Calcul 1. Apuntes Tema 1, Apuntes de Cálculo. Universitat Pompeu Fabra (UPF)
antrabat
antrabat

Calcul 1. Apuntes Tema 1, Apuntes de Cálculo. Universitat Pompeu Fabra (UPF)

14 páginas
4Número de visitas
Descripción
Asignatura: Càlcul i Mètodes Numèrics, Profesor: Alfonso Martinez, Carrera: Enginyeria en Sistemes Audiovisuals, Universidad: UPF
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 14
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento

càlcul i— 2017/2018 Derivada d’una funció

1 nombres i funcions

Comencem amb la deûnició dels següents conjunts de nombres:

• N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}— conjunt dels nombres naturals

• Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}— conjunt dels nombres enters

• Q = { pq ∶ p, q ∈ Z, q ≠ 0 i mcd(p, q) = 1}— conjunt dels nombres racionals

• R— conjunt dels nombres reals

• C = {x + y i ∶ x , y ∈ R}— conjunt dels nombres complexos

1.3. Funciones

El concepto de función es central en matemática y, sorprendentemente, sólo en una fecha relativamente reciente (1829) ha sido formalizado.

La idea básica que está detrás del concepto de función es la conexión entre input y output de un sistema:

f es el ‘conector’ que asocia a cada dato de input x un único dato de output f(x). Es la unicidad de la correspondencia la que caracteriza el concepto de función. Para tener un ejemplo práctico, podemos pensar en una ‘caja negra’ que calcule el área de los ćırculos a partir del radio r, área que sabemos ser ⇡r2. En este sistema cada dato de input es un valor r del radio del ćırculo, al cual corresponde un único dato de output ⇡r2 y la caja negra es la función Área que asocia r a ⇡r2:

r �! Área �! ⇡r2. Resulta muy útil abstraer la definición y no atarse a un ejemplo concreto y tener una definición general, que debemos a Johann Dirichlet, matemático alemán (1805-1859) y Nikolai Lobachevsky, matemático ruso (1792-1856).

Def. general de función (Dirichlet-Lobachevsky): sean X e Y dos con- juntos cualquiera. Una función f entre X e Y es una ley que asocia a cada elemento x 2 X uno y un solo elemento y = f(x) 2 Y . Se suele escribir

f : X �! Y x 7�! y = f(x),

o bien f : X �! Y , x 2 X 7�! y = f(x) 2 Y .

y = f(x) se llama imagen de x a través de f . x se llama pre-imagen o anti-imagen de y v́ıa f . X se llama dominio de f y el conjunto de todas las imágenes de elementos de X a través de f se llama codominio o imagen de f y se escribe f(X) (o Imf en algunos libros).

Evaluar una función f en un punto x0 de su dominio significa cal- cular cuanto vale su imagen, o sea encontrar y0 = f(x0).

15

Una funció f entre dos conjunts X i Y és una llei que associa, a cada punt x ∈ X, un únic punt y = f (x) ∈ Y .

El punt y s’anomena imatge d’x, i el punt x antiimatge d’y. El conjunt X és el do ini d’ f (Dom( f )) i el conjunt Y el codomini d’ f (Codom( f )). El subconjunt d’Y format per les imatges de tots ls punts d’X s’anomena imatge o recorregut d’ f , i s’escriu Im( f ) o f (X).

Observació. Per deûnició, dos punts poden tenir lamateixa imatge però no al revés.

Una funció i els conjunts sobre els que actua es poden escriure en forma de diagrama X = {1, 2, 3, 4}, Y = {1, 2, 3} i

f ∶{1, 2, 3, 4}→ {1, 2, 3} 1 ↦ 2 2 ↦ 2 3 ↦ 3 4 ↦ 3

Amés d’amb un diagrama o una taula, se sol representar una funció gràûcament. El gràûc o la gràûca d’una funció f ∶X → Y és el conjunt de parells de nombres {(x , f (x))}, on x ∈ X i f (x) ∈ Y .

Def.: dada la función f : X ! Y , x 7�! f(x), su gráfico es el subcon- junto de X ⇥ Y definido por

gráfico(f) = {(x, y) : x 2 X, y = f(x)} ,

o sea, el conjunto de las parejas ordenadas donde el primer elemento es un punto del dominio de f y el segundo es la imagen de ese punto a través de f .

Si f es una función real de variable real, su gráfico es una curva en el pla o real, como muestra la figura de izquierda de la siguiente imágen.

Cada punto de la curva, proyectado sobre el eje horizontal, corresponde a un único elemento x0 del dominio [a, b] de f (resaltado en azul). En cambio, si proyectamos sobre el eje vertical, encontramos un elemento y0 del codominio [c, d] de f (resaltado en rojo).

Gráficamente, el dominio de una función real de variable real es un sub- conjunto del eje horizontal, mientras que el codominio es un subconjunto del eje vertical.

En la figura de derecha de la imágen arriba se ve una curva que no representa el gráfico de una función, porque, por ejemplo, la recta vertical que corta el eje horizontal en x0 intersecta la curva en tres puntos diferentes que se proyectan sobre el eje vertical en los puntos y1, y2, y3. Si la curva representara el gráfico de una función, x0 tendŕıa tres imágenes distintas, lo cual es contrario al carácter de unicidad de la correspondencia entre input y output que caracteriza el concepto de función.

Obviamente, el gráfico de las funciones constantes es una recta horizontal que tiene una altura igual al valor de la constante. En particular, el gráfico de la función nula coincide con el eje horizontal dado por los puntos (x, 0) del plano real (a cualquier abscisa corresponde ordenada

19

1

També es pot descriure una funció amb una explicació, amb paraules o amb una fòrmula. Per exemple, la funció constant f (x) = k associa a qualsevol nombre real el nombre k, una constant i la funció quadrat f (x) = x2 associa a qualsevol nombre real el seu quadrat. O la funció valor absolut es deûneix

f (x) = ∣x∣ = { x si x ≥ 0 −x si x < 0.

