R3 a (r, θ, z), con r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π y z ∈ R, mediante las fórmulas:

x = r cos θ , y = r sen θ , z = z .

El determinante jacobiano del cambio es r.

Cambio a coordenadas esféricas. Este cambio viene dado al pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) R3 a (ρ, θ, φ), con ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ φ ≤ π, mediante las fórmulas:

x = ρ cos θ sen φ , y = ρ sen θ sen φ , z = ρ cosφ .

El valor absoluto del determinante jacobiano del cambio es ρ2senφ.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN DIMENSION n.

Valor medio. Si D es una región acotada en Rn y f es una función integrable en D se define el promedio o valor medio de f en D como

1 |D|

D

f =

D

fD

1 .

Centro de gravedad. Si un cuerpo ocupa una región del espacio D y en cada punto (x, y, z) ∈ D su densidad es ρ(x, y, z), se define su centro de gravedad o centro de masa (y lo denotaremos por (x, y, z)), como

x = 1 M

∫∫∫

D

(x, y, z) dxdydz , y = 1 M

∫∫∫

D

(x, y, z) dxdydz , z = 1 M

∫∫∫

D

(x, y, z) dxdydz ,

donde M es la masa del cuerpo, que puede calcularse como M = ∫∫∫

D ρ(x, y, z) dxdydz.

Momento de inercia. Si un cuerpo ocupa una región del espacio D y en cada punto (x, y, z) ∈ D su densidad es ρ(x, y, z), se define su momento de inercia respecto del eje E (y lo denotaremos por IE) como

IE = ∫∫∫

D

dist ((x, y, z), E)2ρ(x, y, z) dxdydz ,

donde dist ((x, y, z), E) es la distancia del punto (x, y, z) al eje E. Recordemos que dist ((x, y, z), X)2 = y2 + z2, dist ((x, y, z), Y )2 = x2 + z2 y dist ((x, y, z), Z)2 = x2 + y2.

10

5. INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE

5.1. Integrales de ĺınea.

Habitualmente suele identificarse una trayectoria σ : [a, b] −→ Rn con su curva imagen σ([a, b]) Rn, que es la idea “intuitiva” que se tiene de una “curva”.

Definición. Una curva σ : [a, b] −→ Rn se dice regular si es diferenciable y σ′(t) = (x′1(t), . . . , x′n(t)) 6= 0 para todo t ∈ [a, b]. En este caso se define la recta tangente r a σ en el punto σ(t0), con t0 [a, b], (en forma paramétrica) como r(λ) = σ(t0) + λσ′(t0).

Definición. Una curva σ : [a, b] −→ Rn se dice simple si es inyectiva en [a, b], es decir, si σ(t0) 6= σ(t1) siempre que t0 6= t1. Se dice que σ es cerrada si σ(a) = σ(b). Se dice que σ es cerrada simple si es cerrada y es inyectiva en [a, b).

Definición. Una función f : [a, b] −→ Rn es continua a trozos si existen t0 = a < t1 < · · · < tM−1 < tM = b, tales que f es continua en cada (ti, ti+1) y existen los ĺımites laterales de f(t) en cada ti, aunque no tienen por qué coincidir. (En t0 sólo se pide que exista el ĺımite por la derecha y en tM que exista el ĺımite por la izquierda).

Una curva σ : [a, b] −→ Rn es de clase C1 a trozos si σ′ es continua a trozos en [a, b]. Definición. Sea Ω un abierto de Rn. Decimos que una función definida en Ω es un campo escalar si toma valores reales, y que es un campo vectorial si toma valores en Rn. Obsérvese que el dominio y la imagen de un campo vectorial tienen la misma dimensión.

Definición. (Integral de un campo escalar sobre una curva). Si σ : [a, b] −→ Rn es C1 a trozos y f : σ([a, b]) −→ R es continua a trozos, se define la integral de f a lo largo de σ, también llamada la integral de ĺınea o de trayectoria, como

σ

f = ∫ b

a

f(σ(t))‖σ′(t)‖ dt = ∫ b

a

f(x1(t), . . . , xn(t)) √

(x′1(t))2 + · · ·+ (x′n(t))2 dt .

La integral de ĺınea del campo escalar f también suele denotarse por ∫

σ f ds

σ

f(x1, . . . , xn) ds. En particular, se define la longitud de σ como la integral de la función 1 a lo largo de σ, es decir,

l(σ) = ∫

σ

1 = ∫ b

a

‖σ′(t)‖ dt ,

y el valor promedio de f a lo largo de σ como

1 l(σ)

σ

f = 1

l(σ)

b a

f(σ(t))‖σ′(t)‖ dt .

