apuntes de artemio hasta tema 4, Ejercicios de Cálculo. Universidad Complutense de Madrid (UCM)
carlosaguero99
carlosaguero99

apuntes de artemio hasta tema 4, Ejercicios de Cálculo. Universidad Complutense de Madrid (UCM)

PDF (14 MB)
180 páginas
4Número de visitas
Descripción
Asignatura: calculo, Profesor: Artemio Gonzalez, Carrera: Física, Universidad: UCM
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 180
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 180 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 180 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 180 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 180 páginas totales
Descarga el documento

Manual de

Cálculo

Artemio González López

Madrid, febrero de 2018

Autor: Artemio González López

Departamento de Física Teórica Facultad de Ciencias Físicas Avenida Complutense s/n Ciudad Universitaria 28040 Madrid

© El autor

Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra —incluido el diseño de portada—, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento del autor.

ISBN-13: 978-84-608-8859-8

Índice general

1 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad 1 1.1 Vectores cartesianos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 El espacio Rn. Funciones de Rn en Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Espacios métricos, normados y euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Interior, exterior, frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Conjuntos abiertos, cerrados y compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Límite a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Notación o y O de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10 Propiedades topológicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Diferenciabilidad 37

2.1 Derivada de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Derivada de una función de Rn en Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Derivadas direccionales y parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Funciones de clase C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.7 Lema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.8 Interpretación geométrica del gradiente y la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9 Cálculo diferencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Fórmula de Taylor. Extremos. Funciones inversas e implícitas 77

3.1 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3 Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4 Criterio del hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 Teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5.1 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6 Teorema de la función implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6.1 Derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.7 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4 Integrales múltiples 109

4.1 Integral doble en un rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.1.1 Definición de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.1.2 Criterio de integrabilidad de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.1.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2 Integral doble en recintos más generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3 Integrales múltiples en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

i

ii ÍNDICE GENERAL

4.3.1 Integral múltiple en un n-paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.3.2 Integral múltiple en un conjunto medible Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.4 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5 Cambios de variables en integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Integrales de línea y superficie 143

5.1 Integral de una función escalar a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1.1 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1.2 Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.1.3 Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.1.4 Integral de trayectoria de una función escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2 Integral de línea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.2.1 Integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.2.2 Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3 Integral de una función escalar sobre una superficie de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.3.1 Superficies parametrizadas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.3.2 Producto vectorial fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.3.3 Área de una superficie parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.4 Integral de superficie de una función escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4 Integral de superficie de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Capítulo 1

Funciones de Rn en Rm. Límites y

continuidad

1.1 Vectores cartesianos en R3

Intuitivamente, el espacio R3 es el conjunto de los vectores en el espacio ordinario (tridimensio- nal). Como dichos vectores tienen tres componentes xi (i = 1,2,3) según las direcciones de tres ejes perpendiculares (ejes coordenados), podemos asimilar R3 al conjunto

R3 = { (x1, x2, x3)

∣∣ xi ∈ R, i = 1,2,3} . En particular, los vectores unitarios según las direcciones de los ejes coordenados (vectores uni- tarios coordenados) están dados por

e1 ≡ i = (1,0,0) , e2 ≡ j = (0,1,0) , e3 ≡ k = (0,0,1) .

Dos vectores x = (x1, x2, x3),y = (y1, y2, y3) ∈ R3 son iguales si y solo si tienen las mismas componentes, es decir si y solo si xi = yi para todo i = 1,2,3. La suma x+ y de dichos vectores se define mediante la regla del paralelogramo (cf. Fig. 1.1), que es equivalente a la relación

x+ y = (x1 +y1, x2 +y2, x3 +y3) .

Dado un número real λ (escalar), se define el vector λx ∈ R3 mediante la igualdad

λx = (λx1, λx2, λx3) .

Los vectores x y λx son siempre paralelos (si λ 6= 0), y tienen la misma dirección (resp. direcciones opuestas) si λ > 0 (resp. λ < 0). Con las definiciones dadas de suma y producto por escalares, es inmediato comprobar que cualquier vector x = (x1, x2, x3) ∈ R3 se puede escribir como la combinación lineal

x = x1i+ x2j+ x3k ≡ 3∑ i=1 xiei .

Figura 1.1: regla del paralelogramo (O = (0,0,0) es el origen de coordenadas).

1

2 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

Figura 1.2: recta que pasa por el punto a = # —OP en la dirección del vector v = # —PQ (# —OR = x, # — PR = x− a).

El producto escalar de dos vectores x,y ∈ R3 es el número real definido por

x · y = x1y1 + x2y2 + x3y3 ≡ 3∑ i=1 xiyi .

Geométricamente, x · y = ‖x‖‖y‖ cosθ(x,y) , (1.1)

donde ‖x‖ = √x · x es la longitud (o norma) del vector x (y análogamente ‖y‖) y θ(x,y) [0,π] es el ángulo formado por los vectores x,y. En particular, los vectores x,y ∈ R3 son perpendi- culares (u ortogonales) si x · y = 0. Análogamente, se define el producto vectorial x × y de los vectores x,y mediante

x× y = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1) =

∣∣∣∣∣∣∣ i j k

x1 x2 x3 y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣ . Nótese que

(x× y)i = xjyk xkyj ,

donde (i, j, k) es una permutación cíclica de (1,2,3). Geométricamente, el vector x × y es per- pendicular a los vectores x,y (¡demostrarlo!), y su longitud es igual a

‖x× y‖ = ‖x‖‖y‖ sinθ(x,y) .

Por último, el sentido del vector x× y está determinado por la regla del sacacorchos (equivalen- temente, los vectores x,y,x×y tienen la misma orientación que los vectores unitarios coordena- dos i, j,k). En particular, los vectores x,y son paralelos si y solo si x× y = 0. Ejercicio 1. Probar que ‖x× y‖2 = ‖x‖2‖y‖2 − (x · y)2.

Dado un punto a = (a1, a2, a3) ∈ R3, la ecuación paramétrica de la recta que pasa por dicho punto en la dirección del vector v = (v1, v2, v3) 6= 0 es

x = a+ tv , t ∈ R . (1.2)

En efecto, si x es un vector de dicha recta entonces el vector x− a ha de ser paralelo al vector v, y por tanto x− a = tv para algún escalar t (cf. la Fig. 1.2). La ecuación cartesiana de dicha recta se obtiene eliminando el parámetro t de una de las ecuaciones y sustituyendo en las otras dos, lo cual proporciona dos relaciones entre las tres coordenadas (x1, x2, x3) de un punto arbitrario de la recta. Con un ligero abuso de notación, podemos escribir estas dos ecuaciones como

x1 − a1 v1

= x2 − a2 v2

= x3 − a3 v3

, (1.3)

sobreentendiéndose que si vi = 0 entonces simplemente xi = ai.

Vectores cartesianos en R3 3

Figura 1.3: plano perpendicular al vector v que pasa por el punto a = # —OP (# —OR = x, # —PR = x− a).

Ejemplo 1.1. La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (1,−2,0) en la dirección del vector (3,0,−1) es

x = (1,−2,0)+ t(3,0,−1) = (1+ 3t,−2,t) , t ∈ R ,

o equivalentemente,

x1 = 1+ 3t , x2 = −2 , x3 = −t , t ∈ R .

La ecuación cartesiana se obtiene fácilmente eliminando el parámetro t de la última ecuación:

x1 + 3x3 = 1 , x2 = −2 .