2 lı́mits

Considerem funcions reals de variable real, on tant el domini com el codomini són conjunts de nombres reals. Es diu que el ĺımit d’ f quan x tendeix a x0 és ℓ (o bé que f convergeix a ℓ quan x tendeix a x0), i s’escriu

lim x→x0

f (x) = ℓ,

si els valors de f (x) s’apropen d’ℓ quan x s’apropa de x0.

Cauchy ha popularizado su teoŕıa sobre los ĺımites en su Cours d’Analyse (1821) para la École Polytechnique de Paris, la elección de las letras griegas " y � se motiva con el hecho de que él soĺıa abreviar la palabra error con " y la palabra distancia con �. Como debeŕıa resultar claro de su definición, " y � representan, respectivamente, el error que se hace considerando el valor de f(x) en vez de ` y � la distancia entre x y x0.

Nótese que Cauchy logró dar una definición rigurosa de distancia in- finitésima (y entonces de ĺımite) a través de una implicación entre desigual- dades que tiene que valer para cada elección de un numero real positivo. El hecho de que el eje real no tenga los vaćıos que caracterizan los conjuntos discretos N, Z y Q, es fundamental para estar seguros de que el proceso de regresión de " y �" hacia cero (sin llegar nunca a cero) esté bien definido.

Observación: si f es una función constante k(x) ⌘ k 8x 2 R, entonces f(x) toma siempre el mismo valor, por lo tanto es evidente que el ĺımite para x ! x0 de una función constante es igual al valor constante k para cada x0 2 R. Entonces la operación de ĺımite aplicada a una función constante es trivial.

El ĺımite de una función en un punto de la frontera de su dominio puede no ser finito, como vamos a ver en las siguientes definiciones.

Def.: sea f : D ✓ R ! R, con D subconjunto abierto de R, y sea x0 un punto de la frontera de D. Se dice que f diverge al infinito cuando x tiende a x0 o que

1. el ĺımite de f es +1, y se escribe:

ĺım x!x0

f(x) = +1 ,

44

f podria no estar deûnida a un dels costats d’x0 si és a la frontera del domini i, per tant, en aquest cas els x a considerar són només els de l’altre costat. M reover, x no pot prendre el valor x0 i, per tant, f pot no estar deûnida en x0.

3 continuı̈tat

Siguin una funció f i x0 del seu domini. Es diu que f és cont́ınua en x0 si

∃ lim x→x0

f (x) = f (x0)

(és a dir, si [1r] existeix el ĺımit limx→x0 f (x) i [2n] el seu valor coincideix amb f (x0)). Equivalentment, si escrivim x = x0 + h per a un cert h ∈ R, f és cont́ınua en x0 si

∃ lim h→0

f (x0 + h) = f (x0).

Globalment, es diu que f és cont́ınua si és cont́ınua en cada punt de D. Es diu que f és discont́ınua en x0 si no és cont́ınua en x0. Una discontinuı̈tat de salt és un punt de discontinuı̈tat on els ĺımits laterals existeixen però no coin- cideixen, i una discontinuı̈tat evitable és un punt de discontinuı̈tat on els ĺımits laterals existeixen i coincideixen, però el seu v lor no és igual al de la funció en el punt.

Per a la funció f (x) = x2 i x0 = 5, tenim limx→5 x2 = 25. Com que f (5) = 25,

∃ lim x→5

x2 = 25 = f (5)

2

i, per tant, la funció f (x) = x2 és cont́ınua en x0 = 5.

Per a la la funció signe, és pot veure que ∄ limx→0 sgn(x) perquè1 limx→0− sgn(x) = −1 i limx→0+ sgn(x) = 1. Per tant, la funció f (x) = sgn(x) té una discontinuı̈tat de salt en x0 = 0.

Totes les funcions elementals del càlcul (polinomis, potències, exponencials i trigonomètriques), les seves inverses, les seves composicions i les operacions algebraiques entre elles són cont́ınues en els seus dominis. Per tant, com que, si f és cont́ınua en x0, llavors limx→x0 f (x) = f (x0), el càlcul de ĺımits no trivials d’una funció es redueix als punts x0 de la frontera del seu domini i a les indeterminacions.

Siguin dues funcions f , g, amb g cont́ınua tals que g( f (x)) està ben deûnida a prop d’x0. Llavors,

lim x→x0

g( f (x)) = g( lim x→x0

f (x)).

Per exemple, si g(x) = ex , llavors

lim x→x0

e f (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩

0 si limx→x0 f (x) = −∞ ek si limx→x0 f (x) = k ∈ R +∞ si limx→x0 f (x) = +∞.

Exercici 1. És instructiu fer un dibuix de la funció sin 1x en (−1, 1). El dibuix hauria d’ajudar a veure que el ĺımit no existeix perquè en un entorn de 0 la funció sin 1x prén sempre els valors +1 i -1 un número inûnit de vegades.

Exemple 2. Discutir la continuitat de la funció f (x) = x sin 1x al punt x → 0. Tot i que la funció sin 1 x no és

continua al punt x → 0 i x2 1x té una discontinuı̈tat de salt al punt x → 0, usant la desigualtat ∣ sin x∣ ≤ 1, tenim que ∣ f (x) − f (0)∣ = ∣x sin 1x ∣ ≤ ∣x∣ i per tant la funció té 0 com a ĺımit quan x tendeix a 0. Si amés, deûnim f (0) = 0, la funció resultant serà també cont́ınua.

Exercici 3. Com a exercici t́ıpic, trobem el valor del paràmetre a ∈ R per al qual la funció

fa(x) = { ex−a x ≥ π2

sin(x) x < π2

és cont́ınua a tot R.

Solució. Per a que la funció fa(x) sigui cont́ınua, ex−a ha de ser igual a sin(x) en x = π2 :

e π 2 −a = sin(π

2 ) = 1

π 2 − a = log 1 = 0

a = π 2 .