Definición. (Integral de un campo vectorial sobre una curva). Si σ : [a, b] −→ Rn es C1 a trozos y F : σ([a, b]) −→ Rn es continua a trozos, se define la integral de F a lo largo de σ, también llamada la integral de ĺınea o de trayectoria, como

σ

F = ∫ b

a

F (σ(t)) · σ′(t) dt = ∫ b

a

F (x1(t), . . . , xn(t)) · σ′(t) dt .

donde · denota el producto escalar usual. La integral de ĺınea del campo vectorial F también suele denotarse por

σ

F · ds ó ∫ σ

F (x1, . . . , xn) · ds o también ∫

σ F1 dx1 + · · ·+ Fn dxn, si F = (F1, . . . , Fn).

Conviene destacar que la integral del campo vectorial F a lo largo de σ es igual a la integral de un campo escalar, el de la componente tangente a σ de F a lo largo de σ, es decir, FT = F · s, donde s es el vector tangente unitario s(t) = σ′(t)/‖σ′(t)a la curva σ.

11

Definición. Sea σ : [a, b] −→ Rn una curva simple. Decimos que ρ : [α, β] −→ Rn es una reparametriza- ción de σ (o que σ y ρ son parametrizaciones de la misma curva) si existe una función continua e inyectiva h : [α, β] −→ [a, b] tal que ρ = σ ◦h. Decimos también que σ y ρ tienen la misma orientación si h es creciente y tienen distinta orientación si h es decreciente.

Si σ y ρ son parametrizaciones de la misma curva simple y no cerrada, σ y ρ tienen la misma orientación si y sólo si comienzan en el mismo punto, es decir, si σ(a) = ρ(α) (y por tanto, σ(b) = ρ(β)).

Teorema 1. La integral de un campo escalar a lo largo de una curva simple es independiente de la parametrización, es decir, si σ, ρ son parametrizaciones C1 a trozos de la misma curva simple en Rn y f : Rn −→ R es continua, entonces ∫

σ

f = ∫

ρ

f .

Teorema 2. Sean σ, ρ parametrizaciones C1 a trozos de la misma curva simple en Rn y F : Rn −→ Rn continua. Entonces: (1) Si σ y ρ tienen la misma orientación

σ

F · ds = ∫

ρ

F · ds .

(2) Si σ y ρ tienen distinta orientación

σ

F · ds =

ρ

F · ds .

Teorema 3. Sean σ : [a, b] −→ Rn una curva C1 a trozos y f : Rn −→ R una función de clase C1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces ∫

σ

∇f · ds = f(σ(b))− f(σ(a)) .

Corolario 1. Sean σ : [a, b] −→ Rn una curva cerrada C1 a trozos y f : Rn −→ R una función de clase C1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces ∫

σ

∇f = 0 .

Definición. Sea Ω un abierto de Rn. Se dice que el campo vectorial F : Ω −→ Rn es una forma diferencial exacta (o un campo conservativo) en Ω si existe un campo escalar f : Ω −→ Rn que verifica ∇f = F en Ω. El campo f se denomina potencial de F . Definición. Sea Ω un abierto conexo de Rn. Decimos que Ω es simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en Ω puede deformarse continuamente dentro de Ω en un punto.

Si Ω es convexo, entonces es simplemente conexo. Si n = 2, Ω es simplemente conexo si y sólo si no tiene “agujeros”. Si n = 3, una bola a la que quitamos un número finito de puntos es un conjunto simplemente conexo.

Teorema 4. Sean D un abierto simplemente conexo de Rn y F un campo vectorial de clase C1(D). Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) F es un campo conservativo en D, es decir, existe f de clase C2(D) tal que ∇f = F . (2) Para toda curva cerrada σ contenida en D se tiene

σ

F · ds = 0. (3) Para toda par de curvas σ1, σ2 contenidas en D y con los mismos extremos se tiene

σ1

F · ds = ∫

σ2

F · ds .

(4) ∂Q/∂x = ∂P/∂y en D, si n = 2 y F = (P, Q). (4) ∇× F = 0 en D, si n = 3.

12

5.2. Integrales de superficie.

Definición. Una superficie parametrizada o simplemente superficie es una aplicación continua Φ : D −→ R3, donde D es un abierto de R2. Esta aplicación puede escribirse como

Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) .

Habitualmente suele identificarse una superficie Φ con su imagen S = Φ(D) R3, que es la idea “intuitiva” que se tiene de una “superficie”.

Definición. Dada una superficie Φ, se definen los vectores tangentes coordenados como

Tu = (∂x

∂u , ∂y

∂u , ∂z

∂u

) , Tv =

(∂x ∂v

, ∂y

∂v , ∂z

∂v

) .

