Cinematica del movimiento relativo, Apuntes de Física. Universitat Politècnica de València (UPV )
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Cinematica del movimiento relativo, Apuntes de Física. Universitat Politècnica de València (UPV )

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Asignatura: Física I, Profesor: Ros Ros, Carrera: Enginyeria Biomèdica, Universidad: UPV
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CINEMATICA DEL MOVIMIENTO RELATIVO

Movimiento absoluto relativo y de arrastre

El movimiento se dice absoluto, cuando se refiere a un sistema de referencia que consideraremos fijo (en reposo). Decimos que se considerará fijo porque, en la práctica, dichos referenciales no existen. En efecto, basta considerar que, cualquier referencial tomado en un punto de la Tierra tendrá un movimiento respecto del Sol, o que el que toma como origen la Tierra y como ejes los que unen a la Tierra con tres estrellas determinadas (Denominado Sistema Tierra –Estrellas) es móvil respecto al Sol.

De lo anterior, es necesario el estudio que permite, conocido el movimiento de una partícula respecto de un sistema, saber determinar sus características respecto de otro que se mueva respecto del primero.

Dado un sistema de referencia (que consideraremos fijo) y un segundo sistema de referencia que se mueve respecto del primero (sistema móvil) y un punto P en movimiento respecto del sistema móvil (y por lo tanto también lo hará respecto del fijo).

* Al movimiento respecto del referencial fijo se le denomina absoluto, y a la trayectoria, posición, velocidad y aceleración de P respecto al referencial fijo, absolutas).

* Al movimiento respecto del referencial móvil se le denomina relativo, y a la trayectoria, posición, velocidad y aceleración de P respecto al referencial móvil, relativas.

Un punto fijo del sistema móvil, en el caso general, se moverá respecto del fijo (acompañando al movimiento del sistema móvil respecto del fijo). A este movimiento de P se le denomina de arrastre y su velocidad y aceleración se denominan de arrastre. Es importante que, con lo anteriormente expuesto, en el movimiento de arrastre:

a) Los vectores unitarios del sistema móvil (respecto al sistema fijo), en general, cambian de dirección en el tiempo.

b) Las coordenadas de P(x,y,z) en el sistema móvil serán constantes.

Composición de velocidades

Consideremos un sistema de referencia ortonormal (que consideramos fijo) O1, X1,Y1, Z1 con unitarios y un otro sistema de referencia ortonormal que se mueve respecto del primero (sistema móvil) O, X,Y, Z con unitarios . Sea un punto P en movimiento respecto del sistema móvil (y por lo tanto también lo hará respecto del fijo). De la figura, la posición de P respecto al sistema fijo puede expresarse como

[2-1]

donde es el vector posición de P en el sistema móvil (posición relativa) y donde las coordenadas de P (x,y,z),.obviamente, serán funciones el tiempo.

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La velocidad de P respecto al sistema fijo, velocidad absoluta, será

[2-2]

Teniendo en cuenta que la regla de Boure para la derivada absoluta del vector de posición relativa , la anterior puede expresarse como

[2-3] Donde

- es el vector velocidad absoluta del origen del sistema móvil O, .

- es el vector velocidad de rotación (vector velocidad angular) y representa la velocidad de rotación del triedro de referencia móvil respecto del fijo.

- es la velocidad del punto P que tal como la percibe un observador que se mueve solidario con el sistema móvil. Es claro que se denomine velocidad relativa del punto P, .

La anterior muestra de forma clara que, un punto imóvil (fijo) en el sistema móvil (), en el caso general, tendrá una velocidad, denominada de arrastre, , dada por

[2-4]

Así pues, cabe concluir que la velocidad (absoluta) de P resulta de la suma vectorial de la componente relativa mas la de arrastre.

[2-5]

que se denomina ley de composición de velocidades.

Es muy importante recordar que, para su uso correcto de la anterior, obviamente, todos los vectores deben expresarse en el mismo sistema de referencia (el fijo o el móvil pero todos en el mismo).

