Apunts 2010/2011, Apuntes de Matemáticas. Universitat de Barcelona (UB)
aitor1991
aitor1991

Apunts 2010/2011, Apuntes de Matemáticas. Universitat de Barcelona (UB)

PDF (300 KB)
85 páginas
50Número de descargas
19Número de visitas
50%de 2 votosNúmero de votos
Descripción
Asignatura: ar, Profesor: Travesa, Artur, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UB
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 85
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 85 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 85 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 85 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 85 páginas totales
Descarga el documento

ARITMÈTICA Curs 2010-11

Teresa Crespo

16 de març de 2011

Índex

1 Nombres complexos 5 1.1 Nombres naturals, enters, racionals, reals . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 El cos dels nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Arrels quadrades en forma binòmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Pla complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Arrels n-èsimes de nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Arrels de la unitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Divisibilitat a l’anell dels enters 13 2.1 Divisió entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Bases de numeració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Màxim comú divisor de dos enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Algoritme d’Euclides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Mı́nim comú múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 El teorema fonamental de l’aritmètica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7 Equacions diofantines lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Polinomis amb coeficients en un cos 31 3.1 L’anell K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Divisió entera de polinomis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Màxim comú divisor de dos polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Algoritme d’Euclides per a polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5 Descomposició d’un polinomi en producte d’irreductibles . . . . . . 40 3.6 Arrels de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.7 El teorema fonamental de l’àlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Congruències 49 4.1 Relació de congruència. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4 ÍNDEX

4.2 Anells de classes de restes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Congruències lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Sistemes de congruències lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Propietats multiplicatives de les congruències . . . . . . . . . . . . . 61 4.6 Śımbol de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.7 Śımbol de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Aplicacions 81

6 Apèndix 83 6.1 El conjunt N dels nombres enters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2 Operacions en un conjunt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3 Definició de grup, anell, cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Caṕıtol 1

Nombres complexos

1.1 Nombres naturals, enters, racionals, reals

Indiquem per N el conjunt dels enters naturals. Fem el conveni 0 N.

Indiquem per Z el conjunt dels enters.

Indiquem per Q el conjunt dels nombres racionals.

Indiquem per R el conjunt dels nombres reals.

Tenim N Z Q R. Recordem que a N tenim definides dues operacions internes, la suma (+) i el producte (·) complint les propietats següents.

la suma és associativa, commutativa i 0 és element neutre per la suma,

el producte és associatiu, commutatiu, 1 és element neutre pel producte i el producte és distributiu respecte de la suma.

A Z la suma i el producte compleixen les mateixes propietats que a N i a més tot element de Z té oposat. Diem que Z és un anell commutatiu amb unitat. A Q la suma i el producte compleixen les mateixes propietats que a Z i a més tot element no nul de Q té invers. Diem que Q és un cos. El conjunt R amb la suma i el producte també és un cos.

5

6 CAPÍTOL 1. NOMBRES COMPLEXOS

1.2 El cos dels nombres complexos

Considerem

R2 = R× R = {(a, b) : a, b ∈ R}.

Sabem que a R2 tenim definida una suma per

(a, b) + (a′, b′) = (a+ a′, b+ b′)

i que (R2,+) és un grup abelià. Volem definir a R2 un producte intern. Posem

(a, b) · (a′, b′) = (aa′ − bb′, ab′ + a′b).

A partir de les propietats de la suma i el producte de nombres reals, es pot provar que aquest producte és associatiu, commutatiu, distributiu respecte de la suma i (1, 0) és element neutre per aquest producte. Recordem que R2 és espai vectorial amb la suma i el producte extern definit per

λ(a, b) = (λ a, λ b), per a λ ∈ R, (a, b) R2.

Si a ∈ R, tenim

a(a′, b′) = (aa′, ab′) = (a, 0) · (a′, b′)

Identifiquem el nombre real a amb l’element (a, 0) de R2. Fem servir la notació i := (0, 1). Per la definició del producte, tenim i2 = 1. A més, si b ∈ R, tenim bi = (0, b) i a+ bi = (a, b). Si a+ bi ̸= 0, tenim a ̸= 0 o b ̸= 0, aleshores

(a+ bi)(a− bi) = a2 + b2 ̸= 0

i per tant

(a+ bi)( a

a2 + b2 − b

a2 + b2 i) = 1.

