Soluciones y Gráficas Examen 1 Matemáticas Especiales Universidad Pamplona, Apuntes de Matemáticas Aplicadas

¡Descarga Soluciones y Gráficas Examen 1 Matemáticas Especiales Universidad Pamplona y más Apuntes en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity! Universidad de Pamplona 5 de octubre de 2020 Departamento de Matemáticas Matemáticas Especiales Taller Examen 1 - Grupo A Profesor: Andrés Fabián Leal Archila Taller Examen 1 - Grupo A Instrucciones Cada una de las respuestas a las siguientes preguntas deben ser plenamente justificadas. Preguntas sin contestar no suman puntos. El plazo de entrega de este taller es el viernes 2 de octubre de 2020 antes de las 23:59. Debe ser subido a la plataforma Microsoft Teams por uno y solo uno de los integrantes del grupo. La solución debe ser enviada escrita en LAPICERO y escaneada una página a la vez. “Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit” Stefan Banach. 1. 12 Puntos Demuestre que la serie ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 2n es absolutamente convergente. Solución 1. Usando el test de la razón se obtiene que L = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ an+1 an ∣ ∣ ∣ ∣ = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (−1)n+2(n + 1) 2n+1 (−1)n+1n 2n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ (−1)n+1 × (−1)× (n + 1)× 2n (−1)n+1 × (n)× 2n × 2 ∣ ∣ ∣ ∣ = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ (−1)× n+ 1 2n ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 2 < 1. Por el test de la razón puede concluirse que la serie es absolutamente convergente. 2. 12 Puntos Calcule el radio de convergencia de la serie ∞ ∑ n=0 (2n+ 1)! (n+ 3)(n!)2 (z − i)3n . Solución 2. R = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ an an+1 ∣ ∣ ∣ ∣ = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (2n+ 1)! (n + 3)(n!)2 (2n+ 3)! (n+ 4)((n+ 1)!)2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ (2n+ 1)!× (n+ 4)× (n!)2 × (n+ 1)2 (n+ 3)× (n!)2 × (2n+ 3)× (2n+ 2)× (2n+ 1)! ∣ ∣ ∣ ∣ = ĺım n→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ n3 + 6n2 + 9n+ 4 4n3 + 22n2 + 36n+ 18 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 4 Aśı, el ĺımite da un valor de 1 4 , pero al tener en cuenta que la serie tiene exponente 3n se calcula su ráız cúbica, por lo cual el radio de convergencia de la serie original es 3 √ 1 4 . Page 2