Apuntes Lógica y Estructuras Discretas, Apuntes de Sistemas de Gestión de Bases de Datos
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Apuntes Lógica y Estructuras Discretas, Apuntes de Sistemas de Gestión de Bases de Datos

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Los presentes apuntes contienen una introducción a la lógica proposicional y sus aplicaciones orientada principalmente a carreras técnicas.
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Lógica Proposicional Introducción

1

Introducción

Los presentes apuntes contienen una introducción a la lógica proposicional y sus aplicaciones orientada principalmente a carreras técnicas.

Los apuntes se utilizan en la primera parte de la asignatura “Lógica” de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Informática de Oviedo impartida por los autores.

Para cualquier consulta o sugenrencia, puede ponerse en contacto con los autores en: [email protected] ó [email protected]

J. E. Labra G

Ana I. Fernández M. Octubre, 1998

Lógica Proposicional Introducción

2

Contenido

Introducción...............................................................................................................1 1. Lenguaje de la Lógica Proposicional......................................................................3

1.1. Alfabeto de la Lógica Proposicional......................................................3 1.2. Sintaxis de la Lógica Proposicional.......................................................3 1.3. Semántica de la Lógica Proposicional...................................................4

2. Equivalencia lógica ................................................................................................6 3. Consecuencia Lógica.............................................................................................7 4. Técnicas Semánticas de Estudio de Validez Proposicional......................................8

4.1. Tablas de Verdad ................................................................................8 4.2. Árboles Semánticos .............................................................................8 4.3. Demostraciones por Contradicción.......................................................9 4.4. Resolución Proposicional....................................................................10

4.4.1. Formas Normales .............................................................10 4.4.2. Algoritmo de Resolución Proposicional..............................12 4.4.3. Estrategias de resolución...................................................16

4.4.3.1. Estrategias de Borrado.....................................16 4.4.3.1.1. Eliminación de cláusulas con literales puros.........16 4.4.3.1.2. Eliminación de tautologías..................................16 4.4.3.1.3. Eliminación de Subsunciones..............................17

4.4.3.2. Resolución unitaria ...........................................17 4.4.3.3. Resolución de Entrada .....................................18 4.4.3.4. Resolución Lineal.............................................18 4.4.3.5. Resolución Ordenada.......................................19

5. Teoría de la Prueba: Deducción Natural...............................................................22 6. Aplicación al diseño de Circuitos: Álgebra de Boole ............................................26

6.1. Introducción.......................................................................................26 6.2. Definición de álgebra de Boole y Teoremas ........................................26 6.3. Puertas Lógicas..................................................................................31 6.4. Funciones Booleanas..........................................................................31

6.4.1. Formas Canónicas ............................................................32 Transformación en forma canónica .................................33

6.4.2. Simplificación de funciones lógicas.....................................35 Método de Karnaugh.....................................................36 Funciones incompletas ...................................................39

7. Ejercicios ............................................................................................................40 8. Soluciones...........................................................................................................45 Bibliografía...............................................................................................................48 Indice.......................................................................................................................49

Lógica Proposicional Lenguaje de la Lógica Proposicional

3

1. Lenguaje de la Lógica Proposicional

La lógica Proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples (enunciados o proposiciones) que son los elementos básicos de transmisión de conocimiento humano.

De manera informal, una proposición se define como una frase que puede ser considerada Verdadera o Falsa y que no se puede descomponer en otras frases Verdaderas o Falsas.

Para relacionar las distintas proposiciones se utilizan las siguientes conectivas:

Nombre de la conectivaRepresentaciónEjemplos de frases en las que aparece

Negación ¬p no p es falso p

no es cierto p

Conjunción p qp y qp pero q

p sin embargo qp no obstante qp a pesar de q

Disyunción p q∨ o p o q o ambos al menos p o q

como mínimo p o q

Condicional

(Implicación)

p q→ si p entonces q p sólo si q

q si p q cuando p

q es necesario para p para p es necesario q p es suficiente para q para q es suficiente p no p a menos que q

Bicondicional (Equivalencia)

p qp es necesario y suficiente para q p si y sólo si q

1.1. Alfabeto de la Lógica Proposicional

El lenguaje de la lógica proposicional trabajará con los siguientes conjuntos de símbolos:

Constantes: V F Variables o letras proposicionales: p, q, r, ... Símbolos de Conectivas: ¬ ∧ ∨ → ↔ Signos de puntuación: ( )

1.2. Sintaxis de la Lógica Proposicional

Las reglas de formación de frases en el lenguaje de la lógica proposicional (LPROP) son:

1.- Las constantes V (Verdadero) y F (Falso) pertenecen a LPROP 2. Las letras de proposición p,q,r,.. pertenecen a LPROP

Lógica Proposicional Lenguaje de la Lógica Proposicional

4

3. Si A y B pertenecen a LPROP entonces ( ) , ( ), ( ), ( ), ( ) , ( )¬ ¬ ∧ ∨ → ↔A B A B A B A B A B pertenecen a LPROP

4. Sólo pertenecen a LPROP las fórmulas que cumplan los requisitos 1, 2 y 3.

Con el fin de evitar el exceso de paréntesis se establece la siguiente jerarquía de prioridades:

¬ ∧ ∨ → ↔

Con dicha tabla, la fórmula ¬p ∨ q → p ∧ r se reconocería como: ((¬p) ∨ q) → (p ∧ r)

1.3. Semántica de la Lógica Proposicional

La teoría semántica de la lógica proposicional trata de atribuir significados (Verdadero o Falso) a las distintas fórmulas del lenguaje. Dichos significados dependen del contexto particular en el que se utilice la fórmula. Cada contexto se denomina Interpretación.

Definición 1: Una interpretación de una fórmula F en lógica proposicional es una asignación de valores

{ }V F, a cada una de las letras proposicionales de F. El valor de una proposición p bajo una interpretación I se denota como V pI ( ) .