Tenim doncs que tot element no nul té invers. Hem obtingut que R2 amb la suma i el producte intern que hem definit és un cos. S’escriu C i es diu cos dels nombres complexos. Escrivim els seus elements en la forma a+ bi. Amb aquest notació, la suma i el producte s’escriuen en la forma

1.3. ARRELS QUADRADES EN FORMA BINÒMICA. 7

(a+bi)+(a′+b′i) = (a+a′)+(b+b′)i , (a+bi) · (a′+b′i) = (aa′−bb′)+(ab′+a′b)i.

Per a z = a+ bi ∈ C, a és diu part real de z, b és diu part imaginària de z. Posem a = Re z, b = Im z. Diem que a + bi és la forma binòmica del nombre complex z. Si z = a+ bi, posem z = a− bi i diem que z és el nombre complex conjugat de z.

Proposició 1.2.1. Si z1, z2 C, es compleix

1. z1 + z2 = z1 + z2

2. z1 · z2 = z1 · z2

Demostració. Posem z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, amb a1, a2, b1, b2 R. Tenim z1 = a1 − b1i, z2 = a2 − b2i. Ara

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i ⇒ z1 + z2 = (a1 + a2)(b1 + b2)i = z1 + z2

z1·z2 = (a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i ⇒ z1 · z2 = (a1a2−b1b2)(a1b2+a2b1)i = z1 · z2.

2

1.3 Arrels quadrades en forma binòmica.

Sabem que tot nombre real a > 0 té dues arrels quadrades a R. Escrivim √ a

l’arrel quadrada positiva de a. Com i2 = 1, tot nombre real a < 0 té dues arrels quadrades a C: ±

|a| i. Veiem ara com calcular les arrels quadrades d’un nombre

complex, no real. Volem calcular les arrels quadrades del nombre complex z = a + bi, amb b ̸= 0. Volem doncs resoldre l’equació

(x+ yi)2 = a+ bi.

Com (x+yi)2 = x2−y2+2xyi, igualant part real i part imaginària, tenim les dues equacions

8 CAPÍTOL 1. NOMBRES COMPLEXOS

{ x2 − y2 = a

2xy = b.

Si x = 0, (yi)2 = −y2 és un nombre real, per tant ha de ser x ̸= 0 i de la segona equació, obtenim

y = b

2x

i, substituint a la primera,

x2 − b 2

4x2 = a

que, multiplicant per x2, dóna

x4 − ax2 − b 2

4 = 0,

equació biquadràtica en x. Posant X = x2, obtenim l’equació quadràtica en X

X2 − aX − b 2

4 = 0, (1.1)

de la qual busquem arrels positives, ja que x ha de ser real i per tant X = x2 ha de ser positiu. Les dues arrels de (1.1) són

X =

√ a2 + b2

2 .

Com a2 + b2 > 0, tenim dues arrels reals diferents. Ara, b ̸= 0 ⇒ a2 + b2 > a2. Per tant, l’arrel amb + davant de l’arrel quadrada és positiva i l’arrel amb - negativa. Obtenim doncs dues solucions.

x = ±

a+

√ a2 + b2

2 , y =

b

2x .

Exercici. Calculeu les arrels quadrades del nombre complex 3 + 4i.

Tenim les equacions { x2 − y2 = 3

2xy = 4.

1.4. PLA COMPLEX 9

De la segona obtenim y = 2/x i, substituint a la primera, x2 4/x2 = 3. Multipli- cant per x2, obtenim x4 3x2 4 = 0. Posant X = x2, tenim l’equació quadràtica X2 3X − 4 = 0, de la qual l’arrel positiva és 4. Obtenim doncs x = ±2, y = ±1. Les arrel quadrades de 3 + 4i són ±(2 + i).

1.4 Pla complex

Podem representar el nombre complex a + bi pel punt (a, b) del pla. És a dir, en el pla R2, agafem 1 com a vector unitat de les abscisses i i com a vector unitat de les ordenades. Direm eix real l’eix de les abscisses i eix imaginari l’eix de les ordenades. Diem mòdul del nombre complex z = a+ bi el mòdul del vector (a, b). Posem |z| el mòdul de z. Si z = a+ bi, tenim |z| =

√ a2 + b2. Diem argument del

nombre complex no nul z = a+bi l’angle que fa el vector (a, b) amb l’eix real. Posem Arg z l’argument de z. L’argument d’un nombre complex està determinat tret d’un múltiple enter de 2π, si el donem en radians, i tret d’un múltiple enter de 360, si el donem en graus. Si r = |z|, α = Arg z, tenim Re z = r cosα, Im z = r sinα. El nombre complex z queda doncs determinat pel seu mòdul i el seu argument. Posem z = i diem aquesta expressió la forma polar del nombre complex z.

z=a+bib

a

|z|

arg z

i

1

Figura 1.1: El pla complex.

