Apuntes Diferenciación de FVVR pasados a LaTeX, Apuntes de Matemáticas. Universidade de Santiago de Compostela (USC)
gabrind
gabrind

Apuntes Diferenciación de FVVR pasados a LaTeX, Apuntes de Matemáticas. Universidade de Santiago de Compostela (USC)

PDF (347 KB)
31 páginas
8Número de descargas
3Número de visitas
Descripción
Asignatura: Diferenciación de una o varias variables reales, Profesor: Jorge Losada Rodríguez, Carrera: Matemáticas, Universidad: USC
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 31
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 31 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 31 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 31 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 31 páginas totales
Descarga el documento

Tema 1: Cálculo de límites de funcións reais de variable real

1.1. Introdución ás funcións de varias variables reais Definición 1.1. Dicimos que f : A ⊆ Rn → Rm é unha función dun subconxunto A de Rn en Rm se a cada elemento x ∈ A ⊆ Rn lle fai corresponder un único elemento f(x) ∈ Rm, denominado imaxe de x mediante f .

Unha función cuxo dominio é A ⊆ Rn e con recorrido contido en Rm,

f : A ⊆ Rn → Rm

x = (x1, x2, . . . , xn)→ f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))

denomínase función con valores vectoriais (ou función vectorial) se m > 1, e función con valores escalares (ou función escalar) se m = 1.

Observación 1.2.

Se n = m = 1, f : A ⊆ R→ R chámase función real de variable real.

Se n > 1 e m = 1, f : A ⊆ Rn → R chámase función real de varias (n) variables reais.

Se n = 1 e m > 1, f : A ⊆ R→ Rm chámase función vectorial de variable real.

Se n > 1 e m > 1, f : A ⊆ Rn → Rm chámase función vectorial de varias (n) variables reais. Podemos escribir f = (f1, f2, . . . , fn) con fj funcións reais de varias variables reais

Proposición 1.3 (Operacións con funcións reais de varias variables reais). Sexan f, g : A ⊆ Rn → R e c ∈ R

1. Produto por un escalar: Definimos c · f : A ⊆ Rn → R mediante (c · f)(x) = c · f(x), ∀x ∈ A

2. Suma: Definimos f + g : A ⊆ Rn → R mediante (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ A

3. Produto: Definimos f · g : A ⊆ Rn → R mediante (f · g)(x) = f(x) · g(x), ∀x ∈ A

4. Inverso para o produto: Se f(x) 6= 0 ∀x ∈ A, definimos 1 f

: A ⊆ Rn → R mediante ( 1 f

)(x) =

1

f(x) , ∀x ∈ A

5. Cociente: Se g(x) 6= 0 ∀x ∈ A, definimos f g

: A ⊆ Rn → R mediante ( f

g

) (x) = f(x) · 1

g(x) ,

∀x ∈ A

1.2. Límites para funcións reais de varias variables reais Definición 1.4. Sexa f : A ⊆ Rn → R unha función real definida nun subconxunto A de Rn e sexa x0 ∈ Rn un punto de acumulación de A. Dicimos que l ∈ R é límite da función f no punto x0 (ou cando x tende a x0) se

∀ε > 0,∃ δ > 0 / x ∈ A, 0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ |f(x)− l| < ε

Se sucede isto, escribimos: ĺım x→x0

f(x) = l

1

Observación 1.5. Na maioría dos casos que estudaremos, o conxunto A considerado será aberto, non sendo isto necesario, salvo mención expresa

Proposición 1.6 (Unicidade do límite). Sexan f : A ⊆ Rn → R e x0 ∈ Rn un punto de acumulación de A. Se f ten límite no punto x0, entón é único.

Demostración. Supon̄amos que l e l̃ cumpren ambos a condición de límite de f no punto x0. Dado ε > 0 arbitrario, podemos elixir δ, δ̃ > 0 tales que, para x ∈ A con 0 < ‖x − x0‖ < δ, temos que |f(x) − l| < ε

2 e, para x ∈ A con 0 < ‖x − x0‖ < δ̃, temos que |f(x) − l̃| <

ε

2 . Polo tanto, para todo

x ∈ A con 0 < ‖x− x0‖ < mı́n δ, δ̃, cúmprese que

|l − l̃| ≤ |l − f(x)|+ |f(x)− l̃| < ε 2

+ ε

2 = ε

Como ε > 0 é arbitrario, concluímos que l = l̃. 

Proposición 1.7. Dado (x0, yo) ∈ R2, cúmprese que

ĺım (x,y)→(x0,y0)

x = x0 e ĺım (x,y)→(x0,y0)

y = y0

Proposición 1.8 (Propiedades dos límites de funcións reais de varias variables reais). Sexan as funcións f, g : A ⊆ Rn → R, x0 ∈ Rn un punto de acumulación de A, l, l̃ ∈ R e c ∈ R.

1. Se ĺımx→x0 f(x) = l, entón ĺımx→x0(c · f)(x) = c · l

2. Se ĺımx→x0 f(x) = l e ĺımx→x0 g(x) = l̃, entón ĺımx→x0(f + g)(x) = l + l̃

3. Se ĺımx→x0 f(x) = l e ĺımx→x0 g(x) = l̃, entón ĺımx→x0(f · g)(x) = l · l̃

4. Se ĺımx→x0 f(x) = l 6= 0, entón ĺımx→x0 1

f (x) =

1

l

5. Se ĺımx→x0 f(x) = l e ĺımx→x0 g(x) = l̃ 6= 0, entón ĺımx→x0 f

g (x) =

l

Definición 1.9. Sexa f : A ⊆ Rn → R unha función definida nun subconxunto A de Rn e sexa x0 un punto de acumulación de A. Dicimos que L ∈ Rm é límite da función f no punto x0 se

∀ε > 0,∃ δ > 0 / x ∈ A, 0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ ‖f(x)− L‖ < ε

Observación 1.10. No caso de funcións vectoriais f : A ⊆ Rn → Rm (m ≥ 1), a existencia de límites de f no punto x0 redúcese ao estudo da existencia de límite no punto x0 para cada unha das compon̄entes f1, f2, . . . , fm, polo cal é suficiente realizar un estudo detallado do caso escalar m = 1.

1.3. Límites direccionais Definición 1.11. Consideremos A un subconxunto aberto de Rn e x0 ∈ A. Se f : A \ {x0} ⊆ Rn → R, defínese o límite direccional de f en x0 ∈ A na dirección do vector v 6= ϑ como o límite (unidimensional)

lv = ĺım t→0

f(x0 + tv)

Proposición 1.12. Nas condicións da definición 11, se existe o límite ĺımx→x0 f(x) = l, entón o límite direccional de f en x0 ∈ A na dirección do vector v 6= ϑ, lv, existe para todo v 6= ϑ e, ademais, lv = l, para todo v 6= ϑ.

2

Demostración. Sexa v 6= ϑ fixado. Vexamos que o número real l cumpre a definición de límite para función real de variable real t→ f(x0 + tv) en t=0.

Sexa ε > 0 fixado. Como existe o límite ĺımx→x0 f(x) = l podemos elixir δ > 0 tal que, se x ∈ A, con

0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ ‖f(x)− L‖ < ε

En particular, consideramos puntos de A da forma x0 + tv e, entón, se

0 < ‖x0 + tv − x0‖ = |t|‖v‖ < δ

é dicir

0 < |t| < δ ‖v‖

cúmprese que

|f(x0 + tv)− l| < ε

Como ε é arbitrario, temos probado que lv = ĺımt→0 f(x0 + tv) = l 

Corolario 1.13. Nas condicións da definición 11, se existe o ímite ĺımx→x0 f(x) = l, entón

lei = ĺım t→0

f(x0 + tei) = l,∀i = 1, . . . , n

.