Amés, cal donar a la funció f (x) el valor 1 a x = π2 , és a dir, f ( π 2 ) = 1.

1La notació x → 0+ representa que ens apropem a x = 0 únicament per la dreta, és a dir per valors positius de x. Ànalogmanet, la notació x → 0− representa que ens apropem a x = 0 únicament per l’esquerra, és a dir per valors negatius de x.

3

4 definició de derivada

Es diu que f és derivable en un punt x0 del seu domini si [1r] existeix el ĺımit limx→x0 f (x)− f (x0)

x−x0 i [2n] és ûnit.

Equivalentment, si escrivim x = x0 + h per a un cert h ∈ R, f és derivable en x0 si el següent ĺımit és ûnit:

lim h→0

f (x0 + h) − f (x0) h

.

En aquest cas, la derivada d’ f a x0 és el valor d’aquest ĺımit ûnit, i s’escriu

f ′(x0).

Globalment, es diu que f és derivable si és derivable en cada punt del seu domini. En tal cas, es deûneix la derivada d’ f com la funció que associa a cada punt x la seva derivada f ′(x).

Caṕıtulo 3

Derivadas

3.1. Definición de derivada de una función y su interpretación geométrica y mecánica

Como ya dijimos, el concepto de derivada está relacionado con el proble- ma de encontrar la recta tangente al gráfico de una función o, de forma más general, a una curva en un cierto punto. Para entender mejor este problema, consideremos la figura aqúı debajo.

Llamamos A el punto sobre el gráfico de la función real de variable real y = f(x) de coordenadas (x0, f(x0)) y B el punto que tiene coordenadas (x0 +h, f(x0 +h)), siendo h > 0 el incremento horizontal y f(x0 +h)�f(x0) el incremento vertical. Podemos medir la pendiente media mientras pasamos

64

Per construcció, f ′(x0) és el pendent de la recta tangent al gràûc d’ f en el punt del pla (x0, f (x0)). Per tant, coneixent el seu pendent i un punt per on passa, l’equació de la recta tangent al gràûc d’ f en (x0, f (x0)) és

y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).

Exercici 4. Calculem la recta tangent a f (x) = ln x en x0 = 1. Dibuixeu la función f (x) i la recta tangent i describiu el resultat. Si apliquem la fórmula de la recta tangent a la nostra funció i al punt x0 donat:

y = f (1) + f ′(1)(x − 1),

on f ′(x) = 1x → f ′(1) = 1 i f (1) = 0 i, en conseqüència, tenim:

y = 0 + 1(x − 1).

Per tant, l’equació és y = x − 1.

Exercici 5. Calculem la recta tangent a f (x) = ex − x2 en x0 = 0. Si apliquem la fórmula de la recta tangent a la nostra funció i al punt x0 donat:

y = f (0) + f ′(0)(x − 0),

on f ′(x) = ex − 2x → f ′(0) = e0 − 2 ⋅ 0 = 1 i f (0) = e0 − 02 = 1 i, en conseqüència, tenim:

y = 1 + 1(x − 0).

Per tant, l’equació és y = x + 1.

4

Exercici 6. Trobar el valor del paràmetre a ∈ R i el punt x0 ∈ R per als quals la recta y = 4x−6 és tangent a la funció fa(x) = x2 + a en x0.

Solució. Com hem explicat a l’exercici anterior, l’equació de la recta tangent al gràûc d’ f en (x0, f (x0)) és

y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

i f ′(x0) és el pendent de la recta tangent. En la nostra funció f ′a(x0) = 2x0 i observant la recta tangent veiem que el valor del pendent és 4, per tant,

2x0 = 4→ x0 = 2.

Ens falta trobar el valor de a. Substituint a la recta tangent,

y0 = 4x0 − 6→ y0 = 4 ⋅ 2 − 6 = 2,

per tant,el punt on estem evaluant la recta tangent és el (2, 2). Evaluant la recta en aquest punt, podem deduir el valor de a,

fa(2) = x20 + a → 2 = 22 + a → a = −2.

Si f ′ també resulta ser derivable, la seva derivada s’anomena derivada segona d’ f , i s’escriu f ′′ = ( f ′)′. Successiva- ment, repetint aquest procés n vegades s’obté la derivada n-èsima o derivada d’ordre n d’ f , que s’escriu f (n).

Exercici 7. Considerem el cas f (x) = 2x3 i x0 = −1, i vegem que

f ′(−1) = 6

a partir de la deûnició.

lim h→0

f (−1 + h) − f (−1) h

= lim h→0

2(−1 + h)3 − 2(−1)3

h = lim

h→0

−2 + 6h − 6h2 + 2h3 + 2 h

=

= lim h→0

(6 − 6h + 2h2) = 6,

és a dir, el ĺımit existeix i és ûnit, i el seu valor és 6 = f ′(−1). Amb això, podem calcular la recta tangent a f en x0 = −1:

y = f (−1) + f ′(−1)(x − (−1)) = −2 + 6 ⋅ (x + 1) = 6x + 4

Finalment, amb un càlcul anàleg al d’ f ′(−1), vegem que, de fet, f és derivable en tot punt x ∈ R:

lim h→0

f (x + h) − f (x) h

= lim h→0

2(x + h)3 − 2x3

h = lim

h→0 (6x2 + 6xh + 2h2) = 6x2 = f ′(x)

perquè existeix i és ûnit per a tot x ∈ R.

Exercici 8. Només a partir de la deûnició de derivada, podem calcular la derivada de la funció

f (x) = x − 2 x − 1

.

Agafem la f (x) = x − 2 x − 1

i apliquem la deûnició de derivada.

lim h→0

f (x + h) − f (x) h

= lim h→0

x + h − 2 x + h − 1

− x − 2 x − 1

h = lim

h→0

(x + h − 2)(x − 1) − (x − 2)(x + h − 1) (x + h − 1)(x − 1)h

=

= lim h→0

h (x2 − 2x + 1 + xh − h)h

= 1

x2 − 2x + 1 =

1 (x − 1)2

.

