Diferenciabilidad, Apuntes de Ingeniería en Geodesia y Cartografía. Universidad de Alcalá (UAH)
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Diferenciabilidad, Apuntes de Ingeniería en Geodesia y Cartografía. Universidad de Alcalá (UAH)

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Asignatura: SUELOS, Profesor: ns nc, Carrera: Ingeniería en Geodesia y Cartografía, Universidad: UAH
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MATEMATICAS EMPRESARIALES (URJC)

TEMA 5 DIFERENCIABILIDAD

ADE, 1º 15-16

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 1/10

Tema 5

DIFERENCIABILIDAD

COMPORTAMIENTO Y PUNTOS CRITICOS

5.1 DIFERENCIABILIDAD: DEFINICION Y PROPIEDADES

Al definir el concepto de derivada de una función en un punto x

teníamos:

0 0

( ) ( ) lim lim '( )

x

f x f x y f x

xλ λ λ→ ∆ →

+ − ∆= = ∆

Si despejamos la segunda igualdad tenemos:

0 lim '( ) 0 x

y f x

x∆ → ∆ − = ∆ 

Donde '( ) y

f x x

ε∆ − = ∆

, infinitésimo que tiende a 0.

Si operamos:

( )( )'( ) '( )

: '( )

y y f x x x f x

x x

Así y x f x x

∆ ∆ = + → ∆ = ∆ + ∆ ∆  ∆ = ∆ + ∆

ε ε

ε

Donde 0, 0cuando xε → ∆ →

Por lo que:

'( ).

'( ). '( )

y f x x

dy dy f x x f x

dx

∆ = ∆

= ∆ ⇒ =

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 2/10

Geométricamente

Representa el incremento de la variable dependiente hasta

tangente.

Así, cuando la función f es diferenciable, en las proximidades de

un punto x, el error cometido al aproximar la función por la recta

tangente a la gráfica de la función en el punto (x, f(x)) es despreciable

respecto al desplazamiento de la variable.

En la práctica la diferencial se suele usarse como valor

aproximado del incremento de la función.

Notaciones: '( ).dy f x dx= o '( ) dyf x dx

=

5.2 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES

En la función real de una variable ( )y f x= el entorno de un

punto x a= tiene puntos solamente en una dirección y por ello lleva asociada una única derivada de cada orden. Los signos de estas

derivadas ( )'( ), ''( ),f a f a K nos informan del comportamiento de la función en ese punto. Es decir, basta con que la función sea derivable

para conocer su comportamiento.

En la función real de varias variables ),...,,( 21 n

xxxfy = el

entorno de un punto x a= tiene puntos en todas las direcciones, por lo que la función llevará asociadas infinitas derivadas de cada orden.

Ante la imposibilidad de calcular infinitas derivadas, el hecho de ser

derivable (que existan las infinitas derivadas) no es suficiente para

estudiar el comportamiento de la función. Necesitamos otro requisito, la

diferenciabilidad.

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 3/10

Las funciones de varias variables que son diferenciables cumplen

una serie de propiedades.

La PROPIEDAD más importante es la siguiente:

Admiten derivada primera en cualquier punto según cualquier vector y

su valor es la combinación lineal de las derivadas parciales primeras en

el punto, con coeficientes las componentes del vector.

1

2

1 2

1 2 1 2

, '( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n v

n

n

n n

v

vf f f v R f a f a v a a a

x x x

v

f f f v a v a v a

x x x

   

 ∂ ∂ ∂  ∀ ∈ ∃ = ∇ ⋅ = ⋅ =   ∂ ∂ ∂     

∂ ∂ ∂+ + + ∂ ∂ ∂

r r r

L M

L

Si f es diferenciable y sus derivadas primeras son diferenciables

diremos que f es dos veces diferenciable y se verifica que:

( ) 1

2 1 2, ''( ) ( ) ( )

n t v n

n

v

v v R f a v Hf a v v v v Hf a

v

     ∀ ∈ ∃ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅      

r r r r

L M

Ejemplo:

Sea la función dos veces diferenciable )(),,( 32

2

1321 xxxxxxf −= .