1.4. Límite dunha función relativo a un subconxunto

Definición 1.14. Sexan f : A \ {x0} ⊆ Rn → R, S ⊆ A un subconxunto e x0 un punto de acumulación de S. Dicimos que l ∈ R é o límite de f relativo ao subconxunto S (ou sobre S) no punto x0, e escríbese

ĺım x∈S, x→x0

f(x) = l, se

∀ε > 0,∃ δ > 0 / x ∈ A ∩ S, 0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ |f(x)− l| < ε

Nota 1.15. Se atopamos dous subconxuntos S e S̃ que cumpren S ⊆ A e S̃ ⊆ A e x0 é un punto de acumulación de S e S̃ de xeito que os correspondentes límites de f relativos a S e S̃ son distintos, entón f non pode ter límite no x0

Proposición 1.16. Se existe o límite ĺımx→x0 f(x) = l, entón tamén existe o límite de f relativo a S no punto x0, calquera que sexa S nas condicións da definición 14, (S ⊆ A e x0 un punto de acumulación de S), e tense que

ĺım x∈S, x→x0

f(x) = l

Para calcular os límites direccionais de f en (x0, y0) = (0, 0) na dirección dos diferentes vectores v 6= (0, 0), podemos considerar as ecuacións y = mx das rectas que pasan por (0, 0) con pendente m ∈ R. Xunto coa recta x = 0, conseguimos ter todas as direccións, e os límites direccionais se calculan, no caso de existir, como o límite da restricción de f á correspondente recta.

3

1.5. Límites sucesivos ou reiterados Consideremos A un subconxunto aberto de R2, (x0, y0) ∈ A e f : A \ {(x0, y0)} → R. En caso de

existir, os límites reiterados de f no punto (x0, y0) calcúlanse como:

l1,2 = ĺım y→y0

( ĺım x→x0

f(x, y)

) , l2,1 = ĺım

x→x0

( ĺım y→y0

f(x, y)

) .

De existir, l1,2 denomínase límite sucesivo de f no punto (x0, y0) respecto de x e y, nesta orde, mentres que l2,1 se denomina límite sucesivo de f no punto (x0, y0) respecto de y e x.

Proposición 1.17. Sexan A un subconxunto aberto de R2, (x0, y0) ∈ A e f : A \ {(x0, y0)} → R. Se se cumpren que:

1. Existe ĺım(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = l,

2. Para cada x ∈ B(x0, r), existe ϕ(x) = ĺımy→y0 f(x, y),

entón existe o límite iterado ĺımx→x0(ĺımy→y0 f(x, y)) e o seu valor é l.

Proposición 1.18. Sexan A un subconxunto aberto de R2, (x0, y0) ∈ A e f : A \ {(x0, y0)} → R. Se se cumpren que:

1. Existe ĺımy→y0 f(x, y) = ϕ(x), uniformemente en x ∈ B(x0, r)

2. Existe o límite iterado ĺımx→x0 ϕ(x) = l,

entón existe o límite iterado ĺım(x,y)→(x0,y0) f(x, y), e coincide con l.

Observación 1.19. Se existen o límite (dobre) de f en (x0, y0) e o límite iterado l2,1 , entón l = l2,1 . Análogamente para l1,2.

Se existen os límites iterados de f en (x0, y0) e l1,2 6= l2,1, entón f non ten límite no punto (x0, y0). A existencia de límite non garante a existencia dos límites iterados e viceversa (aínda que os límites

iterados coincidan).

1.6. Continuidade Definición 1.20. Sexan f : A ⊆ Rn → R unha función real definida nun subconxuntoA de Rn e x0 ∈ A. Dicimos que f é continua no punto x0 se

∀ε > 0,∃ δ > 0 / x ∈ A ∩ S, 0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

é dicir, para x0 ∈ A punto de acumulación de A, f é continua en x0 se e só se f ten límite no punto (x0, y0) e

ĺım x→x0

f(x) = f(x0)

Por outra banda, unha función sempre é continua nos puntos do dominio que son illados.

Definición 1.21. Diremos que f é continua en A se f é continua en todo punto de A.

Proposición 1.22. Sexan f, g : A ⊆ Rn → R e c ∈ R continuas no punto x0 ∈ A. Entón:

αf + βg é continua en x0, para α, β ∈ R,

f · g é continua en x0,

Se g(x0) 6= 0, f

g é continua en x0.

4

Consecuencias da Proposición Anterior:

As funcións polinómicas p(x1, . . . , xn) (en n variables) son continuas en Rn

As funcións racionais r(x1, . . . , xn) = p(x1, . . . , xn)

q(x1, . . . , xn) son continuas no seu dominio de definición

Proposición 1.23. Sexan f = (f1, . . . , fm) : A ⊆ Rn → Rm unha aplicación definida nun subconxunto A de Rn e x0 ∈ A. Entón, f é continua no punto x0 se e só se cada función compon̄ente fi : A ⊆ Rn → R, para i = 1, 2, . . . ,m, é continua en x0.

Proposición 1.24 (Continuidade da composición). Sexan A ⊆ Rn e B ⊆ Rm abertos, f : A ⊆ Rn → B e g : B ⊆ Rm →⊆ R. Se f é continua en x0 ∈ A e g é continua en f(x0) ∈ B, entón g ◦ f é continua en x0

Demostración. Sexa ε > 0. Como g é continua en f(x0) ∈ B, ∃ δ̃ > 0 tal que se y ∈ B, ‖y−f(x0)‖ < δ̃, entón |g(y)− g(f(x0))| < ε.

Como f é continua en x0, dado δ̃ > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ A, ‖x − x0‖ < δ, entón ‖f(x)− f(x0)‖ < δ.

Polo tanto, |(g ◦f)(x)− (g ◦f)(x0)| = |g(f(x))−g(f(x0))| < ε, sempre que x ∈ A e ‖x−x0‖ < δ.

Como ε > 0 é arbitrario, temos probado que g ◦ f é continua en x0 

5

Tema 2: Diferenciabilidade de funcións reais de variable real

2.1. Derivada parcial dunha función nun punto. Derivada segundo un vector

Definición 2.1. Sexan A ⊂ Rn un aberto, f : A ⊂ Rn → R, x0 ∈ A e v ∈ Rn. Chamamos derivada de f en x0 segundo o vector v ao valor do seguinte límite, sempre que exista:

Dvf(x0) = ĺım t→0

f(x0 + tv)− f(x0) t

Definición 2.2. Se ‖v‖ = 1, Dvf(x0) chámase a derivada direccional de f en x0 na dirección do vector v (ou segundo a dirección de v).

En xeral, calculamos a derivada direccional de f en x0 segundo a dirección de v 6= ϑ mediante

1

‖v‖ Dvf(x0)

Observamos os seguintes casos particulares de especial interese:

Definición 2.3. Se v = ei = (0, . . . , 1, . . . , 0), entón a derivada direccional de f en x0 na dirección do vector ei, se existe, chámase derivada parcial con respecto a xi (ou derivada parcial i-ésima) de f en x0, e represéntase mediante

Dxif(x0), Dif(x0), ou δf

δxi (x0)

é dicir, se existen

Dif(x0) = ĺım t→0

f(x0 + tei)− f(x0) t

, i = 1, . . . , n

polo que, denotando x0 = (x0,1, x0,2, . . . , x0,n), Dif(x0) pódese calcular como a derivada de z = x0,i da función

z → f(x0,1, . . . , x0,i−1, z, x0,i+1, . . . , x0,n)

Definición 2.4. Se ten sentido, o vector ∇f(x0) = (D1f(x0), D2f(x0), ..., Dnf(x0)) denomínase o vector gradiente de f en x0.

Exemplo 1. Sexa A ⊆ R2 → R, (x0, y0) ∈ A. Se v = e1 = (1, 0), entón a derivada direccional de f en (x0, y0) na dirección do vector e1 chámase derivada parcial con respecto a x de f en (x0, y0), e represéntase mediante Dxf(x0, y0), Dxf(x0, y0), fx(x0, y0), ou δfδx(x0, y0).