10 CAPÍTOL 1. NOMBRES COMPLEXOS

Exemples.

1) Si a ∈ R, a > 0, Arg a = 0. Si a ∈ R, a < 0, Arg a = π.

2) Si b ∈ R, b > 0, Arg(b i) = π/2. Si b ∈ R, b < 0, Arg(b i) = 3π/2.

3) Si z = 1 + i, |z| = 2,Arg z = π/4.

4) Si a > 0,Arg(a+ bi) = arctan(b/a), si a < 0,Arg(a+ bi) = arctan(b/a) + π

1.5 Arrels n-èsimes de nombres complexos

Veiem ara com s’expressa el producte de dos nombres complexos en forma polar. Si z = rα, z

= r′α′ , tenim

zz′ = r(cosα+ i sinα) · r′(cosα′ + i sinα′) = rr′(cosα + i sinα) · (cosα′ + i sinα′) = rr′ ((cosα cosα′ − sinα sinα′) + (cosα sinα′ + cosα′ sinα) i) = rr′(cos(α + α′) + i sin(α + α′)).

Hem obtingut doncs

|zz′| = |z||z′|, Arg(zz′) = Arg z +Arg z′.

Per tant l’expressió del producte de dos nombres complexos en forma polar és

rαr ′ α′ = (rr

)α+α′ .

Com a cas particular, obtenim

|z2| = |z|2, Arg(z2) = 2Arg z.

Per inducció, es demostra

|zn| = |z|n, Arg(zn) = nArg z, (1.2)

per a tot enter n > 1. A partir de (1.2), podem veure com calcular les arrels n-èsimes d’un nombre com- plex, per a qualsevol enter n > 1. Si ω és una arrel n-èsima del nombre complex z, ha de complir

|ω|n = |z|, nArgω = Arg z.

1.5. ARRELS N-ÈSIMES DE NOMBRES COMPLEXOS 11

Com |z| és un nombre real positiu, existeix exactament un nombre real positiu que aixecat a n dóna |z| i que escrivim n

|z|. Ara, com Arg z està determinat tret d’un

múltiple enter de 2π, l’equació nArgω = Arg z té n solucions que són

Arg z

n , Arg z + 2π

n , . . . ,

Arg z + 2(n− 1)π n

.

Obtenim doncs n arrels n-èsimes del nombre complex z que s’escriuen

( n

|z|)Arg z+2kπ n

, 0 ≤ k ≤ n− 1

en forma polar.

Exercici. Calculeu les arrels cúbiques de -1.

El mòdul de -1 és 1 i el seu argument és π. Les tres arrels cúbiques de -1, escrites en forma polar, són doncs

1π/3, 1π, 15π/3.

Tenint en compte cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = 3/2, cos π = 1, sinπ = 0,

cos(5π/3) = 1/2, sin(5π/3) = − √ 3/2, obtenim que les arrels cúbiques de -1 en

forma binòmica són

1 + i √ 3

2 ,−1, 1− i

3

2 .

Exercici. Calculeu les arrels vuitenes de 25.

El mòdul de 25 és 25 i el seu argument és 0. Les 8 arrels vuitenes de 25, escrites en forma polar, són doncs

( 4 5)0, (

4 5)π/4, (

4 5)π/2, (

4 5)3π/4, (

4 5)π, (

4 5)5π/4, (

4 5)3π/2, (

4 5)7π/4.

Tenint en compte els valors de sinus i cosinus dels arguments, obtenim que les arrels vuitenes de 25 en forma binòmica són

4 5, 4

5 2(1 + i)/2, 4

5i, 4

5 2(1 + i)/2,

4 5, 4

5 2(1− i)/2, − 4

5i, 4

5 2(1− i)/2.

12 CAPÍTOL 1. NOMBRES COMPLEXOS

1.6 Arrels de la unitat.

En particular, les arrels n-èsimes complexes de 1 per a n enter > 1 són (1)2kπ/n, 0 ≤ k ≤ n− 1.

Exercici. Calculeu les arrels sisenes de 1.