Estudiaremos el comportamiento de la función en el punto (1,1,1)a =

en la dirección (1,2,3)v =r .

Obtenemos sus derivadas parciales,

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 4/10

)(2),,( 321321

1

xxxxxx x

f −= ∂ ∂

2

1321

2

),,( xxxx x

f = ∂ ∂

2

1321

3

),,( xxxx x

f −= ∂ ∂

( ) (0,1, 1) ' ( ) ( )

1

(0,1, 1) 2 1 0

3

vf a f a f a v

comportamiento decreciente

⇒ ∇ = − ⇒ = ∇ ⋅ =

   = − = − < ⇒     

r

  

  

−− =

002

002

22)(2

),,(

1

1

1132

321

x

x

xxxx

xxxHf

  

  

− =⇒

002

002

220

)1,1,1(Hf

( )

aceleradaTendencia

vaHfvaf tv

⇒<−=   

  

− ⋅

=   

  

⋅   

  

− ⋅=⋅⋅=

04

2

2

2

)3,2,1(

3

2

1

002

002

220

3,2,1)()(''

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 5/10

5.3 CONDICIÓN SUFICIENTE DE DIFERENCIABILIDAD

Si f es continua en un entorno del punto a y sus n derivadas

parciales primeras son continuas en a, entonces f es diferenciable en

a.

Funciones de clase 1C . Son aquellas que son continuas en todo su

dominio, admiten las n funciones derivadas parciales en todos los

puntos de su dominio, siendo también continuas en todo su dominio.

Funciones de clase 2C . Son aquellas que siendo de clase 1C

admiten las 2n funciones derivadas parciales segundas en todo su

dominio y son continuas en todo punto de su dominio.

Las funciones de clase 2C satisfacen el teorema de Schwartz, el

cual garantiza la igualdad de las derivadas parciales segundas

cruzadas en cualquier punto.

Es decir,

2 2

( ) ( ) 1, , 1, , n

i j j i

f f x x i n j n x

x x x R

x

∂ ∂= ∀ = ∀ = ∀ ∂ ∂ ∂ ∂

∈K K

En consecuencia la Matriz Hessiana )(aHf es simétrica y

''( ) ( )tvf a v Hf a v= ⋅ ⋅r r r

es una forma cuadrática.

Podremos utilizar lo aprendido en el tema 3 para estudiar los extremos

relativos.

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 6/10

5.4 EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES

Una función real )(xf alcanza un máximo relativo (mínimo

relativo) en un punto a si para todo punto x en un entorno del punto a

se verifica que ))()(()()( xfafxfaf ≤≥ .

Si las desigualdades son estrictas, )()(()()( xfafxfaf <> ,

también lo son los extremos relativos.

En el caso de funciones reales de una variable ya sabemos que

para encontrar los extremos relativos necesitamos obtener en primer

lugar los puntos críticos (puntos en los que la derivada primera se

anula) y posteriormente estudiar el signo de la derivada segunda en

estos puntos críticos.

En las funciones reales de varias variables, las condiciones son las

mismas pero para todo el conjunto de derivadas que existen de cada

orden. Es decir, para que en un punto a exista un extremo relativo se

tiene que cumplir:

Condición necesaria:

' ( ) 0, nvf a v R= ∀ ∈ r

Condición suficiente:

'' ( ) 0, nvf a v R< ∀ ∈ r

en caso de máximo

'' ( ) 0, nvf a v R> ∀ ∈ r

en caso de mínimo

Si las funciones son de clase 2C las condiciones anteriores

pueden expresarse en términos de las derivadas parciales de primer y

segundo orden.

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 7/10

Condición necesaria de extremo local

Dado:

1 2 1 2

, '( ) ( ) ( ) ( ) ( )n v n n

f f f v R f x f x v v x v x v x

x x x

∂ ∂ ∂∀ ∈ = ∇ ⋅ = + + + ∂ ∂ ∂

r r L

es suficiente que en un punto se anulen las derivadas parciales

primeras para asegurar que son nulas todas las derivadas de primer

orden.

Resolviendo el sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

0),,,(

.................................