Análogamente, la ecuación del plano que pasa por el punto a y es perpendicular al vector v 6= 0 es

(x− a) · v = 0 . (1.4)

En efecto, si el punto x pertenece a dicho plano entonces x−a es perpendicular al vector v, y por tanto (x− a) · v = 0 (cf. la Fig. 1.3). Nótese que la ecuación (1.4) se puede escribir también en la forma

v1(x1 − a1)+ v2(x2 − a2)+ v3(x3 − a3) = 0 .

En general, la ecuación

v1x1 + v2x2 + v3x3 = c

es la ecuación de un plano perpendicular al vector (v1, v2, v3). Dicho plano pasa por el origen de coordenadas si y solo si c = 0.

Ejemplo 1.2. La ecuación del plano perpendicular al vector (−1,0,4) que pasa por el pun- to (1,−2,2) es

(x1 − 1, x2 + 2, x3 − 2) · (−1,0,4) = −x1 + 1+ 4(x3 − 2) = −x1 + 4x3 − 7 = 0 ,

o equivalentemente

x1 − 4x3 = −7 .

Ejercicio 2. ¿Cómo han de ser los vectores a y v para que la recta (1.2) pase por el origen?

Ejercicio 3. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas x = a + tv1 y x = a + tv2 que pasan por el punto a ∈ R3 .

4 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

1.2 El espacio Rn. Funciones de Rn en Rm

El conjunto Rn es el producto cartesiano1 R× · · · ×R︸ ︷︷ ︸ n veces

. En otras palabras,

Rn = { (x1, . . . , xn)

∣∣ xi ∈ R, 1 à i à n} es el conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales. Es importante notar que el adjetivo “ordenadas” en la frase anterior significa que la igualdad de dos elementos x (x1, . . . , xn),y (y1, . . . , yn) ∈ Rn se define por

x = y ⇐⇒ xi = yi , 1 à i à n .

Los n números reales xi (i = 1, . . . , n) se denominan las componentes de x. La suma de dos elementos x (x1, . . . , xn),y (y1, . . . , yn) ∈ Rn y el producto de un escalar λ ∈ R por un elemento x ∈ Rn se definen respectivamente porx +y = (x1 +y1, . . . , xn +yn)λx = (λx1, . . . , λxn) . De las propiedades de la suma de números reales se sigue fácilmente que la suma en Rn es conmutativa y asociativa, su elemento neutro es 0 ≡ (0, . . . ,0) y el inverso de un elemento cual- quiera x = (x1, . . . , xn) es (x1, . . . ,xn) ≡ −x. Se verifican además las siguientes identidades, que relacionan la suma y el producto por escalares:

i) λ(µx) = (λµ)x , λ,µ ∈ R , x ∈ Rn

ii) 1 · x = x, x ∈ Rn

iii) λ(x +y) = λx + λy , λ ∈ R , x,y ∈ Rn

iv) + µ)x = λx + µy λ,µ ∈ R , x ∈ Rn

En otras palabras, con las operaciones que acabamos de definir Rn es un espacio vectorial.

Definición 1.3. Una función de Rn en Rm es una aplicación f : Rn → Rm, es decir una regla que a cada elemento x de un cierto subconjunto no vacío de Rn le asigna de manera unívoca un elemento f(x) ∈ Rm. Si m = 1, se dice que f es una función escalar de n variables reales.

Definición 1.4. El conjuntoD(f ) de todos los elementos x ∈ Rn para los cuales existe (i.e., está definido) f(x) se denomina dominio de la función f . El conjunto R(f ) de todos los valores que toma la función f , es decir de los elementos y ∈ Rm tales que y = f(x) para algún x ∈ Rn, se denomina imagen de f .

En otras palabras,

D(f ) = { x ∈ Rn

∣∣ ∃f(x) ∈ Rm} ⊂ Rn , R(f ) = {f(x) ∣∣ x ∈ D(f )} ⊂ Rm , o equivalentemente2

D(f ) = f−1(Rm) , R(f ) = f(Rn) . 1Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, su producto cartesiano es el conjunto de pares ordenados (a, b)

con a A y b B. En otras palabras, A× B = {(a, b) | a A,b B}, siendo por definición (a1, b1) = (a2, b2) si y solo si a1 = a2 y b1 = b2. El producto cartesiano de n conjuntos se define de forma análoga.

2En general, si A y B son conjuntos arbitrarios y f : AB se define la imagen inversa f−1(C) de un subconjunto C B bajo f como el conjunto de todos los puntos x A tales que f(x) C : f−1(C) ≡ {x A |f(x) C}. Nótese que esta definición tiene sentido aunque la función f no sea invertible.

El espacio Rn. Funciones de Rn en Rm 5

Si f es una función de Rn en Rm y x (x1, . . . , xn) ∈ D(f ), como f(x) es un vector de Rm tendrá m componentes, que denominaremos fi(x) (i = 1, . . . ,m). En otras palabras,

f(x) = ( f1(x), . . . , fm(x)

) , x ∈ D(f ) , (1.5)

donde cada fi es una función de Rn en R, es decir una función escalar de n variables. Las m funciones fi se denominan funciones componentes de f . Nótese que el vector f(x) ∈ Rm está definido si y solo si lo están cada una de sus componentes fi(x), es decir

D(f ) = mi=1 D(fi) . (1.6)

Recíprocamente, m funciones escalares f1, . . . , fm : Rn → R cuyos dominios tienen intersección no vacía definen a través de la ec. (1.5) una función f : Rn → Rm con dominio dado por (1.6). En otras palabras, dar una función de Rn en Rm es equivalente a dar m funciones escalares de n variables. Por este motivo, el estudio de las funciones de Rn en Rm podría en principio reducirse al de las funciones escalares. En general, sin embargo, una función escalar de n > 1 variables no puede expresarse en términos de funciones de una variable. Esta es esencialmente la causa de que el estudio de las funciones de Rn en Rm suponga un salto conceptual importante respecto del estudio análogo de las funciones reales de una variable real.

Ejemplo 1.5. Las funciones de Rn en Rm son una herramienta esencial en la descripción de los fenómenos físicos. Por ejemplo:

i) La temperatura en una región del espacio A ⊂ R3 es una función escalar de 3 variables con dominio A. Otros ejemplos de funciones de R3 en R son los potenciales eléctrico y gravitatorio (estáticos).

ii) La posición, la velocidad y la aceleración de una partícula son ejemplos de funciones de R en R3, es decir funciones vectoriales de una variable real (el tiempo). En este caso, la imagen de la función posición es una curva en R3 llamada trayectoria de la partícula. Análogamente, la línea de universo de una partícula relativista es una función de R (por ejemplo, el tiempo propio de la partícula) en R4 (el tiempo y las tres coordenadas espaciales medidas en un sistema de referencia inercial)

iii) Un campo magnético, eléctrico o gravitatorio estático (independiente del tiempo) en una re- gión del espacio A ⊂ R3 es un ejemplo de función de R3 (las tres coordenadas espaciales) en R3 (las tres componentes del campo) con dominio A. Otro ejemplo de función de R3 en R3

es la velocidad de un fluido estacionario que se mueve en una región del espacio. Un campo eléctrico, magnético o gravitatorio dependiente del tiempo viene descrito por una función de R4 (tres coordenadas espaciales más una temporal) en R3 (las tres componentes del campo).

iv) La métrica de una región A ⊂ R4 del espacio-tiempo puede representarse por una función de R4 (las cuatro coordenadas espacio-temporales) en R10 (las 10 componentes independientes de un tensor simétrico de orden 2 en 4 dimensiones3).