Como estos vectores son tangentes a las imágenes mediante Φ de las curvas v = cte. y u = cte. respectiva- mente, y estas imágenes son curvas contenidas en la superficie, se tiene que Tu y Tv son vectores tangentes a la superficie, y por tanto, Tu × Tv es un vector perpendicular a la superficie. Definición. Se dice que una supericie Φ : D −→ R3 es regular si es diferenciable y Tu × Tv 6= 0 en todo punto de D. En este caso se define el plano tangente a Φ en el punto Φ(u0, v0) = (x0, y0, z0), con (u0, v0) ∈ D, como (Tu × Tv)(u0, v0) · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0. También se define el vector normal unitario a Φ como

n = Tu × Tv ‖Tu × Tv‖ .

Definición. Se dice que una superficie es orientable si “tiene dos caras”, es decir, si existe una determi- nación de vector normal unitario que sea continua en toda la superficie. Si Φ1 y Φ2 son dos parametrizaciones de la superficie orientable S, decimos que tienen la misma orientación si sus vectores normales unitarios co- inciden, y que tienen distinta orientación si el vector normal unitario a Φ2 es igual al vector normal unitario a Φ1 multiplicado por 1. Definición. (Integral de un campo escalar en una superficie). Si Φ : D −→ R3 es una superficie diferenciable y f : Φ(D) −→ R es continua, se define la integral de f en Φ como

Φ

f = ∫

Φ

f dS = ∫

D

f ( Φ(u, v)

)∥∥(Tu × Tv)(u, v) ∥∥ du dv .

En particular, se define el área de Φ como la integral de la función 1 en Φ, es decir,

A(Φ) = ∫

Φ

1 = ∫

D

‖Tu × Tv‖ .

y el valor promedio de f en Φ como 1

A(Φ)

Φ

f .

Definición. (Integral de un campo vectorial en una superficie). Si Φ : D −→ R3 es una superficie diferenciable y F : Φ(D) −→ R3 es continua, se define la integral de F en Φ como

Φ

F = ∫

Φ

F · dS = ∫

D

F ( Φ(u, v)

) · (Tu × Tv ) (u, v) du dv .

Conviene destacar que la integral del campo vectorial F en Φ es igual a la integral en Φ de la componente normal a Φ de F , es decir, Fn = F · n, donde n es el vector normal unitario a Φ. Por tanto,

Φ

F · dS = ∫

Φ

Fn = ∫

Φ

F · n dS .

13

Teorema 6. La integral de un campo escalar en una superficie diferenciable es independiente de la parametrización, es decir, si Φ1, Φ2 son parametrizaciones de la misma superficie y f : R3 −→ R es continua, entonces ∫

Φ1

f = ∫

Φ2

f .

Teorema 7. Sean Φ1,Φ2 parametrizaciones diferenciables de la misma superficie orientable y F una apli- cación continua F : R3 −→ R3. Entonces: (1) Si Φ1 y Φ2 tienen la misma orientación∫

Φ1

F · dS = ∫

Φ2

F · dS .

(2) Si Φ1 y Φ2 tienen distinta orientación∫

Φ1

F · dS =

Φ2

F · dS .

Definición. Una superficie es diferenciable a trozos si es una unión finita de superficies diferenciables. Si una superficie S es diferenciable a trozos se define la integral de una función en S como la suma de sus integrales en las superficies que constituyen S.

5.3. Teoremas del cálculo vectorial.

Definición. Una curva simple cerrada γ está orientada en sentido positivo si se recorre en contra del movimiento de las agujas del reloj (sentido antihorario).

Teorema 8. (Primera versión del Teorema de Green). Sean D ⊂ R2 un abierto acotado tal que ∂D es una curva simple cerrada de clase C1 a trozos y P, Q funciones escalares de clase C1 en D. Entonces∫

∂D

P dx + Qdy = ∫

D

(∂Q ∂x

− ∂P ∂y

) dx dy ,

si ∂D está orientada en sentido positivo. Teorema 9. (Segunda versión del Teorema de Green). Sean D ⊂ R2 un abierto conexo acotado tal que ∂D es una unión finita de curvas simples cerradas de clase C1 a trozos y P,Q funciones escalares de clase C1 en D. Entonces ∫

∂D

P dx + Qdy = ∫

D

(∂Q ∂x

− ∂P ∂y

) dx dy ,

si ∂D está orientada de la siguiente manera: la curva exterior se recorre en contra del movimiento de las agujas del reloj y las curvas interiores se recorren en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

Teorema 10. (Teorema de Stokes). Sean S ⊂ R3 una superficie diferenciable a trozos y orientable tal que ∂S es una unión finita de curvas simples cerradas C1 a trozos, y F un campo vectorial de clase C1 en un entorno de S. Si la orientación de ∂S es compatible con la de S, entonces∫

∂S

F · ds = ∫

S

rot F · dS .