Les arrels sisenes de 1 són, en forma polar,

(1)0, (1)π/3, (1)2π/3, (1)π, (1)4π/3, (1)5π/3.

I en forma trigonomètrica

1, 1 + i

3

2 , −1 + i

3

2 ,−1, −1− i

3

2 , 1− i

3

2 .

Caṕıtol 2

Divisibilitat a l’anell dels enters

2.1 Divisió entera

Proposició 2.1.1 (Divisió de nombres enters). Donats a, b ∈ Z, b ̸= 0, existeixen q, r ∈ Z únics tals que

a = bq + r, 0 ≤ r < |b|. Diem que q és el quocient i r la resta (o el residu) de la divisió de a entre b.

Demostració. Provem primer l’existència. Distingim quatre casos segons el signe de a i b.

1. Primer cas. a ≥ 0, b > 0. Si a < b, clarament q = 0, r = a compleixen les condicions de l’enunciat.

Si a ≥ b, considerem el conjunt

{n ∈ N : b(n+ 1) > a}.

Per la propietat del primer element de N, existeix q tal que bq ≤ a i b(q+1) > a. Posem r = a− bq i tenim r ≥ 0, r < b.

2. Segon cas. a ≥ 0, b < 0. Com −b > 0, pel primer cas, tenim q, r tals que

a = (−b)q + r, 0 ≤ r < |b|.

13

14 CAPÍTOL 2. DIVISIBILITAT A L’ANELL DELS ENTERS

Per tant −q i r compleixen

a = b(−q) + r, 0 ≤ r < |b|

tal com voĺıem.

3. Tercer cas. a < 0, b > 0.

Com −a > 0, pel primer cas, tenim q, r tals que

−a = bq + r, 0 ≤ r < |b|.

Si r = 0, tenim a = b(−q). Si r > 0, a = b(−q)− r = b(−q − 1) + (b− r) amb 0 < b− r < b. Per tant −q − 1 i b− r compleixen les condicions per ser quocient i resta de la divisió de a entre b.

4. Quart cas. a < 0, b < 0.

Com −b > 0, pel tercer cas, tenim q, r tals que

a = (−b)q + r, 0 ≤ r < |b|.

Per tant −q i r compleixen

a = b(−q) + r, 0 ≤ r < |b|

tal com voĺıem.

Provem ara l’unicitat. Suposem que, donats enters a, b, tenim dues parelles d’enters (q1, r1), (q2, r2) tals que

a = bq1 + r1 , 0 ≤ r1 < |b|, a = bq2 + r2 , 0 ≤ r2 < |b|.

Restant les dues igualtats, obtenim b(q2 − q1) = r1 − r2. Ara la desigualtat 0 ≤ r2 < |b| implica −|b| < −r2 0 i sumant aquesta amb la desigualtat que compleix r1, obtenim −|b| < r1 − r2 < |b| i, per tant −|b| < b(q2 − q1) < |b|. Com q2 − q1 és enter, ha de ser q2 − q1 = 0, és a dir q2 = q1 i també r2 = r1. 2

2.2. BASES DE NUMERACIÓ 15

Exemple. 2 i 1 són el quocient i la resta de la divisió entera de 7 entre 3. 2 i 1 són el quocient i la resta de la divisió entera de 7 entre 3. 3 i 2 són el quocient i la resta de la divisió entera de 7 entre 3. 3 i 2 són el quocient i la resta de la divisió entera de 7 entre 3.

Observació. De vegades interessa tenir una resta de la divisió que sigui el més petita possible en valor absolut. Proveu com a exercici, a partir de 2.1.1, el resultat següent. Donats a, b ∈ Z, b ̸= 0, existeixen q, r ∈ Z únics tals que

a = bq + r, −|b|/2 < r ≤ |b|/2.

2.2 Bases de numeració

Habitualment escrivim els enters naturals en base 10. Aleshores, començant per la dreta, la primera xifra és la de les unitats, la segona la de les desenes, la tercera la de les centenes, etc. Per exemple, 7543 representa l’enter 7×103+5×102+4×10+3. Podem escriure els enters naturals utilitzant com a base qualsevol enter b > 1. Concretament, tenim el resultat següent, que es pot provar per inducció a partir de la divisió entera.

Proposició 2.2.1. Sigui b un enter > 1. Si n és un enter > 0, existeixen enters k ≥ 0 i a0, a1, . . . , ak ∈ {0, 1, 2, . . . , b− 1} únics tals que ak ̸= 0 i

n = akb k + ak−1b

k−1 + · · ·+ a1b+ a0.