Una función de R en R se puede visualizar de manera relativamente sencilla dibujando su gráfica. En general, es mucho más complicado (si no directamente imposible) visualizar una fun- ción de Rn en Rm. Para ayudar a visualizar tales funciones, suelen ser de utilidad los conceptos de gráfica (análogo al caso de funciones de R en R) y conjunto de nivel definidos a continuación:

3Un tensor de este tipo puede en efecto representarse por una matriz simétrica 4×4, que tiene 10 elementos de matriz independientes.

6 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

Definición 1.6. Sea f : Rn → Rm una función. La gráfica de f es el conjunto

G(f ) = { (x, f (x))

∣∣ x ∈ D(f )} ⊂ Rm+n . Dado un vector c ∈ Rm, el conjunto

Lc(f ) = { x ∈ Rn

∣∣ f(x) = c} ⊂ D(f ) ⊂ Rn se denomina conjunto de nivel de f de valor c.

Es importante notar que la gráfica de f es un subconjunto de Rm+n, mientras que los conjuntos de nivel de f están contenidos en Rn. Es también evidente que Lc(f ) 6= œ si y solo si c ∈ R(f ), y que

R(f ) = { c ∈ Rm

∣∣ Lc(f ) 6= œ} , D(f ) = ⋃ c∈Rm

Lc(f ) = ⋃

c∈R(f ) Lc(f ) .

Obsérvese, por último, que la gráfica G(f ) tiene la siguiente propiedad: si x ∈ Rn e y1, y2 ∈ Rm, entonces

(x,y1) ∈ G(f ) , (x,y2) ∈ G(f ) =⇒ y1 = y2 ,

ya que y1 = y2 = f(x). Recíprocamente, un subconjunto A ⊂ Rm+n es la gráfica de una función f : Rn → Rm si y solo si cumple la propiedad anterior, es decir si

(x,y1) A , (x,y2) A =⇒ y1 = y2 .

En tal casoD(f ) es obviamente la proyección de A sobre el espacio Rn de las n primeras compo- nentes, mientras que R(f ) es la proyección sobre el espacio Rm de las últimasm componentes:

D(f ) = { x ∈ Rn

∣∣ ∃y ∈ Rm t.q. (x,y) A} , R(f ) = {y ∈ Rm ∣∣ ∃x ∈ Rn t.q. (x,y) A} . Ejemplo 1.7. Sea f : R2 → R una función escalar de dos variables. Entonces la gráfica de f es la superficie de R3 de ecuación

z = f(x,y) , (x,y) ∈ D(f ) ,

donde hemos denotado por (x,y, z) las coordenadas cartesianas en R3. Análogamente, si c ∈ R(f ) el conjunto de nivel Lc(f ) es el subconjunto de R2 de ecuación

f(x,y) = c ,

que en general es una curva en el plano (que puede degenerar, en algunos casos, a un punto). Consideremos, por ejemplo, la función f : R2 → R definida por

f(x,y) = √ x2

a2 + y

2

b2 − 1 ,

con a y b constantes positivas. En primer lugar, el dominio de f es el conjunto

D(f ) = { (x,y) ∈ R2

∣∣∣∣ x2a2 + y 2

b2 á 1

} ,

es decir la unión de la elipse (x2/a2)+(y2/b2) = 1 de semiejes a y b con su exterior. Es también claro que R(f ) = [0,). En efecto, por definición f(x,y) á 0, y si c á 0 la ecuación

f(x,y) = c ⇐⇒ x 2

a2 + y

2

b2 − 1 = c2

El espacio Rn. Funciones de Rn en Rm 7

tiene infinitas soluciones (por ejemplo, y = 0 y x = ±a

1+ c2) . El cálculo anterior también demuestra que Lc(f ) = œ si c < 0, y Lc(f ) ⊂ R2 es la elipse

x2

a2 + y

2

b2 = 1+ c2 ,

de semiejes a

1+ c2 y b

1+ c2. Por último, la gráfica de f es el conjunto

G(f ) = {( x,y,

x2

a2 + y

2

b2 − 1

) ∣∣∣∣ (x,y) ∈ D(f )} ⊂ R3 , o equivalentemente

G(f ) = {( x,y, z) ∈ R3

∣∣∣∣ x2a2 + y 2

b2 − z2 = 1 , z á 0

} ,

es decir la intersección del hiperboloide elíptico de una hoja

H = { (x,y, z) ∈ R3

∣∣∣∣ x2a2 + y 2

b2 − z2 = 1

} con el semiespacio z á 0. Si a = b entonces H es un hiperboloide de revolución alrededor del eje z, mientras que si a 6= b las secciones de H (y por tanto G(f )) por planos horizontales z = c á 0 son elipses de semiejes a

√ 1+ c2 y b

√ 1+ c2 (cf. la Fig. 1.4).

x

y

Figura 1.4: Izda.: curvas de nivel de la función del Ejemplo (1.7) (con a = 2, b = 1). Drcha.: gráfica de dicha función.

Ejercicio 4. Repetir el problema anterior para la función

f(x,y) = √ x2

a2 + y

2

b2 + 1

Solución. En este caso

D(f ) = R2 , R(f ) = [1,) , G(f ) = H′ ∩ { (x,y, z) ∈ R3

∣∣ z á 0} siendo

H′ = { (x,y, z) ∈ R3

∣∣∣∣ x2a2 + y 2

b2 − z2 = −1

} .

un hiperboloide elíptico de dos hojas (cf. la Fig. 1.5). Si c á 1, los conjuntos (curvas) de nivel son las elipses

x2

a2 + y

2

b2 = c2 − 1 ,

de semiejes a c2 − 1 y b

c2 − 1 (en particular, L1(f ) = {(0,0)}), mientras que Lc(f ) = œ si

c < 1.

8 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

Figura 1.5: gráfica de la función del Ejercicio 4 (con a = 1, b = 2).

Ejemplo 1.8. Consideremos la función f : R→ R2 dada por

f(t) = (cos t, sin t) .

En este casoD(f ) = R yR(f ) es la circunferencia de centro 0 y radio 1 en R2. La gráfica de f es la curva en R3

G(f ) = { (t, cos t, sin t)

∣∣ t ∈ R} . Se trata de una hélice contenida en el cilindro y2 + z2 = 1 y de paso 2π (el período de las funciones cos y sin).

Figura 1.6: gráfica de la función del Ejemplo 1.8.

Comentario. Nótese que no es de interés considerar los conjuntos de nivel de una función vec- torial de una variable, ya que son en general conjuntos de puntos aislados de la recta real. Así, en el ejemplo anterior

L(1,0)(f ) = {2kπ | k ∈ Z} .

1.3 Espacios métricos, normados y euclidianos

Para el estudio de las funciones de varias variables son fundamentales las propiedades métricas del espacio Rn, que resumiremos en este apartado.

Definición 1.9. Un espacio métrico es un conjuntoM provisto de una aplicación d : M×M → R, llamada distancia, que verifica las siguientes propiedades:

Espacios métricos, normados y euclidianos 9

i) d(x,y) á 0 para todo x,y M , y d(x,y) = 0 si y solo si x = y .

ii) d(x,y) = d(y,x), ∀x,y M .

iii) d(x,y) à d(x, z)+ d(z,y), ∀x,y, z M (desigualdad triangular) .

Nótese que en la definición no se pide que el conjunto M sea un espacio vectorial. Por ejemplo, cualquier subconjunto de la recta real con la distancia d(x,y) = |x y| es un espacio métrico, debido esencialmente a la propiedad

|x +y| à |x| + |y|

del valor absoluto (demostrarlo). Los ejemplos más importantes de espacios métricos están da- dos por los espacios vectoriales provistos de una norma, que definimos a continuación:

Definición 1.10. Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial real V provisto de una aplicación ‖ · ‖ : V → R, llamada norma, que satisface las propiedades siguientes:

i) ‖xá 0 ∀x V , y ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ , ∀λ ∈ R ,x V .

iii) ‖x +yà x‖ + ‖y, x,y V (desigualdad triangular) .

Es claro que R, con la norma definida por ‖x‖ = |x|, es un ejemplo de espacio normado. Es inmediato comprobar que todo espacio normado es automáticamente un espacio métrico,

si definimos la distancia entre dos elementos x,y de dicho espacio mediante

d(x,y) = ‖x y.

En efecto, las propiedades i) y ii) de los espacios métricos se cumplen obviamente en virtud de las dos primeras propiedades de la norma, ya que

d(y,x) = ‖y x‖ = ‖ − (x y)‖ = |−1| ‖x y‖ = ‖x y.

La desigualdad triangular también se verifica en virtud de la tercera propiedad de la norma, al ser

d(x,y) = ‖x z + z yà x z‖ + ‖z y‖ = d(x, z)+ d(z,y) .

Ejercicio 5. Si V es un espacio normado y x,y V , probar que∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ à x y. Solución. La desigualdad propuesta es equivalente a las dos desigualdades

−‖x yà x‖ − ‖yà x y,

cualquiera de las cuales es consecuencia inmediata de la desigualdad triangular de la norma. Por ejemplo,

x‖ ≡ ‖x y +yà x y‖ + ‖y‖ =⇒ ‖x‖ − ‖yà x y.

(De hecho, la desigualdad −‖xyà x‖−‖y‖ se obtiene de la anterior intercambiando x con y .)

Uno de los ejemplos más importantes de espacio normado es el de un espacio euclidiano, que por definición es un espacio vectorial real dotado de un producto escalar. Más precisamente:

10 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

Definición 1.11. Un producto escalar en un espacio vectorial real V es una aplicación 〈·,·〉 : V × V → R que verifica:

i) 〈 λx + µy, z

〉 = λ

x, z

〉 + µ

y,z

, x,y, z V ,λ,µ ∈ R .

ii) 〈 x,y

〉 = 〈 y,x

, x,y V .

iii) 〈 x,x

á 0 ∀x V , y

x,x

〉 = 0 si y solo si x = 0.

Un espacio vectorial euclidiano es un espacio vectorial real dotado de un producto escalar.

Nótese que de las propiedades i) y ii) se sigue que〈 x,λy + µz

〉 = λ

x,y

〉 + µ

x, z

, x,y, z V ,λ,µ ∈ R ;

en otras palabras, el producto escalar es una aplicación bilineal (es decir, lineal en cada uno de sus argumentos).

El ejemplo más importante de espacio euclidiano es el espacio Rn, con el producto escalar definido por 〈

x,y 〉 = x ·y

ni=1 xiyi , (1.7)

donde x (x1, . . . , xn), y (y1, . . . , yn). En general, un espacio euclidiano V es automáticamente un espacio normado (y, por tanto, métrico), definiendo la norma de un vector x mediante

x‖ = √〈 x,x

, x V . (1.8)

En efecto, es inmediato comprobar que con la definición anterior de norma se verifican las pro- piedades i) y ii) de la norma. La propiedad iii) es consecuencia de la desigualdad de Cauchy– Schwarz ∣∣〈x,y〉∣∣ à x‖‖y, x,y V , (1.9) válida en cualquier espacio euclidiano, que demostraremos más abajo. En efecto, de (1.9) se sigue inmediatamente que

x+y‖2 ≡ 〈 x+y,x+y

〉 = ‖x‖2 +‖y‖2 + 2

x,y

à x‖2 +‖y‖2 + 2‖x‖‖y‖ = (x‖+ ‖y)2 ,

que es equivalente a la propiedad iii) de los espacios normados.

Dada su importancia, demostraremos a continuación la desigualdad de Cauchy–Schwarz. En primer lugar, si y = 0 ambos miembros de (1.9) son iguales (a cero), y por tanto la desigual- dad se satisface. Supongamos a continuación que y 6= 0. Si x ∈ Rn es un vector cualquiera, consideremos la función f : R→ R definida por

f(t) = 〈 x + ty,x + ty

〉 ≡ ‖x + ty‖2 , t ∈ R .

Aplicando las propiedades del producto escalar y la definición (1.8) obtenemos

f(t) = ‖x‖2 + 2t x,y

〉 + t2‖y‖2 =

( ty‖ +

x,y

〉 ‖y

)2 + ‖x‖2 −

x,y

〉2 ‖y‖2 . (1.10)

Si t0 = − 〈 x,y

〉2/y‖2 (que está bien definido, al ser ‖y> 0 en virtud de la propiedad iii) del producto escalar) entonces

f(t0) = ‖x‖2 − 〈 x,y

〉2 ‖y‖2 á 0 ,

Espacios métricos, normados y euclidianos 11

ya que f(t) á 0 para todo t en virtud de la tercera propiedad del producto escalar. Multiplicando la desigualdad anterior por ‖y‖2 > 0 se obtiene inmediatamente〈

x,y 〉2 à (x‖‖y)2 ,

que es equivalente a (1.9).

Ejercicio 6. Probar que la desigualdad de Cauchy–Schwarz es una igualdad si y solo si los vectores x e y son linealmente dependientes (es decir, uno de ellos es proporcional al otro).

Solución. En efecto, si los vectores x,y son l. d. entonces (por ejemplo) y = λx para algún λ ∈ R, y se tiene

|〈x,y〉| = |λ|‖x‖2 = ‖x‖‖y.

Recíprocamente, supongamos que | 〈 x,y

〉 | = ‖x‖‖y‖. Si y = 0, los vectores x,y son l. d. Si, por

el contrario, y 6= 0, de la ec. (1.10) se sigue que ‖x + t0y‖2 = 0, siendo t0 ≡ − 〈 x,y

〉2/y‖2. Por tanto en este caso x + t0y = 0, y los vectores x,y son linealmente dependientes.

• La desigualdad de Cauchy–Schwarz permite definir el ángulo θ(x,y) [0,π] entre dos vecto- res no nulos x,y pertenecientes a un espacio euclidiano V (en particular, a Rn) mediante

cosθ(x,y) = 〈 x,y

〉 ‖x‖‖y

(cf. la ec. (1.1)), ya que el miembro derecho es siempre menor o igual que 1 en valor absoluto. Por el ejercicio anterior, | cosθ(x,y)| = 1 (es decir, θ(x,y) = 0 o θ(x,y) = π) si y solo si y = λx con λ 6= 0, es decir si y solo si x e y son paralelos. Más precisamente, al ser en tal caso cosθ(x,y) = sgnλ, θ(x,y) = 0 si y solo si x e y tienen el mismo sentido, y θ(x,y) = π si y solo si x e y tienen sentidos opuestos.

