CONTRASTES, Apuntes de Ciencias Empresariales. Universidad de Extremadura (UEX)
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CONTRASTES, Apuntes de Ciencias Empresariales. Universidad de Extremadura (UEX)

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Asignatura: econometria, Profesor: GINA GINA, Carrera: Empresariales, Universidad: UNEX
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Tema 3 Contrastes de hipótesis paramétricas_2013-14

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

TEMA 3: CONTRASTES DE HIPÓTESIS

PARAMÉTRICAS

3.1. CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONTRASTE DE HIPÓTESIS

PARAMÉTRICAS

Un contraste de hipótesis es un procedimiento de inferencia estadística que se aplica

cuando los parámetros son parcialmente conocidos. Por ser una inferencia, su propósito es el de

obtener conclusiones para una población a partir de una muestra representativa de la misma.

Mientras que con la estimación se obtienen aproximaciones numéricas al valor de los

parámetros poblacionales desconocidos que caracterizan una función de distribución, con la

contrastación de hipótesis se pueden tomar decisiones sobre características poblacionales, tales

como el modelo de distribución de la variable o los valores de sus parámetros, entre otras, sobre

la base de la evidencia empírica proporcionada por una muestra.

Un contraste de hipótesis es una regla de decisión que se aplica para decidir acerca de

una afirmación referida a alguna característica de una población, sobre la base de la evidencia

empírica proporcionada por una muestra. El tipo de decisión que se toma es rechazar o no

rechazar dicha afirmación.

En las líneas que siguen se van a definir algunos conceptos fundamentales que intervienen

en un contraste:

Hipótesis estadística es cualquier afirmación, que puede ser cierta o falsa, sobre alguna

característica cualitativa o cuantitativa de una población. En consecuencia, se denomina

hipótesis paramétrica es cualquier afirmación referida al valor de un parámetro de la

población,θ , parcialmente conocido.

Por tanto, un contraste se aplica para decidir si es posible, o no, rechazar una hipótesis de

una población, utilizando como soporte en la toma de decisión la información de una muestra.

Los contrastes pueden ser paramétricos y no paramétricos en función de que las hipótesis estén

referidas a valores de un parámetro ó a aspectos característicos cualitativos como por ejemplo,

la forma que tiene la función de cuantía o de densidad de la población, ( ),f x θ .

Así, si una población sigue una distribución ( )4,N σ donde σ es un parámetro desconocido y formulamos una hipótesis sobre el posible valor del parámetro, 1σ = , el contraste

de hipótesis será paramétrico. En cambio, si lo que desconocemos es la forma de la distribución

(normal, binomial, poisson,…), realizamos un contraste no paramétrico cuando formulamos una

hipótesis sobre el tipo de distribución que tiene la población. En el desarrollo del tema

únicamente haremos referencia a los contrastes paramétricos.

Mediante la expresión H: 0θ θ= , se está formulando una hipótesis para el parámetro θ, que

afirma que el valor del parámetro es θ0, y se lee hipótesis de que el valor del parámetro θ es θ0.

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Por ejemplo, una afirmación como la media de la población es 25 se formula: H: µ=25, ó la

varianza poblacional es menor a 3: H: σ2<3.

Las hipótesis pueden ser simples o compuestas. Son hipótesis simples las que asignan

un solo valor al parámetro de interés:

0:H θ θ= Son hipótesis compuestas las que asignan un intervalo ó rango de valores al parámetro de

interés:

0:H θ θ≠ 0:H θ θ≤ 0:H θ θ< 0:H θ θ≥ 0:H θ θ>

¿Cómo se plantea un contraste de hipótesis?

Un contraste consta de dos hipótesis: La nula y la alternativa. La información recogida en

ambas hipótesis ha de ser mutuamente excluyente ó complementaria. Ambas hipótesis pueden

ser simples o compuestas

- Hipótesis nula (H0): Que es la que se prueba o contrasta. A priori se presupone

cierta. En un contraste se propone como hipótesis nula aquello que se quiere rechazar. En

la formulación de la Ho , siempre ha de haber un signo de igualdad; de manera que se puede

presentar las formas siguientes:

- 00 : θθ =H , 00 : θθ ≤H ó 00 : θθ ≥H

- Hipótesis alternativa (H1): Que es la que se quiere demostrar. La hipótesis

alternativa puede mostrar alguna de las siguientes formulaciones:

- 11 : θθ =H , 01 : θθ ≠H , 11 : θθ >H , ó 11 : θθ <H

Tipos de contrastes

Los contrastes pueden ser de dos colas o de una sola cola dependiendo de que la hipótesis

alternativa esté formulada por ambos lados o por solo uno. Así, podemos hablar de hipótesis

alternativa bilateral o por los dos lados o hipótesis unilateral o por un lado.

Contraste de dos colas o

por los dos lados

Contrate de una cola o por un lado

0 0

1 0

:

:

H

H

θ θ θ θ

= ≠

Contraste bilateral

0 0

1 0

:

:

H

H

θ θ θ θ

≥ < ó

0111

00

:

:

θθθθ θθ

<= =

conH

H

Contraste unilateral por la izquierda

0 1 2

1 1 2

:

: ó

H

H

θ θ θ θ θ θ θ

≤ ≤ < >

Contraste bilateral

0 0

1 0

:

:

H

H

θ θ θ θ

≤ >

ó 0111

00

:

:

θθθθ θθ

>= =

conH

H

Contraste unilateral por la derecha

Se dice que un contraste es unilateral por la izquierda cuando la hipótesis alternativa

propone para el parámetro un valor menor que el de la nula. Análogamente, en un contraste

unilateral por la derecha la hipótesis alternativa propone para el parámetro un valor mayor que

el de la nula.

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

En un contraste se contrasta la hipótesis nula. Recapitulamos la definición de contraste en

este punto: Un contraste de hipótesis es una regla de decisióncuyo propósito es rechazar o

no rechazar –si no podemos rechazar- la hipótesis nula, que suponemos cierta, sobre la base de

la evidencia empírica proporcionada por una muestra aleatoria.