Definición 2: Dada una fórmula F y una interpretación I, el valor de F bajo I(denotado por V FI ( ) ) es:

° Si F está formada por una proposición p, entonces V F V pI I( ) ( )=

° Si F es de la forma ¬G entonces V F si V G

si V GI I

I

( ) ( )

( ) =

= =

  

V F

F V

° Si F es de la forma G H∧ entonces V F si V G V H

I I I( ) ( ) ( )

= = =

 

V V

F en caso contrario

° Si F es de la forma G H∨ entonces V F si V G V H

I I I( ) ( ) ( )

= = =

 

F F

V en caso contrario

° Si F es de la forma G H→ entonces V F si V G V H

I I I( ) ( ) ( )

= = =

 

F V F

V

y

en caso contrario

° Si F es de la forma G H↔ entonces V F si V G V H

I I I( ) ( ) ( )

= =

 

V

F en caso contrario

Ejemplo 1: Sea la fórmula ( )F p q q p= → ↔ ¬ ∨ ¬ y la interpretación I que asigna ( )V pI = F y ( )V qI = V

Definición 3: Una interpretación I es un modelo para una fórmula F si V FI ( ) = V

Es posible establecer una clasificación de las fórmulas proposicionales en función de los valores que tomen bajo las diferentes interpretaciones, de esta forma una fórmula F se clasifica en:

Válida ó Tautología: Todas las interpretaciones son un modelo (Para toda interpretación I, V FI ( ) = V )

Satisfacible: Alguna interpretación es un modelo (Existe una interpretación I tal que V FI ( ) = V )

Lógica Proposicional Lenguaje de la Lógica Proposicional

5

Insatisfacible: Ninguna interpretación es un modelo (No existe una interpretación I tal que V FI ( ) = V )

Una fórmula puede ser: satisfacible o insatisfacible. Un tipo especial de fórmula satisfacible, es aquella que toma siempre valor V (es válida). Por tanto, las fórmulas válidas son un subconjunto de las satisfacibles.

Teorema 1: Una fórmula F es válida si y sólo si su negación ¬F es insatisfacible. Dem: F es válida

⇔ { Def. válida} ∀I VI(F)= V

⇔ { Def. Interpretación ¬ } ∀I VI(¬F) = F

⇔ { Def. Insat. } ¬F es Insatisfacible

NOTA: A lo largo de estos apuntes se utilizará un formato lineal para las demostraciones promovido por E. W. Dijkstra [Dijkstra, 90]. En este formato, las líneas impares contienen los principales pasos de la demostración y las líneas pares, comentarios para pasar de un paso a otro.

En algunas ocasiones, el comentario recurre a la regla de Leibniz que dice lo siguiente:

Si se cumple F(X) y X = Y entonces también se cumple F(Y)

Lógica Proposicional Equivalencia lógica

6

2. Equivalencia lógica

Definición 4: Se dice que dos fórmulas A y B son equivalentes lógicamente (se denota por A B≡ ó A B⇔ ) si para toda interpretación I, se cumple que V A V BI I( ) ( )=

Teorema 2: A ≡ B si y sólo si la fórmula A↔B es válida Dem: A≡B

⇔ { Def. ≡ } ∀I VI(A) = VI(B)

⇔ { Def. Interpretación ↔ } ∀I VI(A↔B) = V

⇔ { Def. Válida } A↔B es válida

El teorema anterior reduce la demostración de equivalencia entre fórmulas a la demostración de validez de una fórmula. A continuación se presenta una tabla con una serie de equivalencias de uso común y de fácil demostración

Supresión de Implicación: A B A B→ ≡ ¬ ∨ Contraposición: A → B ≡ ¬B → ¬ A Supresión de Doble Implicación: ( ) ( )A B A B B A↔ ≡ → ∧ → Absorción ( )A B A A∧ ∨ ≡ ( )A B A A∨ ∧ ≡

A ∧ ≡F F A ∨ ≡V V Elemento neutro A A∧ ≡V A A∨ ≡F

E. Complementario Contradicción A A∧ ¬ ≡ F

Medio Excluido A A∨ ¬ ≡ V

Idempotencia A A A∧ ≡ A A A∨ ≡ Commutativa A B B A∨ ≡ ∨ A B B A∧ ≡ ∧ Asociativa ( ) ( )A B C A B C∧ ∧ ≡ ∧ ∧ ( ) ( )A B C A B C∨ ∨ ≡ ∨ ∨ Distributiva ( ) ( ) ( )A B C A B A C∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧ De Morgan ( )¬ ∨ ≡ ¬ ∧ ¬A B A B ( )¬ ∧ ≡ ¬ ∨ ¬A B A B

Doble Negación (Involución)

¬¬ ≡A A

Teorema 3: Si A es válida y A ≡ B entonces B es válida

Dem: A es válida ⇔ { Def. Válida } ∀I VI(A) = V

⇔ {Si A≡B entonces ∀I VI(A) = VI(B), Leibniz } ∀I VI(B) = V ⇔ { Def. Válida } B es válida

Con el teorema anterior, si se sabe que X es válida, para demostrar que Z es válida se podrá utilizar el formato: X

≡ {...} Y ≡ {...} Z

Lógica Proposicional Consecuencia Lógica

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3. Consecuencia Lógica

Definición 5: Sea C un conjunto de fórmulas { }P P Pn1 2, ,L y sea Q una fórmula. Se dice que Q es consecuencia lógica del conjunto C de premisas (se denotará C Q⇒ ) si toda interpretación que es un modelo de C es también un modelo de Q .

Es decir, si para toda interpretación I se cumple que si V P V P V PI I I n( ) ( ) ( )1 2= = = =L V entonces V QI ( ) = V (Intuitivamente, se podría considerar cada interpretación como un "posible mundo". De esa forma, decir que Q es consecuencia lógica de unas premisas es equivalente a pensar que Q toma valor V en cualquier mu ndo en el que las premisas tomen valor V ).

Una estructura de la forma { }P P P Qn1 2, ,L ⇒ se denomina razonamiento. Donde { }P P Pn1 2, ,L es el conjunto de premisas y Q, la conclusión.

Se dice que un razonamiento es correcto si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas.

Teorema 4: { }P P P Qn1 2, ,L ⇒ es correcto si y sólo si P P P Qn1 2∧ ∧ ∧ →L es válida Dem: {P1, P2, ...Pn} ⇒ Q es correcto

⇔ { Def. Razonamiento } ∀I Si V I (P1) = V I (P2) = ... = V I (Pn) = V entonces V I (Q) = V

⇔ { Def. Interpretación de conjunción } ∀I Si V I (P1 ∧ P2 ∧ ...∧ Pn) = V entonces V I (Q) = V

⇔ { Def. Interpretación de Implicación } ∀I V I (P1 ∧ P2 ∧ ...∧ Pn → Q) = V

⇔ { Def. Válida } P1 ∧ P2 ∧ ...∧ Pn → Q es válida

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

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4. Técnicas Semánticas de Estudio de Validez Proposicional

4.1. Tablas de Verdad

Definición 6: Una tabla de verdad es una representación en forma de árbol del valor de una fórmula en todas las posibles interpretaciones.

Por ejemplo, para calcular el valor de verdad de la fórmula F = p→q ↔ ¬p∨q , la tabla de verdad consiste en representar las 4 posibles interpretaciones y evaluar la fórmula en dichas interpretaciones

p q p→q ↔ ¬p∨q F F V F V V V F V V V V

El número de posibles interpretaciones de una fórmula F es 2n donde n es el número de variables proposicionales de F. Por tanto, este método tiene una complejidad exponencial que complica su utilización para fórmulas complejas

4.2. Árboles Semánticos

Definición 7: Un árbol semántico es una técnica similar a las tablas de verdad que puede simplificar la evaluación de algunas fórmulas.