• Al ser Rn un espacio euclidiano, por lo que acabamos de ver es automáticamente un espacio normado y métrico. Nótese que, en virtud de la definición (1.7), la norma de un vector x (x1, . . . , xn) ∈ Rn se define por

x‖ =

√√√√√ ni=1 x2i , (1.11)

y la distancia entre dos puntos x e y (y1, . . . , yn) ∈ Rn está dada por

d(x,y) =

√√√√√ ni=1 (xi yi)2 . (1.12)

• Nótese también que de la definición de norma euclidiana (1.11) se deduce inmediatamente que ∣∣xi∣∣ à x,

desigualdad que utilizaremos a menudo en lo que sigue.

Ejercicio 7. Probar que si x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn entonces ‖xà n max

1àiàn |xi|.

Ejercicio 8. Sea C[0,1] el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1]. i) Pro- bar que C[0,1], con el producto escalar

f , g〉 = ∫ 1

0 f(x)g(x)dx , f , g C[0,1] ,

es un espacio euclidiano. ii) Si a,b > 0, calcular la norma de la función f(x) = xa C[0,1] y el ángulo formado por las funciones xa y xb. iii) Si p y q son dos números naturales distintos, probar que las funciones sin(px) y sin(qx) son ortogonales.

12 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

1.4 Interior, exterior, frontera

Con ayuda de la métrica euclidiana (1.12) del espacio Rn, definiremos en este apartado varios conceptos topológicos esenciales para entender las nociones de límite y continuidad en funciones de varias variables. El objeto fundamental en que nos basaremos es el de bola abierta, definido a continuación:

Definición 1.12. Si a ∈ Rn y r ∈ R+ es un número real positivo, la bola abierta de centro a y radio r es el conjunto

Br (a) = { x ∈ Rn

∣∣ d(x,a) < r} ≡ {x ∈ Rn ∣∣ ‖x a< r} . (1.13) La bola abierta perforada de centro a ∈ Rn y radio r ∈ R+ es el conjunto

Br (a) = Br (a)− {a} = { x ∈ Rn

∣∣ 0 < d(x,a) < r} = {x ∈ Rn ∣∣ 0 < x a< r} . (1.14) En otras palabras, Br (a) es el conjunto de puntos de Rn cuya distancia al punto a es estrictamen- te menor que r . Es evidente que la definición anterior es válida en un espacio métrico cualquiera, ya que se basa exclusivamente en la noción de distancia.

• En R la bola abierta Br (a) es el intervalo abierto (ar ,a+ r) centrado en a, en R2 es el disco abierto de centro a y radio r , y en R3 es el interior de la esfera de centro a y radio r .

Ejercicio 9. Si x,y Br (a), probar que el segmento con extremos x e y , definido por

[x,y] ≡ {x + s(y x) | 0 à s à 1} , (1.15)

está contenido en Br (a).

Solución. En efecto, si s = 0 (resp. s = 1) entonces x+s(yx) = x Br (a) (resp. x+s(yx) = y Br (a)). Por otra parte, si 0 < s < 1 se tiene

x+ s(yx)a‖ = ‖(1− s)(xa)+ s(ya)à (1− s)xa‖+ sya< (1− s)r + sr = r .

Con la ayuda de las bolas abiertas, dado un subconjunto A ⊂ Rn podemos clasificar los puntos de Rn en tres tipos mutuamente disjuntos. Más concretamente:

Definición 1.13. Sea A un subconjunto de Rn, y x ∈ Rn.

i) Diremos que x es un punto interior de A si existe r > 0 tal que

Br (x) A .

ii) Diremos que x es un punto exterior de A si x es un punto interior de Rn A, es decir si existe r > 0 tal que

Br (x)A = œ .

iii) Diremos que x es un punto frontera de A si x no es ni interior ni exterior a A, es decir si para todo r > 0

Br (x)A 6= œ , Br (x)(Rn A) 6= œ .

Dado que la condición ii) de la definición anterior es equivalente a la relación

Br (x) ⊂ Rn A ,

es evidente que un punto cualquiera x ∈ Rn solo puede satisfacer exactamente una de las tres condiciones de la Definición 1.13. Esto conduce a la siguiente definición.

Interior, exterior, frontera 13

Definición 1.14. Sea, de nuevo, A ⊂ Rn.

i) El interior de A es el conjunto ◦ A de los puntos interiores de A, es decir

A =

{ x ∈ Rn

∣∣ x punto interior de A} ii) El exterior de A es el conjunto extA de los puntos exteriores de A, es decir

extA = { x ∈ Rn

∣∣ x punto exterior de A} . iii) La frontera de A es el conjunto ∂A de los puntos frontera de A, es decir

∂A = { x ∈ Rn

∣∣ x punto frontera de A} . Por lo visto anteriormente, Rn es la unión disjunta de los conjuntos

A , extA y ∂A, es decir

Rn = ◦ A ∂A∪ extA ,

A ∂A =

A ∩ extA = ∂A∩ extA = œ . (1.16)

Nótese que ◦ A A , extA ⊂ Rn A ,

mientras que los puntos de ∂A pueden o no pertenecer a A según los casos. Es también evidente (demostrarlo) que

(Rn A)◦ = extA , ext(Rn A) = ◦ A , ∂(Rn A) = ∂A . (1.17)

Ejemplo 1.15. Sea A = Br (a) la bola de centro a ∈ Rn y radio r > 0. Es intuitivamente claro (al menos si n à 3) que( Br (a)

)◦ = Br (a) , ∂Br (a) = {x ∈ Rn∣∣‖xa‖ = r} , extBr (a) = {x ∈ Rn∣∣‖xa> r} . Como ejercicio sobre las propiedades de la norma euclidiana de Rn, probaremos a continuación estas igualdades. Como Rn es la unión disjunta de los conjuntos Br (a),

{ x ∈ Rn

∣∣ ‖x a‖ = r} y { x ∈ Rn

∣∣ ‖x a> r}, para probar las igualdades anteriores basta demostrar que Br (a)

( Br (a)

)◦ , {x ∈ Rn ∣∣‖xa‖ = r} ⊂ ∂Br (a) , {x ∈ Rn ∣∣‖xa> r} ⊂ extBr (a) (¿por qué?). En primer lugar, si x Br (a) y s = ‖x a‖ es claro que r s > 0 (por definición de Br (a)) y Brs(x) Br (a). En efecto, si y Brs(x) entonces

y aà y x‖ + ‖x a< r s + s = r

en virtud de la desigualdad triangular de la norma (propiedad iii)). Esto demuestra que Br (a) ⊂( Br (a)

)◦ , es decir la primera igualdad. Para probar la segunda, consideremos un vector cual-

quiera x tal que ‖x a‖ = r . Si ε > 0, los puntos de la forma x(t) x + t(x a) con max(ε/r ,−1) < t < 0 pertenecen a Bε(x)Br (a), ya que∥∥x(t)x∥∥ = |t|r = −tr < ε , ∥∥x(t)a∥∥ = |1+ t|r = (1+ t)r < r . Esto demuestra que Bε(x) Br (a) 6= œ. Análogamente, si 0 < t < ε/r entonces x(t) Bε(x) ∩( Rn Br (a)

) , ya que ∥∥x(t)x∥∥ = tr < ε , ∥∥x(t)a∥∥ = (1+ t)r > r .

14 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

Por tanto Bε(x)Br (a) 6= œ , Bε(x)

( Rn Br (a)

) 6= œ ,

lo que implica (al ser ε > 0 arbitrario) que x ∂Br (a). Por último, para establecer la tercera igualdad nótese que si s ≡ ‖x a> r entonces Bsr (x)Br (a) = œ, ya que si y Bsr (x) se tiene

s = ‖x aà x y‖ + ‖y a< s r + ‖y a‖ =⇒ ‖y a> r .