Se trata de un problema de decisión estadística que consiste en elegir entre dos

alternativas:

1. No Rechazar ó Aceptar H0 Rechazar H1.

2. Rechazar H0. . Aceptar H1

Rechazar la hipótesis nula implica aceptar la alternativa y no rechazar la hipótesis nula

implica rechazar la alternativa. En este proceso nos podemos encontrar en cuatro situaciones

diferentes, respecto a las posibles decisiones, que pueden medirse en términos de probabilidad.

En la tabla siguiente se reflejan dichas situaciones:

DECISIONES

POSIBLES

SITUACIONES

POSIBLES DECISIÓN

PROBABILIDAD DE

SITUACIONES POSIBLES

DECISIÓN, SEGÚN

SITUACIÓN DE H0

S IT

U A

C IO

N E

S

P O

S IB

L E

S H

0

H0 Cierta (H0 C)

Rechazar H0 ( )0RH

1)Error tipo I:

( )C/HRH 00 1)Nivel de significación:

( )CHRHP 00 /=α No Rechazar H0

( )0NRH 2)Decisión acertada:

( )CHNRH 00 / 2) ( )CHNRHP 00 /1 =− α

H0 Falsa (H0 F)

Rechazar H0 ( )0RH

3) Decisión acertada:

( )FHRH 00 / 3)Potencia contraste:

( )FHRHP 00 /1 =− β No Rechazar H0

( )0NRH 4) Error tipo II:

( )FHNRH 00 / 4) ( )FHNRHP 00 /=β

Según puede verse en la tabla anterior, al decidir rechazar o no rechazar la hipótesis nula

podemos estar acertando o cometiendo algún error. Tales escenarios pueden medirse en

términos de probabilidad.

El error de tipo I se produce al rechazar Ho cuando Ho es cierta. Se denomina nivel de

significación (α) a la probabilidad del error de tipo I, recoge la probabilidad de equivocación

que se está dispuesto a asumir al rechazar la hipótesis inicial. Tomará, por tanto, valores

pequeños (0.05, 0.01). Conocer el nivel de significación es fundamental para determinar la regla

de decisión de un contraste

El error de tipo II ocurre al aceptar Ho cuando Ho es falsa. Se simbolizará mediante β,

probabilidad del error de tipo II:( )FHNRHP 00 /=β

La potencia del test o del contraste(1-β) mide la probabilidad de no aceptar la hipótesis

nula cuando es falsa. Es el poder de un contraste para reconocer que la hipótesis nula es falsa y

en consecuencia será rechazada. Así, siempre será deseable un contraste con una potencia

elevada.

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

La Regla de decisión en un contraste de hipótesis. Concepto y Determinación

Es un marco general de decisión, construido para un contraste particular, por el que se

decidirá en qué casos se rechazará y en cuales no se podrá rechazar la hipótesis nula.

En un contraste de hipótesis, a partir de la información suministrada por la muestra,

tenemos que decidir si rechazamos o no rechazamos la hipótesis nula. Existen cuatro posibles

resultados derivados de la decisión, como ya se ha indicado en líneas anteriores y se muestra en

la tabla siguiente:

DECISIONES POSIBLES

Rechazar H0 ( )0RH No Rechazar H0 ( )0NRH

S IT

U A

C IO

N E

S

P O

S IB

L E

S

H0 Cierta Error de tipo I

( )CHRHP 00 /=α Decisión acertada

( )CHNRHP 00 /1 =− α

H0 Falsa Decisión acertada

Potencia contraste:

( )FHRHP 00 /1 =− β Error de tipo II

( )FHNRHP 00 /=β

La regla de decisión se establece considerando la distribución del estadístico muestral,

considerado como variable aleatoria, que puede tomar diferentes valores con diferentes

probabilidades en las distintas muestras posibles, suponiendo que la hipótesis nula es cierta.

Se compone de dos regiones: la de rechazo y la de aceptación. El conjunto de valores del

estadístico muestral para los que se decide rechazar la hipótesis nula (H0), siendo cierta,

constituye la región de rechazo o región crítica del contraste.

La región de aceptación , complementaria a la región crítica, está constituida por el

conjunto de valores del estadístico muestral para los que no es posible rechazar (se acepta) la

hipótesis nula (H0), siendo cierta.

Se denomina valor crítico, Cθ̂ , al valor o valores del estadístico muestral que delimita las

regiones crítica y de aceptación. El valor crítico determina la regla de decisión de un contraste.

La disposición de las zonas críticas o de rechazo y de aceptación depende de la

estructura de las hipótesis formuladas:

En un contraste unilateral por la izquierda:

0 0

1 0

:

:

H

H

θ θ θ θ

≥ <

A partir del nivel de significación se puede

determinar el valor crítico y tener establecida la

regla de decisión: ( )CHRHP 00 /=α

Que aplicado a este contraste:

( )CHP C 0/ˆˆ θθα ≤=

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

La regla de decisión de este contraste queda establecida del modo siguiente:

Región crítica o de rechazo: Constituida por todos los valores del estadístico muestral, θ̂ ,

comprendidos en el intervalo: ( ]Cθ̂,∞− . El tamaño de la región crítica será: ( ) αθθ =≤<∞− CHoP c /ˆˆ

Región de aceptación: Constituida por todos los valores del estadístico muestral, θ̂ ,

comprendidos en el intervalo: ( )∞+,Ĉθ . El tamaño de la región de aceptación será: ( ) αθθ −=+∞<< 1CHoP c /ˆˆ

Esta regla se aplicará a cualquier muestra extraída de la población para la que se esté

realizando el contraste.

-

Distribución de las regiones de rechazo y de aceptación en un contraste

unilateral por la derecha:

0 0

1 0

:

:

H

H

θ θ θ θ

≤ >

0 0

1 0

:

:

H

H

θ θ θ θ

≤ >

El nivel de significación: ( )CHRHP 00 /=α Que aplicado a este contraste:

( )CHP C 0/ˆˆ θθα ≥=

La regla de decisión queda establecida del modo siguiente:

Región crítica o de rechazo: Constituida por todos los valores del estadístico muestral, θ̂ ,

comprendidos en el intervalo: [ )∞+,Ĉθ . El tamaño de la región crítica será: ( ) αθθ =+∞<≤ CHoP c /ˆˆ

Región de aceptación: Constituida por todos los valores del estadístico muestral, θ̂ ,

comprendidos en el intervalo: ( )Cθ̂,∞− . El tamaño de la región de aceptación será: ( ) αθθ −=<<∞− 1CHoP c /ˆˆ

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

- Distribución de las regiones de rechazo y aceptación en un contraste

bilateral o por los dos lados:

0 0

1 0

:

:

H

H

θ θ θ θ

= ≠

0 1 2

1 1 2

:

: ó

H

H

θ θ θ θ θ θ θ

≤ ≤ < >

El nivel de significación:

( )CHRHP 00 /=α Que aplicado a este contraste:

( )CHP C 02 /ˆˆ2/ θθα ≥= ( )CHP C 01 /ˆˆ2/ θθα ≤=

La regla de decisión a aplicar en este contraste queda establecida del modo siguiente:

Región crítica o de rechazo: Compuesta por todos los valores del estadístico muestral, θ̂ ,

comprendidos en los intervalos: ( ]1ˆ, Cθ∞− y [ )∞+,ˆ 2Cθ . El tamaño de las regiones críticas situadas en las colas inferior y superior, será, respectivamente:

( ) 21 αθθ =≤<∞− CHoP c /ˆˆ ( ) 22 αθθ =+∞<≤ CHoP c /ˆˆ

Región de aceptación: Constituida por todos los valores del estadístico muestral, θ̂ ,

comprendidos en el intervalo: ( )21 ˆ,ˆ CC θθ . El tamaño de la región de aceptación, será: ( ) αθθθ −=<≤ 121 CHoP cc /ˆˆˆ

¿Cómo se toma la decisión en un contraste de hipótesis?

Las decisiones de rechazar o no la hipótesis nula se toman mediante la aplicación de la

regla de decisión a una muestra concreta. El procedimiento consiste en comprobar si el valor

empírico o experimental del estadístico prueba, exθ̂ , de la muestra utilizada para realizar el

contraste, es uno de los valores de la región crítica o no.

El valor empírico del estadístico de prueba permite valorar la discrepancia entre la

hipótesis nula y la información muestral. Si exθ̂ pertenece a la región crítica, se decidirá Rechazar

0H e implícitamente Aceptar 1H . En el caso de que exθ̂ pertenezca a la región de aceptación, se

decidirá No Rechazar 0H e implícitamente Rechazar 1H .

A los contrastes también se les denomina contrastes de significación, pues de aceptarse la

hipótesis nula se deduce que la diferencia entre el valor real del parámetro, formulado en la

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

hipótesis nula, y el valor que le corresponde según la información proporcionada por la muestra,

se debe a posibles variaciones muestrales, concluyéndose que dicha diferencia es no

significativa. En el caso de no aceptar la hipótesis nula se concluirá que existe una diferencia

significativa que no corresponde a variaciones muestrales, exclusivamente.

Resumen del procedimiento

La metodología a seguir en un proceso de contrastación consta de las siguientes fases para

probar una hipótesis nula simple contra una hipótesis alternativa uni o bilateral:

1. Formulación de las hipótesis nula y la alternativa.

2. Determinación del estadístico de prueba apropiado a utilizar para rechazar o aceptar la

hipótesis nula valorando la discrepancia entre la hipótesis nula y la información

muestral.

3. Selección del nivel de significación, α.

4. Establecer la regla de decisión, mediante la determinación de las regiones crítica (o de

rechazo) y de aceptación, que nos permitirá decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis

nula.

5. Seleccionar la muestra y calcular el valor del estadístico de prueba.

6. Aplicar la regla de decisión: Si el valor del estadístico de prueba cae dentro de la región

crítica se rechazará la hipótesis nula, pero, si cae en la región de aceptación se aceptará.

3.2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA Y LA VARIANZA

DE UNA POBLACIÓN NORMAL.

A) CONTRASTE DE HIPÓTESIS CON RESPECTO A LA MEDIA POBLACIONAL

CUANDO SE MUESTREA UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

A.1. Con varianza,σ2 , CONOCIDA Contraste unilateral por la izquierda

1) Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ µ µ

≥ <

Estadístico muestral a utilizar en la prueba es X , cuya distribución es una  

  

n N σµ, Y como

consecuencia: (0,1) X

Z N

n

µ σ −= → .

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión

Regla de decisión

Regla de decisión

Decisión

1)Si Cex XX ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex XX > : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si Cex ZZ ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex ZZ > : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep : 10 RHyNRH

Con n

ZX CC σµ −= 0 ;

n

X Z exex σ

µ0−= y )/()/( 00 CHZZPCHXXPvaluep exex ≤=≤=−

Contraste unilateral por la derecha

1) Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ µ µ

≤ >

Estadístico muestral a utilizar en la prueba X cuya distribución es una  

  

n N σµ, 

  

n N σµ,

Y como consecuencia: (0,1) X

Z N

n

µ σ −= → .

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión

Regla de decisión

Regla de decisión

Decisión

1)Si Cex XX ≥ : 10 AHyRH 2)Si Cex XX < : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si Cex ZZ ≥ : 10 AHyRH 2)Si Cex ZZ < : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

Con n

ZX CC σµ += 0 ;

n

X Z exex σ

µ0−= y )/()/( 00 CHZZPCHXXPvaluep exex ≥=≥=−

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Contraste bilateral

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ µ µ

= ≠

Estadístico muestral a utilizar en la prueba, la media de la muestra, X , cuya distribución es

una  

  

n N σµ,

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C

Regla de decisión

Regla de decisión

Regla de decisión

Decisión

1)Si 21 CexCex XXóXX ≥≤ : 10 AHyRH 2)Si 21 CexC XXX << : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si 2Cex ZZ ≥ : 10 AHyRH 2)Si 21 CexC ZZZ << : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

Con

n ZX

n ZX

CC

CC

σµ

σµ

+=

−=

02

01

;

n

X Z exex σ

µ0−= y )/( 0CHZZPvaluep ex≥==−

Ejemplo: En el proceso industrial de envasado de un producto, el peso de los envases se

aproxima a una variable aleatoria con una distribución normal de desviación 4 gramos. Con el

fin de analizar si el peso medio es de 500 gramos, se analiza una muestra de 15 envases que

tienen un peso medio de 505 gramos.

a) ¿Puede aceptarse que la máquina envasa el producto correctamente con un nivel de

significación del 5%?

Información a tener en cuenta:

1) Población: 2) Muestra:

1_1) X: Peso de los envases 1-2) )4;(µNX → 1-3) P. F:

22 4; =σµ contrastara

0

1

: 500

: 500

H

H

µ µ

= ≠

1_1) Xi: …; 15,,1: Ki1-2) iNX i ∀→ )4;(µ 1-3) E.M:

 

  

→ n

NX σµ , y ( )1,0NZ n

X →=−σ µ

505=exX

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Resolución:

Procedimiento A Regla de decisión

1) Se establece la regla de decisión determinando los valores críticos,

que se obtendrán a partir de la probabilidad de las regiones críticas:

a)

( )

( ) 025,0025,0 15

4 500

/2/

202

02

=≥⇒=   

  

 −≥=

  

  

 −≥

⇒≥=

C CC

C

ZZP X

ZP

n

X ZP

CHXXP

σ µ

α

024,502 15

496,1500

96,1

15 4

500

)(025,002

)(025,0 2

=×+=+=⇒

===−

n ZX

ZZ X

DC

DC C

σµ

b)

( )

( )025,0 15

4 500

/2/

101

01

=≤⇒=   

  

 −≤=

  

  

 −≤

⇒≤=

C CC

C

ZZP X

ZP

n

X ZP

CHXXP

σ µ

α

976,497 15

496,1500

96,1

15 4

500

025,001

)(025,0 1

=×−=−=⇒

−===−

n ZX

ZZ X

C

IC C

σµ

2) Se aplica la regla de decisión a la muestra concreta, comparando el valor empírico o experimental, 505=exX , con los valores críticos.

Decisión 1)Si

21 CexCex XXóXX ≥≤ :

10 AHyRH 2)Si

21 CexC XXX << : 10 RHyNRH

Decisión:

Como 0245025052 ,, >> puesXX Cex , se decide: 10 AHyRH Dado que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de rechazo

De manera que puede rechazase que la máquina envasa el producto correctamente con

un nivel de significación del 5%

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Resolución Procedimiento B Regla de decisión

1) Se establece la regla de decisión determinando los valores críticos,

que se obtendrán a partir de la probabilidad de las regiones críticas:

• ( )

( ) ( ) 96,1025,0 /2/

2)(025,02

02

=⇒=≥=≥ ⇒≥=

CDC

C

ZZZPZZP

CHZZPα

• ( )

( ) ( ) 96,1025,0 /2/

1)(025,01

01

−=⇒=≤=≤ ⇒≤=

CIC

C

ZZZPZZP

CHXXPα

2) Se aplica la regla de decisión a la muestra concreta, comparando el valor empírico o experimental, exZ , con los valores críticos

84,4

15 4

5005050 =−=−=

n

X Z exex σ

µ

Decisión

1)Si 2Cex ZZ ≥ : 10 AHyRH 2)Si 21 CexC ZZZ << : 10 RHyNRH

Decisión:

Como 96,184,4,2 >> puesZZ Cex , se decide: 10 AHyRH Dado que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de rechazo

De manera que puede rechazarse que la máquina envasa el producto correctamente con

un nivel de significación del 5%

Resolución Procedimiento c Regla de decisión

Se van a comparar los niveles de significión de los valores críticos y del empírico, valuepy −α

025,02/)1 =α

2) 000,0)/84,4(

)/()/(

0

00

≅≥= =≥=≥=−

CHZP

CHZZPCHXXPvaluep exex

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

Decisión:

Como 025000000 ,,, >< puespvalue α , se decide: 10 AHyRH Indica que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de rechazo

De manera que puede rechazarse que la máquina envasa el producto correctamente con

un nivel de significación del 5%

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

b) ¿Puede aceptarse que la máquina envasa menos de 500 gr. con un nivel de significación

del 5%?

0

1

: 500

: 500

H

H

µ µ

≥ <

Resolución:

Procedimiento A Regla de decisión

3) Se establece la regla de decisión determinando los valores críticos, que se

obtendrán a partir de la probabilidad de las regiones críticas:

( )

( ) 005,0 15

4 500

/

0

0

=≤⇒=   

  

 −≤=

  

  

 −≤

⇒≤=

C CC

C

ZZP X

ZP

n

X ZP

CHXXP

σ µ

α

301498 15

46451500

6451

15 4

500

0500

050

,,

,

)(,

)(,

=×−=−=⇒

−===−

n ZX

ZZ X

IC

IC C

σµ

4) Se aplica la regla de decisión a la muestra concreta, comparando el valor

empírico o experimental, 505=exX , con los valores críticos.

Decisión:

1)Si Cex XX ≤ : 10 AHyRH 2)Si

Cex XX > : 10 RHyNRH

10 RHyNRH

Decisión:

Como 301498505 ,, >> puesXX Cex , se decide: 10 RHyNRH Dado que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de rechazo

De manera que no puede rechazarse que la máquina envasa el producto correctamente

con un nivel de significación del 5%

Resolución Procedimiento B Regla de decisión

1) Se establece la regla de decisión determinando el valor crítico, que

se obtendrá a partir de la probabilidad de las región crítica:

• ( )

( ) ( ) 645,1025,0 /

1)(05,0

0

−=⇒=≤=≤ ⇒≤=

CIC

C

ZZZPZZP

CHXXPα

2) Se aplica la regla de decisión a la muestra concreta, comparando el valor empírico o experimental, exZ , con los valores críticos

84,4

15 4

5005050 =−=−=

n

X Z exex σ

µ

Decisión

1)Si Cex XX ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex XX > : 10 RHyNRH

Decisión:

Como 645,184,4, −>> puesZZ Cex , se decide: 10 RHyNRH

Dado que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de aceptación

De manera que no puede rechazarse que la máquina envasa el producto correctamente

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

con un nivel de significación del 5%

Resolución Procedimiento c Regla de decisión:

Se van a comparar los niveles de significación de los valores críticos y del empírico, valuepy −α

05,0)1 =α

2) 1)/84,4(

)/()/(

0

00

≅≤= =≤=≤=−

CHZP

CHZZPCHXXPvaluep exex

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

Decisión:

Como 05,01, >> puespvalue α , se decide: 10 RHyNRH Indica que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de

aceptación

De manera que no puede aceptarse que la máquina envasa el producto correctamente con un nivel de significación del 5%

c) ¿Puede aceptarse que la máquina envasa más de 500 gr. con un nivel de significación

del 5%?

0

1

: 500

: 500

H

H

µ µ

≤ >

Resolución:

Procedimiento A Regla de decisión

5) Se establece la regla de decisión determinando los valores críticos, que se

obtendrán a partir de la probabilidad de las regiones críticas:

( )

( )050 15

4 5000

0

,

/

=≥⇒=   

  

 −≥=

  

  

 −≥

⇒≥=

C CC

C

ZZP X

ZP

n

X ZP

CHXXP

σ µ

α

699501 15

46451500

6451

15 4

500

0500

0050

,,

,

)(,

)(,

=×+=+=⇒

+===−

n ZX

ZZ X

IC

DC C

σµ

6) Se aplica la regla de decisión a la muestra concreta, comparando el valor

empírico o experimental, 505=exX , con el valor crítico.

Decisión

1)Si Cex XX ≥ : 10 AHyRH 2)Si

Cex XX < : 10 RHyNRH 10 RHyNRH

Decisión:

Como 699501505 ,, >> puesXX Cex , se decide: 10 AHyRH Dado que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de rechazo

De manera que puede rechazarse que la máquina envasa el producto correctamente con

un nivel de significación del 5%

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Resolución Procedimiento B Regla de decisión

3) Se establece la regla de decisión determinando el valor crítico, que

se obtendrá a partir de la probabilidad de las región crítica:

• ( )

( ) ( ) 6451050050 0

,,

/

)(, +=⇒=≥=≥ ⇒≥=

CDC

C

ZZZPZZP

CHXXPα

4) Se aplica la regla de decisión a la muestra concreta, comparando el valor empírico o experimental, exZ , con los valores críticos

84,4

15 4

5005050 =−=−=

n

X Z exex σ

µ

Decisión:

1)Si Cex XX ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex XX > : 10 RHyNRH

Decisión:

Como 6451844 ,,, >> puesZZ Cex , se decide: 10 AHyRH

Dado que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de rechazo

De manera que puede rechazarse que la máquina envasa el producto correctamente con un nivel de significación del 5%

Resolución Procedimiento c Regla de decisión:

Se van a comparar los niveles de significión de los valores críticos y del empírico, valuepy −α

05,0)1 =α

2) 0844 0

00

≅≥= =≥=≥=−

)/,(

)/()/(

CHZP

CHZZPCHXXPvaluep exex

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

Decisión:

Como 0500 ,, << puespvalue α , se decide: 10 AHyRH Indica que el valor empírico o experimental es uno de los valores de la región de rechazo

De manera que puede rechazarse que la máquina envasa el producto correctamente con

un nivel de significación del 5%

A) CONTRASTE DE HIPÓTESIS CON RESPECTO A LA MEDIA POBLACIONAL

CUANDO SE MUESTREA UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

A.2. σ2 DESCONOCIDA y TAMAÑO MUESTRAL PEQUEÑO (n<30)

Contraste unilateral por la izquierda

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ µ µ

≥ <

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es X , que se transforma a una distribución t de

Student a través de la siguiente ecuación: 1−→ −

nt

n S

X

ˆ µ

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión

1)Si Cex XX ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex XX > : 10 RHyNRH

Decisión:

1)Si Cex tt ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex tt > : 10 RHyNRH

Decisión 1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep : 10 RHyNRH Con

n

S tX CC

ˆ −= 0µ ;

n S

X t exex ˆ

0µ−= ; )/()/( CHttPCHXXPvaluep exex 00 ≤=≤=−

Contraste unilateral por la derecha

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ µ µ

≤ >

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es X , que se transforma a una distribución t de

Student a través de la siguiente ecuación: 1−→ −

nt

n S

X

ˆ µ

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C

Regla de decisión: Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión

1)Si Cex XX ≥ : 10 AHyRH 2)Si

Cex XX < : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si Cex tt ≥ : 10 AHyRH 2)Si Cex tt < : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

Con

n

S tX CC

ˆ += 0µ ;

n S

X t exex ˆ

0µ−= ; )/()/( CHttPCHXXPvaluep exex 00 ≥=≥=−

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Contraste bilateral

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ µ µ

= ≠

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es X , que se transforma a una distribución t de

Student, a través de la siguiente ecuación: 1−→ −

nt

n S

X

ˆ µ

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión

1)Si 21 CexCex XXóXX ≥≤ : 10 AHyRH 2)Si 21 CexC XXX << : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si ( ) 21 Cnex tt ≥− : 10 AHyRH

2)Si 21 CexC ttt << : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

n

S tX

n

S tX

CC

CC

ˆ

ˆ

202

101

+=

−=

µ

µ ;

n S

X t exex ˆ

0µ−= ; )/( 0CHttPvaluep ex≥=−

Ejemplo: En el proceso industrial de envasado de un producto, el peso de los envases se

aproxima a una variable aleatoria de distribución normal. Con el fin de analizar si el peso medio

es de 500 gramos, se analiza una muestra de 15 envases que tienen un peso medio de 505

gramos y desviación de 3,2 gramos.