Inicialmente, se forma el conjunto LP de letras proposicionales de la fórmula. Se construye un nodo inicial del árbol que se tomará como nodo actual y se aplica el siguiente procedimiento:

1.- Se intenta evaluar la fórmula en el nodo actual.

2.- Si es posible asignar a F un valor { }V F, se etiqueta el nodo con dicho valor y se finaliza el tratamiento del nodo actual.

3.-En caso.contrario: - Se Selecciona la primera letra proposicional p del conjunto LP

- Se Borra p de LP.

- Se Construyen dos ramas, una correspondiente a p interpretado con valor V (identificada como p) y la otra correspondiente a p con valor F (identificada como ¬p ).

- Repetir el procedimiento por cada uno de los dos nuevos nodos.

Definición 8: Los nodos del árbol semántico en los que el conjunto de significados atribuidos hasta ellos hacen Falsa la fórmula, se denominan nodos de fallo y los que la hacen verdadera, nodos de éxito

Ejemplo 2: Dada la fórmula (p→q) →(¬p→¬q). Seleccionando los literales por orden alfabético, se obtiene el árbol semántico:

p ¬p

¬qq V

F V

Como puede observarse, no ha sido necesario evaluar las interpretaciones p=V, q=V y p=V, q=F.

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

9

4.3. Demostraciones por Contradicción

Para demostrar que una fórmula F es válida por contradicción se realiza lo siguiente:

1.- Se supone que existe una interpretación I tal que VI(F) = F y se intentan calcular los diversos valores de la fórmula.

2.- Si se llega a una contradicción: Entonces: ¬∃I VI(F) = F ⇒ ∀I VI(F) = V ⇒ F es válida En Caso Contrario: ∃I VI(F) = F ⇒ F no es válida

Este tipo de demostraciones se suelen representar etiquetando la fórmula con valor F y evaluando posibles valores hasta que se llegue la contradicción.

Ejemplo 3. A continuación se demuestra que la fórmula ¬p∨¬q→¬(p∧q) es válida

{ {

444 3444 21

43421 321

43421 43421

F

F

V

V

VV

F

F

V

F

V

qpqp )( ∧¬→¬∨¬

A la hora de evaluar una conectiva pueden aparecer varias alternativas. Conviene recordar que:

Para poder asegurar que F es válida debe llegarse a contradicción por todas las alternativas

Si no se llega a contradicción por alguna alternativa se puede decir que F no es válida

Ejemplo 4. A continuación se demuestra que la transitividad de la equivalencia lógica. Es decir que:

{A ↔ B, B ↔ C) ⇒ (A ↔ C)

Para ello, basta con demostrar que la fórmula (A↔B)∧(B↔C)→(A↔C) es válida. En dicha demostración aparecen dos alternativas y, como se llega a contradicción por ambas, puede concluirse que la fórmula es válida.

44444 344444 21 321 321

44 344 21 321321

F

F

CACBBA

V

VV

V

V

VV

V

VV ↔→↔∧↔

44444 344444 21 321 321

44 344 21 321321

F

F

FFFFFF

V

V

VV

CACBBA ↔→↔∧↔

Contradicción

Contradicción Contradicción

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

10

4.4. Resolución Proposicional

El método de resolución es un algoritmo fácilmente mecanizable propuesto por J.A. Robinson en 1965. La entrada del algoritmo no es una fórmula, sino un conjunto de cláusulas y el algoritmo chequea si son insatisfacibles. Antes de presentar el algoritmo de resolución, se define qué es una cláusula y cómo transformar una fórmula en un conjunto de cláusulas mediante las formas normales.

4.4.1. Formas Normales

Definición 9: Una fórmula F es una conjunción si es de la forma F F Fn1 2∧ ∧ ∧L n≥0

Definición 10: Una fórmula F es una disyunción si es de la forma F F Fn1 2∨ ∨ ∨L n≥0

Definición 11: Un literal es una proposición ( )p o una proposición negada ( )¬p . Definición 12: Una fórmula F está en Forma Normal Conjuntiva (FNC) si es una conjunción de la forma

F F Fn1 2∧ ∧ ∧L donde cada Fi es una disyunción de literales. Se representa como ∧ ∨  

 = =i

m

j

n

ij

i

l 1 1

Ejemplo 5: La siguiente fórmula está en Forma Normal Conjuntiva: (¬p∨q) ∧ (¬p∨r∨¬s) ∧ p

Definición 13: Una fórmula F está en Forma Normal Disyuntiva (FND) si es una disyunción de la forma

F1∨F2∨ ...∨Fn donde cada Fi es una conjunción de literales. Se representa como ∨ ∧  

 = =i

m

j

n

ij

i

l 1 1

Ejemplo 6: La siguiente fórmula está en Forma Normal Disyuntiva: (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ ¬p ∨ (r ∧ ¬s)

Ejemplo 7: Obsérvese que la fórmula ¬p está a la vez en FNC y FND

Teorema 5: Toda fórmula de la lógica de proposiciones puede ser transformada en una fórmula lógicamente equivalente a ella en Forma Normal Conjuntiva (Disyuntiva).

Dem: La demostración consiste en indicar los pasos del algoritmo de transformación a forma normal

conjuntiva. Puesto que estos pasos mantienen la equivalencia y dado que la equivalencia cumple la propiedad transitiva (ejemplo 4), la fórmula resultante es equivalente a la fórmula original. Para demostrar formalmente que el algoritmo termina, se requiere el estudio de sistemas de re-escritura de términos que puede consultarse en [Abramsky, 92]. Los pasos de transformación son:

1. Eliminar conectiva ↔. A↔B≡(A→B)∧ (B→A) 2. Eliminar conectiva →. A B A B→ ≡ ¬ ∨ 3. Introducir negaciones hasta que afecten a literales mediante las leyes de Morgan. ( )¬ ∧ ≡ ¬ ∨ ¬A B A B ( )¬ ∨ ≡ ¬ ∧ ¬A B A B 4. Eliminar negaciones múltiples. ¬¬ ≡A A 5. Aplicar propiedades distributivas para eliminar las posibles conjunciones (disyunciones) dentro

de disyunciones (conjunciones) obteniendo Forma Normal Conjuntiva (Disyuntiva). ( ) ( ) ( )A B C A B A C∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨ Puesto que las fórmulas resultantes de aplicar cada uno de los pasos anteriores mantienen la

equivalencia, la fórmula obtenida será equivalente a la fórmula original.