Ejercicio 10. Si l > 0, el hipercubo abierto Cl(a) de centro a = (a1, . . . , an) ∈ Rn y semilado l se define por

Cl(a) = { x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn

∣∣ |xiai| < l , 1 à i à n} ≡ [x1−l, x1+l]×· · ·×[xnl, xn+l] . Probar que Cr/n(a) Br (a) Cr (a). Ejercicio 11. Sea Qn el subconjunto de Rn de los puntos con coordenadas racionales, es decir

Qn = { (x1, . . . , xn) ∈ Rn

∣∣ xi ∈ Q , 1 à i à n} . Hallar el interior, el exterior y la frontera de Qn. [Ayuda: Todo intervalo de la recta real contiene infinitos puntos racionales e irracionales.]

Dado un conjunto A ⊂ Rn, definimos el cierre de A como el conjunto

A = A∂A , (1.18)

unión de A con sus puntos frontera. Nótese que, al ser

A A

A ∂A =⇒

A ∂A = A∂A ,

la definición anterior es equivalente a

A = ◦ A ∂A = Rn − extA , (1.19)

y se verifica ◦ A A A . (1.20)

Por ejemplo, de (1.13) se sigue inmediatamente que el cierre de la bola abierta Ba(r) es la bola cerrada

Br (a) = { x ∈ Rn

∣∣ ‖x aà r} . (1.21) Ejercicio 12. i) Dar un ejemplo de conjunto A para el cual ∂A = Br (a); ii) estudiar si ∂(∂A) = ∂A .

Otros tipos de puntos interesantes en relación con un conjunto A ⊂ Rn son los aislados y los de acumulación:

Definición 1.16. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que x ∈ Rn es un punto aislado de A si existe r > 0 tal que Br (x) A = {x}. Un punto x ∈ Rn es punto de acumulación de A si Br (x)A 6= œ para todo r > 0.

Nótese que claramente x punto aislado de A =⇒ x A .

Sin embargo, un punto de acumulación de A puede o no pertenecer a dicho conjunto. Por ejemplo, los puntos de acumulación de Br (a) son los puntos de Br (a) junto con los de su frontera, y estos últimos no pertenecen a Br (a). Si denotamos respectivamente por A′ e i(A) a los conjunto de puntos de acumulación y de puntos aislados de A ⊂ Rn, es decir

A′ = { x ∈ Rn

∣∣ x pto. de acumulación de A} , i(A) = {x ∈ Rn ∣∣ x pto. aislado de A} ⊂ A , es inmediato comprobar las siguientes inclusiones (ejercicio):

Conjuntos abiertos, cerrados y compactos 15

i) i(A) ∂A (los puntos aislados son puntos frontera)

ii) ∂A ⊂ i(A)A′ (los puntos frontera son puntos aislados o de acumulación)

iii) ◦ A A′ (los puntos interiores son puntos de acumulación)

iv) A′ ⊂ ◦ A ∂A (los puntos de acumulación son puntos interiores o frontera)

Utilizando estas inclusiones, es fácil probar que

A = AA. (1.22)

En efecto, de la cuarta inclusión anterior se sigue que A′ ⊂ A, y por tanto

AA′ ⊂ A .

Recíprocamente, de la segunda inclusión y de i(A) A se deduce que

A = A∂A A(i(A)A) = AA.

Ejercicio 13. Demostrar que el cierre de A es la unión de los puntos aislados de A con sus puntos de acumulación, es decir

A = i(A)A. Del ejercicio anterior se sigue fácilmente que

i(A)A′ ∪ extA = Rn ,

siendo los tres conjuntos del miembro izquierdo disjuntos dos a dos.

Ejercicio 14. Si x ∈ Rn es un punto de acumulación de A ⊂ Rn, probar que toda bola Br (x) centrada en x contiene infinitos puntos de A.

Solución. Supongamos que la afirmación anterior fuera falsa, es decir que existiera un cierto número real positivo r0 tal que Br0(x)A fuera un subconjunto finito de A. Entonces Br0(x)A = {a1, . . . , ak} sería también finito, y no vacío por definición de punto de acumulación. Si tomamos cualquier número r tal que

0 < r <min ( ‖x a1‖, . . . ,x an

) ,

(lo cual es posible, ya que ai 6= x para todo i) entonces Br (x) A = œ, en contradicción con la definición de punto de acumulación.

Una propiedad elemental pero importante del interior y el cierre de un conjunto es la siguien- te:

A B ⊂ Rn =⇒ ◦ A

B , A′ ⊂ B, A B . (1.23)

En efecto, la primera de estas inclusiones es obvia, ya que si x ∈ ◦ A por definición existe r > 0

tal que Br (x) A B ,

y por tanto x ∈ ◦ B . Por otra parte, si x A′ para todo r > 0 se tiene

Br (x)B Br (x)A 6= œ ,

y por tanto x B′. Esto demuestra que A′ ⊂ B′, de donde se deduce que

A = AA′ ⊂ B B′ = B .

1.5 Conjuntos abiertos, cerrados y compactos

16 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

Definición 1.17. Un subconjunto A ⊂ Rn es abierto si A = ◦ A . Diremos que A ⊂ Rn es cerrado

si Rn A es abierto.

Como ◦ A A, la igualdad

A = A es equivalente a A

A . En otras palabras,

A ⊂ Rn es abierto si todos sus puntos son puntos interiores.

Equivalentemente,

A ⊂ Rn es abierto si para todo a A existe r > 0 tal que Br (a) A.

Definición 1.18. Un entorno de un punto x ∈ Rn es cualquier conjunto abierto que contiene a x. Si A es un entorno de x, diremos que A − {x} es un entorno perforado (o reducido) de dicho punto.

Con esta definición, es inmediato comprobar (ejercicio) la siguiente caracterización de los con- juntos abiertos:

A ⊂ Rn es abierto si y solo si contiene un entorno de cualquiera de sus puntos.

Por último, nótese que al ser A ⊂ ◦ A ∂A y

A ∂A = œ es claro que A

A si y solo si A∂A = œ.

En otras palabras,

A ⊂ Rn es abierto si y solo no contiene a ninguno de sus puntos frontera.

Por definición,A ⊂ Rn es cerrado si (RnA)◦ = RnA. En virtud de (1.17), esto es equivalente a extA = Rn A, o bien, teniendo en cuenta (1.16) y (1.19),

A = Rn − extA = ◦ A ∂A A .

Por tanto

A ⊂ Rn es cerrado si y solo si A = A.

De (1.22) se sigue que

A ⊂ Rn es cerrado si y solo si A′ ⊂ A

o, en otras palabras,

A ⊂ Rn es cerrado si y solo si contiene a sus puntos de acumulación .

Análogamente, de (1.18) se sigue que

A ⊂ Rn es cerrado si y solo si contiene a sus puntos frontera .

Comentarios.

Conjuntos abiertos, cerrados y compactos 17

• Es importante darse cuenta de que en Rn un conjunto puede no ser ni abierto ni cerrado, como ya ocurría en R. Por ejemplo, A = Br (a) ∪ {x}, donde x es cualquier punto a distancia r del centro a, no es ni abierto ni cerrado. En efecto,

A = Br (a) Ð A Ð A = Br (a).

• El conjunto vacío y el espacio Rn son claramente abiertos, ya que en ambos casos es obvio que el interior del conjunto coincide con el propio conjunto. Son también cerrados, ya que son uno el complementario del otro y son ambos abiertos. Por tanto œ y Rn son a la vez abiertos y cerrados. Puede demostrarse (aunque no es sencillo) que estos son los únicos subconjuntos de Rn que tienen esta propiedad.