Corolario 2. Sean S ⊂ R3 una superficie cerrada (es decir, la frontera de una región acotada de R3 “sin agujeros”) diferenciable a trozos y F un campo vectorial de clase C1 en un entorno de S. Entonces∫

S rot F = 0.

Corolario 3. Sean S1, S2 R3 dos superficie diferenciables a trozos y orientables tales que ∂S1 = ∂S2 es una unión finita de curvas simples cerradas C1 a trozos, y F un campo vectorial de clase C1 en un entorno de S1 ∪ S2. Si las orientaciones de S1 y S2 inducen la misma orientación en ∂S1 y en ∂S2, entonces∫

S1 rotF =

S2

rotF.

Teorema 11. (Teorema de Gauss o de la divergencia). Sean Ω R3 un abierto acotado tal que Ω es una unión finita de superficies cerradas y diferenciables a trozos, y F un campo vectorial de clase C1 en Ω. Si Ω está orientada con el vector normal exterior, entonces∫

F · dS = ∫

div F .

14

6. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición. Para todo x > 0, se define la función gamma como

Γ(x) = ∫

0

tx−1e−tdt .

La función gamma tiene las siguientes propiedades: (1) Γ es continua y derivable. (2) Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(1/2) =

√ π.

(3) Γ(x + 1) = xΓ(x). (4) De lo anterior se deduce que lim

x→0+ Γ(x) = +.

(5) Si n ∈ N, Γ(n + 1) = n!. (6) Si n ∈ N, Γ

( n +

1 2

) =

(2n)! 22nn!

√ π.

Definición. Para todo p, q > 0, se define la función beta como

β(p, q) = ∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx, p, q > 0.

La función beta tiene las siguientes propiedades: (1) β es continua y derivable. (2) β(p, q) = β(q, p).

(3) β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q)

.

(4) Si q > 1, entonces β(p, q) = q − 1

p + q − 1β(p, q − 1). (5) Si m,n ∈ N,

(m + n + 1) β(m + 1, n + 1) = (

m + n n

)1 .

(6) β(p, q) = ∫0

tp−1 (1+t)p+q dt.

(7) β(p, q) = 2 ∫ π/2 0

cos2p−1t sen2q−1t dt. (8) β(1/2, 1/2) = π; y como consecuencia, Γ(1/2) =

√ π.

Definición. Dada f : (0,∞) −→ R, se dice que f tiene crecimiento a lo sumo exponencial si para algún α ∈ R se verifica limt→∞ f(t) e−αt = 0. En ese caso podemos definir la transformada de Laplace de f para s > α, como la integral

L(f)(s) = ∫

0

e−stf(t) dt .

La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades: L(αf + βg) = α L(f) + β L(g) α, β ∈ R. L(e−atf(t))(s) = L(f)(s + a) a ∈ R. L(f(at))(s) =

1 a

L(f(t)) ( s a

) a > 0.

Teorema 7. Sea f una función continua en [0,∞) con crecimiento a lo sumo exponencial. (1) Si f es derivable en (0,∞) y f ′ es continua, entonces

L(f ′)(s) = sL(f)(s)− f(0) .

(2) L(f) es derivable y d

ds [L(f)(s)] = −L(t f(t))(s) .

15

(3) L(f) tiene derivadas de todos los órdenes y

dn

dsn [L(f)(s)] = (1)nL(tnf(t))(s) .

Teorema 8. Si f es continua en [0,∞) y tiene crecimiento a lo sumo exponencial, entonces lo mismo es válido para la función

g(x) = ∫ x

0

f(t) dt ,

y además

L(g)(s) = 1 s

L(f)(s) .

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f(t) = 1 , L(f)(s) = 1 s

,

f(t) = tn , L(f)(s) = n!

sn+1 ,

f(t) = ta , L(f)(s) = Γ(a + 1)

sa+1 ,

f(t) = sen(at) , L(f)(s) = a

s2 + a2 ,

f(t) = cos(at) , L(f)(s) = s

s2 + a2 ,

f(t) = sen(at)

t , L(f)(s) = arctan

a

s ,

f(t) = eat , L(f)(s) = 1

s− a ,

f(t) = eattb , L(f)(s) = Γ(b + 1)

(s− a)b+1 ,

f(t) = eatsen(bt) , L(f)(s) = b

(s− a)2 + b2 ,

f(t) = eat cos(bt) , L(f)(s) = s− a

(s− a)2 + b2 ,

f(t) = senh(at) = eat − e−at

2 , L(f)(s) =

a

s2 − a2 ,

f(t) = cosh(at) = eat + e−at

2 , L(f)(s) =

s

s2 − a2 .

16

estan bien
Sí son útiles, un poco incomplento.
estan completos y me han ayudado mucho
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