En muchas ocasiones se añaden otros tres pasos que simplifican la fórmula resultante: 6. Eliminar conjunciones/disyunciones con un literal y su opuesto.

(p∧ ¬p ∧ X) ∨ Y ≡ Y (p∨ ¬p ∨ X) ∧Y ≡ Y

7. Eliminar literales repetidos p ∧ p ≡ p p ∨ p ≡ p

8. Eliminar subsunciones. Una subsunción se produce cuando una conjunción (o disyunción) C está incluida en otra D. En dicho caso se elimina la cláusula D

(A ∨ B) ∧ A ≡ A

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

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(A ∧ B) ∨ A ≡ A

Ejemplo 8: Para transformar la fórmula ¬(p→q)↔p∨r a Forma Normal Conjuntiva, se pueden emplear los siguientes pasos:

¬(p→q)↔p∨r

≡ { Eliminación ↔ }

(¬ (p → q) → p ∨ r) ∧ ( (p ∨ r) → ¬(p → q))

≡ { Eliminación → }

(¬ (¬ (¬p ∨ q) ∨ p ∨ r) ∧ ( ¬ (p ∨ r) ∨ ¬(¬ p ∨ q))

≡ { Eliminación doble negación }

(¬p ∨ q ∨ p ∨ r ) ∧ ( ¬ (p ∨ r) ∨ ¬(¬ p ∨ q))

≡ { Eliminación disyunción con literal y su opuesto }

( ¬ (p ∨ r) ∨ ¬(¬ p ∨ q))

≡ { De Morgan }

(¬p ∧ ¬ r) ∨ (¬¬p ∧ ¬ q)

≡ { Eliminación doble negación }

(¬p ∧ ¬ r) ∨ (p ∧ ¬ q)

≡ { Distributiva ∨ }

((¬p ∧ ¬ r) ∨ p) ∧ ((¬p ∧ ¬ r) ∨ ¬ q)

≡ { Distributiva ∨ }

(¬p ∨ p) ∧(p ∨¬ r) ∧ (¬p∨¬q) ∧ (¬ q∨¬ r)

≡ { Eliminación disyunción con literal y su opuesto }

(p ∨¬ r) ∧ (¬p∨¬q) ∧ (¬ q∨¬ r)

Definición 14: Una cláusula es una disyunción de literales.

Definición 15: Una fórmula está en Forma Clausal si se expresa como un conjunto de cláusulas.

La transformación de una fórmula en Forma Normal Conjuntiva a Forma Clausal es inmediata sustituyendo las conectivas ∧ por comas y englobando las disyunciones entre llaves. Ejemplo 9: La fórmula ( ) ( ) ( )¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨ ¬ ∧p q p q r p en Forma Normal Conjuntiva equivale a { }¬ ∨ ¬ ∨ ∨ ¬p q p q r p, , en Forma Clausal Definición 16: Una cláusula sin literales se denomina cláusula vacía, se representa por ð y su valor es siempre Falso.

Definición 17: Una cláusula que tiene a lo sumo un literal positivo, se denomina cláusula Horn. Una cláusula Horn será de la forma: A B B Bn∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ∨¬1 2 L .

Si n=0, se denomina hecho, si no existe literal positivo (no existe A) entonces se denomina objetivo y, finalmente, si n>0 y existe literal positivo, se denomina regla.

4.4.2. Algoritmo de Resolución Proposicional

El algoritmo se basa en una regla de inferencia sencilla y, a la vez de gran potencia: la regla de resolución. Puesto que se utiliza una sola regla, el algoritmo es fácil de analizar e implementar.

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

12

La idea del principio de resolución es simple: Si se sabe que se cumple: "P ó Q" y también se sabe que se cumple "no P ó R" entonces se puede deducir que se cumplirá "Q ó R".

Ejemplo 10: Si se tiene: "Gana o Pierde o Empata" y "Si Gana entonces da una Fiesta o Va de Viaje". Se puede deducir que: "O Pierde o Empata o da una Fiesta o va de Viaje".

Formalizando, la primera frase sería: G P E∨ ∨ y la segunda: G F V G F V→ ∨ ≡ ¬ ∨ ∨

La regla de resolución inferirá: P E F V∨ ∨ ∨

Definición 18: Dadas dos cláusulas C1 y C2 tales que exista un literal l de forma que l C∈ 1 y ¬ ∈l C2 , se denomina resolvente de C1 y C2 respecto a l a la cláusula:

{ }( ) { }( )R C C C l C ll ( ),1 2 1 2= − ∪ − ¬ . Se dice que C1 y C2 son cláusulas resolubles .

Teorema 6 (Consistencia de la regla de resolución): El resolvente de dos cláusulas es consecuencia lógica de ellas. Es decir { } ( )C C R C C1 2 1 2, ,⇒ Dem: Se demuestra por contradicción:

Sea C l l l l m1 11 12 1= ∨ ∨ ∨ ∨L y C l l l l n2 21 22 2= ¬ ∨ ∨ ∨ ∨L .

El resolvente de C1 y C2 respecto a l será R C C l l l l l ll m n( , )1 2 11 12 1 21 22 2= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨L L

Por el teorema 2, probar que { } ( )C C R C C1 2 1 2, ,⇒ es equivalente a probar que ( )C C R C C1 2 1 2∧ → , es válida. Supóngase que existe una interpretación que la hace Falsa, la asignación de valores será:

{ l l l l l l l l l lm n m nV F F

V

V

F F F

F

V

V

F F F F

F

F

∨ ∨ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨ ∨ → ∨ ∨ ∨ ∨ ∨11 1 21 2 11 1 21 2L 1 244 344

L

1 244 344 1 244 344

1 2444444 3444444

L L 1 24444 34444

1 244444444444 3444444444444

Puesto que se llega a una contradicción, la fórmula no puede ser Falsa y será siempre verdadera, es decir, la fórmula es Válida. n

Teorema 7: Dadas dos cláusulas C1 y C2 pertenecientes a un conjunto C y resolubles respecto un literal l, entonces: ( )21 , CCRCC l∪≡ .

Dem: Recordando que un conjunto de cláusulas equivale a forma normal conjuntiva, ( )21 , CCRC l∪ es lo mismo que ( )21 , CCRC l∧ . La demostración es:

C

≡ { Absorción A ≡ A ∧ B }

( )21 , CCRC l

Teorema 8: Si el resolvente de dos cláusulas C1 y C2 pertenecientes a un conjunto C es la cláusula vacía, entonces C es insatisfacible. Dem: ( ) =21 , CCRl ð

≡ { Teorema 7, Leibniz } C ≡ C ∧ ð ≡ { Def. ð ≡ F } C ≡ C ∧ F

≡ { El. Neutro, C ∧ F ≡ F } C ≡ F ≡ { Def. Interpretación ≡ }

∀I VI(C) = VI(F)

Contradicción

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

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≡ { Def. Interpretación: VI(F) = F } ∀I VI(C) = F

≡ { Def. Insatisfacible } C es insatisfacible

A partir de los teoremas anteriores, se define el algoritmo de resolución que chequeará si un conjunto de cláusulas es insatisfacible.