Si A ⊂ Rn es un conjunto arbitrario, entonces A es abierto y A es cerrado. En efecto, suponga-

mos en primer lugar que a ∈ ◦ A . Por hipótesis, existe r > 0 tal que Br (a) A, y de (1.23) se

sigue entonces que ( Br (a)

)◦ = Br (a) ⊂ ◦A . Esto demuestra que

A es abierto, como habíamos afirmado. En cuanto a la segunda afirmación,

basta notar que

Rn A = extA = (Rn A)

es abierto, en virtud de la primera afirmación (que acabamos de demostrar).

Ejemplo 1.19. La bola abierta Br (a) es un conjunto abierto, mientras que la bola cerrada Br (a) es un conjunto cerrado. En efecto, del Ejemplo 1.15 se sigue que (Br (a))◦ = Br (a), y por tanto Br (a) es abierto, mientras que Br (a) = Br (A) es cerrada en virtud del comentario anterior.

Utilizando la definición 1.17 es fácil probar las siguientes propiedades de los conjuntos abier- tos:

i) El conjunto vacío y el espacio Rn son abiertos.

ii) La unión de un número arbitrario (finito o infinito) de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

iii) La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Comentarios.

• Es importante observar, en relación con la propiedad iii), que la intersección de un número infinito de conjuntos abiertos no necesariamente es abierto. Por ejemplo, si x ∈ Rn se tiene

∞⋂ n=1

B1/n(x) = {x} ,

que obviamente no es un conjunto abierto.

• En general, una topología en un conjunto arbitrario X es una familia T de subconjuntos de X que cumplen las propiedades i)–iii) anteriores. Un espacio topológico es un conjunto arbitrario X en el que se ha seleccionado una topología T . Los conjuntos abiertos del espacio topológico son por definición los elementos de la topología, y sus complementarios son los conjuntos cerrados. De las propiedades i)–iii) de los conjuntos abiertos de Rn que acabamos de enunciar se sigue por tanto que Rn es un espacio topológico.

18 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

De las propiedades i)–iii) de los conjuntos abiertos y las identidades de De Morgan (ejercicio)

Rn − ⋃ iI Ai =

iI (Rn Ai) , Rn

iI Ai =

iI (Rn Ai) ,

donde I es un conjunto de índices (finito o infinito) y Ai ⊂ Rn para todo i I, se siguen inme- diatamente las siguientes propiedades elementales de los conjuntos cerrados:

i) El conjunto vacío y el espacio Rn son cerrados.

ii) La intersección de un número arbitrario (finito o infinito) de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

iii) La unión de un número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Como en el caso de los conjuntos abiertos, la última propiedad no se cumple necesariamente para uniones arbitrarias. Por ejemplo, ⋃

0<r<1 Br (x) = B1(x) ,

que no es cerrado.

Ejercicio 15. Probar que la frontera de cualquier conjunto A ⊂ Rn es cerrada.

Definición 1.20. Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si existe R > 0 tal que A BR(0). Diremos que A es compacto si es a la vez cerrado y acotado.

Ejemplo 1.21. La bola cerrada Br (a) es un conjunto compacto. En efecto, ya vimos en el Ejem- plo (1.19) que es cerrada. Para probar que es acotada, basta notar que

x Br (a) =⇒ ‖x‖ = ‖x a+ aà x a‖ + ‖aà r + ‖a‖ =⇒ Br (a) BR(0)

si R > r + ‖a‖. La bola abierta Br (a) no es compacta, ya que no es cerrada.

Ejercicio 16. Probar que si A ⊂ Rn es acotado, el cierre de A es compacto. Solución. En efecto, al ser A acotado existe R > 0 tal que A BR(0). Utilizando (1.23) se obtiene

A BR(0) = BR(0) BR+1(0) ,

y por consiguiente A es acotado. Es también cerrado (al ser el cierre de un conjunto), y por lo tanto es compacto.

1.6 Límites

Como en el caso de funciones reales de una variable real, el cálculo diferencial de funciones de varias variables está basado en el concepto de límite, que definimos a continuación:

Definición 1.22. Sea f : Rn → Rm, y supongamos que a ∈ Rn es un punto de acumulación del dominio de f . Diremos que un punto b ∈ Rm es el límite de f en el punto a, y escribiremos

lim xa

f(x) = b ,

si para todo ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que

x ∈ D(f ), 0 < x a< δ(ε) =⇒ ‖f(x)b< ε . (1.24)

Límites 19

Comentario. Nótese que la variable x en la fórmula anterior es una variable muda. En otras palabras, podríamos haber utilizado en su lugar cualquier otra variable y , z, etc. que no tenga un significado especial, y escribir equivalentemente lim

ya f(y) = b, lim

za f(z) = b, etc.

La definición anterior se puede formular de varias formas equivalentes. Una de las más concisas es la siguiente:

Proposición 1.23. Sea a ∈ Rn un punto de acumulación del dominio de f : Rn → Rm, y sea b ∈ Rm. Entonces lim

xa f(x) = b si y solo si para todo entorno V del punto b, existe un entorno

perforado U del punto a (que en general dependerá de U ) tal que f(U) V .

Demostración. En primer lugar, nótese que la ecuación (1.24) es equivalente a

f ( Bδ(ε)(a)

) ⊂ Bε(b) . (1.25)

⇐= ) Al ser la bola Bε(b) un entorno de b, por hipótesis existe un entorno perforado U de a tal que f(U) Bε(b). Por definición de entorno perforado, U contiene una bola perforada Bδ(ε)(a) de radio δ(ε) > 0 suficientemente pequeño. Por tanto

f ( Bδ(ε)(a)

) ⊂ f(U) Bε(b) , (1.26)

y se cumple (1.25) o, equivalentemente, (1.24). =⇒) Si V es un entorno de b ∈ Rm, por definición existe ε > 0 tal que Bε(b) V . En virtud de (1.25), que es equivalente a (1.24), existe δ(ε) > 0 tal que f

( Bδ(ε)(a)

) ⊂ Bε(b). Por tanto

U = Bδ(ε)(a) es un entorno reducido de a que cumple f(U) V .

Comentarios.

• Intuitivamente,

lim xa

f(x) = b significa que f(x) está arbitrariamente próximo al punto b cuando x 6= a está suficientemente próximo al punto a.

• Es evidente de la definición que la existencia y el valor del límite de f en a depende exclusiva- mente del comportamiento de f en un entorno reducido de a (es decir, en puntos próximos al punto a pero distintos de dicho punto). En otras palabras, si g : Rn → Rm es igual a f en una bola perforada Br (a), es decir si

f(x) = g(x) , x t.q. 0 < x a< r ,

entonces f y g tienen el mismo límite en a. En particular, el valor que tome f en el punto a es totalmente irrelevante para la existencia o el valor del límite de f en dicho punto. De hecho, ni siquiera es necesario que f esté definida en a para que exista el límite de f en a.

• Evidentemente, diremos que no existe lim xa

f(x) si lim xa

f(x) 6= b para todo b ∈ Rm. Más pre- cisamente, esto quiere decir lo siguiente: dado cualquier punto b ∈ Rm, existe un número ε > 0 tal que para todo δ > 0 hay algún punto x ∈ D(f ) − {a} tal que ‖x a< δ pero ‖f(x) bá ε. En otras palabras, hay puntos x ∈ D(f ) − {a} arbitrariamente próximos al punto a cuya imagen está a una distancia mayor o igual que ε del punto b.

