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Matemáticas
ANÁLISIS LINEAL
TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejercicios Resueltos
CONCEPTOS BÁSICOS
La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la
representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período
infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida
por:
F f te dt
i ω t
∞ −
∫−∞
En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que
antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:
ω f t F e d
it ∫
∞
−∞
La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen
relacionar mediante la simbología:
f ( t )↔ F ( ω )
En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada,
sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las
propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de
estas propiedades en los ejemplos resueltos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la
función f dada por
0 demás casos
1 cos ()
t
t
f t
S OLUCIÓN
F f te dt ( ) e dt
it π t i ω t
π
ω π ω
−
−
∞ −
∫− (^) ∞ ∫
7 ( ) () 1 cos
Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa
practicidad es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos
queda:
2 3
2 2 2 2
2 3
2 2 2 2
14 sen 2
49 4 1 cos
14 sen 2
49 4 1 cos
πω
πω
−
−
e i i
ie i
F
i
i
2.) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la
transformada de Fourier de la función:
it
f t
S OLUCIÓN
En las tablas encontramos que
a i ω
e ut
at
( ). Por lo tanto estamos tratando de
encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en ω, sería la
transformada de una función conocida. Para casos como éste cabe aplicar la
propiedad de simetría, que expresa que si f ( t ) ↔ F ( ω), entonces F ( t ) ↔ 2 π f (– ω).
En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y
la propiedad de linealidad:
i ω
e ut
t
−
4
. Por lo tanto por la propiedad de
simetría podemos escribir 2 5 ( )
4
ω ↔ −
− − e u it
. Veamos que u (– ω) es la
imagen especular de u ( ω), y se puede expresar como u (– ω) = 1- u ( ω).
Reescribiendo la expresión anterior tendremos finalmente:
10 [ 1 ( )] 4
ω e u it
3.) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y
graficar el espectro de amplitud de la función f ( t ) = 6[ u ( t – 3) – u ( t – 7)].
SOLUCIÓN
La función es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de
tablas que si g T es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la
transformada de Fourier es G T( ω) = T sinc( ω T /2), donde sinc( x ) = sen x / x. Pero aquí
el pulso está corrido en 5 unidades. Nuestra función puede decirse entonces que
equivale a 6 g 4 ( t – 5).
Para transformar esta última, recordemos la propiedad de retardo, que permite
manejar funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f ( t ) ↔ F ( ω),
entonces ( ) ( )
0
ω f t t e F
− it − ↔. De esa manera, en nuestro caso particular
tenemos:
Luego, antitransformando según tabla, se obtiene:
x ( t ) = e
-4 t u ( t )
Nótese que de no haber hecho este proceso nos habríamos visto en figurillas para
determinar la entrada.
5.) Propiedades varias. (i) Sabiendo que 2 1
− t F e , usar propiedades de la
Transformada de Fourier para calcular las transformadas de las siguientes señales:
2 2 ( 1 )
t
t x t te yt
t
−
(ii) La función g ( t ) está definida por
0 demáscasos
2
1 2
1 t gt
Calcular la Transformada de Fourier de (^4) sen( 6 )
10
( ) 2 t
t
xt g + π
S OLUCIÓN
(i) Usamos la propiedad de diferenciación en frecuencia, que establece:
d
dF itf t
Aplicando esto a nuestra función x ( t ) tendremos:
2 22 22
X
i xt te d
d ite
t t
− −
Para determinar la transformación de y ( t ), usemos la propiedad de simetría.
Observemos que, despejando de la ecuación anterior:
2 2 2 2
i e ie Yt
t
t ite yt
t ↔ − =− =
− −−ω −ω
(ii) La transformada de g la tenemos de tablas y es sinc( ω/2). Aplicaremos las
propiedades de retardo, que expresa ( ) ( )
0
ω f t t e F
− it − ↔ , y de corrimiento, que
establece (^)
a
F
a
f at
1 ω ( ). Tenemos entonces:
10 sinc 5 10
( 5 ) sinc
5 i 50 i e
t g t e g
− − ↔
Usando ahora transformaciones de tablas para la función constante y para el seno,
podemos afirmar:
π πδω ( ω) π[δ (ω π) δ(ω π)]
ω 4 sen( 6 ) 4 ( ) 10 sinc 5 4 6 6 10
50 + ↔ + + + − −
− t e i
t g
i