Algoritmo de resolución proposicional

Entrada: Un conjunto de cláusulas C

Salida: Detecta si C es insatisfacible

1.- Buscar dos cláusulas C C C1 2, ∈ tales que exista un literal l que cumple que l C∈ 1 y ¬ ∈l C2

2.- Si se encuentran:

3.- Calcular R C Cl ( , )1 2 y añadirlo al conjunto C

4.- Si R C Cl ( , )1 2 = ❒ entonces SALIR indicando que C es insatisfacible.

5.- Si no, Volver a 1

3.- Si no se encuentran: SALIR indicando que Cnoes insatisfacible.

Ejemplo 11: Sea C el siguiente conjunto de cláusulas { }p p q r p q r, , ,¬ ∨ ¬ ¬ ∨ ¬ ∨ , se puede demostrar que C es insatisfacible por resolución. Para ello:

- Se resuelve la tercera cláusula (¬ r ) con la cuarta (¬ ∨ ¬ ∨p q r ), obteniendo ¬ ∨ ¬p q .

- Se resuelve ahora la cláusula anterior con la segunda cláusula (¬ ∨p q ) obteniendo: ¬p

- Se resuelve ahora la cláusula anterior con la primera y se llaga a la cláusula vacía o

Puesto que se llega a la cláusula vacía, C es insatisfacible.

Teorema 9: Un razonamiento de la forma P P P Qn1 2, , ,L ⇒ es correcto si y sólo si el conjunto de

cláusulas { }P P P Qc c nc c1 2, , ,L ¬ es insatisfacible. Cada Pi c es el resultado de transformar la premisa Pi a forma clausal y ¬Qc es el resultado de transformar la negación de la conclusión a forma clausal.

Dem: QPPP n ⇒,,, 21 L

⇔ { Teorema 4}

QPPP n →∧∧∧ L21 es válida

⇔ { Teorema 1}

¬( QPPP n →∧∧∧ L21 ) es insatisfacible

⇔ { Pasando a Forma Normal Conjuntiva cada premisa y operando }

{ }P P P Qc c nc c1 2, , ,L ¬ es insatisfacible Ejemplo 12: Para estudiar si el razonamiento { }p q r s p s p q∧ → ∧ → ¬ ⇒ ¬ ∨ ¬, es correcto por resolución, es necesario transformar cada premisa a forma clausal y añadir el resultado de transformar la negación de la conclusión a forma clausal. El conjunto obtenido sería

{ }¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨¬ ∨ ¬ ∨ ¬p q r p q s p s p q, , , , . Aplicando el algoritmo de resolución: - Se resuelve la segunda cláusula (¬ ∨ ¬ ∨p q s ) con la tercera (¬ ∨ ¬p s), obteniendo ¬ ∨ ¬p q

- Se resuelve ahora la cláusula anterior con la cuarta cláusula (p) obteniendo: ¬q

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

14

- Se resuelve ahora la cláusula anterior con la quinta y se llega a la cláusula vacía o

Puesto que se llega a la cláusula vacía, el conjunto de cláusulas es insatisfacible y el razonamiento es correcto.

Demostración de la completud del algoritmo de resolución

Se presentan las ideas generales de la demostración de la completud del algoritmo de resolución proposicional sin entrar en una demostración formal que se sale del ámbito de estos apuntes.

Ejemplo 13: Sea el conjunto de cláusulas { }C p p q r p q r= ¬ ∨ ¬ ¬ ∨ ¬ ∨, , , , para construir el árbol semántico para C se recuerda que un conjunto de cláusulas equivale a una fórmula en Forma Normal Conjuntiva, en este caso, ( ) ( ) ( )p p q r p q r∧ ¬ ∨ ∧ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∨ . En la siguiente figura se muestra el árbol semántico correspondiente marcando la cláusula falsificada en los nodos de fallo. El árbol semántico será:

( )p

( )¬ ∨p q

( )¬ ∨ ¬ ∨p q r( )¬r

p

q

r

F F

F

F

¬p

¬q

¬r

Lema 1: Si un conjunto de cláusulas es insatisfacible, entonces el árbol semántico es finito y está limitado por nodos de fallo, se denomina, en ese caso, árbol de fallo.

Lema 2: Cada nodo de fallo n falsifica al menos a una de las cláusulas del conjunto que será la cláusula asociada a n.

Lema 3: La cláusula C asociada a un nodo de fallo n contiene un subconjunto de los complementos de los literales que aparecen en la rama que va desde la raíz del árbol semántico hasta n.

Dem: Puesto que la cláusula C es falsificada en el nodo n, todos sus literales deben tener asignado un valor en la interpretación parcial correspondiente a n. Además, el valor de esos literales debe ser F (puesto que C es una disyunción). El valor asignado debe ser el complementario. n

Definición 19: Se denomina nodo de inferencia a un nodo del árbol semántico cuyos dos hijos son nodos de fallo.

Lema 4: En un árbol de fallo, salvo que sólo tenga un nodo, debe existir al menos un nodo de inferencia.

Dem: Puesto que el árbol de fallo es finito y las ramas se desarrollan de dos en dos, necesariamente tendremos un último nodo desarrollado con dos hijos. n

Lema 5: Si el árbol semántico de un conjunto de cláusulas es de fallo y contiene un sólo nodo, entonces dicho conjunto contiene la cláusula vacía.

Lema 6: Un nodo de inferencia i indica un paso de resolución de las cláusulas asociadas a sus dos hijos. El resolvente de dichas cláusulas es falsificado por el nodo i y, ocasionalmente, por alguno de sus antecesores.

Dem: En un nodo de inferencia i cualquiera, se tendrá un esquema como el que sigue:

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15

F (Ck )

i

( )p

p = V ( )¬

=

p

p F

F (C )j

j k

- Puesto que el nodo i no falsificó C j y lo único que cambia en el nodo j respecto a i es el valor de p, la cláusula C j debe contener el literal ¬ p (complementado para que sea Falso).

