Diagonalización de matrices, Apuntes de Matemáticas. Universidad de Cádiz (UCA)
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Diagonalización de matrices, Apuntes de Matemáticas. Universidad de Cádiz (UCA)

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Asignatura: matematicas, Profesor: Loreto del aguila, Carrera: Enología, Universidad: UCA
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1 Diagonalización de matrices

1.1. Autovalores y autovectores de una matriz cuadrada

Denición 1.1.1 Sea A ∈ Mn(IR). Se dice que λ ∈ IR es un autovalor (valor propio) de la matriz A, si existe un vector ~v ∈ IRn, ~v 6= ~0, tal que A~v = λ~v.

Denición 1.1.2 Sea A ∈Mn(IR) y λ ∈ IR. Se dice que ~v ∈ IRn es un autovector (vector propio) de A asociado a λ si A~v = λ~v.

El conjunto de todos los autovectores asociados a λ se denota V (λ):

V (λ) = {~v ∈ IRn/A~v = λ~v}.

Sea A =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

. Demostrar que ~v =  20

1

 un autovector asociado al autovalor λ = 3 de A. Solución:

A~v =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

 20 1

 =  60

3

 = 3  20

1

 = λ~v.

Ejemplo 1.

1.2. Cálculo de los autovalores y autovectores de una matriz

Denición 1.2.1 Sea A ∈ Mn(IR), A = (aij). Se llama polinomio característico asociado a A, al polinomio p(λ) = |A− λI| .

p(λ) = |A− λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 − λ a12 . . . a1n a21 a22 − λ . . . a2n ...

... . . .

... an1 an2 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Se llama ecuación característica asociada a A a la ecuación |A− λI| = 0.∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 . . . a1n a21 a22 − λ . . . a2n ...

... . . .

... an1 an2 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. Teorema 1.2.1 Los autovalores λ ∈ IR de A son las raíces del polinomio carac- terístico p(λ), es decir, son las soluciones de la ecuación característica asociada a A.

Apuntes de Matemáticas I

Calcular los autovalores de A =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

. Solución:

|A− λI| =

∣∣∣∣∣∣ 5− λ 0 −4 0 3− λ 0 2 0 −1− λ

∣∣∣∣∣∣ = (3− λ)(1− λ)(3− λ). Los autovalores de A son λ1 = 1 y λ2 = 3.

Ejemplo 2.

Teorema 1.2.2 Los autovectores de A asociados al autovalor λ son las soluciones del sistema homogéneo

(A− λI)~v = ~0.

Denición 1.2.2 El conjunto V (λ) ⊂ IRn es un subespacio vectorial y se llama subespacio propio asociado a λ.

Calcular los autovectores de A =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

. Solución:

La matriz A tiene dos autovalores λ1 = 1 y λ2 = 3. Autovectores asociados al autovalor λ1 = 1:

(A− I)~v = ~0⇒

 4 0 −40 2 0 2 0 −2

 xy z

 =  00

0

⇒ x− z = 0, y = 0. El subespacio propio asociado a λ1 = 1 es

V (1) =

  α0

α

 /α ∈ IR  .

Autovectores asociados al autovalor λ2 = 3.

(A− 3I)~v = ~0⇒

 2 0 −40 0 0 2 0 −4

 xy z

 =  00

0

⇒ x− 2z = 0. El subespacio propio asociado a λ2 = 3 es

V (3) =

  2αβ

α

 /α, β ∈ IR  .

Ejemplo 3.

Teorema 1.2.3 1. Autovectores asociados a autovalores distintos son lineal- mente independientes.

2. Los subespacios propios asociados a autovalores distintos son subespacios in- dependientes.

Grado en Enología. UCA 2

Apuntes de Matemáticas I

1.3. Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica

Denición 1.3.1 Sea A ∈Mn(IR) y λ1, λ2, . . . , λr los autovalores de A distintos. Se llama multiplicidad algebraica del autovalor λi a la multiplicidad de λi como raíz del polinomio característico p(λ), es decir, el mayor exponente mi para el cual el factor (λi − λ)miaparece en la descomposición de p(λ).

Calcular la multiplicidad algebraica de cada autovalor de la matriz

A =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

 . Solución:

El polinomio característico es p(λ) = (λ− 1)(λ− 3)2. El autovalor λ1 = 1 tiene multiplicidad algebraica m1 = 1 y el autovalor λ2 = 3 tiene multiplicidad alge- braica m2 = 2.

Ejemplo 4.

Denición 1.3.2 Sea A ∈Mn(IR) y λ un autovalor de A. Se llama multiplicidad geométrica de λ a la dimensión de su subespacio propio asociado V (λ).

Proposición 1.3.1 Sea λ un autovalor de A ∈Mn(IR). Se verica:

dim(V (λ)) = n− rg(A− λI).

Calcular la multiplicidad geométrica de cada autovalor de la matriz

A =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

 . Solución:

Para λ1 = 1

dim(V (1)) = 3− rg(A− I) = 3− rg

 4 0 −40 2 0 2 0 −2

 = 1. Para λ2 = 3

dim(V (3)) = 3− rg(A− 3I) = 3− rg

 2 0 −40 0 0 2 0 −4

 = 2.

Ejemplo 5.

Proposición 1.3.2 Si λ es un autovalor de A de multiplicidad algebraica m, se verica

1 ≤ dim(V (λ)) ≤ m.