Posem n = (akak−1 . . . a1a0)b i diem que ak, ak−1, . . . , a1, a0 són les xifres de n en base b.

Habitualment, fem servir les xifres 0, 1, . . . , b−1 si b ≤ 10. Si b > 10, afegim lletres majúscules en ordre alfabètic. Per exemple, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,B, C,D són les xifres en base 14. Per trobar les xifres en base b d’un nombre escrit en base 10, fem divisions successives.

Exercici. Escriviu 6695 en base 12 i 545 en base 2. Quin és l’enter (1CAFE)16?

16 CAPÍTOL 2. DIVISIBILITAT A L’ANELL DELS ENTERS

1. Volem escriure 6695 en base 12. Escrivim les xifres en base 12 com 0, 1, . . . , 9,A,B. Fent les divisions corresponents, obtenim

6695 = 12× 557 + 11; 557 = 12× 46 + 5; 46 = 12× 3 + 10.

I per tant 6695 = 12×557+11 = 12×(12×46+5)+11 = 46×122+5×12+11 = (12× 3+ 10)× 122 +5× 12+ 11 = 3× 123 +10× 122 +5× 12+ 11 que dóna 6695 = (3A5B)12.

2. Escrivim 545 en base 2. Tenim

545 = 2× 272 + 1; 272 = 2× 136; 136 = 2× 68; 68 = 2× 34; 34 = 2× 17; 17 = 2× 8 + 1; 8 = 2× 4; 4 = 2× 2; 2 = 2× 1.

Obtenim doncs 545 = (1000100001)2.

3. Per escriure en base 10 un enter escrit en una altra base, simplement operem tenint en compte la magnitud que indica cada xifra.

(1CAFE)16 = 14 + 15× 16 + 10× 162 + 12× 163 + 164 = 117502,

ja que A representa 10, B representa 11, C representa 12, D representa 13, E representa 14 i F representa 15.

Definició 2.2.2. Donats a, b ∈ Z, si existeix q ∈ Z tal que a = bq, diem que a és múltiple de b o que b és divisor de a o que b divideix a o que a és divisible per b. Posem b | a. Si b no divideix a, posem b - a.

Exemples. 4 | 12, 5 - 12, 1 divideix qualsevol enter, 0 és divisible per qualsevol enter. Si n és qualsevol enter, n és divisible per 1,−1, n,−n.

Observació. Si a i b són enters no nuls, b | a ⇒ |b| ≤ |a|.

Proposició 2.2.3 (Propietats de la relació de divisibilitat a Z). Si a, b, c,m, n ∈ Z, es compleix

a) a | a ( reflexivitat)

b) c | b b | a

} ⇒ c | a ( transitivitat)

2.2. BASES DE NUMERACIÓ 17

c) a | b b | a

} ⇒ b = ±a ( antisimetria)

d) b | a b | c

} ⇒ b | am+ cn ( linealitat)

e) b | a ⇒ cb | ca (multiplicativitat)

f) cb | ca c ̸= 0

} ⇒ b | a ( llei de simplificació)

Demostració.

a) Clarament a = a · 1

b) c | b ⇒ b = qc amb q enter b | a ⇒ a = q′b amb q′ enter

}

a = q′b = q′(qc) = (q′q)c i qq′ és enter ⇒ c | a.

c) Si a = 0, tenim b = 0, ja que b = aq, per a algun enter q i per tant es compleix b = a.

Suposem ara a ̸= 0. a | b ⇒ b = qa amb q enter b | a ⇒ a = q′b amb q′ enter

}

a = (qq′)a a ̸=0⇒ qq′ = 1 ⇒ q = q′ = ±1 ⇒ b = ±a.

d) b | a ⇒ a = bq amb q enter b | c ⇒ c = bq′ amb q′ enter

} ⇒ am+ cn = (bq)m+ (bq′)n

= b(qm+ q′n), on qm+ q′n és enter ⇒ b | am+ cn.

e) b | a ⇒ a = bq amb q enter ⇒ ca = (cq)b on cq és enter ⇒ cb | ca.

f) cb | ca ⇒ ca = cbq amb q enter c ̸= 0

} ⇒ a = bq ⇒ b | a

2

Observació. Les propietats a),b),c) de la relació de divisibilitat indiquen que aquesta relació és relació d’ordre a N. No és relació d’ordre total.