Composición de aceleraciones. T. de Coriolis

La aceleración absoluta de un punto P será la derivada del vector velocidad absoluta respecto del tiempo. Así

[3-1]

Que teniendo en cuenta que la regla de Boure, para el segundo término se tiene que

[3-2]

En la anterior

- es la aceleración del punto P tal como la percibe un observador que se mueve solidario con el sistema móvil. Es claro que se denomine aceleración relativa del punto P, .

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4 de 7 F. Galvany Castillo - D. Física Aplicada - UPV Camino de Vera 14 , 46006 Valencia - [email protected]

Y para el primero (derivada absoluta de la velocidad de arrastre) se tiene

[3-3] En la anterior

- es la aceleración absoluta del origen del sistema móvil O, .

Y si llamamos aceleración angular (del movimiento del sistema móvil respecto del fijo) a

[3-4]

La [3-3] puede expresarse como

[3-5]

lo que permite poner a la aceleración absoluta de P dada por [3-1] como

[3-6]

La anterior muestra de forma clara que, un punto imóvil (fijo) en el sistema móvil (), en el caso general, tendrá una aceleración, denominada de arrastre, , dada por

[3-7]

Y denominando aceleración de Coriolis (también llamado término complementario de la aceleración) a

[3-8]

La aceleración absoluta de P puede expresarse como

[3-9]

conocida como ley de composición de aceleraciones y que indica, la aceleración absoluta de un punto es la suma de la aceleración relativa mas la aceleración de arrastre mas un termino complementario llamado aceleración de Coriolis.

El término complementario en la expresión de la velocidad complica el cálculo de las aceleraciones respecto a la expresión más sencilla para el caso de las velocidades.

Sistemas inerciales

Si el triedro móvil S se desplaza respecto del fijo con una traslación uniforme , evidentemente

[4-1]

Y por lo tanto, se concluye que la aceleración de un punto es la misma en dos sistemas en movimiento relativo de traslación uniforme. Estos sistemas se conocen como inerciales Lo anterior se conoce como Principio de relatividad de Galileo (todas las leyes de la Mecánica son las mismas para observadores en movimiento relativo de traslación uniforme.

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Cadena de referencias.

Composición de velocidades de rotación y traslación

Consideremos n triedros ortonormales S1 y S2 …Sn . El Si se mueven respecto a Si+1 y el último Sn puede considerarse fijo.

De acuerdo a la expresión de la composición de velocidades dada por [2-3], la velocidad de un punto P respecto de S2 será

Donde

Velocidad de P respecto del sistema 2 Velocidad de P respecto del sistema 1 (relativa al sistema 1) Velocidad del origen del sistema 1 respecto del sistema 2 Vector rotación (velocidad angular) del sistema 1 respecto del 2

Reiterando el razonamiento entre el sistema i y el i+1 se obtienen n-1 ecuaciones

…….

…….

Sumando miembro a miembro, la velocidad de P respecto del sistema n (absoluta) será

[5.1-1]

Composición de aceleraciones

De acuerdo a la [3-6 ]para la composición de aceleraciones, la aceleración absoluta de un punto P puede expresarse como

Considerando nuevamente los n sistemas de referencia del punto anterior y adoptando una nomenclatura análoga a la empleada en el apartado anterior, la aceleración de un punto P respecto de S2 será

Donde:

Aceleración de P respecto del sistema 2

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4 de 7 F. Galvany Castillo - D. Física Aplicada - UPV Camino de Vera 14 , 46006 Valencia - [email protected]

aceleración P respecto del sistema 1 (relativa al sistema 1) Aceleración del origen del sistema 1 respecto del sistema 2 Vector aceleración angular del sistema 1 respecto del 2

Reiterando el razonamiento entre el sistema i y el i+1 se obtienen n-1 ecuaciones

…………………………..

…………………………….

sumando miembro a miembro, la aceleración de P respecto del sistema n (absoluta)

[5.2-1]

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