Análogamente, se v = e2 = (0, 1), entón a derivada direccional de f en (x0, y0) na dirección do vector e2 chámase derivada parcial con respecto a y de f en (x0, y0), e represéntase mediante

Dyf(x0, y0), Dyf(x0, y0), fy(x0, y0), ou δf

δy (x0, y0).

Entón,

Dxf(x0, y0) = ĺım h→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0) h

Dyf(x0, y0) = ĺım h→0

f(x0, y0 + h)− f(x0, y0) h

6

Interpretación xeométrica

DadosA ⊆ R2 un aberto,f : A ⊆ R2 → R,(x0, y0) ∈ A e v = (v1, v2) ∈ R2, consideremos a función t ∈ Iv → ϕv(t) = f((x0, y0) + t(v1, v2)), definida nun entorno de 0.

Se v é unitario, é evidente que Dvf(x0, y0) = ϕ′v(0), polo que a derivada direccional de f en (x0, y0) na dirección do vector v é a pendente da recta tanxente á gráfica de ϕv(t) en t = 0. é dicir, Dvf(x0, y0) é a tanxente do ángulo que forma co plano horizontal z = 0 a recta tanxente a z = f(x, y) no punto (x0, y0, f(x0, y0)) na dirección de v. Esta recta é tanxente á curva obtida como intersección da gráfica de f co plano que pasa por (x0, y0, f(x0, y0)) e que ten como vectores directores (v1, v2, 0) e (0, 0, 1).

Nota 2.5. A mencionada recta tanxente tamén está contida no mesmo plano.

Chamamos pendente da superficie z = f(x, y) no punto (x0, y0, f(x0, y0)) na dirección de v á pen- dente da tanxente á curva intersección da superficie co plano vertical por (x0, y0, f(x0, y0)) contendo a v.

Se cortamos a superficie z = f(x, y) mediante o plano y = y0, obtemos unha curva C, da que podemos calcular a pendente da recta tanxente no punto (x0, y0, f(x0, y0)) mediante a derivada de x → f(x, y0) con respecto a x en x = x0, D1f(x0, y0).

Se cortamos a superficie z = f(x, y) mediante o plano x = x0, obtemos unha curva C̃, da que podemos calcular a pendente da recta tanxente no punto (x0, y0, f(x0, y0)) mediante a derivada de y → f(x0, y) con respecto a y en y = y0, D2f(x0, y0).

D1f(x0, y0) e D2f(x0, y0) representan taxas de variación de f en (x0, y0) na dirección dos eixos x e y positivos, respectivamente.

2.2. Concepto de diferencial e de función diferenciable Definición 2.6. SexanA ⊆ R2 un aberto, f : A ⊆ R2 → R e (x0, y0) ∈ A. Dicimos que f é diferenciable en (x0, y0) se existen números reais a e b tales que:

ĺım (x,y)→(x0,y0)

|f(x, y)− f(x0, y0)− a(x− x0)− b(x− x0)| ‖(x, y)− (x0, y0)‖

Definición 2.7. A aplicación linear Λ: R2 → R definida mediante

Λ(h, k) = ah+ bk = ( a b

)( h k

) denomínase a diferencial de f en (x0, y0) e denótase por df(x0, y0). A matriz asociada a Λ chámase matriz jacobiana da función f no punto (x0, y0) e denótase mediante Df(x0, y0). No caso das funcións reais, esta matriz recibe o nome de vector gradiente de f no punto (x0, y0), denotándose tamén mediante ∇f(x0, y0).

7

Tema 3: Diferenciabilidade de aplicacións con valores en Rn

Neste capítulo, consideraremos aplicacións f : Ω ⊂ Rn → Rm, donde n,m ∈ N e Ω é un conxunto aberto que contén ao punto x0 = (x01, x

0 2, . . . , x

0 n). A imaxe mediante f será unha n-upla f(x0) =

(f1(x0), f2(x0), . . . , fn(x0)).

Definición 3.1. Diremos que f : Ω ⊂ Rn → Rm é diferenciable en x0 ∈ Ω se existe Λ ∈ L(Rn,Rm) tal que

ĺım x→x0

‖f(x)− f(x0)− Λ(x− x0)‖Rm ‖x− x0‖Rn

= 0

En tal caso, a aplicación lineal Λ anterior recibe o nome de diferencial de f en x0 e será denotada por df(x0).

Dado que L(Rn,Rm) ≡ Mm×n(R), la matriz asociada a la aplicación df(x0) será denotada por Df(x0) y recibe el nombre de matriz jacobiana de f en x0.

Casos Particulares (a) n=m=1

ĺım x→x0

|f(x)− f(x0)−Df(x0)(x− x0)| |x− x0|

= 0 ⇐⇒

⇐⇒ ĺım x→x0

f(x)− f(x0) x− x0

= Df(x0) ≡ f ′(x0)

(b) n=2, m=1

ĺım x→x0

|f(x)− f(x0)−Df(x0)(x− x0)| ‖x− x0‖R2

= 0

interpretación Xeométrica da Diferencial (a) n=m=1 El grafo de la función f : Ω ⊂ R→ R y el grafo de la función

g : R → R x ∈ R → g(x) = f(x0) +Df(x0)(x− x0) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

son tangentes en el punto (x0, y0)

(b) n=2, m=1 El grafo de la función f : Ω ⊂ R→ R y el grafo de la función

g : R2 → R x ∈ R2 → g(x) = f(x0) +Df(x0)(x− x0) = f(x0) +Df(x01, x02)(x1 − x01, x2 − x02)

t

(el grafo de la función g es un plano) son tangentes en el punto (x0, f(x0)) ∈ R3

Proposición 3.2. Si f : Ω ⊂ Rn → Rm é diferenciable en x0 ∈ Ω, entón a aplicación df(x0) é única

Demostración. Supon̄amos que existen ϕ : Ω ⊂ Rn → Rm e ψ : Ω ⊂ Rn → Rm tales que

ĺım h→0

‖f(x0 + h)− f(x0)− ϕ(h)‖Rm ‖h‖Rn

= 0

y

ĺım h→0

‖f(x0 + h)− f(x0)− ψ(h)‖Rm ‖h‖Rn

= 0

8

Procedemos do seguinte modo

ĺım n→0

‖(ϕ− ψ)(h)‖Rm ‖h‖Rn

= ĺım n→0

‖(ϕ(h)− ψ(h)‖Rm ‖h‖Rn

=

= ĺım n→0

‖(ϕ(h)− f(x0) + f(x0 + h) + f(x0)− f(x0 + h)− ψ)(h)‖Rm ‖h‖Rn

≤ ĺım n→0

‖(ϕ(h)− f(x0) + f(x0 + h)‖Rm + ‖f(x0)− f(x0 + h)− ψ)(h)‖Rm ‖h‖Rn

= 0 + 0 = 0

Entón, ∀ε > 0,∃ δ1 > 0 tal que

‖h‖Rn ≤ δ1 =⇒ ‖ϕ(h)− ψ(h)‖Rm

‖h‖Rn < ε

Por outro lado, dado que Ω ∈ Rn é aberto

∃ r > 0 tal que B(x0, r) ⊂ Ω

Tomamos δ = mı́n{δ1, r

2 }. Sexa h = x

‖x‖ δ con x ∈ Ω, x 6= 0.

Entón

1. x0 + h ∈ Ω. ‖x0 + h− x0‖ = ‖h‖ = ‖ x

‖x‖ δ‖ = ‖x‖

‖x‖ · δ = δ < r

2 .

Logo, x0 + h ∈ B(x0, r) ⊂ Ω =⇒ x0 + h ∈ Ω

2. ‖h‖ = δ

Polo tanto, debe ser

‖(ϕ− ψ)(h)‖Rm ‖h‖Rn

< ε ⇐⇒ ‖(ϕ− ψ)(h)‖Rm < ε · ‖h‖Rn

ou equivalentemente

‖(ϕ− ψ) (

x

‖x‖

) ‖Rm < ε · ‖

x

‖x‖ δ‖Rn ⇐⇒

⇐⇒ δ ‖x‖ ‖(ϕ− ψ)(x)‖ < ε δ

‖x‖ ‖x‖

Dado que a desigualdade anterior é válida para todo x ∈ Ω, x 6= 0 concluimos que

‖(ϕ− ψ)(x)‖ = 0 x ∈ Ω

m ‖y‖ = 0 ⇐⇒ y = 0

ϕ(x) = ψ(x) ∀x ∈ Ω



Proposición 3.3. Si f : Ω ⊂ Rn → Rm é diferenciable en x0 ∈ Ω, entón f é continua en x0 ∈ Ω

Demostración. Temos que probar que ĺımx→x0‖f(x)− f(x0)‖ = 0. Por hipótese, sabemos que

ĺım x→x0

‖f(x)− f(x0)− df(x0)(x− x0)‖Rm ‖x− x0‖Rn

= 0

9

Polo tanto, dado

ε > 0,∃δ > 0 / 0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ ‖f(x)− f(x0)− df(x0)(x− x0)‖Rm

‖x− x0‖Rn = 0

Así pois, se 0 < ‖x− x0‖ < δ temos logo que

‖f(x)− f(x0)− df(x0)(x− x0)‖Rm < ε‖x− x0‖Rn

Doutra banda,

‖f(x)− f(x0)‖Rm = ‖f(x)− f(x0)− df(x0)(x− x0) + df(x0)(x− x0)‖Rm ≤

≤ ‖f(x)− f(x0)− df(x0)(x− x0)‖Rm + ‖df(x0)(x− x0)‖Rm ≤

≤ ‖x− x0‖Rnε+ ‖df(x0)‖L(Rn,Rm)‖x− x0‖Rn =

= ‖x− x0‖Rn(ε+ ‖df(x0)‖L(Rn,Rm)) −→ 0 1



Exemplos de aplicacións diferenciables

1. Se f : Ω ⊂ Rn → Rm é unha aplicación constante, entón f é diferenciable en todo punto de Ω e a súa diferencial en cada punto é a aplicación idénticamente nula.

Demostración. é obvio que 0 ∈ L(Rn,Rm) e ademáis

ĺım h→0

‖f(x+ h)− f(x)− 0(h)‖Rm ‖h‖Rn

= ĺım h→0

‖0− 0)‖Rm ‖h‖Rn

= 0



2. Se f : Ω ⊂ Rn → Rm é unha aplicación lineal, entón f é diferenciable en todo punto de Ω e ademáis a súa diferencial en cada punto coincide con ela mesma

Demostración. Por hipótese f ∈ L(Rn,Rm) ademáis temos que

ĺım h→0

‖f(x+ h)− f(x)− f(h)‖Rm ‖h‖Rn

= ĺım h→0

‖f(x) + f(h)− f(x)− f(h)‖Rm ‖h‖Rn

=

= ĺım h→0

‖0‖Rm ‖h‖Rn

= 0 ∀x ∈ Ω



1Porque x −→ x0

10

3.1. Reglas de diferenciación Sexan Ω1 e Ω2 abertos de Rn, f : Ω1 ⊂ Rn → Rm e g : Ω2 ⊂ Rn → Rm

Proposición 3.4. Se f e g son aplicacións diferenciables en Ω1 e Ω2, entón f + g tamén é diferenciable en Ω1 e Ω2 e ademáis

d(f + g)(x0) = df(x0) + dg(x0), x0 ∈ Ω1eΩ2

Demostración. Dado que df(x0), dg(x0) ∈ L(Rn,Rm) que df(x0) + dg(x0) ∈ L(Rn,Rm). Ademáis

ĺım h→0

‖(f + g)(x0 + h)− (f + g)(x0)− [df(x0) + dg(x0)](h)‖Rm ‖h‖Rn

=

= ĺım h→0

‖f(x0 + h) + g(x0 + h)− f(x0)− g(x0)− df(x0)(h)− dg(x0)(h)‖Rm ‖h‖Rn

≤ ĺım h→0

‖f(x0 + h)− f(x0)− df(x0)(h)‖Rm ‖h‖Rn

+ ‖g(x0 + h)− g(x0)− dg(x0)(h)‖Rm

‖h‖Rn = 0 + 0 = 0



Proposición 3.5. Se f é diferenciable en x0 ∈ Ω1 entón a función λf con λ ∈ R tamén é diferenciable en x0 e ademáis

d(λf)(x0) = λdf(x0)

Para o caso particular m = 1, podemos considerar a función produto f · g e se g(x) 6= 0 ∀x ∈ Ω2 a función

1

g .

Proposición 3.6. Se f e g son diferenciables en Ω1 ∩Ω2, entón f · g tamén é diferenciable en Ω1 ∩Ω2 e ademáis

d(fg)(x0) = f(x0)dg(x0) + g(x0)df(x0), x0 ∈ Ω1 ∪ Ω2

Demostración. é claro que f(x0)dg(x0) + g(x0)df(x0) ∈ L(Rn,R). Ademáis

ĺım h→0

‖(fg)(x0 + h)− (fg)(x0)− [f(x0)dg(x0) + g(x0)df(x0)](h)‖Rm ‖h‖Rn

≤ ĺım h→0

|f(x0 + h)[g(x0 + h)− g(x0)− dg(x0)(h)]| ‖h‖Rn

+

+ ĺım h→0

|g(x0)[f(x0 + h)− f(x0)− df(x0)(h)]| ‖h‖Rn

+

+ ĺım h→0

|[f(x0 + h)− f(x0)]dg(x0)(h)| ‖h‖Rn

= 0 + 0 + 0 = 0 2



Proposición 3.7. Se g : Ω2 ⊂ Rn → Rm é unha función diferenciable x0 ∈ Ω2 e tal que g(x0) 6= 0 entón a función

1

g(x) é diferenciable en x0 e

d

( 1

g

) (x0) =

−1 g(x0)2

dg(x0)

2El primer 0 se tiene porque g es diferenciable, el segundo porque f es diferenciable y el tercero porque f es continua en x0

11

Demostración. Se g(x0) 6= 0 entón dado que é continua en x0, existe logo un entorno de x0 tal que g 6= 0 en tal conxunto.

Evidentemente −1

g(x0)2 dg(x0) ∈ L(Rn,R)

e ademáis, temos que

ĺım h→0

|1 g (x0 + h)− 1g (x0) +

−1 g(x0)2

dg(x0)(h)| ‖h‖Rn

= 3

= ĺım h→0

|g(x0)2 − g(x0)g(x0 + h) + g(x0 + h)dg(x0)(h)| ‖h‖Rng(x0 + h)g(x0)2

≤ ĺım h→0

|g(x0)2 − g(x0)g(x0 + h) + g(x0 + h)dg(x0)(h)| ‖h‖Rng(x0 + h)g(x0)2

= 0 + 0 = 0 4



Corolario 3.8. Se f : Ω1 ⊂ Rn → R e g : Ω2 ⊂ Rn → R son dúas funcións diferenciables en Ω1 ∩ Ω2 e g(x) 6= 0 ∀x ∈ Ω2, entón

f

g tamén é diferenciable en Ω1 ∩ Ω2 e ademáis

d

( f

g

) (x0) =

g(x0)df(x0)− f(x0)dg(x0) g(x0)2

para cada x0 ∈ Ω1 ∩ Ω2

Teorema 3.9 (Regra da Cadea). Se f : Ω1 ⊂ Rn → Rm e g : Ω2 ⊂ Rm → Rl son dúas funcións tales que f é diferenciable en Ω1 ∩ f−1 (Ω2) e g é diferenciable en f(x0) ∈ Ω2 ⊂ Rm, entón

g ◦ f : Ω1 ∩ f−1 (Ω2) ⊂ Rn → Rl

é diferenciable en x0 e ademáis

d(g ◦ f) = dg(f(x0)) ◦ df(x0)

Demostración.