18 CAPÍTOL 2. DIVISIBILITAT A L’ANELL DELS ENTERS

2.3 Màxim comú divisor de dos enters

Un divisor comú de dos enters a i b és un enter d tal que d | a i d | b.

Definició 2.3.1. Donats dos enters a, b direm que un enter d és màxim comú divisor de a i b si compleix les dues propietats següents.

1. d | a i d | b

2. Si d1 és un enter tal que d1 | a i d1 | b, aleshores d1 | d.

Observació. Si d és màxim comú divisor de a i b, −d també ho és.

Proposició 2.3.2. Si d1 i d2 són màxims comuns divisors de a i b, tenim d1 = ±d2.

Demostració. Com d1 és màxim comú divisor de a i b i d2 n’és un divisor comú, obtenim de la definició, d2 | d1. Anàlogament, obtenim d1 | d2. Aleshores, per la propietat antisimètrica de la relació de divisibilitat, obtenim d1 = ±d2. 2

Tenim doncs que el màxim comú divisor de dos enters queda determinat tret del signe. Podem escriure, per exemple, 2 = mcd(4, 6) i també 2 = mcd(4, 6). Qualsevol igualtat amb màxims comuns divisors serà també tret del signe.

Exemple. Per a tot enter a, tenim mcd(a, 0) = a ja que qualsevol enter divideix 0.

2.4 Algoritme d’Euclides.

Veiem ara un algoritme per a calcular el màxim comú divisor de dos nombres enters. En particular, tindrem que, donats dos nombres enters, existeix el seu màxim comú divisor. Abans provem un resultat previ.

Lema 2.4.1. Si a, b, q són nombres enters, tenim

mcd(a, b) = mcd(a− bq, b).

Demostració. Veiem que les parelles (a, b) i (a− bq, b) tenen els mateixos conjunts de divisors comuns. D’aqúı es dedueix clarament l’igualtat dels màxims comuns divisors. Ara, per la propietat de linealitat de la relació de divisibilitat, tenim les implicacions següents.

2.4. ALGORITME D’EUCLIDES. 19

d | a i d | b ⇒ d | a− bq d | a− bq i d | b ⇒ d | (a− bq) + qb = a.

2

Proposició 2.4.2 (Algoritme d’Euclides). Siguin a, b dos enters, b ̸= 0. Fem successivament les divisions enteres

a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < |b| b = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1 r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2 r2 = r3q4 + r4, 0 ≤ r4 < r3

...

Aleshores, existeix n ∈ N tal que rn = 0 i es compleix mcd(a, b) = rn−1.

Demostració. Volem veure que arribem a una resta igual a 0 en un nombre finit de passos. En efecte, si considerem la successió de restes, tenim r1 > r2 > r3 > . . . per tant formen una successió estŕıctament decreixent d’enters naturals i tenim doncs rn = 0 per a algun n ∈ N. Ara, pel lema, es compleix mcd(a, b) = mcd(b, r1) = mcd(r1, r2) = mcd(r2, r3) = · · · = mcd(rn−1, rn) = mcd(rn−1, 0) = rn−1. 2

Exercici. Calculeu el màxim comú divisor de les següents parelles d’enters amb l’algoritme d’Euclides.

{4347, 235}, {5957, 994}, {2874, 999}.

1. mcd(4347, 235)

4347 = 235× 18 + 117 235 = 117× 2 + 1

Obtenim mcd(4347, 235) = 1.

2. mcd(5957, 994)

5957 = 994× 5 + 987 994 = 987× 1 + 7 987 = 7× 28 + 0

20 CAPÍTOL 2. DIVISIBILITAT A L’ANELL DELS ENTERS

Obtenim mcd(5957, 994) = 7.

3. mcd(2874, 999)

2874 = 999× 2 + 876 999 = 876× 1 + 123 876 = 123× 7 + 15 123 = 15× 8 + 3 15 = 3× 5 + 0

Obtenim mcd(2874, 999) = 3.

Proposició 2.4.3 (Identitat de Bézout). Si d = mcd(a, b), aleshores existeixen enters s, t tals que

d = sa+ tb.

Demostració. Veiem com es poden calcular s, t complint d = sa + tb a partir de les divisions que hem fet en aplicar l’algoritme d’Euclides. Si a = bq1 + r1, tenim r1 = a− bq1 i podem escriure l’igualtat de matrius(

b r1

) =

( 0 1 1 −q1

)( a b

) .