• En la definición de lim xa

f(x) se pide que el punto a sea de acumulación del dominio de f para que la condición f(U) V no sea vacua, es decir exija algo a la función f . Esto es así porque si a ∈ D(f )′ todo entorno perforado de a contiene necesariamente algún punto de D(f ). Dicho de otra forma, si a ∉ D(f )′ entonces existe r > 0 tal que Br (a) ∩D(f ) = œ. Entonces U = Br (a) es un entorno reducido que cumple f(U) = œ V para cualquier entorno V del punto b.

20 Funciones de Rn en Rm. Límites y continuidad

Ejercicio 17. Si f : Rn → Rm, indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son equivalentes a la Definición 1.22:

i) ∀ε > 0, δ á 0 t.q. (x ∈ D(f ), 0 < x a< δ) =⇒ ‖f(x)b< ε.

ii) ∀ε > 0, δ > 0 t.q. (x ∈ D(f ), 0 < x a< δ) =⇒ ‖f(x)bà ε.

iii) ∀ε > 0, δ > 0 t.q. (x ∈ D(f ), 0 < x aà δ) =⇒ ‖f(x)b< ε.

Ejercicio 18. Probar que lim xa

f(x) = b ⇐⇒ lim xa

f(x)b‖ = 0 .

En la definición de lim xa

f(x) se habla de “el” límite de f . ¿Es posible que una función pueda tener varios límites distintos en un mismo punto a? Como da a entender la definición de límite, esto no puede ocurrir:

Proposición 1.24 (unicidad del límite). El límite de una función f : Rn → Rm en un punto a ∈ D(f ), si existe, es único. En otras palabras, si b1, b2 ∈ Rm verifican

lim xa

f(x) = b1 , limxaf(x) = b2

entonces b1 = b2.

Demostración. En efecto, si b1 6= b2 sea ε = ‖b1 − b2‖/2 > 0. Entonces Bε(b1) Bε(b2) = œ, ya que

y Bε(b1)Bε(b2) =⇒ ‖b1 − b2‖ à b1 −y‖ + ‖y b2‖ < 2ε ≡ ‖b1 − b2‖ .

Por definición de limite, existen sendos números δi(ε) > 0 (i = 1,2) tales que

f ( Bδi(ε)(a)

) ⊂ Bε(bi) , i = 1,2 .

En particular, si δ = min ( δ1(ε), δ2(ε)

) > 0 y x Bδ (a) ∩D(f ) (¡nótese que tal x existe, al ser

a punto de acumulación deD(f )!) entonces f(x) pertenece simultáneamente a Bε(b1) y Bε(b2). Pero esto es absurdo, ya que hemos visto que Bε(b1)Bε(b2) = œ.

El estudio de la existencia y el valor del límite de una función de Rn en Rm se puede reducir al de m funciones escalares de n variables (sus funciones componentes), como muestra la siguiente proposición:

Proposición 1.25. Sea f = (f1, . . . , fm) : Rn → Rm, y sean a ∈ Rn y b = (b1, . . . , bm) ∈ Rm. Entonces

lim xa

f(x) = b ⇐⇒ lim xa

fi(x) = bi , 1 à i à m.

Demostración. Nótese, en primer lugar, que si a ∈ D(f )′ entonces a ∈ D(fi)′ para todo i = 1, . . . ,m, en virtud de (1.6). =⇒) Si ε > 0, al ser lim

xa f(x) = b existe δ(ε) > 0 tal que se verifica (1.24). Si x ∈ D(f ) y

0 < x a< δ(ε) entonces x ∈ D(fi) y

|fi(x)bi| à f(x)b< ε ,

por lo que lim xa

fi(x) = bi. ⇐= ) Si ε > 0, al ser lim

xa fi(x) = bi existe δi δi(ε/

m) > 0 tal que

x ∈ D(fi), 0 < x a< δi =⇒ |fi(x)b)| < εm

Límites 21

para 1 à i à m. Si tomamos δ(ε) =min ( δ1, . . . , δm

) > 0 entonces

x ∈ D(f ) , 0 < x a< δ(ε) =⇒ x ∈ D(fi) , 0 < x a< δi =⇒ |fi(x)bi| <

εm , i = 1, . . . ,m ,

y por tanto

f(x)b‖ = √( f1(x)b1

)2 + · · · + (fm(x)bm)2 < m ε2

m = ε.

Proposición 1.26 (propiedades del límite). Sean f , g : Rn → Rm, sea a ∈ ( D(f ) ∩D(g)

)′ , y

supongamos que existen lim xa

f(x) = l y lim xa

g(x) = l. Entonces se tiene:

i) Para todo λ,µ ∈ R, lim xa

( λf(x)+ µg(x)

) = λl+ µl.

ii) lim xa

( f(x) · g(x)

) = l · l.

iii) lim xa

f(x)‖ = ‖l.

iv) Si l 6= 0, hay un entorno perforado de a en que f no se anula. Si, además, f es una función escalar (es decir, m = 1), hay un entorno perforado de a en que f tiene signo constante igual al del límite l.

v) Si f es una función escalar y l 6= 0 , lim xa

1 f(x)

= 1 l

.

vi) f está acotada en un entorno de a. En otras palabras, existen r > 0 y M > 0 tales que f(x)< M para todo x ∈ D(f )Br (a).

Demostración. Daremos solamente una idea esquemática de la demostración de estos resulta- dos, que puede encontrarse en la mayoría de los libros de texto.

i) ∥∥λf(x)+µg(x)λlµl′∥∥ = ∥∥λ(f(x)l)+µ(g(x)l′)∥∥ à |λ|∥∥f(x)l∥∥+|µ|∥∥g(x)l′∥∥ .

vi) ‖f(x)à f(x)l‖ + ‖l‖ .

iii) ∣∣‖f(x)‖ − ‖l‖∣∣ à f(x)l‖ , por la desigualdad triangular de la norma (cf. el Ejercicio 5).

iv) ‖f(x)á l‖ − ‖f(x) l‖, en virtud de iii). Por otra parte, si f es una función escalar de la definición de límite se sigue que

x ∈ D(f ), 0 < x a< δ ( |l|/2

) =⇒ l− |l|

2 < f(x) < l+ |l|

2 ,

y por tanto f(x) tiene el mismo signo que l para tales valores de x (¿por qué?).

ii) En virtud de iv), existe M > 0 tal que ‖g(x)< M para todo x ∈ D(f ) con ‖x a< δ. Utilizando la desigualdad de Cauchy–Schwarz se obtiene entonces

|f(x) · g(x)l · l′| = |(f (x)l) · g(x)+ l · (g(x)l)| à g(x)‖‖f(x)l‖ + ‖l‖‖g(x)l′‖ < Mf(x)l‖ + ‖l‖‖g(x)l′‖ .

v) Como limxa |f(x)| = |l| en virtud de iii), si x ∈ D(f ) y 0 < x a< δ ( |l|/2

) se verifica∣∣|f(x)| − |l|∣∣ < |l|/2, y por tanto |f(x)| > |l|/2 > 0. Para tales x se tiene entonces∣∣∣∣∣ 1f(x) − 1l

∣∣∣∣∣ = |f(x)l||l| |f(x)| à 2|l|2 ∣∣f(x)l∣∣ .

comentarios (0)
No hay comentarios
¡Escribe tú el primero!
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 180 páginas totales
Descarga el documento