df(x0) ∈ L (Rn,Rm) dg(f(x0)) ∈ L

( Rm,Rl

)} =⇒ dg(f(x0)) ◦ df(x0) ∈ L(Rn,Rl) Ademáis temos que:

ĺım h→0

‖(g ◦ f)(x0 + h)− (g ◦ f)(x0)− [dg(f(x0)) ◦ f(x0)](h)‖Rl ‖h‖Rn

=

= ĺım h→0

‖g(f(x0 + h))− g(f(x0))− dg(f(x0))(f(x0 + h)− f(x0)) + dg(f(x0))(f(x0)− f(x0 + h)) + df(x0 + h)‖Rl ‖h‖Rn

≤ ĺım h→0

‖g(f(x0 + h))− g(f(x0))− dg(f(x0))(f(x0 + h)− f(x0))‖Rl ‖h‖Rn

+

+ĺım h→0

‖dg(f(x0))(f(x0)− f(x0 + h)) + df(x0 + h)‖Rl ‖h‖Rn

= B + A

3Se multiplica y divide por g(x0 + h)g(x0)2 4El primer 0 se tiene porque g es diferenciable en x0 y el segundo se tiene porque g es continua en x0

12

De aquí tense que:

A ≤ ‖dg(f(x0))‖L(Rm,Rl) ‖(f(x0)− f(x0 + h)) + df(x0 + h)‖Rm

‖h‖Rn −→ 0 5

Por ser g diferenciable en f(x0) tense que:

∀ε > 0,∃ δ > 0 / ‖k‖ < δ =⇒

=⇒ ‖g(f(x0 + k))− g(f(x0))− dg(f(x0))(k)‖ ‖k‖

Como f é continua en x0

∃ ρ > 0 / ‖h‖ < ρ =⇒ ‖f(x0 + h)− f(x0)‖ < δ

Polo tanto, para h ∈ Rn ‖h‖ < ρ tense que

B = ‖g(f(x0 + h))− g(f(x0))− dg(f(x0))(f(x0 + h)− f(x0))‖

‖h‖‖f(x0 + h)− f(x0)‖ ‖f(x0 + h)− f(x0)‖ <

< ε‖f(x0 + h)− f(x0)‖Rm

‖h‖Rn = ε ‖f(x0 + h)− f(x0)− df(x0)(h) + df(x0)(h)‖Rm

‖h‖Rn ≤

≤ ε‖f(x0 + h)− f(x0)− df(x0)(h)‖R m + ‖df(x0)(h)‖Rm

‖h‖Rn ≤

≤ ε [ 1 + ‖df(x0)‖L(Rn,Rm)

‖h‖Rn ‖h‖Rn

] =⇒ B −→ 0



Sexa Ω ⊂ Rn un conxunto aberto e f : Ω ⊂ Rn → Rm unha aplicación.

Definición 3.10. Diremos que f é diferenciable en Ω se f é diferenciable en x0 ∈ Ω ∀x0 ∈ Ω En tal caso, podemos considerar a aplicación dad por

df : x0 ∈ Ω→ df(x0) ∈ L(Rn,Rn)

Tal aplicación recibe o nome de diferencial de f en Ω

Definición 3.11. Dicimos que f é de clase 1 en Ω, f ∈ C1(Ω) ou que f é continuamente diferenciable en Ω se a aplicación df é continua en Ω

3.2. Derivadas Parciais e Matriz Jacobiana Definición 3.12. Diremos que unha aplicación f : Ω ⊂ Rn → Rm é diferenciable en x0 ∈ Ω según o subespazo L ⊂ Rn se existe dLf(x0) ∈ L(L,Rm) tal que

ĺım h∈L, h→0

‖f(x0 + h)− f(x0)− dLf(x0)(h)‖Rm ‖h‖L

= 0

Proposición 3.13. Se f : Ω ⊂ Rn → Rm é diferenciable en x0 ∈ Ω según todo subespazo L de Rn e ademáis

dLf(x0) = df(x0)∣∣ L

IMPORTANTE!! O recíproco non é certo 5Converxe a 0 cando h tende a 0 porque f é diferenciable en x0

13

Exemplo 2.

f : (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 → f(x, y) =

{ x2y x4+y2

, si (x, y) 6= (0, 0) o, si (x, y) = (0, 0)

f non é continua en (0,0) =⇒ f non é diferenciable en (0,0)

ĺım λ→0

f(λr, λs)− f(0, 0) λ

= ĺım λ→0

λ2r2λs λ4r4+λ2s2

− 0 λ

=

= ĺım λ→0

λ3r2s

λ5r4 + λ3s2 =

= ĺım λ→0

r2s

λ2r4 + s2 =

{ r2

s , si s 6= 0

o, si s = 0

Logo f é diferenciable en (0,0) según todo subespazo vectorial L ( Rn, pero f NON é diferenciable

En Rn temos os seguintes subespazos 1-dimensionais distinguidos.

Ei = 〈{ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn}〉 1 ≤ i ≤ n

Definición 3.14. Se f : Ω ⊂ Rn → Rm é diferenciable en x0 ∈ Ω según o subespazo Ei, é dicir, se existe dif(x0) ∈ L(Ei,Rm) tal que

ĺım h∈L, h→0

‖f(x0 + h)− f(x0)− dif(x0)(h)‖Rm ‖h‖L

= 0

entón a aplicación dif(x0) recibe o nome de derivada parcial i-ésima de f en x0; tal aplicación será denotada por:

δf

δxi (x0) ≡ Dif(x0) ∈Mm×1(R)

Se f é diferenciable en x0 ∈ Ω =⇒ ∃ δf

δxi (x0) ∀i = 1, . . . , n

Proposición 3.15. f : Ω ⊂ Rn → Rm é diferenciable en x0 ∈ Ω se e só se as aplicacións fi : Ω ⊂ Rn → R son diferenciables en x0. Ademáis, en tal caso

df(x0)(h) =

 df1(x0)(h)... dfm(x0)(h)

 Demostración. =⇒

Supon̄amos que f é diferenciable en x0 ∈ Ω. As aplicacións proxeccións

πi : (x1, x2, . . . , xm) ∈ Ω ⊂ Rm → R

Son (trivialmente) lineais e, daquela, dπi(x0) = πi ∀x ∈ Ω e i = 1, . . . ,m.

Dado que, para cada i = 1, . . . ,m, fi = πi ◦ f concluímos que fi é unha aplicación diferenciable en x0 ∈ Ω e ademáis

dfi(x0) = d(πi ◦ f)(x0) = dπi(f(x0)) ◦ df(x0) = πi(df(x0)) ∀i = 1, . . . ,m

Daquela dfi(x0)(h) = πi[df(x0)(h)]

14

⇐= Sabemos agora que para cada i = 1, . . . ,m existe dfi(x0) ∈ L(Rn,R) tal que

ĺım h∈L, h→0

|f(x0 + h)− f(x0)− dif(x0)(h)| ‖h‖Rn

= 0

A aplicación H : h ∈ Rn → (df1(x0)(h), . . . , dfm(x0)(h))

é claramente lineal en virtude da linealidade das aplicacións dfi(x0) para cada 1 ≤ i ≤ m. Ademáis

ĺım h∈L, h→0

‖f(x0 + h)− f(x0)−H(h)‖Rm ‖h‖Rn

=

= ĺım h∈L, h→0

‖(f1(x0 + h), . . . , fm(x0 + h))− (f1(x0), . . . , fm(x0))− (df1(x0)(h), . . . , dfm(x0)(h))‖Rm ‖h‖Rn

=

= ĺım h∈L, h→0

‖(f1(x0 + h)− f1(x0)− df1(x0)(h), . . . , fm(x0 + h)− fm(x0)− dfm(x0)(h))‖Rm ‖h‖Rn

≤ ĺım h∈L, h→0

α máxi∈I |fi(x0 + h)− fi(x0)− dfi(x0)(h)|Rm

‖h‖Rn = 0 6

é dicir, concluímos finalmente que f é diferenciable en x0 

Sexa f : Ω ⊂ Rn → Rm diferenciable en Ω con función diferencial df(x0) ∈ L(Rn,Rm) e matriz asociada Df(x0) ∈Mm×n(R). Neste caso Df(x0) recibe o nome de Matriz Jacobiana de f en x0 que é a seguinte

Df(x0) =

 ∇f1(x0)... ∇fm(x0)

 = 

δf1 δx1

(x0) . . . δf1 δxn

(x0)

... . . . ...