Anàlogament, b = r1q2 + r2 ⇒ r2 = b− r1q2 que dóna l’igualtat de matrius( r1 r2

) =

( 0 1 1 −q2

)( b r1

) i, per a cada i, ri = ri+1qi+2 + ri+2 ⇒ ri+2 = ri − ri+1qi+2 que dóna(

ri+1 ri+2

) =

( 0 1 1 −qi+2

)( ri ri+1

) .

Si rn és la primera resta nul·la, obtenim

2.4. ALGORITME D’EUCLIDES. 21

( rn−1 0

) =

( 0 1 1 −qn

)( rn−2 rn−1

)

=

( 0 1 1 −qn

)( 0 1 1 −qn−1

)( rn−3 rn−2

) = . . .

=

( 0 1 1 −qn

)( 0 1 1 −qn−1

) . . .

( 0 1 1 −q1

) ︸ ︷︷ ︸ s t

∗ ∗



( a b

) .

Com s i t s’obtenen fent sumes i productes d’enters, són enters i per l’igualtat de matrius compleixen mcd(a, b) = rn−1 = sa+ tb. 2

Exercici. Calculeu els coeficients d’una identitat de Bézout per a 2874 i 999.

Hav́ıem calculat mcd(2874, 999) = 3. Tenim

( 3 0

) =

( 0 1 1 5

)( 0 1 1 8

)( 0 1 1 7

)( 0 1 1 1

)( 0 1 1 2

)( a b

) Fent el producte de matrius

( 0 1 1 5

)( 0 1 1 8

)( 0 1 1 7

)( 0 1 1 1

)( 0 1 1 2

) =

( 65 187 ∗ ∗

) .

Per tant 3 = 65× 2874 + 187× 999.

Observació. També podem calcular els coeficients de la identitat de Bézout äıllant successivament les restes de cada divisió començant per l’última. En l’exemple anterior, tenim

3 = 12315× 8 = 123(876123× 7)× 8 = 123× 57876× 8 = (999876× 1)× 57876× 8 = 999× 57876× 65 = 999× 57(2874999× 2)× 65 = 999× 1872874× 65.

Podem definir també el màxim comú divisor de més de dos enters.

22 CAPÍTOL 2. DIVISIBILITAT A L’ANELL DELS ENTERS

Definició 2.4.4. Donats enters a1, a2, . . . , an direm que un enter d és màxim comú divisor de a1, a2, . . . , an si compleix les dues propietats següents.

1. d | ai per a tot i = 1, . . . , n,

2. Si d1 és un enter tal que d1 | ai per a tot i = 1, . . . , n, aleshores d1 | d.

Es compleix la igualtat següent entre màxims comuns divisors

mcd(a1, a2, . . . , an) = mcd(mcd(a1, a2, . . . , an−1), an)

per tant el càlcul del màxim comú divisor de més de dos enters es redueix al càlcul del màxim comú divisor de dos enters.

Exercici. Calculeu mcd(750, 1110, 780, 474).

Aplicant l’algoritme d’Euclides, obtenim mcd(750, 1110) = 30,mcd(30, 780) = 30,mcd(30, 474) = 6. Tenim doncs mcd(750, 1110, 780, 474) = 6.

2.5 Mı́nim comú múltiple

Un múltiple comú de dos enters a, b és un enter m tal que a | m i b | m.

Definició 2.5.1. Donats dos enters a, b direm que un enter m és mı́nim comú múltiple de a i b si compleix les dues propietats següents.

1. a | m i b | m

2. Si m1 és un enter tal que a | m1 i b | m1, aleshores m | m1.

Observació. Si m és mı́nim comú múltiple de a i b, −m també ho és.

Proposició 2.5.2. Si m1 i m2 són mı́nims comuns múltiples de a i b, tenim m1 = ±m2.

Demostració. És anàlega a la de 2.3.2. 2

Dos enters a i b es diuen coprimers si mcd(a, b) = 1.

Exemple. 4337 i 235 són coprimers.

2.5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE 23

Proposició 2.5.3. Siguin a, b, c ∈ Z. Si a | bc i mcd(a, b) = 1, aleshores a | c.

Demostració. Com mcd(a, b) = 1, existeixen enters s, t tals que 1 = sa + tb. Multiplicant aquesta igualtat per c, obtenim c = sac + tbc. Com per hipòtesi a | bc, obtenim a | c. 2

Observació. En general, si un enter divideix un producte de dos altres enters, no necessàriament divideix un dels factors. Per exemple, 4 | 6× 10 però 4 - 6 i 4 - 10.