0),,,(

0),,,(

21

21

2

21

1

= ∂ ∂

= ∂ ∂

= ∂ ∂

n

n

n

n

xxx x

f

xxx x

f

xxx x

f

K

K

K

obtenemos los puntos críticos, entre los cuales se encontrarán los

extremos relativos de la función.

Condición suficiente de extremo local

Dado que , ''( ) ( )n tvv R f a v Hf a v∀ ∈ = ⋅ ⋅ r r r

es una forma

cuadrática, tenemos que:

 Si es definida negativa en el punto a la función alcanzará

un máximo relativo

 Si es definida positiva en el punto a la función alcanzará un

mínimo relativo

 si es indefinida el punto a será un punto de silla.

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 8/10

(ver Tema 3: clasificación de formas Cuadráticas)

Ejemplo:

Encontrar y clasificar los puntos críticos de:

3 2 2 1 2 3 3 1 2 1 3( , , ) 2f x x x x x x x x= + + − .

0, 3 2

,

0

23;023

0;02

;022

231

321

1 2

31 2

3 3

22 2

3131 1

===

===

  

  

==−= ∂ ∂

=== ∂ ∂

==−= ∂ ∂

xxxy

xxx

xxxx x

f

xx x

f

xxxx x

f

Tenemos pues, dos puntos críticos:  

  

3

2 ,0,

3

2 ,)0,0,0(

22 1

2

= ∂ ∂

x

f 0

12

2

= ∂∂

xx

f 2

13

2

−= ∂∂

xx

f

0 21

2

= ∂∂

xx

f 22

2

2

= ∂ ∂ x

f 0

23

2

= ∂∂

xx

f

  

−

  

− =→

36

0

2

02

20

02

x

Hf

2 31

2

−= ∂∂

xx

f 0

32

2

= ∂∂

xx

f

32

3

2

6x x

f = ∂ ∂

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 9/10

  

−

  

− =

0

0

2

02

20

02

)0,0,0(Hf

8

4

2

3

2

1

−=

⇒=

=

A

A

A

Indefinida

)0,0,0( es un punto de inflexión de f.

  

−

  

− =

  

4

0

2

02

20

02

3

2 ,0,

3

2 Hf

8

4

2

3

2

1

=

⇒=

=

A

A

A

Definida positiva

 

  

3

2 ,0,

3

2 es un mínimo relativo de f.

Practicas recomendadas: ejercicios Tema 8 del libro de problemas hasta

el 8.10, y propuestos P.1 al P.6

Matemáticas GRADE – Tema 5: Diferenciabilidad 10/10

ANEXO: SIGNO FORMAS CUADRATICAS

Met. AUTOVALORES, Matrices diagonales 11 22

0 0 ... 0

00 0 ...

...... ... ... ...

0 ... 0 ... nn

a

a

a

         



1. ( )Q x es DEFINIDA POSITIVA 0,iia i> ∀⇔

2. ( )Q x es S.D. Positiva 0iia⇔ > con algún 0iia =

3. ( )Q x es D. NEGATIVA 0,iia i⇔ < ∀

4. ( )Q x es Semi-Def NEGATIVA 0iia⇔ < con algún 0iia =

5. ( )Q x es INDEFINIDA 0 0ii iia y unos a⇔ ∃ > <

METODO DE LOS MENORES 111 12

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n n

n n nn

aa a

a a a Signo de los A

a a a

1. 0( ) . . 1, 2,, ...,iQ x es D P nA i⇔ > ∀ =

2. 1 2 30, 0, 0,( ) . . ...A AQ x e As D N < > <⇔ ,

3. Si 0, 1,2,..., 1 0 ( ) . . .i nA i n y Q x es S D PA> ∀ = − ⇒=

4. Si 2 30, 0, 0, ..., 0 ( ) . . .i n Q x es S DA A A NA < > < ⇒=

5. Si 0nA y Q no es DN ó DP, ó si 0 0,n iA Ay i n= ≠ ∀ ≠

y Q no es SDN ó SDP Q es INDEFINIDA.

6. Cualquier otro caso no se puede decir nada del signo de Q por

este método

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