Proposición 1.3.3 Si λ es un autovalor de A de multiplicidad algebraica m = 1, se verica

dim(V (λ)) = 1.

Grado en Enología. UCA 3

Apuntes de Matemáticas I

1.4. Matrices diagonalizables

Denición 1.4.1 Una matriz A ∈ Mn(IR) se dice que es diagonalizable sobre IR si existe una matriz P ∈Mn(IR), invertible, tal que

A = PDP−1,

donde D ∈Mn(IR) es una matriz diagonal.

Teorema 1.4.1 Sea A ∈ Mn(IR). A es diagonalizable sobre IR si y solo si se verican las dos condiciones siguientes:

1. Todos los autovalores de A son reales.

2. Para cada autovalor λ de A de multiplicidad algebraica m: dim(V (λ)) = m.

Corolario 1.4.1 Sea A ∈ Mn(IR). Si A tiene n autovalores reales y distintos, entonces es diagonalizable sobre IR.

Averiguar si la matriz A =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

 es diagonalizable. Solución:

La matriz es diagonalizable porque dim(V (3)) = 2 = m2.

Ejemplo 6.

Observación 1.4.1 Sea A ∈ Mn(IR) diagonalizable sobre IR. Si A = PDP−1, entonces:

1. Los elementos de la diagonal principal de D son los autovalores de A, repetidos tantas veces como indique su multiplicidad.

2. Las columnas de la matriz P son los autovectores asociados a A. Para cada autovalor λ se colocan los vectores de una base de V (λ).

Diagonalizar, sie es posible, la matriz A =

 5 0 −40 3 0 2 0 −1

 . Solución: La matriz A es diagonalizable:

λ1 = 1 m1 = 1

λ2 = 3 m2 = 2 dim(V (3)) = 2

Además, unas bases de los subespacios propios asociados son:

BV (1) =

  10

1

 , BV (3) =   20

1

 ,  01

0

 Entonces A = PDP−1, donde

D =

 1 0 00 3 0 0 0 3

 , P =  1 2 00 0 1

1 1 0

 .

Ejemplo 7.

Grado en Enología. UCA 4

Apuntes de Matemáticas I

Diagonalizar, si es posible, la matriz A =

 5 1 −12 4 −2 1 −1 3

 . Cálculo de los autovalores de A:

p(λ) =

∣∣∣∣∣∣ 5− λ 1 −1 2 4− λ −2 1 −1 3− λ

∣∣∣∣∣∣ = −(2− λ)(6− λ)(4− λ). p(λ) tiene tres autovalores reales y distintos λ1 = 2, λ2 = 4, λ3 = 6, por tanto la matriz A es diagonalizable. Cálculo de los autovectores.

Para λ1 = 2,

A− 2I =

 3 1 −12 2 −2 1 −1 1

 ∼  1 0 00 1 −1

0 0 0

⇒ x1 = 0, x2 = x3 = α.

BV (2) =

  01

1

 . Para λ2 = 4,

A− 4I =

 1 1 −12 0 −2 1 −1 −1

 ∼  1 0 −10 1 0

0 0 0

⇒ x2 = 0, x1 = x3 = α.

BV (4) =

  10

1

 . Para λ3 = 6,

A− 6I =

 −1 1 −12 −2 −2 1 −1 −3

 ∼  −1 1 00 0 1

0 0 0

⇒ x3 = 0, x1 = x2 = α.

BV (6) =

  11

0

 . Entonces A = PDP−1. Una matriz diagonal D y una matriz de paso P asociada a D son:

D =

 2 0 00 4 0 0 0 6

 , P =  0 1 11 0 1

1 1 0

 .

Ejemplo 8.

Grado en Enología. UCA 5

Apuntes de Matemáticas I

Diagonalizar, si es posible, A =

 3 −1 10 2 0 1 −1 3

 Solución:

Cálculo de los autovalores de A.

|A− λI| =

∣∣∣∣∣∣ 3− λ −1 1 0 2− λ 0 1 −1 3− λ

∣∣∣∣∣∣ = − (λ− 4) (λ− 2)2 . Entonces:

λ1 = 2 m1 = 2

λ2 = 4 m2 = 1

A es diagonalizable:

dim(V (2)) = 3− rg(A− 2I) = 3− rg

 1 −1 10 0 0 1 −1 1

 = 2 = m1. Cálculo de los autovectores.

V (2) ≡ x1 − x2 + x3 = 0⇒

 x1 = α− β x2 = α x3 = β

, BV (2) =

  11

0

 ,  −10

1

 V (4) ≡

{ x1 − x3 = 0 x2 = 0

 x1 = α x2 = 0, x3 = α

, BV (4) =

  10

1

 Una matriz diadonal y una matriz de paso.

D =

 2 0 00 2 0 0 0 4

 , P =  1 −1 11 0 0

0 1 1

 .

Ejemplo 9.

Diagonalizar, si es posible, la matriz A =

 1 2 0−1 3 1 0 1 1

. Solución:

Polinomio característico: p(λ) = (1− λ)(2− λ)2.

λ1 = 1 m1 = 1

λ2 = 2 m2 = 2

A no es diagonalizable:

dim(V (2)) = 3− rg(A− 2I) = 3− rg

 −1 2 0−1 1 1 0 1 −1

 = 1 6= 2 = m2.

Ejemplo 10.

Grado en Enología. UCA 6

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