5

Exemple 9. Considerem el cas f (x) = ∣x∣ i vegem que f no és derivable en x0 = 0.

lim h→0

f (0 + h) − f (0) h

= lim h→0

∣h∣ h

= lim h→0

sgn(h),

que ja hem vist que no existeix.

Exemple 10. Considerem el cas f (x) = 3 √ x i vegem que f no és derivable en x0 = 0.

lim h→0

f (0 + h) − f (0) h

= lim h→0

3√h h

= lim h→0

1 h2/3

= +∞,

és a dir, el ĺımit existeix però no és ûnit.

A partir de la deûnició es poden calcular les derivades de totes les funcions elementals:

f (x) = k ∈ R ⇒ f ′(x) = 0 f (x) = xα ⇒ f ′(x) = αxα−1, per a tot α ≠ 0 f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

f (x) = ax ⇒ f ′(x) = ax log(a), per a tot a > 0, a ≠ 1 f (x) = log(x) ⇒ f ′(x) = 1x f (x) = loga(x) ⇒ f

′(x) = 1x log(a) , per a tot a > 0, a ≠ 1 f (x) = sin(x) ⇒ f ′(x) = cos(x) f (x) = cos(x) ⇒ f ′(x) = − sin(x) f (x) = tan(x) ⇒ f ′(x) = 1cos2(x)

Exercici 11. Calculem les derivades de les funcions següents.

(a) f (x) = x sin(x)+cos(x)x+1 (b) f (x) = x log(x)−1

2x+3

(c) f (x) = x2 sin(x) cos(x) (d) f (x) = x2ex − 2xex + 3ex

(e) f (x) = arctan(log(cos(x) + 2)) (f) f (x) = 3 √

4x2 − x + 5 .

Solució. (a) Per a f (x) = x sin(x)+cos(x)x+1 , tenim

f ′(x) = ( sin x + x cos x −sin x)(x + 1) − (x sin x + cos x) ⋅ 1

(x + 1)2

= (x cos x)(x + 1) − (x sin x + cos x)

(x + 1)2 .

(b) Per a f (x) = x log x − 1 2x + 3

, tenim

f ′(x) = (log x + xx )(2x + 3) − 2(x log x − 1)

(2x + 3)2

= 

2x log x + 2x + 3 log x + 3 −2x log x + 2 (2x + 3)2

= 3 log x + 2x + 5

(2x + 3)2 .

6

(c) Com que f (x) = x2 sin x cos x és un producte de tres factors, per a fer la derivada el podem associar de dues maneres: f (x) = (x2 sin x) cos x, o bé, f (x) = x2(sin x cos x). Amb la primera opció, tenim

f ′(x) = (2x sin x + x2 cos x) cos x + x2 sin x(− sin x) = 2x sin x cos x + x2 cos2 x − x2 sin2 x .

I amb la segona opció, tenim

f ′(x) = 2x sin x cos x + x2(cos x cos x + sin x(− sin x)) = 2x sin x cos x + x2 cos2 x − x2 sin2 x .

Observem que usant les fórmules de l’angle doble obtenim:

f ′(x) = x sin 2x + x2 cos 2x .

(d) Per a f (x) = x2ex − 2xex + 3ex , tenim

f ′(x) =2xex + x2ex − 2ex −2xex + 3ex = x2ex + ex = (1 + x2)ex .

(e) Per a f (x) = arctan(log(cos x + 2)), hem de derivar des de la funció “més externa” a la funció “més interna”, és a dir x ↦ y = cos x + 2↦ w = log y ↦ z = arctanw. Llavors tenim

f ′(x) = z′(w) ⋅w′(y) ⋅ y′(x)

= 1

1 +w2 ⋅ 1 y ⋅ (− sin x)

= 1

1 + log2 y ⋅

1 cos x + 2

⋅ (− sin x)

= − sin x

[1 + log2(cos x + 2)](cos x + 2) .

(f) Per a f (x) = 3 √

4x2 − x + 5, comencem amb les observacions 3√... = (...) 1 3 i 13 − 1 = −

2 3 , i llavors

f ′(x) = 1 3 (4x2 − x + 5)−

2 3 ⋅ (8x − 1)

= 8x − 1

3 3 √

(4x2 − x + 5)2 .

Derivabilitat i continuı̈tat Si f és derivable en x0, llavors f és cont́ınua en x0.

Exemple 12. Reprenem l’exemple de la funció signe, que ja hem vist que no és cont́ınua en x0 = 0 perquè hi té una discontinuı̈tat de salt. Fent servir la proposició anterior, la funció signe tampoc és derivable en x0 = 0.

Exercici 13. Sigui una funció f (x), que depèn de dos paràmetres reals a i b,

f (x) = ⎧⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩

ax + b, x > 0 sin 2x , x ≤ 0.

Trobar les valors d’a i b per als quals f (x) és cont́ınua, però no derivable.

Trobar les valors d’a i b per als quals f (x) és derivable, però no continua.

7

5 derivades d’operacions amb funcions: composició i funció inversa

Siguin f , g derivables. Llavors,

• F = f ± g és derivable i F′(x) = f ′(x) ± g′(x)

• F = k ⋅ f és derivable i F′(x) = k ⋅ f ′(x), per a tot k ∈ R

• F = f ⋅ g és derivable i F′(x) = f ′(x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g′(x) (regla de Leibniz)

• F = fg és derivable i F ′(x) = f

′(x)⋅g(x)− f (x)⋅g′(x) (g(x))2

Exemple 14. Volem calcular la derivada d’ f (x) = x2 sin(x). Aquesta funció és el producte de dues funcions ele- mentals, x2 i sin(x), les derivades de les quals podem trobar a la llista anterior. Fent servir la regla de Leibniz, f ′(x) = (x2)′ ⋅ sin(x) + x2 ⋅ (sin(x))′ = 2x ⋅ sin(x) + x2 ⋅ cos(x).

Exemple 15. Siguin dues funcions f (x) = cos(x) i g(x) = √ x + 1 . Hi ha dues composicions possibles, f (g(x)) i

g( f (x)). D’una banda, tenim f (g(x)) = f ( √ x + 1) = cos(

√ x + 1). D’altra banda, tenim: g( f (x)) = g(cos(x)) =√

cos(x) + 1.

Exemple 16. Siguin f (x) = log(x) i g(x) = x2 + 1. Ara, les composicions possibles són f (g(x)) = f (x2 + 1) = log(x2 + 1) i g( f (x)) = g(log(x)) = log2(x) + 1.

Regla de la cadena Siguin f derivable en x0 i g derivable en f (x0). Llavors, F(x) = g( f (x)) és derivable en x0 i

F′(x0) = g′( f (x0)) ⋅ f ′(x0).

Si en lloc de dues funcions en tenim tres, és a dir G(x) = h(g( f (x))), aplicant la regla de la cadena dues vegades s’obté G′(x0) = G′(F)(x0)) ⋅ g′( f (x0)) ⋅ f ′(x0), amb F(x) = g( f (x)), i aixı́ successivament.

Exemple 17. Sigui F(x) = sin2(x); volem calcular F′( π4 ). Fixem-nos que la funció F calcula primer el sinus d’x i després eleva aquest resultat al quadrat, és a dir, F = g( f (x)), amb f (x) = sin(x) i g(x) = x2. Com que aquestes dues funcions són derivables a tot R, i f ′(x) = cos(x) i g′(x) = 2x,

F′(π 4 ) = (g ○ f )′(π

4 ) = g′( f (π

4 )) ⋅ f ′(π

4 ) = g′(sin(π

4 )) ⋅ f ′(π

4 ) = g′( 1√

2 ) ⋅ f ′(π

4 ) =

= 2 1√ 2 ⋅ cos(π

4 ) =

2 √

2 ⋅

1 √

2 = 1.

Exemple 18. Volem calcular la derivada d’F(x) = log ∣x∣. Com abans, F = g( f (x)), amb f (x) = ∣x∣ i g(x) = log(x). Ja hem vist que la funció f no és derivable en x0 = 0, però de totamanera x0 = 0 ha de quedar fora del domini d’F perquè sinó anul·laria el logaritme. Deûnides d’aquestamanera, les funcions f i g són derivables. Ara,

f (x) = ∣x∣ = { x si x > 0 −x si x < 0 ⇒ f

′ (x) = { 1 si x > 0

−1 si x < 0

i g′(x) = 1x . Per tant,

F′(x) = g′( f (x)) ⋅ f ′(x) = ⎧⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩

g′(x) ⋅ f ′(x) si x > 0 g′(−x) ⋅ f ′(x) si x < 0

=

⎧⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩

1 x ⋅ 1 si x > 0

1 −x ⋅ (−1) si x < 0

= 1 x

.

Podria semblar que les derivades de log(x) i log ∣x∣ coincideixen, però el domini de log(x) i la seva derivada és (0,+∞) mentre que el de log ∣x∣ i la seva derivada és R ∖ {0}, per tant són funcions diferents.

8

Exercici 19. Siguin f (x) = e2x i g(x) = − 1x2 . Comproveu la regla de la cadena amb les dues composicions possibles, F(x) = f (g(x)) i G(x) = g( f (x)). És a dir, demostreu que la derivada de les composicions són

F′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g′(x) i G′(x) = g′( f (x)) ⋅ f ′(x).

Solució. Primer calcularem:

a) les expressions anaĺıtiques d’F(x) i de G(x).

F(x) = f (g(x)) = f ( − 1x2 ) = e 2⋅(− 1x2 ) = e−

2 x2 .

G(x) = g( f (x)) = g(e2x) = − 1 (e2x)2

= − 1 e4x

= −e−4x .

b) les funcions derivades f ′(x) i g′(x):

f (x) = e2x → f ′(x) = 2e2x . g(x) = − 1x2 → g

′(x) = 2x3 .

Anem a comprovar que se satisfà la regla de la cadena per a la primera composició. Comprovarem que F′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g′(x):

• F′(x) = e− 2 x2 ⋅ ( − 2x2 )

′ = e−

2 x2 ⋅

4 x3 =

4 x3e

2 x2

.

• f ′(g(x)) ⋅ g′(x) = f ′(− 1x2 ) ⋅ 2 x3 = 2 ⋅ e

− 2x2 ⋅ 2x3 = 4

x3e 2 x2

.

Anem a comprovar que se satisfà la regla de la cadena per a la segona composició. Comprovarem que G′(x) = g′( f (x)) ⋅ f ′(x):

• G′(x) = −e−4x ⋅ −4 = 4e−4x = 4 e4x

.

• g′( f (x)) ⋅ f ′(x) = g′(e2x).2e2x = 2 e6x

⋅ 2e2x = 4 e4x

.

Deûnició. Sigui f una funció tal que si x ≠ y⇒ f (x) ≠ f (y) per a tot x , y ∈ X. Es deûneix la funció inversa d’ f com la funció f −1(y), on x és l’únic punt d’X tal que f (x) = y.

Observació. f −1(x) ≠ 1f (x) !!!

Derivada de la funció inversa Sigui f derivable en x0 tal que f ′(x0) ≠ 0. Llavors, f −1 és derivable en y0 = f (x0) i

( f −1)′(y0) = 1

f ′(x0) .

6 potències xr

Les potències són funcions de la forma f (x) = xr , on x és la variable i r és l’exponent.

Recordem que si r és un enter positiu, llavors xr = x ⋅ x ⋅ ⋯ ⋅ x (r vegades en total). Si r és enter negatiu, llavors xr = 1

x ⋅ x ⋅ ⋯ ⋅ x (∣r∣ = −r vegades en total). Si r = 0, llavors xr = 1. Si r és enter, x pot prendre qualsevol valor real,

excepte potser el zero, i aquesta excepció es dóna només per r ≤ 0.

Si r és racional de la forma r = 1/q, amb q > 0, llavors xr és l’arrel q-ésim de x, és a dir x 1 q = q

√ x. El domini es

restringeix a x ≥ 0; per a veure per què, quant valdria (−1) 1 2 ? Si r és racional de la forma r = p/q, amb p > 0, llavors

xr és l’arrel q-ésim de x p, és a dir x p q =

q√x p. El domini también es restringeix a x ≥ 0.

9

És instructiu dibuixar les funcions xr per a r = −2,−1, 0, 1, 2, 3 i r = − 12 ,− 1 3 ,

1 3 ,

1 2 , en els seus respectius dominis i

convèncer-se de la següent observació: Donats r′ > r, si x > 1, entonces xr′ > xr ; si 0 < x < 1, llavors xr′ < xr .

Recordem que unamanera útil de fer amà un dibuix del gràûc d’una funció passa per 1) fer una taula amb alguns valors de x i f (x), 2) dibuixar els parells (x , f (x)) de la taula; 3) fer una extrapolació unint els punts. En fer-ho, cal anar amb compte amb la continuı̈tat de la funció; les potències són cont́ınues en el seu domini, per tant només cal anar amb compte en x = 0 quan r < 0.

Hauria d’estar clar que la inversa de xr és x 1 r per a x > 0. En funció del valor de r, el domini també pot incloure

x = 0, però no en general x < 0. A l’hora de dibuixar la funció inversa, és útil recordar que coincideix amb la funció simètrica a f (x) sobre la la bisectriu del primer i tercer quadrant, la funció h(x) = x.

Exercici 20. Quina és la funció inversa de f (x) = x?

Exercici 21. Siguin f (x) = x3 = y i f −1(y) = 3√y = x. Comprovem que

( f −1)′(y) = 1 f ′(x)

per a tot x ≠ 0. Tenim: ( f −1)′(y) = ( 3√y)′ = 1

3 y−

2 3 =

1 3( 3√y)2

= 1

3x2 =

1 f ′(x)

.

7 estudi gràfic de funcions

Comencem amb algunes deûnicions.

Deûnició. Es diu que una funció f és

ûtada si per a qualsevol y ∈ Im( f )) es veriûca a < y < b per a alguns a, b ∈ R;

monòtona creixent si x < y⇒ f (x) ≤ f (y) per a tot x , y ∈ D (estrictament si el ≤ és un <);

monòtona decreixent si x < y⇒ f (x) ≥ f (y) per a tot x , y ∈ D (estrictament si el ≥ és un >);

periòdica de perı́ode p ∈ R (o bé p-periòdica) si f (x + p) = f (x) per a tot x del domini;

parella si f (−x) = f (x) per a tot x del domini;

senar o imparella si f (−x) = − f (x) per a tot x del domini.

Exemple 22. Per a tot n ∈ N, la funció fn(x) = x2n+1 és estrictament monòtona creixent. Per a convèncer-nos de que això és cert és suûcient observar que l’exponent és senar. Per exemple, si x i y són dos números reals tals que x < y, aleshores amb els seus cubs també tindrem x3 < y3. Observem que amb exponents parells això no és cert. Per exemple, tenim que −3 < 2 però també tenim que (−3)2 = 9 > 4 = 22.

Deûnició. Siguin f i x0 en el seu domini. Es diu que el ĺımit d’ f quan x tendeix a x0 és +∞ (o bé que f divergeix a +∞ quan x tendeix a x0), i s’escriu

lim x→x0

f (x) = +∞,

si la funció f (x) s’apropa a +∞ quan x s’apropa a x0. Anàlogament, es diu que el ĺımit d’ f quan x tendeix a x0 és −∞ (o bé que f divergeix a −∞ quan x tendeix a x0), i s’escriu

lim x→x0

f (x) = −∞,

si la funció f (x) s’apropa a −∞ quan x s’apropa a x0. En qualsevol dels dos casos, es diu que la recta x = x0 és una ası́mptota vertical d’ f .

10

si para cada entorno UM (+1), existe un entorno U�M (x0) ✓ D tal que, para cada x 2 U�M (x0), x 6= x0, entonces f(x) 2 UM (+1);

2. el ĺımite de f es �1, y se escribe:

ĺım x!x0

f(x) = �1 ,

si para cada entorno Um(�1), existe un entorno U�m(x0) ✓ D tal que, para cada x 2 U�m(x0), x 6= x0, entonces f(x) 2 Um(�1).

La interpretación de las definiciones 2. y 3. es la siguiente: a medida que nos acercamos a x0, la función f toma valores cada vez más grandes en valor absoluto (positivos o negativos según el signo del infinito). Se ve que el infinito no es un numero real, sino, de nuevo, el comportamiento o tendencia de una función. Con el lenguaje de las desigualdades podemos codificar los ĺımites arriba definidos de esta forma:

ĺım x!x0

f(x) = +1 () 8M > 0 9�M > 0 : 0 < |x� x0| < �M ) f(x) > M ;

ĺım x!x0

f(x) = �1 () 8m > 0 9�m > 0 : 0 < |x� x0| < �m ) f(x) < �m .

Gráficamente, podemos representar la definición de ĺımite infinito como sigue:

Se suele decir que la recta x = x0 (paralela al eje y) es una aśıntota vertical para la función f .

Si una función tiene dominio sobre todo R o bien sobre subconjuntos inferiormente o superiormente ilimitados de R, podemos definir los ĺımites para x que tiende al infinito:

Def.: sea f : D ✓ R! R, con D = R o D = (a, +1), a 2 R; se dice que

45

Exemple 23. Si f (x) = − 1(x−3)2 i x0 = 3, es pot veure que

lim x→3

− 1

(x − 3)2 = −∞.

Deûnició. Siguin f amb un domini no ûtal per la dreta i ℓ ∈ R. Es diu que el ĺımit d’ f quan x tendeix a +∞ és ℓ, i s’escriu

lim x→+∞

f (x) = ℓ,

si la funció f (x) s’apropa a ℓ quan x s’apropa a +∞. Una deûnició anàloga existeix si el domini no està ûtat per l’esquerra. En aquest cas, es diu que la recta y = ℓ és una ası́mptota horitzontal d’ f .

1. ĺım

x!+1 f(x) = ` ,

con ` 2 R, si para cada entorno U"(`), " > 0, existe un entorno UM"(+1) tal que, para cada x 2 UM"(+1), se tiene que f(x) 2 U"(`). En este caso se dice que la recta y = ` es una aśıntota horizontal para la función f cuando x ! +1. Geométricamente, eso significa que el grafico de f , a medida que x va hacia +1 se acerca cada vez mas a la ordenada `, sin tomar nunca ese valor.

La siguiente figura representa a nivel gráfico una aśıntota horizontal:

2. ĺım

x!+1 f(x) = +1 ,

si para cada entorno UK(+1), existe un entorno UMK (+1) tal que, para cada x 2 UMK (+1), se tiene que f(x) 2 UK(+1);

3. ĺım

x!+1 f(x) = �1 ,

si para cada entorno Um(�1), existe un entorno UMm(+1) tal que, para cada x 2 UMm(+1), se tiene que f(x) 2 Um(�1).

Dejamos como ejercicio extender las últimas definiciones al caso x! �1.

46

Exemple 24. Com abans, si f (x) = x2x2+1 , es pot comprovar que

lim x→+∞

x2

x2 + 1 = 1.

Siguin f (x) una funció i x0 un punt del seu domini D. Es diu que

• ... x0 és un mı́nim global o mı́nim absolut d’ f si f (x) ≥ f (x0) per a tot x ∈ D.

• ... x0 és un màxim global o màxim absolut d’ f si f (x) ≤ f (x0) per a tot x ∈ D.

• ... x0 és un mı́nim local o mı́nim relatiu o simplement un mı́nim d’ f si existeix δ > 0 tal que f (x) ≥ f (x0) per a tot x ∈ D que s tisfaci x0 − δ < x < x0 + δ.

• ... x0 és un màxim local o màxim relatiu o simplement un màxim d’ f si existeix δ > 0 tal que f (x) ≤ f (x0) per a tot x ∈ D que satisfaci x0 − δ < x < x0 + δ.

Es parla d’extrems globals o extrems absoluts per referir-se als mı́nims i màxims globals, i d’extrems locals o extrems relatius o simplement d’extrems per referir-se als mı́nims i màxims locals.

Observació. Per deûnició, els extrems globals són també extrems locals.

Exemple 25. La funció f (x) = (x2 − 1)2 té per gràûc

11

-2 -1 0 1 2

1

2

Vegem en primer lloc que x = 0 és un màxim local d’ f , és a dir, que existeix δ > 0 tal que (x2 − 1)2 ≤ (02 − 1)2 = 1 per a tot x ∈ R que satisfaci 0 − δ < x < 0 + δ, o sigui, −δ < x < δ. Sigui δ = 1; llavors, −1 < x < 1⇒ 0 ≤ x2 < 1 ⇒ −1 ≤ x2 − 1 < 0⇒ 0 < (x2 − 1)2 ≤ 1, que és el que voĺıem. De manera anàloga es pot comprovar que x = −1 i x = 1 són mı́nims locals d’ f . Vegem ara que x = −1 i x = 1 són, a més, mı́nims globals d’ f . Per deûnició, si f té dos mı́nims globals, el seu valor ha de ser el mateix. En efecte, f (−1) = f (1) = 0. Per tant, cal veure que (x2 − 1)2 ≥ ((−1)2 − 1)2 = (12 − 1)2 = 0 per a tot x ∈ R, la qual cosa és evident. Finalment, f no té cap màxim global perquè no és ûtada superiorment, és a dir, (x2 − 1)2 pren valors tan grans com vulguem.

Observació. Una funció pot tenir cap, un o més d’un extrem local del mateix tipus i, si no posem cap restricció sobre f ni sobre D, també cap, un o més d’un extrem global del mateix tipus.

Observació. Tota funció cont́ınua f ∶ [a, b]→ R té almenys un mı́nim global i un màxim global.

Un punt estacionari d’una funció és un punt on la derivada de la funció s’anul·la.

Siguin f (x) i x0 en l’interior del dominiun extrem d’ f tals que f és derivable en x0. Llavors, x0 és unpunt estacionari d’ f , és a dir, f ′(x0) = 0. (Teorema de Fermat sobre punts estacionaris). El rećıproc no és cert en general, és a dir, no tot punt estacionari d’ f és necessàriament un extrem d’ f .

Exemple 26. Reprenem l’exemple de la funció f (x) = (x2 − 1)2, de la qual ja hem vist que té extrems en x = −1, x = 0 i x = 1, i comprovem que són també punts estacionaris d’ f . Calculem f ′(x) = 4x(x2 − 1) i, en efecte, si substituı̈m els punts es té f (−1) = f (0) = f (1) = 0.

Exemple 27. La funció f (x) = x3ex té per gràûc

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

1

2

3

Calculem els seus punts estacionaris:

f ′(x) = 3x2ex + x3ex = x2(3 + x)ex = 0 ⇔ x = 0 o x = −3

12

El punt x = 0 no és un extrem d’ f perquè [1] f (0) = 0; [2] x3 < 0 per a tot x < 0; [3] x3 > 0 per a tot x > 0; [4] ex > 0 per a tot x ∈ R. És a dir, f (x) < 0 per a tot x < 0 i f (x) > 0 per a tot x > 0, per tant ni f (x) ≥ f (0) ni f (x) ≤ f (0) per a tot x a prop d’x = 0. Es pot comprovar que x = −3 śı que és un mı́nim d’ f .

Teorema del valor mitjà Sigui f cont́ınua per a a ≤ x ≤ b i derivable per a a < x < b. Llavors, existeix a ≤ c ≤ b tal que

f ′(c) = f (b) − f (a) b − a

.

3.11. El teorema del valor medio de Lagrange y sus aplicaciones al estudio de la monotońıa de una función

Supongamos haber recorrido en coche los 160 km que separan dos puntos A y B en 2 horas. La velocidad media con la cual hemos viajado es 80 km/h. Si hemos viajado de forma continua, sin parar o tener otras irregularidades durante el trayecto, entonces en algun instante t0 2 (0, 2horas) la velocidad con la cual hemos viajado ha coincidico con la velocidad media de 80 km/h, o sea:

velocidad instantánea(t0) = velocidad media

porque si hubiéramos viajado con una velocidad siempre inferior o siempre superior a 80km/h, la media no podŕıa dar 80 km/h!

El teorema del valor medio de Lagrange formaliza matemáticamente esta intuición.

Teorema del valor medio (Lagrange): Si f : [a, b] ⇢ R ! R, f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces 9c 2 (a, b) tal que

f(b)� f(a) b� a = f

0(c).

La figura siguiente muestra el significado geométrico del teorema de La- grange:

93 El teorema anterior permet concloure que si f derivable, llavors,

• f és monòtona creixent per a a < x < b ⇔ f ′(x) ≥ 0 per a tot a < x < b;

• f és monòtona decreixent per a a < x < b ⇔ f ′(x) ≤ 0 per a tot a < x < b.

Exemple 28. Reprenem l’exemple de la funció f (x) = x3ex , de la qual ja hem vist que f ′(x) = x2(3 + x)ex . Com que x2 ≥ 0 i ex ≥ 0 per a tot x ∈ R, el signe d’ f ′ només depèn del terme 3 + x. Per tant, f és monòtona decreixent a (−∞,−3) i monòtona creixent a (−3,+∞), i x = −3 és un mı́nim d’ f .

Siguin f (x) i (a, b). Es diu que

• ... f és convexa en (a, b) si el segment de recta que uneix dos punts qualssevol del gràûc d’ f entre a i b queda per sobre d’aquest gràûc. (És a dir, si té la forma ⌣ en (a, b).)

• ... f és cóncava en (a, b) si el segment de recta que uneix dos punts qualssevol del gràûc d’ f entre a i b queda per sota d’aquest gràûc. (És a dir, si té la forma ⌢ en (a, b).)

Unpuntd’inexiód’ f és unpunt on la funció canvia de convexa a cóncava o viceversa. Parlaremdepuntsd’inexió amb tangent horitzontal per referir-nos a punts d’inexió que, amés, siguin estacionaris.

Un extrem x0 pot ser: un x0 de l’interior del domini, o bé un punt on f és no derivable, o bé un x0 de la frontera del domini. Els dos primers tipus són fàcilment localitzables i classiûcables; per als últims, i deûninit xt = extrem (local), pi = punt d’inexió, pith = pi amb tangent horitzontal i pe = punt estacionari, es té el següent.

f ′ f ′′

conceptes

xt pi

pith

(pe)

eines x0 xt⇒ f ′(x0) = 0 x0 pi⇒ f ′′(x0) = 0

13

Siguin f (x) i x0 en l’interior del domini un punt d’inexió d’ f tals que f és derivable dues vegades en x0. Llavors, f ′′(x0) = 0.

Sigui f derivable dues vegades en (a, b) ⊆ D. Llavors,

• f és convexa en (a, b) ⇔ f ′′(x) ≥ 0 per a tot x ∈ (a, b)

• f és cóncava en (a, b) ⇔ f ′′(x) ≤ 0 per a tot x ∈ (a, b).

Podem resumir tots aquests conceptes (deûnicions) i eines per estudiar-los (resultats) en la següent taula. Deûninit mc =monòtona creixent, md =monòtona decreixent, cv = convexa i cc = cóncava,

f ′ f ′′

conceptes mc/md cv/cc

eines f mc ⇔ f ′ ≥ 0

f md ⇔ f ′ ≤ 0 f cv ⇔ f ′′ ≥ 0 f cc ⇔ f ′′ ≤ 0

Exemple 29. Repreneml’exemple de la funció f (x) = x3ex per trobar ara els seus intervals de convexitat i concavitat, i els seus punts d’inexió.

f ′′(x) = x(6 + 6x + x2)ex = 0 ⇔ x = 0 o x = −3 ± √

3

Com que f ′′ és cont́ınua a tot R, aquests són els únics punts on f ′′ pot tenir un canvi de signe. Avaluem un punt qualsevol de cada un dels intervals que separen aquests punts per saber si f hi és convexa o cóncava:

• −5 ∈ (−∞,−3 −√3 )↝ f ′′(−5) ≈ −0.03 < 0⇒ f és cóncava a (−∞,−3 −√3 )

• −2 ∈ (−3 −√3 ,−3 +√3 )↝ f ′′(−2) ≈ 0.54 > 0⇒ f és convexa a (−3 −√3 ,−3 +√3 )

• −1 ∈ (−3 +√3 , 0)↝ f ′′(−1) ≈ −0.37 < 0⇒ f és cóncava a (−3 +√3 , 0)

• 1 ∈ (0,+∞)↝ f ′′(1) ≈ 35.34 > 0⇒ f és convexa a (0,+∞)

Per tant, com que la convexitat/concavitat canvia en x = −3−√3 , en x = −3+√3 i en x = 0, tots tres punts són punts d’inexió d’ f . Amés, x = 0 és un punt d’inexió amb tangent horitzontal perquè, com ja havı́em vist, és també un punt estacionari d’ f .

14

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento