cositas de discreta, Ejercicios de Álgebra. Universitat de València (UV)
joselmd99
joselmd99

cositas de discreta, Ejercicios de Álgebra. Universitat de València (UV)

PDF (262 KB)
16 páginas
2Número de visitas
Descripción
Asignatura: Àlgebra, Profesor: J Alfaro, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 16
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento

Departament d’Anàlisi Matemàtica Curs 2015-16 Pràctiques de Anàlisi d’una variable. Codi 12768.

PRÀCTICA 3

1 Concepte de sèrie

La suma de nombres reals és una operació binària (també es diu de vegades que és una llei de composició interna). Això significa que podem sumar parells de nombres. Per exemple, si escrivim

2 + 3 = 5

estem indicant que al parell de nombres (reals) (2, 3) li associem via la suma el nombre real 5.

Ara bé, si escrivim 2 + 3 + 7

estem usant (en principi) una notació que no està ben definida, ja que pot significar

(2 + 3) + 7 com 2 + (3 + 7),

on els parèntesis indiquen prioritat. Tot i això, des dels primers cursos de primària sabem que la suma és una operació amb la propietat

associativa i per tant (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7)

i, donada aquesta igualtat, no hi ha ambigüitat en usar el śımbol 2 + 3 + 7 ja que

2 + 3 + 7 := (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7).

Si a1, a2, ..., an són nombres reals, el mateix raonament anterior explica que podem escriure

a1 + a2 + . . .+ an

sense eqúıvocs, gràcies a la propietat associativa de la suma.

Per tant a1 + a2 + . . .+ an = (a1 + a2) + . . .+ (an−1 + an) =

= a1 + (a2 + a3) + . . .+ (an−2 + an−1) + an = ...

on els últims punts suspensius representen qualsevol organització dels parèntesis. La propietat commu- tativa ens assegura que l’ordre en que coloquem els nombres a sumar és irrellevant.

Quan ens plantegem si això mateix és vàlid per a una successió de nombres reals, és a dir, si té sentit

a1 + a2 + . . .+ an + ...,

pareix coherent que aquest śımbol tinga la mateixa propietat que al cas finit, és a dir, que podem associar i commutar els sumands com ens convinga, sense canviar el resultat final de la suma.

Però, en general, el fet de incloure infinits sumands crea problemes, com demostra el següent absurd:

0 = (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + ... =

= 1 + (−1) + 1 + (−1) + 1 + (−1) + 1 + (−1) + ...

= 1 + ((−1) + 1) + ((−1) + 1) + ((−1)) + 1) + ((−1) + 1) + ... = 1.

1

Per tant, el śımbol a1 + a2 + . . .+ an + ...

o bé el seu equivalent abreujat ∞∑

n=1

an

necessita ser definit amb precisió.

No podem usar les tècniques algebràiques en aquest moment i hem de procedir a un mètode que ens permeta el pas del cas finit al cas infinit: el pas al ĺımit.

Hem de definir un nou concepte. Ara és on apareix amb ı́mpetu el Càlcul Infinitesimal. En la definició s’utilitzaran les sumes finites dels primers termes: Donada la successió de nombres reals (an), considerem la successió de sumes parcials

S1 := a1 S2 := a1 + a2 S3 := a1 + a2 + a3 ... Sn := a1 + a2 + . . .+ an ...

Si existeix lim n→∞

Sn = lim n→∞

(a1 + a2 + . . .+ an) = ` ∈ R

es diu que la sèrie ∞∑

n=1

an

és convergent i té per suma `, escrivint-se

a1 + a2 + . . .+ an + ... =

∞∑ n=1

an = `.

Si el ĺımit no existeix direm que la sèrie és divergent. Aix́ı el caràcter de la sèrie (ser convergent o ser divergent) serà el de la successió de les seues sumes parcials; si, en particular, aquestes tenen per ĺımit

+∞ o −∞, escriurem ∞∑

n=1

an = +∞ o ∞∑

n=1

an = −∞.

Com vam vore en la pràctica de successions, de vegades s’usen, per exemple, expresions del tipus (an)

∞ n=2 o (an)

∞ n=0 que tractem com a successions. De la mateixa forma entendrem expresions com

∞∑ n=2

an o

∞∑ n=0

an, que tractarem com sèries afirmant que: El caràcter d’una sèrie no depèn de que li

afegim, eliminem o canviem un nombre finit dels seus termes.

Exemple 1.1.

1 + 2 + 3 + 4 + ... =

∞∑ n=1

n := lim n→∞

(1 + 2 + ...+ n) = +∞.

Per tant, la sèrie ∞∑

n=1

n

és divergent a +∞.

Exemple 1.2. Estudiem la sèrie geomètrica

∞∑ n=1

rn.

2

Si anomenem, per comoditat, Sn := r + r

2 + r3 + · · ·+ rn

es té que (recordem com es calculava en la pràctica anterior la suma d’una progressió geomètrica)

rSn := r 2 + r3 + · · ·+ rn+1

i restant les dues igualtats anteriors (1− r)Sn = r − rn+1

Si r = 1 no podem utilitzar la igualtat anterior però com Sn = n, la sèrie és, en aquest cas, divergent a +∞.

Si r 6= 1 es té Sn = r − rn+1

1− r , i el caràcter de la sèrie depèn del de la successió (rn), a saber:

Si |r| < 1 , com lim n rn = 0 , la sèrie corresponent és convergent i es té

∞∑ n=1

rn = r

1− r .

Si r > 1 la successió (rn) divergeix propiament a +∞ i el mateix li passa a (Sn) amb el que ∞∑

n=1

rn = +∞.

Si r = −1 la successió (rn) és (−1, 1,−1, 1,−1, 1, ...) per tant la sèrie és finitament oscil.lant. Finalment si r < −1 la successió (rn) és infinitament oscil.lant i, per tant, la sèrie divergeix.

2 Convergència

Calcular sumes de sèries és calcular ĺımits de successions de sumes parcials. En general, aquests ĺımits no seran senzills. Com veurem en molts casos és fàcil assegurar que una sèrie és convergent però no és fàcil calcular la seua suma.

2.1 Convergència de sèries de termes positius

Si (an) és una successió de nombres reals positius, la successió de sumes parcials associada

(a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, ..., a1 + a2 + . . .+ an, ...)

és monòtona creixent.

Per tant, o bé no és acotada amb el que el seu ĺımit és +∞ i la sèrie ∞∑

n=1

an és divergent, o bé és

acotada i té un ĺımit real que és la suma de la sèrie.

Aix́ı només es poden donar aquestes dues opcions; una sèrie de termes positius mai no pot ser oscil.lant.

Existeix una sèrie especialment important, que serveix com a suport per a estudiar moltes altres. Es tracta de

Exemple 2.1. La sèrie harmònica. S’anomena aix́ı a

1 + 1

2 +

1

3 +

1

4 + . . .+

1

n + . . . =

∞∑ n=1

1

n .

Anem a vore que és divergent, i per a això vorem que les seues sumes parcials formen una successió no acotada:

S1 = 1

S2 = 1 + 1

2

S4 = 1 + 1

2 +

1

3 +

1

4 ≥ 1 + 1

2 +

1

4 +

1

4 = 1 +

1

2 +

1

2 = 1 + 2

1

2

3

S8 = 1 + 1

2 +

1

3 +

1

4 +

1

5 +

1

6 +

1

7 +

1

8 ≥ 1 + 1

2 +

1

4 +

1

4 +

1

8 +

1

8 +

1

8 +

1

8 ≥ 1 + 1

2 +

1

2 +

1

2 = 1 + 3

1

2 .

Continuant d’aquesta forma obtindrem

S16 ≥ 1 + 4 1

2

i en general,

S2n ≥ 1 + n 1

2

Per tant

lim n→∞

Sn = lim n→∞

S2n ≥ lim n→∞

( 1 + n

1

2

) = +∞

llavors, efectivament, la sèrie harmònica és divergent.

Exemple 2.2. La sèrie ∞∑

n=1

1

np

on p > 0 s’anomena sèrie harmònica generalitzada. Naturalment el cas p = 1 és la sèrie harmònica ordinària.

Si 0 < p < 1 aleshores 1

np ≥ 1 n

llavors les sumes parcials compliran la següent desigualtat:

1 + 1

2p +

1

3p +

1

4p + . . .+

1

np ≥ 1 + 1

2 +

1

3 +

1

4 + . . .+

1

n

Però acabem de vore que el ĺımit del segon membre és +∞, llavors també el ĺımit del primer membre és +∞. En altres paraules: la sèrie

∞∑ n=1

1

np

és divergent per a 0 < p ≤ 1.

2.1.1 Criteris de comparació

Siguen

∞∑ n=1

an i

∞∑ n=1

bn tals que an, bn ≥ 0, per a tot n ∈ N.

• Per majoració o minoració.

Suposem que existeix un n0 tal que per a tot n ≥ n0 es té an ≤ bn:

Si la sèrie

∞∑ n=1

bn és convergent, aleshores

∞∑ n=1

an és també convergent.

Si la sèrie

∞∑ n=1

an és divergent, aleshores

∞∑ n=1

bn és també divergent.

• Per quocient.

Si el ĺımit lim n→∞

an bn

és un nombre real, no nul, les dues sèries tenen el mateix caràcter.

4

Exemple 2.3. Com per a n ≥ 1 es té que √ n ≤ n,

aleshores 1√ n ≥ 1 n ,

Com la sèrie harmònica es divergent, aleshores la sèrie

∞∑ n=1

1√ n

és també divergent (notem que és la sèrie harmònica generalitzada amb p = 1

2 ).

Exemple 2.4. Per a la sèrie: ∞∑

n=1

√ n− log n n2 + 10n

es té:

lim n

√ n− log n n2 + 10n

1√ n

= 1

i per tant la sèrie: ∞∑

n=1

√ n− log n n2 + 10n

té el mateix caràcter que la sèrie

∞∑ n=1

1√ n , és a dir, és divergent.

Exercici 2.1. Estudieu per comparació del quocient la convergència de les següents sèries

1. ∞∑

n=1

1

n1+ 1 n

.

2. ∞∑

n=1

( n √ a− 1)p a > 1, p ∈ R+

3. ∞∑

n=1

en + e−n

e2n + e−2n

4. ∞∑

n=1

2n3 − 1 n4 + n2 + 1

Un altre criteri per a saber si convergeixen o no algunes sèries de termes positius és el següent:

2.1.2 Criteri de condensació de Cauchy

Siga

∞∑ n=1

an una sèrie de termes positius tal que an ≥ an+1, per a tot n ∈ N. Aleshores ∞∑

n=1

an

convergeix si i només si convergeix la sèrie

∞∑ n=1

2na2n .

5

Exemple 2.5. Si p > 1, la sèrie ∞∑

n=1

1

np

és convergent per què

a) Per a tot natural n , 1

np = an ≥ an+1 =

1

(n+ 1)p .

b) La sèrie ∞∑

n=1

2na2n =

∞∑ n=1

2n 1

(2n)p =

∞∑ n=1

1

(2(p−1))n

és convergent (és una sèrie geomètrica amb a = 2(p−1) > 1). (Vore exemple 1.2).

Aquest exemple completa l’estudi de la sèrie harmònica generalitzada de l’exemple 2.1: 

La sèrie harmònica (generalitzada)

∞∑ n=1

1

np només convergeix per a p > 1.

Exemple 2.6. La sèrie ∞∑

n=2

1

n log n

té el mateix caràcter que la sèrie :

∞∑ n=2

2n

2n log 2n =

∞∑ n=2

1

n log 2 ,

que és divergent, ja que aquesta té el mateix caràcter que la sèrie harmònica.

Exercici 2.2. Estudieu la convergència de les següents sèries aplicant el criteri de condensació.

1. ∞∑

n=2

1

n2(log n) .

2. ∞∑

n=2

1

n(log n)2 .

3. ∞∑

n=2

1

(log n)(logn)

Altres criteris de convergència que s’utilitzan sovint són els següents:

2.1.3 Criteri de Cauchy de l’arrel n-èsima

Siga

∞∑ n=1

an una sèrie de termes positius tal que existeix

r = lim n→∞

n √ an

• Si r > 1, aleshores ∞∑

n=1

an és divergent.