Información a tener en cuenta:

3) Población: 4) Muestra:

1_1) X: Peso de los envases 1-2) );( σµNX → 1-3) P. F:

desconocidcontrastara =2σµ ;

0

1

: 500

: 500

H

H

µ µ

= ≠

1_1) Xi: …; 15,,1: Ki1-2) iNX i ∀→ )4;(µ

1-3) E.M: ( )1−= −

nt

n S

X

ˆ µ

22 23505 ,ˆ == SyX ex

a) ¿Puede aceptarse que la máquina envasa el producto correctamente con un nivel de

significación del 5%?

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

9265497 15

23 500

0735502 15

23 500

0250202

0250101

, ,ˆ

, ,ˆ

)(,

)(,

=−=+=

=−=−=

DCC

ICC

t n

S tX

t n

S tX

µ

µ

( )

( )

( ) 0515,6

15 2,3

500505 ˆ

1448,2

1448.2

0 1

)(025,012

)(025,011

=−=−=

+==

−==

n S

X t

tt

tt

ex nex

Dnc

Inc

µ

( )

( ) 0000150051561 011

,,

)/(

=+≥

=≥=−

−−

n

nexn

tP

CHttPvaluep

Decisión

Como 2Cex XX ≥ , pues 505>502,0735,

se decide 10 AHyRH

Decisión

Como 2Cex tt >

, pues 6,0515>2.1498, se

decide 10 AHyRH

Decisión

Como α<− valuep

, pues 0,000015<0,05, se

decide 10 AHyRH

b) ¿Puede aceptarse que la máquina envasa menos de 500 gr. con un nivel de significación

del 5%?

0

1

: 500

: 500

H

H

µ µ

≥ <

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

9265498 15

23 14482500

15

23 500 0500

, ,

,

,ˆ )(,

=−

=−=−= ICC t n

S tX µ

( )

( ) 0515,6

15 2,3

500505 ˆ

7613.1

0 1

)(05,01

=−= −

=

−==

n S

X t

tt

ex nex

Inc

µ

( )

( ) 1051561 011

≅+≤

=≤=−

−−

,

)/(

n

nexn

tP

CHttPvaluep

Decisión

Como 2Cex XX

, pues 505>502,0735, se decide

10 RHyNRH

Decisión

Como Cex tt > , pues 6,0515>-1.7613, se decide 10 RHyNRH

Decisión

Como α>− valuep ,pues 1>0,05, se decide

10 RHyNRH

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

c) ¿Puede aceptarse que la máquina envasa más de 500 gr. con un nivel de significación

del 5%?

0

1

: 500

: 500

H

H

µ µ

≤ >

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

7721501 15

23 14482500

15

23 500 0500

, ,

,

,ˆ )(,

=+

=+=+= DCC t n

S tX µ

( )

( ) 0515,6

15 2,3

500505 ˆ

7613.1

0 1

)(05,01

=−= −

=

+==

n S

X t

tt

ex nex

Dnc

µ

( )

( ) 0051561 011

≅+≥

=≥=−

−−

,

)/(

n

nexn

tP

CHttPvaluep

Decisión

Como Cex XX ≥ , pues 505>501,7721, se

decide 10 AHyRH

Decisión

Como Cex tt > , pues 6,0515>+1.7613, se decide

10 AHyRH

Decisión

Como α<− valuep ,pues 0<0,05, se decide

10 AHyRH

B) CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA POBLACIONAL CUANDO SE

MUESTREA UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL CON µ DESCONOCIDA.

Contraste unilateral por la izquierda

Planteamiento genérico del contraste: 2 2

0 0

2 2 1 0

:

:

H

H

σ σ σ σ

<

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es 2Ŝ , que sigue una distribución Chi

cuadrado mediante la siguiente transformación: ( )

( ) 2

1n

2Ŝ1n −→

− χ σ 2

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión

1)Si 22 cex SS

ˆˆ ≤ : 10 AHyRH

2)Si 22 cex SS

ˆˆ > : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si 22 cex χχ ≤ : 10 AHyRH

2)Si 22 cex χχ > : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep : 10 RHyNRH

Con ( )( )1 ˆ

2 1

2 2

− = −

n S nc

χσ ;

( ) ( )

2 12

21 −=

nex

exSn χ σ

ˆ y )/()/ˆˆ( CHPCHSSPvaluep exex 0

22 0

22 χχ ≤=≤=−

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Contraste unilateral por la derecha

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

:

H

H

µ µ µ µ

≤ >

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es 2Ŝ , que sigue una distribución Chi

cuadrado mediante la siguiente transformación: ( )

( ) 2

1n

2Ŝ1n −→

− χ σ 2

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión

1)Si 22 cex SS

ˆˆ ≥ : 10 AHyRH

2)Si 22 cex SS

ˆˆ < : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si 22 cex χχ ≥ : 10 AHyRH

2)Si 22 cex χχ < : 10 RHyNRH

Decisión 1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep : 10 RHyNRH

Con ( )( )1 2

1 2

2

− ×

= − n

S nc χσˆ ; ( ) ( )2 12

21 −=

nex

exSn χ σ

ˆ y )/()/ˆˆ( CHPCHSSPvaluep exex 0

22 0

22 χχ ≥=≥=−

Contraste bilateral

Planteamiento genérico del contraste: 2 2

0 0

2 2 1 0

:

:

H

H

σ σ σ σ

=

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es 2Ŝ , que sigue una distribución Chi

cuadrado mediante la siguiente transformación: ( )

( ) 2

1n

2Ŝ1n −→

− χ σ 2

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión 1)Si

2 1

2 cex SS

ˆˆ ≤ ó 22 2

cex SS ˆˆ ≥ :

10 AHyRH

2)Si 2 2

22 1 cexc SSS

ˆˆˆ << : 10 RHyNRH

Decisión 1)Si

2 1

2 cex χχ ≤ ó

2 2

2 cex χχ ≥ :

10 AHyRH

2)Si 222

1 cexc χχχ << : 10 RHyNRH

Decisión 1)Si

2valuep α≤− ó

21 α−≥− valuep :

10 AHyRH 2)Si

212 αα −<−< valuep : 10 RHyNRH

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Con

( )( ) ( )

( )( ) ( )1

1 2

121

2

2 2

2

12

2

2 1

× =

× =

−−

n S

n S

n

c

n

c

α

α

χσ

χσ

ˆ

ˆ ,

( ) ( )

2 12

21 −=

nex

exSn χ σ

ˆ y )/()/ˆˆ( CHPCHSSPvaluep exex 0

22 0

22 χχ ≥=≥=−

Ejemplo: Si una muestra de tamaño 25 tiene una varianza muestral de 3,5, ¿puede afirmarse con

un nivel de significación del 10% que dicha muestra procede de una población Normal con una

varianza de valor igual a 4?

Información a tener en cuenta:

5) Población: 6) Muestra:

1_1) X: Peso de los envases 1-2) );( σµNX → 1-3) P. F:

contrastaraydescon 2σµ L.

2 0

2 1

: 4

: 4

H

H

σ σ

=

α=0,10

1_1) Xi: …; 251 ,,: Ki1-2) iNX i ∀→ );( σµ

1-3) E.M: ( )

( ) 2

12

21 −=

n

Sn χ

σ

ˆ

532 ,ˆ =exS

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión: Regla de decisión:

Regla de decisión:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

53

0696 24

415364

1

3082 24

848134

1

2

2

121

2

2 2

2

12

2

2 1

, ,

ˆ

, ,

ˆ

=

= −

× =

= −

× =

−−

ex

n

c

n

c

S

n S

n S

α

α

χσ

χσ

41536

84813

24950 2 2

2 24050

2 1

,

,

)(),(

))(,(

==

==

χχ

χχ

c

c

( )

( )

( ) 21

4

53125

1 0

2 12

2

=×−

= −

,

/ ˆ

H Sn

nex ex χ

σ

( ) 6387021 2 24

0 22

0 22

,)(

)/(

)/ˆˆ(

=≥

=≥

=≥=−

χ

χχ

P

CHP

CHSSPvaluep

ex

ex

Decisión

Como 2 2

22 1 cexc SSS

ˆˆˆ << , Pues 2,308<3,5<6,069, se

decide 10 RHyNRH

Decisión

Como 222

1 cexc χχχ << , pues 13,384<21<36,412, se

decide 10 RHyNRH

Decisión Como

212 αα −<−< valuep ,

pues 0,05<0,6387<0,95, se

decide 10 RHyNRH

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

3.3. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA DIFERENCIA DE MEDIAS Y SOBRE

EL COCIENTE DE VARIANZAS DE DOS POBLACIONES NORMALES E

INDEPENDIENTES.

A) CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE DIFERENCIA DE MEDIAS

A.1. 2 2x yσ σ CONOCIDAS

Contraste unilateral por la izquierda

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

: x y

x y

H c

H c

µ µ µ µ

− ≥

− <

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es el estadístico diferencia de medias

muestrales, ( )YX − , que sigue una distribución ( ) 22

, yxx y x y

X Y N n n

σσµ µ    − → − +    

Y por tanto:

( ) ( ) ( ) 22

0,1 x y

yx

x y

X Y Z N

n n

µ µ

σσ

− − − = →

+

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión 1)Si

( ) ( )Cex YXYX −≤− : 10 AHyRH 2)Si

( ) ( )Cex YXYX −>− : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si Cex ZZ ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex ZZ > : 10 RHyNRH

Decisión 1)Si

α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep :

10 RHyNRH

( ) y

y

x

x CC

nn ZcYX

22

0

σσ +−=− ; ( )

y

y

x

x

ex ex

nn

cYX Z

22

0

σσ +

−−= ; ( )[ ] )/(/ CHZZPCHYXYXPvaluep exex 00 ≤=−≤−=−

Contraste unilateral por la derecha

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

: x y

x y

H c

H c

µ µ µ µ

− ≤

− >

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es ( )YX − , que sigue una distribución

( ) 22

, yxx y x y

X Y N n n

σσµ µ    − → − +    

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Y por tanto:

( ) ( ) ( ) 22

0,1 x y

yx

x y

X Y Z N

n n

µ µ

σσ

− − − = →

+

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión

1)Si ( ) ( )Cex YXYX −≥− : 10 AHyRH 2)Si

( ) ( )Cex YXYX −<− : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si Cex ZZ ≥ : 10 AHyRH

2)Si Cex ZZ < : 10 RHyNRH

Decisión 1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep : 10 RHyNRH

( ) y

y

x

x CC

nn ZcYX

22

0

σσ ++=−

; ( )

y

y

x

x

ex ex

nn

cYX Z

22

0

σσ +

−−= ; ( )[ ] )/(/ CHZZPCHYXYXPvaluep exex 00 ≥=−≥−=−

Contraste bilateral

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

: x y

x y

H c

H c

µ µ µ µ

− =

− ≠

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es ( )YX − , que sigue una distribución ( )

22

, yxx y x y

X Y N n n

σσµ µ    − → − +    

Y por tanto: ( ) ( ) ( ) 22

0,1 x y

yx

x y

X Y Z N

n n

µ µ

σσ

− − − = →

+

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión 1)Si

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1

Cex

Cex

YXYX

óYXYX

−≥− −≤− : 10 AHyRH

2)Si

( ) ( ) ( ) 21 CexC YXYXYX −<−<− : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si 2Cex ZZ ≥ : 10 AHyRH 2)Si 21 CexC ZZZ << : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si 2

α≤− valuep : 10 AHyRH

2)Si 2

α>− valuep : 10 RHyNRH

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Con ( )

( ) y

y

x

x CC

y

y

x

x CC

nn ZcYX

nn ZcYX

22

02

22

01

σσ

σσ

++=−

+−=− ; ( )

y

y

x

x

ex ex

nn

cYX Z

22

0

σσ +

−−= y )/( 0CHZZPvaluep ex≥==−

Ejemplo: Los sindicatos de una compañía dedicada a la construcción sospechan que el

salario de un grupo de trabajadores que realizan su trabajo en una población A supera en más de

300€ el salario de otro grupo de trabajadores que realizan un trabajo similar en la población B.

Por experiencias anteriores, los sindicatos deciden considerar el salario como una variable

aleatoria normalmente distribuida con desviaciones típicas de 180€ para los trabajadores en la

población A y 160€ para los trabajadores en la población B, siendo el salario de cada población

independiente del de la otra. Para tratar de verificar sus sospecha, el sindicato eligió una

muestra aleatoria simple de 500 trabajadores en la población A y 700 en la población B,

obteniéndose unos salarios medios semanales de 1550€ y de 1480€, respectivamente. ¿Está

fundamentada la sospecha de los sindicatos al 1% de significación?

Información a tener en cuenta:

1) Población: 2) Muestra:

1_1)X: Salario trabajadores población A… 1-2) );( 180XNX µ→ 1-3) P. F:

Xµ desconocido ,22 180=Xσ 2-1)Y: Salario trabajadores población B…

2-2) );( 160YNY µ→ 2-3) P. F:

Yµ desconocido ,22 160=Yσ

0)nx=500 1_1)Xi: Salario trabajadores población A…; 5001 ,,: Ki1-2) 4321180 ,,,);( =∀→ iNX Xi µ 1-3) E.M: 1550=exX 0)ny=700 2_1)Yi: Salario trabajadores población B;

7001 ,,: Ki; 2-2) iNY Yj ∀→ );( 160µ

2-3) E.M: 1480=exY .

3) Parámetros de interés en la distribución conjunta de las dos poblaciones:

1) Diferencia de medias: yx µµ −

2) Cociente de varianzas: 2 y

2 x

σ σ

3) Estadísticos muestrales asociados a la distribución conjunta:

1) Diferencia de medias: YX

2) Cociente de varianzas: 2 y

2 x

1) 0 0

1 1

: 300 : 300

: 300 : 300 x y x y

x y x y

H H

H H

µ µ µ µ µ µ µ µ

≤ + − ≤  ⇔ > + − >  

2) 0,01 2,33z zα = =

3) ( ) ( )0

exp 2 2 22

1550 1480 300 22,84

180 160

500 700 yx

x y

x y c z

n n

σσ

− − − − = = = −

++

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

exp 22,84 2,33z zα= − < = ⇒ No se rechaza la hipótesis nula no estando

fundamentada con los datos la sospecha de los

sindicatos.

A) CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE DIFERENCIA DE MEDIAS

A.2. 2 2 2x yσ σ σ= = DESCONOCIDAS E IGUALES, TAMAÑO MUESTRAL

PEQUEÑO

Contraste unilateral por la izquierda

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

: x y

x y

H c

H c

µ µ µ µ

− ≥

− <

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es ( )YX − , que se transforma a una distribución :

( ) ( )

( )222 −+→

+

−−− yx nn

y

p

x

p

yx t

n

S

n

S

YX µµ , siendo

( ) ( )2 22 1 1 2

x x y y

p x y

n S n S S

n n

− + − =

+ −

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión 1)Si

( ) ( )Cex YXYX −≤− : 10 AHyRH 2)Si

( ) ( )Cex YXYX −>− : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si Cex tt ≤ : 10 AHyRH 2)Si Cex tt > : 10 RHyNRH

Decisión 1)Si

α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep : 10 RHyNRH

( ) y

p

x

p

CC n

S

n

S tcYX

22

0 +−=− ; ( )

y

p

x

p

ex ex

n

S

n

S

CYX t

22

0

+

−− = ; ( )[ ] )/(/ 00 CHttPCHYXYXPvaluep exex ≤=−≤−=−

Estadística e Introducción a la Econometría Curso Académico 2013/14

Contraste unilateral por la derecha

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

: x y

x y

H c

H c

µ µ µ µ

− ≤

− >

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es ( )YX − , que se transforma a una distribución :

( ) ( )

( )222 −+→

+

−−− yx nn

y

p

x

p

yx t

n

S

n

S

YX µµ , siendo

( ) ( )2 22 1 1 2

x x y y

p x y

n S n S S

n n

− + − =

+ −

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:Regla de decisión:

Decisión 1)Si

( ) ( )Cex YXYX −≥− : 10 AHyRH

2)Si

( ) ( )Cex YXYX −<− : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si Cex tt ≥ : 10 AHyRH 2)Si Cex tt < : 10 RHyNRH

Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si

α>− valuep : 10 RHyNRH

( ) y

p

x

p

CC n

S

n

S tcYX

22

0 ++=− ; ( )

y

p

x

p

ex ex

n

S

n

S

CYX t

22

0

+

−− = ; ( )[ ] )/(/ 00 CHttPCHYXYXPvaluep exex ≥=−≥−=−

Contraste bilateral

Planteamiento genérico del contraste: 0 0

1 0

:

: x y

x y

H c

H c

µ µ µ µ

− =

− ≠

El estadístico muestral a utilizar en la prueba es ( )YX − , que se transforma a una

distribución : ( ) ( )

( )222 −+→

+

−−− yx nn

y

p

x

p

yx t

n

S

n

S

YX µµ , siendo

( ) ( )2 22 1 1 2

x x y y

p x y

n S n S S

n n

− + − =

+ −

Procedimiento A Procedimiento B Procedimiento C Regla de decisión:

Regla de decisión:

Regla de decisión:

Decisión Decisión

1)Si ( ) 21 Cnex tt ≥− : Decisión

1)Si α≤− valuep : 10 AHyRH 2)Si α>− valuep : 10 RHyNRH

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