δfm δx1

(x0) . . . δfm δxn

(x0)

 Teorema 3.16. Sexa Ω ⊂ Rn un conxunto aberto e f : Ω ⊂ Rn → Rm unha aplicación diferenciable en Ω.

Logo f ∈ C1(Ω) se e só se as súas derivadas parciais 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ i ≤ m, son continuas en Ω.

Demostración. ⇐=

Sexan x, y ∈ Ω arbitrarios. Temos logo que

df(x) ∈ L(Rn,Rm) =⇒ Df(x) ∈Mm×n(R)

df(y) ∈ L(Rn,Rm) =⇒ Df(y) ∈Mm×n(R)

Daquela,

‖Df(x)−Df(y)‖Mm×n(R) =

[ m∑ i=1

n∑ j=1

|Djfi(x)−Djfi(y)|2 ] 1

2

de onde se segue que a continuidade das parciais

δf

δxi (), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

6fi é diferenciable en x0 para 1 ≤ i ≤ m

15

implica a continuidade da aplicación diferencial de f : x ∈ Ω→ df(x).

=⇒ Doutra banda, en virtude da equivalencia de todas as normas en Rl, sabemos que existe α > 0 tal

que f ∈ C1(Ω).

ε > ‖Df(x)−Df(y)‖Mm×n(R) =

[ m∑ i=1

n∑ j=1

|Djfi(x)−Djfi(y)|2 ] 1

2

≥ α [

máx 1≤i≤m, 1≤j≤n

|Djfi(x)−Djfi(y)| ] ≥ α|Dkfl(x)−Dkfl(y)|

para 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m.

Logo agora é claro que se f ∈ C1 entón, necesariamente, todas as súas parciaisDifj(·) "son continuas en Ω". 

16

Tema 4: Teorema dos Incrementos Finitos I. f : R→ R

II. f : Rn → R Dados a, b ∈ Ω

L[a, b] := {ta+ (1− t)b / t ∈ [0, 1]} L(a, b) := {ta+ (1− t)b / t ∈ (0, 1)}

Teorema 4.1 (Teorema do valor medio xeneralizado).F Sexan f, g : L[a, b] ⊂ Ω ⊂ Rn → R dúas funcións continuas en L[a, b] e diferenciables en L(a, b). Existe c ∈ L(a, b) tal que

[f(b)− f(a)]Dg(c)(b− a) = [g(b)− g(a)]Df(c)(b− a)

Demostración. Consideramos a función

s : t ∈ [0, 1]→ s(t) = at+ (1− t)b = b+ t(b− a)

Temos logo que s = s1 + s2, onde

s1 : t ∈ [0, 1]→ s(t) = b ∈ Rn,

s2 : t ∈ [0, 1]→ s(t) = t(b− a) ∈ Rn, logo s é unha función continua en [0,1] por ser suma dunha función constante (s1), e unha aplica- ción lineal (s2). Ademáis, s é unha aplicación diferenciable en (0,1)

Ds(t) = (b− a) ∀t ∈ (0, 1)

Polo tanto, as funcións reais de variable real dados por f ◦ s e g ◦ s satisfán as restriccións do Teorema do Valor Medio Xeneralizado (caso R→ R).

Logo existe c ∈ (0, 1), tal que

[(f ◦ s)(1)− (f ◦ s)(0)] (g ◦ s)′(c) = [(g ◦ s)(1)− (g ◦ s)(0)] (f ◦ s)′(c) ⇐⇒ 7

⇐⇒ [f(b)− f(a)]Dg(c)(b− a) = [g(b)− g(a)]Df(c)(b− a) 

Corolario 4.2 (Teorema do valor medio).FF Sexa f : L[a, b] ⊂ Ω ⊂ Rn → R unha función continua en L[a, b] e diferenciable en L(a, b). Existe logo c ∈ L(a, b) tal que

f(b)− f(a) = Df(c)(b− a) ≡ ∇f(c)(b− a)

Demostración. Sexa g ∈ L(Rn,R) tal que g(b− a) 6= 0. Daquela, en virtude do teorema anterior, existe c ∈ L(a, b) tal que

[f(b)− f(a)]Dg(c)(b− a) = [g(b)− g(a)]Df(c)(b− a) ⇐⇒

⇐⇒ [f(b)− f(a)] g(b− a) = [g(b)− g(a)]Df(c)(b− a) ⇐⇒ ⇐⇒ [f(b)− f(a)](((((

(((g(b)− g(a)) = ((((( (([g b)− g(a)]Df(c)(b− a)

 7Se tiene esa equivalencia porque (g ◦ s)′(c) = Dg(s(c1)) ◦Ds(c1) = Dg(c)(b− a)

17

Corolario 4.3.FFF Sexa f : L[a, b] ⊂ Ω ⊂ Rn → R unha función continua en L[a, b] e diferenciable en L(a, b). Se ‖Df(x)‖ < M ∀x ∈ L(a, b) entón tense que |f(b)− f(a)| ≤M‖b− a‖

Demostración.

|f(b)− f(a)| = |Df(c)(b− a)| ≤ ‖Df(c)‖‖b− a‖ ≤M‖b− a‖



III. f : R→ Rm

Teorema 4.4 (Teorema do valor medio xeneralizado).F Sexan f, g : [a, b] ∈ R → Rm dúas funcións continuas en [a, b] e diferenciables en (a, b). Se ‖Df(x)‖L(R,Rm) ≤ g′(x) ∀x ∈ (a, b) entón

‖f(b)− f(a)‖ ≤ g(b)− g(a)

Demostración. ∃ϕ ∈ L(Rm,R) tal que ‖ϕ‖L(Rm,R) = 1 e ϕ(f(b)− f(a)) = ‖f(b)− f(a)‖. Consideremos agora a composición ϕ ◦ f : [a, b]→ R que é continua no intervalo [a, b] e derivable en (a, b). Dado que ϕ ∈ L(Rm,R) temos que dϕ(x) = ϕ ∀x ∈ L(a, b). Así pois, temos agora que

D(ϕ ◦ f)(x) = D(ϕ(f(x))) ◦Df(x) = ϕ ◦Df(x) =⇒

=⇒ (ϕ ◦ f)′(x) = |ϕ ◦Df(x)| ≤ ‖ϕ‖L(Rm,R)‖Df(x)‖ = ‖Df(x)‖ ≤ g′(x)

Daquela, en virtude do Corolario 4 (da folla de Teoremas de funcións reais dunha variable real dada na clase), tense que:

|ϕ ◦ f(b)− ϕ ◦ f(a)| ≤ g(b)− g(a) ⇐⇒ ‖f(b)− f(a)‖ ≤ g(b)− g(a)



Corolario 4.5.FFF Sexa f : L[a, b] ∈ R→ Rm unha función continua en [a, b] e diferenciable en (a, b) tal que

‖Df(x)‖ < M ∀x ∈ (a, b)

entón ‖f(b)− f(a)‖ ≤M |b− a|

Demostración. Basta considerar g(x) = Mx no teorema anterior 

18

IV. f : Rn → Rm

Teorema 4.6 (Teorema dos Incrementos Finitos). Sexa f : Ω ⊂ Rn → Rm unha aplicación conti- nua en L[a, b] e diferenciable en L(a, b). Se ‖Df(x)‖ < M ∀x ∈ L(a, b) entón

‖f(b)− f(a)‖Rm ≤M‖b− a‖Rn

Demostración 1. Consideremos a aplicación

s : t ∈ [0, 1]→ s(t) := at+ (1− t)b = b+ t(a− b)

Temos logo que s = s1 + s2 onde

s1 : t ∈ [0, 1]→ b ∈ Rm

s2 : t ∈ [0, 1]→ t(a− b) ∈ Rm

logo s é continua no intervalo [0,1] por ser suma de dúas aplicacións continuas (s1 é constante e s2 é lineal) e ademáis, s é diferenciable no intervalo (0,1)

ds(t) = s2 ∀t ∈ (0, 1)

Polo tanto, a aplicación f ◦ s : t ∈ [0, 1]→ f(ta− (1− t)b) ∈ Rm é continua no intervalo [0, 1] e diferenciable no intervalo aberto (0, 1). Ademáis

d(f ◦ s)(t) = df(s(t)) ◦ ds(t) =⇒

=⇒ ‖d(f ◦ s)(t)‖ = ‖df(s(t)) ◦ ds(t)‖ ≤ ‖df(s(t))‖‖s2‖ ≤M‖b− a‖ = M ′

Finalmente, en virtude do Corolario 4.5 concluímos agora que

‖(f ◦ s)(1)− (f ◦ s)(0)‖ ≤M ′(1− 0) ⇐⇒ ‖f(b)− f(a)‖Rm ≤M‖b− a‖Rn



Demostración 2. Consideramos a función g : Ω ⊂ Rn → R dada por

g(x) := 〈f(x), f(b)− f(a)〉 x ∈ Ω

Temos entón g = h ◦ f , onde

h : z ∈ Rm → 〈z, f(b)− f(a)〉 ∈ R

Así h é unha función lineal (e daquela continua en L[a, b]). Polo tanto, a función g tamén é continua en L[a, b] e diferenciable en L(a, b). Doutra banda

dg(x) = d(h ◦ f)(x) = dh(f(x)) ◦ df(x) = h ◦ df(x) −→

−→ dg(x)(y) = [h ◦ df(x)] (y) = 〈df(x)(y), f(b)− f(a)〉 y ∈ Rn

Daquela, en virtude do Corolario 4.2, temos que existe c ∈ L(a, b) tal que

g(b)− g(a) = ∇g(c)(b− a) ⇐⇒ 〈f(b), f(b)− f(a)〉 − 〈f(a), f(b)− f(a)〉 =

= 〈df(c)(b− a), f(b)− f(a)〉 ⇐⇒ 〈f(b)− f(a), f(b)− f(a)〉 = 〈df(c)(b− a), f(b)− f(a)〉 ou, empregando a desigualdade de Cauchy-Schwarz

‖f(b)− f(a)‖2 ≤ ‖Df(c)(b− a)‖‖f(b)− f(a)‖ ≤ ‖Df(c)‖‖b− a‖‖f(b)− f(a)‖

Polo tanto, se f(b) 6= f(a) entón, dividindo entre ‖f(b)− f(a)‖ obtemos que

‖f(b)− f(a)‖ ≤ ‖Df(c)‖‖b− a‖ ≤M‖b− a‖

Se f(b) = f(a) entón o enunciado é trivial 

19

IMPORTANTE!! Unha aplicación f : Ω ⊂ Rn → Rm con m > 1 continua en L[a, b] ⊂ Ω e diferenciable en L(a, b) non ten por qué satisfacer o Teorema do Valor Medio. Isto é, non existe necesariamente c ∈ L(a, b) tal que

f(b)− f(a) = df(c)(b− a)

Exemplo 3. f : x ∈ [0, 1] ⊂ R→ f(x) = (x2, x3) ∈ R2

f é continua no intervalo [0,1]

f é diferenciable no intervalo (0,1)

Df(x) =

( 2x 3x2

) , x ∈ (0, 1)

f(1) =

( 1 1

) f(0) =

( 0 0

) Supon̄amos que existe c ∈ (0, 1) tal que

f(1)− f(0) = df(c)(1− 0) ⇐⇒

⇐⇒ (

1 1

) − (

0 0

) =

( 2c 3c2

) ⇐⇒

 1 = 2c

e

1 = 3c2 o cal é imposible

4.1. Consecuencias do Teorema dos Incrementos Finitos Teorema 4.7. Sexa Ω ⊂ Rn un conxunto aberto e convexo e f : Ω ⊂ Rn → Rm unha aplicación diferenciable en Ω tal que

‖df(x)‖ ≤M ∀x ∈ Ω

En tal caso, f é lipschitziana con constante de Lipschitz igual a M

Demostración. Por ser Ω un conxunto convexo, dado a, b ∈ Ω arbitrarios, temos que L[a, b] ⊂ Ω e ademáis

‖df(x)‖ ≤M ∀x ∈ L(a, b)

Daquela, en virtude do Teorema dos Incrementos Finitos, temos que

‖f(b)− f(a)‖Rm ≤M‖b− a‖Rn



Teorema 4.8. Sexa Ω ⊂ Rn un conxunto aberto e conexo e f : Ω ⊂ Rn → Rm unha aplicación diferenciable en Ω. Logo, f é constante en Ω se, e só se, df(x) = 0 ∀x ∈ Ω

Demostración.

=⇒ Se f é unha aplicación constante en Ω, independentemente de se Ω é conexo ou non, temos que

df(x) = 0 para cada x ∈ Ω

20

⇐= Sexa a ∈ Ω arbitrario. Probaremos que f(x) = f(a) ∀x ∈ Ω. Por ser Ω conexo existen x1, x2, . . . , xn ∈

Ω tales que L = L[a, x1] ∪ L[x1, x2] ∪ · · · ∪ L[xn, x] ⊂ Ω

Dado que, por hipótese, ‖Df(x)‖ = 0 ∀x ∈ Ω

en virtude do Teorema dos Incrementos Finitos, temos que

‖f(x)− f(a)‖ ≤ 0‖b− a‖ = 0 ⇐⇒ f(x) = f(a)

Logo f(x) = f(a) ∀x ∈ Ω. 

21

Tema 5: Diferencial de Orde Superior Definición 5.1. Sexa f : Ω ⊂ Rn → R unha función diferenciable en Ω. Diremos que f é dúas veces diferenciable en x0 ∈ Ω se é diferenciable en x0 a aplicación

df : Ω ⊂ Rn → L(Rn,R) x ∈ Ω → df(x)

En tal caso, emplearemos a notación d2f(x0) = d(df)(x0)

Nota 5.2. En principio d2f(x0) ∈ L(Rn,L(Rn,R)). Recordemos que os espacios vectoriais L(Rn,L(Rn,R)) e L2(Rn×Rn,R) (onde L2(Rn×Rn,R) é

o espacio formado polas aplicacións biliniais de Rn×Rn en R) son isométricamente isomorfos (mantén as distancias).

Tendo isto en conta, podemos dicir que d2f(x0) ∈ L2(Rn×Rn,R). Así, escribiremos indistintamente( d2f(x0)(h)

) (k) ≡ d2f(x0)(h, k)

Convén ter en conta que

d2f(x0) ∈ L(Rn,L(Rn,R)) d2f(x0)(h) ∈ L(Rn,R)[ d2f(x0)(h)

] (k) ∈ R

En xeral, podemos definir de maneira inductiva a diferencial de orde k ∈ N nun punto x0 ∈ Ω dunha función f : Ω ⊂ Rn → R

Definición 5.3. Sexa f : ΩRn → R unha aplicación k − 1 veces diferenciable en Ω. En tal caso, tamén está ben definida a aplicación

dk−1f : Ω ⊂ Rn → L(Rn,L(Rn, . . . ,L(Rn,R))) x ∈ Ω → dk−1f(x)

Diremos que f é k veces diferenciable en x0 ∈ Ω se a aplicación dk−1f é diferenciable en x0, é dicir, se a diferencial de orde k − 1 é diferenciable en x0. Emplearemos a notación dkf(x0) := d(dk−1f)(x0).

Nota 5.4. Observemos que según a definición

dkf(x0) ∈ L(Rn,L(Rn, . . . ,L(Rn,R)))

ou equivalentemente, empregando o isomorfismo antes mencionado

dkf(x0) ∈ L(Rn × · · · × Rn︸ ︷︷ ︸ k veces

,R)))

Definición 5.5.

(a) Se f é k-veces diferenciable en Ω e dkf é unha función continua en Ω, diremos que f é de clase Ck en Ω. Emplearemos a notación

f ∈ Ck(Ω)

(b) Se f é de clase Ck(Ω) para cada k ∈ N, diremos que f é de clase C∞ en Ω. Emplearemos a notación f ∈ C∞(Ω)

Proposición 5.6 (Linealidade da diferencial de orde k). Se f, g : Ω ⊂ Rn → R é k-veces diferenciable en Ω, entón

dk(λf + g)(x) = λdkf(x) + dkg(x)

para cada x ∈ Ω.

22

5.1. Diferencial Segunda dunha Función Por simplicidade, consideremos f : Ω ⊂ Rn → R.

Definición 5.7. Unha función f : Ω ⊂ Rn → R é dúas veces diferenciable nun punto x0 ∈ Ω se e só se é diferenciable en x0 a aplicación

df : Ω ⊂ Rn → L(Rn,R) x ∈ Ω → df(x)

En tal caso, para cada h ∈ Rn, a aplicación

F ≡ df(·)(h) : x ∈ Ω ⊂ Rn → df(x)(h) = Df(x)(h) = (D1f(x), D2f(x), . . . , Dnf(x))

 h1... hn

 ∈ R é diferenciable en x0 por ser composición de funcións diferenciables en x0. A diferencial de F en x0 é unha aplicación lineal de Rn en R cunha matriz jacobiana que ven dada,

para cada h ∈ Rn, por

∇F (x0) = (D1(D1(f(x0))h1 + · · ·+Dn(f(x0))hn), . . . , Dn(D1(f(x0))h1 + · · ·+Dn(f(x0))hn))

Así pues,

dF (x0)(k) = d (df(x0)(h)) (k) = d 2f(x0)︸ ︷︷ ︸

∈ L(Rn× Rn,R)

(h, k) = n∑ j=1

Dj

n∑ i=1

Dif(x0)hi · k1

É dicir, se f : Ω ⊂ Rn → R é dúas veces diferenciable no punto x0 ∈ Ω, entón:

d2f(x0)(h, k) = ( h1 , . . . , hn

) 

D1D1f(x0) . . . D1Dnf(x0)

... . . . ...

DnD1f(x0) . . . DnDnf(x0)



 k1

...

kn

 E a matriz anterior recibe o nome de matriz Hessiana de f en x0 e será denotada por Hf(x0).

Así, L(Rn × Rn,R) 3 d2f(x0) ≡ Hf(x0) ∈Mm×n(R)

R 3 d2f(x0)(h, k) = htHf(x0)k ∈ R la aplicación bilineal

d2f(x0) : (h, k) ∈ Rn × Rn → df(x0)(h, k) ∈ R donde

d2f(x0)(h, k) = n∑

i,j=1

DiDjf(x0)hjki = n∑

i,j=1

δ

δxi

( δf

δxj

) (x0)hjki

é a diferencial de orde 2 de f en x0 ∈ Ω. Habitualmente, empregaremos a notación

δ2

δxiδxj f =

δ

δxi

( δ

δxj

) f

DiDjf(x0) = Djif(x0)

23

5.2. Simetría da Diferencial Segunda

Corolario 5.8. Se f é dúas veces diferenciable en (x0, y0) ∈ Ω, entón δ2f

δxiδxj (x0) =

δ2f

δxjδxi (x0) e, polo

tanto, a matriz Hf(x0) é simétrica. A aplicación diferencial nun punto, se existe, é unha aplicación bilineal simétrica.

5.3. A Diferencial de Orde Superior δkf

δxi1δxi2 . . . δxik =

δ

δxik

( δk−1f

δxi1 . . . δxik−1

) .

Supoñamos que para cada x0 ∈ Ω está definida dk−1f(x0). Se todas as funcións

δk−1f

δxi1δxi2 . . . δxik−1 : x0 ∈ Ω ⊂ Rn →

δk−1f

δxi1δxi2 . . . δxik−1 f(x0) ∈ R

son diferenciables en x0, temos que f é k-veces diferenciable en x0. A diferencial de orde k da función f en x0 está dada por

dkf(x0)( h 1︸︷︷︸

∈Rn , h2︸︷︷︸ ∈Rn

, . . . , hk︸︷︷︸ ∈Rn

) = ∑ δk

δxi1 , . . . , δxik f(x0) h

1 i1︸︷︷︸ ∈Rn

h2i2︸︷︷︸ ∈Rn

. . . hkik︸︷︷︸ ∈Rn

24

Tema 6: Polinomio de Taylor Teorema 6.1 (Fórmula de Taylor). Sexxa f : [a, b] ⊂ R → R unha función tal que a súa k-1-ésima derivada, f (k−1), é continua no intervalo pechado [a,b] e existe f (k)(t), ∀t ∈ (a, b). Sexan ademáis α, β ∈ [a, b] con α 6= β.

Definimos logo o polinomio de Taylor de grao k − 1 e centrado en α como

Pk−1α [f ](t) := k−1∑ j=0

f (j)(α)

j! (t− α)j, t ∈ (a, b)

Tense entón que existe ξ no intervalo aberto de extremos α e β tal que

f(β) = Pk−1α [f ](β) + f (k)

k! (ξ)(β − α)k

A identidade anterior recibe o nome de Fórmula de Taylor

No caso de funcións reais de varias variables reais, tan só falaremos de polinomio de Taylor de grao k dunha función f centrado no punto x0 cando f sexa unha función de clase Ck nun aberto que conteña a x0.

Se f : [a, b] ⊂ Rn → R é de clase Ck nun entorno dun punto x0 ∈ Ω entón:

1. Cada derivada parcial de orde k − 1, δk−1f é unha función lipschitziana nun entorno de x0

2. f e cada derivada parcial de orde menor que k − 1 é diferenciable nalgún entorno de x0.

3. No cálculo das derivadas parciais de orde k de f no punto x0 podemos intercambiar a orde de derivación.

No cálculo das derivadas parciais de orde ≤ k − 1 de f , existe un entorno de x0 no que podemos intercambiar a orde de derivación.

Definición 6.2. Sexa f : [a, b] ⊂ Rn → R unha función que admite derivadas parciais de orde k nalgún entorno do punto x0 ∈ Ω

Chamamos polinomio de Taylor de grao k centrado en x0 ∈ Ω da función f ao polinomio cuxo termo independente é f(x0) e cuxos termos de grao 1 ≤ j ≤ k son

1

j!

∑ 1≤i1,...,ij≤n

δj δxi1 , δxi2 , . . . , δxij

f(x0)(xi1 − x0i1 ) · (xi2 − x0i2 ) . . . (xij − x0ij )

Tal polinomio será denotado por Pkx0 [f ]

IMPORTANTE!! É habitual empregar:

Djf(x0)x j =

∑ 1≤i1,...,ij≤n

δj δxi1 , δxi2 , . . . , δxij

f(x0)(xi1 − x0i1 ) · (xi2 − x0i2 ) . . . (xij − x0ij )

e referirse a Djf(x0) como a diferencial de orde j da función f no punto x0. De feito, se f é j-veces diferenciable en x0 entón

djf(x0)(x1, . . . , x) = D jf(x0)x

j

Empregando esta notación, podemos escribir

Pkx0 [f ](x) = f(x0) + df(x0)(x) + 1

2 d2f(x0)(x, x) +

1

3! d3f(x0)(x, x, x) + · · ·+

dkf(x0)

k! (x, . . . , x) =

= f(x0) +Df(x0)(x) + D2f(x0)

2 x2 + · · ·+ D

kf(x0)

k! xk

25

comentarios (0)
No hay comentarios
¡Escribe tú el primero!
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 31 páginas totales
Descarga el documento