• Si r < 1, aleshores ∞∑

n=1

an és convergent.

6

2.1.4 Criteri de D’Alembert del quocient

Siga

∞∑ n=1

an una sèrie de termes positius tal que existeix

r = lim n→∞

an+1 an

• Si r > 1, aleshores ∞∑

n=1

an és divergent.

• Si r < 1, aleshores ∞∑

n=1

an és convergent.

Exemple 2.7. Donada la sèrie ∞∑

n=1

n2 + 1

5n ,

com

lim n→∞

n

√ n2 + 1

5n =

1

5 < 1,

el criteri de l’arrel ens assegura que convergeix. Anàlogament, per a

∞∑ n=1

nn

2nn!

es té:

lim n→∞

(n+ 1)(n+1)

2(n+1)(n+ 1)! nn

2nn!

= e

2 > 1

i el criteri de D’Alembert assegura la divergencia de la sèrie.

En la majoria dels casos aquests dos criteris no són alternatius, és a dir, si una sèrie no compleix un d’ells ( perque r = 1 ) tampoc complirà l’altre ja que, aplicant el criteri de l’arrel de Stolz

lim n→∞

n √ an = lim

n→∞

an+1 an

sempre que el segon ĺımit existeix.

Exercici 2.3. Estudieu si les sèries que segueixen són convergents:

1. ∞∑

n=1

n2

n! .

2. ∞∑

n=2

cos2n( nπ

2n+ 4 ) .

3. ∞∑

n=1

nn 2

(n+ 1)n2 .

4. ∞∑

n=1

nlogn

(log n)n .

7

Exercici 2.4. Estudieu per a quins nombres reals no negatius x es compleix que la sèrie

∞∑ n=1

1

n2 xn

és convergent.

Exercici 2.5. Estudieu per a qué nombres reals no negatius x es compleix que la sèrie

∞∑ n=1

1

n! xn

és convergent.

En les ocasions on els criteris de D’Alembert i Cauchy no mostren informació sobre el caràcter d’una sèrie, ja que el ĺımit associat pren el valor 1, és útil el següent criteri de convergència:

2.1.5 Criteri de Raabe.

Siga

∞∑ n=1

an una sèrie de termes positius tal que existeix

r = lim n→∞

n

( an an+1

− 1 )

• Si r > 1, aleshores ∞∑

n=1

an és convergent.

• Si r < 1, aleshores ∞∑

n=1

an és divergent.

Exemple 2.8. Per a la sèrie ∞∑

n=1

1

2

3

4 · · · 2n− 3

2n− 2 2n− 1

2n

1

2n+ 1 ,

s’obté

lim n→∞

1

2

3

4 · · · 2n− 1

2n

2n+ 1

2n+ 2

1

2n+ 3 1

2

3

4 · · · 2n− 3

2n− 2 2n− 1

2n

1

2n+ 1

= lim n→∞

(2n+ 1)2

(2n+ 2)(2n+ 3) = 1,

però com:

lim n→∞

n ( (2n+ 2)(2n+ 3)

(2n+ 1)2 − 1 )

= 3

2 > 1,

la sèrie és convergent pel criteri de Raabe.

Exercici 2.6. Estudieu la convergència de les sèries

1.

∞∑ n=1

√ (n− 1)!

(1 + 1)(1 + √

2) · · · (1 + √ n) .

2.

∞∑ n=3

( 1

3 )1+

1 2+···+

1 n−1 .

8

2.2 Criteris de convergència per a sèries de nombres reals qualssevol

2.2.1 Convergència absoluta

Una sèrie de nombres reals

∞∑ n=1

an es diu que és absolutament convergent (o que convergeix absoluta-

ment) si la sèrie de termes no negatius

∞∑ n=1

|an| és convergent.

És important observar que si una sèrie de nombres reals és absolutament convergent, aleshores és convergent i ∣∣∣∣∣

∞∑ n=1

an

∣∣∣∣∣ ≤ ∞∑

n=1

|an|.

Exemple 2.9. Siga x ∈ R. Considerem la sèrie ∞∑

n=1

an :=

∞∑ n=1

1

n2 xn i

∞∑ n=1

|an| = ∞∑

n=1

∣∣∣∣ 1n2 xn ∣∣∣∣ = ∞∑

n=1

1

n2 |x|n.

Estudiarem l’última pel criteri de d’Alambert:

lim n→∞

1

(n+ 1)2 |x|(n+1)

1

n2 |x|n

= lim n→∞

n2

(n+ 1)2 |x| = |x|.

Per tant per a |x| < 1 la sèrie ∞∑

n=1

|an| és convergent. Llavors podem dir també

1) La sèrie

∞∑ n=1

1

n2 xn és absolutament convergent si |x| < 1.

2) La sèrie

∞∑ n=1

1

n2 xn és convergent quan −1 < x < 1.

Exemple 2.10. Considerem la sèrie

1

12 +

1

22 + −1 32

+ 1

42 +

1

52 + −1 62

+ 1

72 +

1

82 + −1 92

+ . . .

Aquesta sèrie és absolutament convergent perquè

∞∑ n=1

1

n2 ho és i, per tant, convergent. A més

∣∣∣∣ 112 + 122 + −132 + 142 + 152 + −162 + 172 + 182 + −192 + . . . ∣∣∣∣ ≤ ∞∑

n=1

1

n2 .

2.2.2 Sèries alternades. Criteri de Leibnitz

Una sèrie

∞∑ n=1

an es diu alternada si el producte de dos termes consecutius de la sèrie és un número

negatiu. Las sèries alternades es poden escriure com

∞∑ n=1

(−1)nan, amb an ≥ 0 o potser ∞∑

n=1

(−1)n+1an, amb an ≥ 0,

9

depenent del signe del primer terme.

Per a estudiar la seua convergència podem considerar només un cas ja que l’altre es dedueix multipli-

cant per −1. És a dir ∞∑

n=1

(−1)n+1an = − ∞∑

n=1

(−1)nan .

Criteri de Leibnitz: Si la sèrie alternada

∞∑ n=1

(−1)nan és tal que an ≥ 0, i (an) és una successió

monòtona decreixent amb ĺımit cero, aleshores és convergent.

Exemple 2.11. Considerem la sèrie

∞∑ n=1

(−1)n 1 n

= −1 + 1 2 − 1

3 +

1

4 − . . . És clarament una sèrie

alternada de la forma anterior

∞∑ n=1

(−1)nan, amb an = 1

n . Com lim

n→∞ an = 0 i a més an+1 ≤ an, pel criteri

de Leibnitz la sèrie donada convergeix. Tot i això aquesta sèrie no és absolutament convergent.

Exemple 2.12. Donada la sèrie: ∞∑

n=1

(−1)n+1 log n n

tenim òbviament:

lim n→∞

log n

n = 0 amb

log(n+ 1)

n+ 1 ≤ log n

n

per tant la sèrie convergeix pel criteri de Leibnitz.

Exercici 2.7. Estudieu si convergeixen les següents sèries:

1. ∞∑

n=1

(−1)n+1 √ n

n+ 100 .

2. ∞∑

n=1

( 1√

n(n+ 1) +

(−1)n√ n(n+ 1)

)

3 Alguns procediments per sumar sèries

Com hem indicat no és senzill, inclús quan sabem que una sèrie és convergent, calcular el valor de la seua suma. Veurem alguns mètodes elementals. Hem d’indicar què, tot i que el caràcter d’una sèrie no canvia per una alteració d’un nombre finit dels seus termes, la seua suma śı que varia.

3.1 Sèries geométriques

Són les que verifiquen per a n ∈ N que

an+1 = ran, és a dir, an = a1 r · rn

Com varem veure en 1.2 són convergents si la seua raó r és tal que |r| < 1, i aleshores 

∞∑ n=1

an = a1 r

∞∑ n=1

rn = a1

1− r .