Proposició 2.5.4. Si a, b són enters no nuls, tenim

mcd(a, b) = 1 ⇔ existeixen enters s, t tals que sa+ tb = 1.

Demostració. L’implicació ja està vista. Suposem ara que existeixen enters s, t tals que sa + tb = 1. Si d | a i d | b, per la propietat de linealitat de la divisibilitat, tenim d | sa + tb = 1, per tant ha de ser d = ±1. Com els únics divisors comuns de a i b són 1 i 1, tenim mcd(a, b) = 1. 2

Corol·lari 2.5.5. Si a, b són enters, d = mcd(a, b), posem a = da1, b = db1. Aleshores mcd(a1, b1) = 1.

Demostració. Tenim d = sa + tb per certs enters s, t i per tant 1 = sa1 + tb1 que implica mcd(a1, b1) = 1 per la proposició anterior. 2

Proposició 2.5.6. Si a, b són enters, d = mcd(a, b),m = mcm(a, b), es compleix dm = ±ab.

Demostració. Posant a = da1, b = db1, tenim que ab/d = ab1 és enter. Veiem que ab/d és mı́nim comú múltiple de a i b. Com ab/d = ab1 = a1b, és múltiple de a i de b. Sigui ara m1 un múltiple comú de a i b. Tenim m1 = pa,m1 = qb per certs enters p i q. Per tant m1 = pa = pda1 i m1 = qb = qdb1. Tenim doncs pda1 = qdb1 ⇒ pa1 = qb1. Com b1 | pa1 i mcd(a1, b1) = 1, obtenim b1 | p. Podem escriure p = b1s, per un cert enter s. Aleshores m1 = pda1 = s(b1da1) = s(ab/d), és a dir m1 és múltiple de ab/d i hem provat que ab/d compleix la segona propietat de mı́nim comú múltiple. 2

A partir d’aquesta proposició i del càlcul del màxim comú divisor, podem calcular el mı́nim comú múltiple de dos enters.

24 CAPÍTOL 2. DIVISIBILITAT A L’ANELL DELS ENTERS

Exercici. Calculeu el mı́nim comú múltiple de 5957 i 994.

Hav́ıem calculat mcd(5957, 994) = 7. Tenim doncs

mcm(5957, 994) = 5957× 994

7 = 845894.

Definició 2.5.7. Un nombre primer és un enter p, diferent de 0, 1 i 1, que només és divisible per 1,−1, p,−p.

Observació. Si p és primer, −p també ho és.

Proposició 2.5.8. Siguin a, b nombres enters i sigui p un nombre primer. Si p | ab i p - a, aleshores p | b.

Demostració. Si p és primer i p - a, tenim mcd(a, p) = 1. Per tant, per 2.5.3, p | b. 2

Lema 2.5.9. Si n és un enter que no és primer, és divisible per un primer p positiu tal que p ≤

|n|.

Demostració. Com n i −n tenen els mateixos divisors, podem suposar n > 0. Per la definició de nombre primer, si n no ho és, tenim n = m1m2 amb m1,m2 enters positius diferents de 1, n. Podem suposar m1 ≤ m2 i tenim m1

√ n. Si m1

és primer, ja estem. Si no, podem escriure m1 = q1q2, amb q1, q2 enters positius diferents de 1,m1. Si q1 és primer, ja estem. Si no, reiterem el procès. Com m1 > q1 > . . . , en un nombre finit de passos trobem un divisor primer de n, més petit o igual que

|n|. 2

Garbell d’Eratòstenes. Suposem que volem trobar tots els nombres primers positius fins a una fita M . Ho podem fer amb el mètode del garbell d’Eratòstenes que data del segle III a. C. Posem M=100. Escrivim tots els enters naturals fins a M excepte 0 i 1.

2.5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE 25

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

El 2 és primer ja que l’únic enter positiu més petit que ell és l’1. Treiem tots els seus múltiples:

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

El primer enter, més gran que 2, que no hem tret és el 3. És primer, ja que l’únic enter positiu diferent de 1 més petit que ell és el 2, que no el divideix, ja que si 2 divid́ıs 3, hauŕıem tret el 3. Treiem ara els múltiples de 3 que queden (és a dir els que no són també múltiples de 2).

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 85 páginas totales
Descarga el documento