- Por la misma razón anterior, la cláusula Ck debe contener el literal p (sin complementar para que sea Falso)

Por tanto C j y Ck son resolubles respecto a p. El esquema será:

C p resto C

C p resto C R C C resto C resto Cj j

k k p j k j k

= ¬ ∨

= ∨

  

= ∨ _

_ ( , ) _ _

En el nodo j, C j toma valor Falso, por tanto resto C j_ tomará también valor Falso, como resto C j_ no contiene el literal p también tomarán valor Falso en el nodo i. De la misma forma, resto Ck_ tomará valor Falso en el nodo i. Por tanto, R C C resto C resto Cp j k j k( , ) _ _= ∨ tomará valor Falso en el nodo i, es decir, el nodo i, es un nodo de fallo para el resolvente de C j y Ck

En ocasiones, puede ocurrir que el resolvente sea falsificado también por alguno de los padres del nodo de inferencia, como ejemplo, considérese el conjunto de cláusulas { }p p q r p r, , ,¬ ∨ ¬ ¬ ∨ , el árbol semántico, junto con los resolventes sería:

( )p

p

q

r

( )¬ ∨p q

( )¬ ∨p r

( )¬p

¬p

¬ q

¬r

( )¬ rF F

F

F

El resolvente de los nodos 6 y 7 es (¬ p ) que falsifica al nodo 4 pero también falsifica a su antecesor, el

nodo 2. n

Teorema 10 (Completud del Algoritmo de Resolución Proposicional): Si un conjunto de cláusulas es insatisfacible entonces, aplicando el algoritmo de resolución, se alcanza la cláusula vacía.

Dem: C es un conjunto de cláusulas insatisfacibles

⇔ {Lema 1}

El árbol semánttico de C será un árbol de fallo

⇔ {Lema 4}

∃ un nodo de inferencia i

⇔ {Lema 6, un nodo de inferencia indica un paso de resolución }

Se puede formar el resolvente con las cláusulas asociadas a los dos hijos i

El resolvente puede añadirse al conjunto C y construir de nuevo el árbol semántico

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16

⇔ { Hipótesis, C es insatisfacible, Consistencia Resolución }

El nuevo árbol seguirá siendo insatisfacible, pero contendrá menos nodos

Repitiendo el proceso se llegará a un árbol semántico con un solo nodo que corresponderá a la cláusula vacía {Lema 5} y, por tanto, queda demostrado que se alcanza la cláusula vacía por resolución.

4.4.3. Estrategias de resolución

El método de resolución es un algoritmo no determinista ya que pueden encontrarse múltiples formas de alcanzar la cláusula vacía en un conjunto insatisfacible. Muchas veces, siguiendo un determinado camino se alcanzará la cláusula vacía con muchos menos pasos de resolución que por otro camino.

Durante el desarrollo del algoritmo es necesario responder las siguientes preguntas: ¿Qué dos cláusulas se seleccionan? y ¿sobre qué literales se realiza la resolución?.

Las distintas estrategias de resolución tratan de responder a ambas preguntas de forma que se mantenga la completud (si el conjunto es insatisfacible, alcanzar la cláusula vacía) y que se obtenga un comportamiento eficiente.

Una de las desventajas de la utilización de la reglas de resolución sin ninguna restricción consiste en que se pueden seleccionar cláusulas cuyo resolvente no sea útil en el camino de búsqueda de la cláusula vacía. Se observa que muchas veces los resolventes son redundantes o no aportan ninguna utilidad para la búsqueda. A continuación se mencionan una serie de estrategias que servirán para eliminar el trabajo inútil.

4.4.3.1. Estrategias de Borrado

Una estrategia de borrado será una técnica en la cual se eliminan una serie de cláusulas antes de que sean utilizadas. Si dichas cláusulas no van a aportar nada para la búsqueda de la cláusula vacía, su eliminación permitirá un ahorro computacional.

4.4.3.1.1. Eliminación de cláusulas con literales puros

Definición 20: Un literal es puro si y sólo si no existe un literal complementario a él en el conjunto de cláusulas.

Una cláusula que contenga un literal puro es inútil en la búsqueda de la cláusula vacía, puesto que el literal puro no podrá ser eliminado nunca mediante resolución. Por tanto, una estrategia de borrado consiste en la eliminación de cláusulas con literales puros.

Ejemplo 14: El conjunto { }C p q r p s q s p q r= ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬, , , , , es insatisfacible, sin embargo, para demostrarlo, se puede ignorar la segunda y la tercera cláusula, puesto que ambas contienen el literal puro s.

4.4.3.1.2. Eliminación de tautologías

Definición 20: Una tautología es una cláusula que contiene el mismo literal en su forma directa e inversa.

Ejemplo 15: La cláusula p q r p∨ ¬ ∨ ∨ ¬ es una tautología.

La presencia o ausencia de tautologías en un conjunto de cláusulas no afecta la condición de satisfacibilidad del conjunto. Un conjunto de cláusulas permanecerá satisfacible independientemente de que se le añadan tautologías. De la misma forma, un conjunto de cláusulas insatisfacible seguirá siendo insatisfacible aunque se eliminen todas sus tautologías. Es posible, por tanto, eliminar las tautologías de

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17

un conjunto de cláusulas para que no intervengan en el proceso de búsqueda sin alterar la satisfacibilidad del conjunto.

4.4.3.1.3. Eliminación de Subsunciones

Definición 21: Una cláusula Csubsume a una cláusula D si y sólo si todo literal de C pertenece también a D, es decir, C D⊆ .

Ejemplo 16: La cláusula p q∨ ¬ subsume a la cláusula p q r∨ ¬ ∨ .

Debido a la ley de absorción, un conjunto de cláusulas en el que se eliminan todas las cláusulas subsumidas es equivalente al conjunto original. Las cláusulas subsumidas pueden ser, por tanto, eliminadas.

Es necesario observar que, durante el desarrollo del proceso de resolución, se pueden generar resolventes de cláusulas que sean tautologías o cláusulas subsumidas. Las estrategias de borrado deberán chequear el conjunto de cláusulas original así como los distintos resolventes generados en cada resolución.

4.4.3.2. Resolución unitaria

Definición 22: Un resolvente unitario es un resolvente en el cual al menos uno de sus padres es una cláusula unitaria (con un sólo literal).

Una estrategia de resolución unitaria es una aplicación del algoritmo de resolución en la cual todos los resolventes son unitarios.

Ejemplo 17: Sea { }C p q p r q r r= ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬, , , . A continuación se aplicará la estrategia de resolución unitaria, para ello, se seleccionan siempre dos cláusulas resolubles tales que una de ellas tenga un literal.

1.- p q∨ 2.- ¬ ∨p r 3.- ¬ ∨q r 4.- ¬r 5.- ¬ p Rr ( , )2 4 6.- ¬ q Rr ( , )3 4

7.- q Rp ( , )1 5 8.- p Rq ( , )1 6 9.- rRq ( , )3 7 10.- r Rq ( , )6 7

Obsérvese que los resolventes generados son un subconjunto de los que se podrían generar mediante la resolución sin restricciones. Por ejemplo, las cláusulas 1 y 2 podrían haberse seleccionado para obtener q r∨ . Sin embargo ni esa cláusula ni sus descendientes podrán ser generados porque ninguna de las cláusulas que la generan es unitaria.

Los procedimientos de resolución basados en resolución unitaria son sencillos de implementar y, normalmente, bastante eficientes. Obsérvese que si una cláusula es resuelta con una cláusula unitaria, su resolvente tiene menos literales que la cláusula original. De esa forma los procedimientos siguen una búsqueda directa hacia la cláusula vacía ganando en eficiencia.

Desafortunadamente, los procedimientos de inferencia basados en resolución unitaria no son, en general, completos. Por ejemplo, el conjunto { }C p q p q p q p q= ∨ ¬ ∨ ∨ ¬ ¬ ∨ ¬, , , es insatisfacible, sin embargo, la resolución unitaria no encontrará la cláusula vacía porque ninguna de las cláusulas es unitaria.

Por otro lado, restringiendo el formato de cláusulas a cláusulas Horn (cláusulas con un literal positivo como máximo) se puede demostrar que si un conjunto de cláusulas Horn es insatisfacible, entonces se llegará a la cláusula vacía aplicando la estrategia de resolución unitaria.

4.4.3.3. Resolución de Entrada

Definición 23: Un resolvente de entrada es un resolvente en el cual al menos uno de sus padres es una cláusula del conjunto original de entrada.

Una estrategia de resolución de entrada es una aplicación del algoritmo de resolución en la cual todos los resolventes son de entrada.

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18

Ejemplo 18: Sea { }C p q p r q r r= ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬, , , . A continuación se aplicará la estrategia de resolución de entrada, para ello, se seleccionan siempre dos cláusulas resolubles tales que una de ellas pertenezca al conjunto inicial de cláusulas:

1.- p q∨ 2.- ¬ ∨p r 3.- ¬ ∨q r 4.- ¬r 5.- q rRp ( , )1 2 6.- p rRq ( , )1 3

7.- ¬ p Rr ( , )2 4 8.- r Rp ( , )2 6 9.- r Rr ( , )4 8

Se puede demostrar que la resolución unitaria y la resolución de entrada tienen el mismo poder de inferencia en el sentido de que si con una estrategia se puede alcanzar la cláusula vacía, con la otra también.

Una consecuencia de lo anterior es que la resolución de entrada es completa para cláusulas Horn, pero incompleta en general. Como contraejemplo, se puede tomar el del apartado anterior.

4.4.3.4. Resolución Lineal

La resolución lineal (también conocida como resolución con filtrado de antepasados) es una ligera generalización de la resolución de entrada. Se escoge una cláusula inicial o cláusula cabeza C0 y se forma

una cedena de resolventes R R R Rn0 1 3, , , ,L donde:

( ) ( )

R C

R R R C C C C Ri i i i i j

0 0

1

=

= ∈ = ≤+ , tal que ó j i

La resolución lineal toma su nombre del aspecto lineal que presentan las inferencias realizadas. Una resolución lineal comienza con una cláusula del conjunto inicial y produce una cadena lineal de resoluciones como la que se muestra en la figura para el conjunto de cláusulas

{ }C p q p q p q p q= ∨ ¬ ∨ ∨ ¬ ¬ ∨ ¬, , , . Obsérvese que cada resolvente, después del primero, se obtiene del resolvente anterior y de alguna otra cláusula del conjunto.

p q

q

q

p

¬ q

¬ ∨p q p q∨ ¬ ¬ ∨ ¬p q

Resolución Lineal

La resolucióon lineal evita muchas resoluciones inútiles centrándose en cada paso en los antepasados de una cláusula y en los elementos del conjunto inicial.

Los resultados obtenidos aplicando resolución para una determinada cláusula cabeza se pueden mostrar en forma de árbol de resolución. La raíz del árbol es la cláusula cabeza y se forman los nodos descendientes según las cláusulas con las que se pueda resolver. El árbol de resolución para el ejemplo anterior sería:

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19

5: q 6: p 8:p∨¬ p Tautología

2p

7: q∨ ¬ q Tautología

1: p q

3p 4p 4p

3q

q

4q

9: p 10: ¬ p

2p 4p

11: q 12: ¬ q

2p 4q

13: q 14: ¬ q

1q 2q

15: p 16: ¬ p

5q

r

Árbol de resolución

En la figura se representan las resoluciones indicando el número de cláusula y el literal por el que se resuelve. A cada resolvente se le asigna un nuevo número. Obsérvese que pueden existir caminos infinitos (el camino más a la izquierda), caminos que llevan a tautologías y caminos de éxito que alcanzan la cláusula vacía.

Se puede demostrar que la resolución lineal es completa. Para cualquier conjunto de cláusulas insatisfacibles, aplicando resolución lineal, se alcanza la cláusula vacía.

Debido al siguiente teorema, no siempre es necesario probar con todas las cláusulas del conjunto inicial como cláusulas cabeza.

Teorema 11: Si un conjunto de cláusulas S es satisfacible y S C∪ es insatisfacible, entonces se encuentra la cláusula vacía mediante resolución lineal tomando como cláusula cabeza una cláusula del conjunto C.

El teorema anterior tiene aplicación al estudio de los razonamientos, en los cuales las premisas son, por lo general, satisfacibles. Si al añadir las cláusulas resultantes de negar la conclusión el conjunto resultante es insatisfacible (y el razonamiento es correcto) entonces, según el teorema anterior basta con probar como cláusula cabeza con las que resultaron de negar la conclusión.

4.4.3.5. Resolución Ordenada

La resolución ordenada o selectiva es una estrategia de resolución muy restrictiva en la cual cada cláusula se toma como un conjunto de literales ordenados. La resolución sólo se realiza con el primer literal de cada cláusula. Los literales del resolvente mantienen el orden de las cláusulas padre con los literales del padre positivo (la cláusula que contenía el literal por el que se resuelve afirmado) seguidos de los literales del padre negativo (la cláusula que contenía el literal por el que se resuelve negado).

Ejemplo 19: Sea { }C p q p r q r r= ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬, , , . A continuación se aplicará la estrategia de resolución ordenada (se han ordenado los literales de cada cláusula por orden alfabético):

1.- p q

2.- ¬ ∨p r

3.- ¬ ∨q r

4.- ¬r

5.- q rRp ( , )1 2

6.- r Rq ( , )3 5

7.- r Rr ( , )4 6

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

20

La cláusula 5 es el único resolvente ordenado entre las cláusulas 1 y 4. Las cláusulas 1 y 3 no resuelven puesto que sus literales complementarios no son los primeros. Por la misma razón tampoco resuelven las cláusulas 2 y 4 ni las cláusulas 3 y 4. Una vez generada la cláusula 5, resuelve con la cláusula 3 para producir la cláusula 6, la cual resuelve con la cláusula 4 para producir la cláusula vacía.

La resolución ordenada es la más eficiente (en el ejemplo, se obtuvo la cláusula vacía en el tercer paso de resolución). Desafortunadamente, la resolución ordenada no es completa. Sin embargo, se ha demo strado que la resolución ordenada sí es completa para cláusulas Horn.

Tras este breve repaso de las principales estrategias de resolución, cabe reseñar que los principales sistemas de demostración automática basados en el principio de resolución (por ejemp lo, los sistemas Prolog) utilizan una combinación de las dos últimas estrategias restringidas a conjuntos de cláusulas Horn1.

1Los sistemas Prolog utilizan la resolución lineal ordenada para cláusulas Horn en lógica de predicados. Conocida como resolución SLD (Selective Linear Resolution for Definite Clauses) .

Lógica Proposicional Técnicas Semánticas de Estudio de Validez

21

Lógica Proposicional Teoría de la Prueba: Deducción Natural

22

5. Teoría de la Prueba: Deducción Natural

En las secciones anteriores se han utilizado técnicas que estudian la corrección de los razonamientos en base al significado de las fórmulas que contienen. Este conjunto de técnicas se engloban en lo que se denomina teoría semántica. Por el contrario, existe otro conjunto de técnicas, conocido como teoría de la prueba, que prescinde de los posibles valores de las fórmulas y se centra únicamente en la manipulación sintáctica de fórmulas. Existen diversos estilos como el sistema de Hilbert, la deducción natural, etc. Todos ellos utilizan un conjunto de axiomas y una serie de reglas de inferencia que permiten obtener teoremas a partir de dichos axiomas o de otros teoremas previamente derivados.

En esta sección se presenta el estilo de deducción natural, desarrollado por Gentzen en 1935 y cuyo principal objetivo es ofrecer un sistema que se acerque a las técnicas de demostración habituales. La deducción natural no contiene axiomas y ofrece una serie de reglas de inferencia por cada tipo de conectiva. Las reglas de inferencia se presentan en la siguiente tabla.

Reglas de Introducción Reglas de Eliminación

A B

A ∧ B

∧ - I

A ∧ B

A

∧ -E A ∧ B

B

A

A ∨ B

∨ - I B

A ∨ B

Prueba por casos

A ∨ B A → C B → C ∨ -E

C

Deducción

A

B → - I

A → B

Modus Ponens

A A → B

B

→ -E

A → B B → A ↔ - I

A ↔ B

A ↔ B

A → B

↔ -E A ↔ B

B → A

Dem. por Contradicción

A

B ∧ ¬ B ¬ - I ¬ A

Dem. por Contradicción

¬ A

B ∧ ¬ B ¬ -E

A

¬ A ∨ A V - I

V

V V -E ¬ A ∨ A

A ∧ ¬ A F - I

F

F F -E

A

Tabla 1: Reglas de Inferencia para Deducción Natural

Las reglas de la forma • - I se refieren a la inclusión del símbolo • y las reglas de la forma • - E se refieren a la eliminación de dicho símbolo.

Ejemplo 20: Demostrar que p ∧ q → q ∧ p

Lógica Proposicional Teoría de la Prueba: Deducción Natural

23

1 p ∧ q Premisa

2 q ∧-E 1

3 p ∧-E 1

4 q ∧ p ∧-I 2,3

Para el estudio de razonamientos de la forma {P1, P2, ...Pn} ⇒ Q se parte de las premisas y se intenta llegar a la conclusión.

Ejemplo 21: Demostrar que p ∧ q ⇒ p ∧ (q ∨ r)

1 p ∧ q Premisa

2 p ∧-E 1

3 q ∧-E 1

4 q ∨ r ∨-I 3

5 p ∧ (q ∨ r) ∧-I 2,4

La utilización de cuadros permite visualizar la idea de pruebas subordinadas. En una prueba subordinada, se realiza un supuesto y, una vez llegado a un resultado, se descarta el supuesto (se cierra el cuadro) obteniendo un resultado libre de supuestos. Un ejemplo es la regla de deducción:

A

B → - I

A → B

Esta regla enuncia que, si se supone A y se llega a demostrar B, entonces, se puede deducir la fórmula A → B.

Ejemplo 22: Demostrar que p → (q → r) ⇒ p ∧ q → r

1 p → (q → r) Premisa

2 p ∧ q Supuesto

3 p ∧-E 2

4 q → r → E 1,3

5 q ∧-E 2

6 r → E 4,5

7 p ∧ q → r → I 2-6

Ejemplo 23: Demostrar que p ∧ q → r ⇒ p → (q → r)

1 p ∧ q → r Premisa

2 p Supuesto

3 q Supuesto

4 p ∧ q ∧-I 2,3

5 r → E 1,4

6 q → r → I 3-5

7 p → (q → r) → I 2-6

Lógica Proposicional Teoría de la Prueba: Deducción Natural

24

Ejemplo 24: Demostrar que ¬p ⇒ p → q

1 ¬p Premisa

2 p Supuesto

3 p∧¬p ∧-I 1,2

4 FF-I 3

5 q F-E 4

6 p → q → I 2,5

Ejemplo 25: Demostrar p ↔ ¬¬p

1 p Supuesto

2 ¬p Supuesto

3 p ∧ ¬p ∧-I 1,2

4 ¬¬p ¬I 2-3

5 p → ¬¬p → I 2-4

6 ¬¬p Supuesto

7 ¬p Supuesto

8 ¬p ∧ ¬¬p ∧-I 6,7

9 p ¬-E 7-8

10 ¬¬p → p →-I 6-9

11 p ↔ ¬¬p ↔-I 5,10

Ejemplo 26: Demostrar que ¬p∨q ⇒ p→q

1 ¬p∨q Premisa

3 ¬p Supuesto

4 p→q ¬A⇒A→B (Demostrado en Ej. 24)

5 ¬p → (p → q) → I 3-4

6 q Supuesto

7 p Supuesto

8 q 6

9 p → q →-I 7-8

10 q → (p → q) →-I 6-10

11 p→q ∨-E 1,5,10

Lógica Proposicional Teoría de la Prueba: Deducción Natural

25

Ejemplo 27: Demostrar que p → q ⇒ ¬p∨q

1 p → q Premisa

2 ¬ (¬p∨ q) Supuesto

3 ¬p Supuesto

4 ¬p∨q ∨-I 3

5 (¬p∨q) ∧ ¬(¬p∨q) ∧-I 4,2

6 p ¬-E 3-5

7 q →-E 1,6

8 ¬p ∨ q ∨-I 7

10 (¬p∨q) ∧ ¬(¬p∨q) ∧-I 8,2

11 ¬p∨q ¬-E 2-10

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