10

3.2 Series aritmético-geométricas

Són les que verifiquen

∞∑ n=1

anbn

on (an) és una progressió aritmètica, amb diferència d , (bn) una progressió geomètrica de raó r, amb |r| < 1. En aquest cas la sèrie és convergent i la seua suma es pot calcular raonant com s’indica en el següent

Exemple 3.1.

S =

∞∑ n=1

2n+ 1

2n =

3

2 +

5

4 +

7

8 + ...+

2n+ 1

2n + ...

rS = 1

2 S =

3

4 +

5

8 +

7

16 + ...+

2n+ 1

2n+1 + ...

i restant,

1

2 S =

3

2 +

( 5− 3

4 +

7− 5 8

+ ...+ 2

2n + ...

) =

3

2 +

2

4

1− 1 2

= 5

2 ⇒ S = 5.

Observem que l’expressió entre parèntesis és una sèrie geomètrica ja que els numeradors de les fraccions són la diferència dels termes de la progressió aritmètica.

3.3 Mètode de descomposició.

És un mètode molt general basat en descompondre en fraccions simples el terme general an de la sèrie

quan aquest és del tipus P (n)

Q(n) amb P,Q polinomis.

Les més senzilles són les denominades sèries telescòpiques que són de la forma

∞∑ n=1

(bn − bn+1), o bé ∞∑

n=1

(bn+1 − bn), amb lim n bn = b ∈ R

En el primer cas, l’altre seria anàleg, la suma parcial és

Sn = (b1 − b2) + (b2 − b3) + . . .+ (bn − bn+1) = b1 − bn+1

amb la qual cosa

∞∑ n=1

(bn − bn+1) = b1 − b.

Exemple 3.2. Considerem

an = 1

(n+ 1)(n+ 2) =

A

n+ 1 +

B

n+ 2 =

1

n+ 1 − 1 n+ 2

Aleshores

a1 = 1

1 + 1 − 1

1 + 2

a2 = 1

2 + 1 − 1

2 + 2

a3 = 1

3 + 1 − 1

3 + 2 ...

an = 1

n+ 1 − 1 n+ 2

11

i sumant,

a1 + a2 + a3 + ...+ an = 1

2 − 1 n+ 2

aix́ı ∞∑

n=1

1

(n+ 1)(n+ 2) = lim

n→∞ (a1 + a2 + a3 + ...+ an) = lim

n→∞

( 1

2 − 1 n+ 2

) =

1

2 .

Aquest procés es pot repetir sempre que la sèrie siga de la forma

∞∑ n=1

p(n)

(n+ b1)(n+ b2)...(n+ bk)

amb b1, b2, ..., bk nombres naturales, i p(n) un polinomi en n amb grau menor o igual que k − 2. Ara

1. descompondrem el terme general an en fraccions simples,

2. calcularem a1 + a2 + a3 + ...+ an,

3. sumarem, simplificarem i calcularem el ĺımit de la suma que resulta.

El mètode es pot aplicar en altres casos combinant les mateixes idees anteriors amb el maneig de sèries conegudes.

Exemple 3.3. Sabent que ∞∑

n=1

1

n2 = π2

6

calculeu ∞∑

n=1

1

n2(n+ 1) .

Descomponem la fracció 1

n2(n+ 1) =

A

n2 + B

n +

C

n+ 1

Calculem els coeficients A,B i C :

1

n2(n+ 1) = A(n+ 1) +Bn(n+ 1) + Cn2

n2(n+ 1) =

(B + C)n2 + (A+B)n+A

n2(n+ 1)

1 ≡ (B + C)n2 + (A+B)n+A =⇒

 B + C = 0A+B = 0 A = 1

 A = 1, B = −1, C = 1

llavors 1

n2(n+ 1) =

1

n2 + −1 n

+ 1

n+ 1

i donant valores a n,

a1 = 1

12 − 1

1 +

1

2

a2 = 1

22 − 1

2 +

1

3

a3 = 1

32 − 1

3 +

1

4 (1)

...

an = 1

n2 + −1 n

+ 1

n+ 1

12

que ens dóna, sumant i cancel.lant,

a1 + a2 + a3 + ...+ an =

( 1

12 +

1

22 + ...+

1

n2

) − 1 + 1

n+ 1

d’on

∞∑ n=1

1

n2(n+ 1) = lim

n→∞ (a1 + a2 + a3 + ...+ an)

= lim n→∞

( 1

12 +

1

22 + ...+

1

n2

) − 1 =

= π2

6 − 1.

4 Exercicis de autocomprovació, amb solucions

Exercici 4.1. Estudieu si les següents sèries són o no convergents

1. ∞∑

n=1

1 3 √ n2 + 1

.

Sol. Div.

2. ∞∑

n=1

n

n4 + n2 + 1 .

Sol. Conv.

3. ∞∑

n=1

1

1 + 2 + . . .+ n .

Sol. Conv.

4. ∞∑

n=1

n3

n! .

Sol. Conv.

5. ∞∑

n=3

1( n 3

) . Sol. Conv.

Exercici 4.2. Sumeu les següents sèries:

1. ∞∑

n=0

13 + 7n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) .

Sol. 5.

13

2. ∞∑

n=0

1

(3n+ 1)(3n+ 4)(3n+ 7) .

Sol. 1

24 .

3. ∞∑

n=1

( 1

(2n− 1)2 + 3 − 1

(2n+ 1)2 + 3

) .

Sol. 1

4 .

4. ∞∑

n=1

1

n(n+ 1)2 .

Sol. 2− π 2

6 .

5. ∞∑

n=2

log(1− 1 n2

)

Sol. − log 2.

4.1 Exercicis proposats

Exercici 4.3. La successió de sumes parcials d’una sèrie ∑∞

n=1 an es pot expressar com Sn = 12+22+...+n2

n3 . Raona si la sèrie és convergent o divergent.

Exercici 4.4. Estudieu la convergència de les sèries següents

1.

∞∑ n=1

xn

n! , (x ∈ R).

2.

∞∑ n=1

nxn, (x ∈ R).

3.

∞∑ n=1

1

log n

4.

∞∑ n=1

n2 + 1

n3 + 1

5.

∞∑ n=1

n+ 1

n!

6.

∞∑ n=1

1

n(log n)3

7.

∞∑ n=1

3nn!

nn

8. ∞∑

n=1

log 2 . . . log(n+ 1)

(n+ 1)!

9.

∞∑ n=1

1

(2n+ 1)(2n+ 3)

14

10.

∞∑ n=1

n+ 12

n3 + 5n2 + 6n

11.

∞∑ n=1

n!

a(a+ 1) . . . (a+ n)

12.

∞∑ n=1

3n+ 4

2n

13.

∞∑ n=1

n2(n+ 1)

n!

14.

∞∑ n=1

3n2 + 2

πn

15.

∞∑ n=1

sin π√ n

(Es recomana usar l’ajuda del exercici (2.7) de la pràctica 2)

16.

∞∑ n=1

1

n sin

π√ n

17.

∞∑ n=1

1

n(1 + 1n )

18.

∞∑ n=1

1

1000n+ 1

19.

∞∑ n=1

1√ n

log n+ 3

n+ 1

20.

∞∑ n=1

( n+ 1

n2 + 1 )2

Sumeu les següents sèries:

1.

∞∑ n=1

1

(3n+ 1)(3n+ 10) .

2. ∞∑

n=1

1

(2n+ 1)(2n+ 3) .

3.

∞∑ n=1

n+ 12

n3 + 5n2 + 6n .

4.

∞∑ n=1

2n+ 1

7n .

5.

∞∑ n=1

2n+ 3

n(n+ 1)3n .

Exercici 4.5. 1. Prova que ∞∑

n=1

(−1)n+1 1 n

= log 2.

15

2. Suma la sèrie

∞∑ n=1

1

(2n− 1)2n .

3. Suma la sèrie

∞∑ n=1

1

(4n2 − 1)n .

Ajuda: usa la descomposició

1 + 1

2 + . . .+

1

n = γ + log n+ xn

on lim n→∞

xn = 0 i γ és la constant de Euler-Mascheroni.

16

comentarios (0)
No hay comentarios
¡Escribe tú el primero!
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento