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Matemáticas
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Ejercicios Resueltos
ENUNCIADO DEL TEOREMA
Sea E una región simple sólida cuya superficie frontera S tiene una orientación
positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes
tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a E.
Entonces:
S E
F dS div F dV
Recordar que otra notación para div F es ∇· F
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Evaluar el flujo del campo vectorial
F ( x ; y ; z ) = xy i +( y
2
xz^2 e ) j +sen( xy ) k
a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico
z = 1 - x^2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2.
S OLUCIÓN
El problema invita a la transformación de la integral de flujo en algún otro tipo de
integral para evitar las complejidades que surgirían de parametrizar el segundo
término de la segunda componente del campo vectorial, y también para hacer una
sola integral en vez de cuatro.
Para aplicar el teorema de la
divergencia calculamos:
div F = y + 2 y = 3 y
Evaluaremos la integral de
volumen de esta función escalar
tomando el dominio como una
región de tipo 3; esto es, una
región encerrada entre dos
funciones de un dominio
bidimensional ubicado sobre el
plano xz.
div 3 3 ···^18435
1
1
1
0
2
0
2
− − ⋅ = = = = =
x z
S E E
F dS F dV ydV ydydzdx
y = 2 - z
z = 1 - x
2
y
x
z
2.) Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = r r y la
superficie esférica x^2 + y^2 + z^2 = 9.
S OLUCIÓN
El vector r es el vector posición ( x ; y ; z ). De modo que en términos de las variables
cartesianas el campo vectorial dado puede expresarse como:
2 2 2 F = x + y + z x y z
La superficie dada puede parametrizarse a través de coordenadas esféricas:
3 cos
3 sen sen
3 sen cos
z
y
x
Con esta parametrización tenemos:
( 9 sen cos ; 9 sen sen ; 9 sen cos )
3 cos cos 3 cos sen 3 sen
3 sen sen 3 sen cos 0
2 2 ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ
ϕ θ ϕ θ ϕ
θ ϕ ϕ θ ϕ θ
× =−
i j k
r r
¿Es ésta una normal exterior? Probémoslo con un punto. En (0;3;0) tendríamos
θ = ϕ = π/2, y para tales valores el PVF calculado da (0;-9;0), o sea una normal
interna. Por lo tanto la normal externa vendrá dada por el PVF calculado haciendo
el producto vectorial en el orden opuesto, esto es:
( 9 sen cos ; 9 sen sen ; 9 sen cos )
2 2
r ϕ × r θ= ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ
Evaluando ahora F en función de esta parametrización es:
F ( ϕ; θ) = 3(3sen ϕcos θ; 3sen ϕsen θ; 3cos ϕ)
y:
F· ( r ϕ× r θ) = ··· = 81sen ϕ
Así que:
ϕθ ϕ θ π ϕ θ [ π ] θ π
π π π π ( ; ) (ϕ θ) 81 sen 81 cos 324
2
0 0
2
0
2 0
∫∫ ⋅^ =∫∫ ⋅ × d d =∫ ∫ d d = ∫ − d =
S D
F dS F r r
Hemos hecho un cálculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamos
ahora cómo reduciendo esto a una integral de volumen con el teorema de la
divergencia el cálculo se simplifica notablemente.
Calculemos en primer lugar la divergencia:
3.) Calcular el flujo del campo F ( x ; y ; z ) =(0; e
sen xz + tan z ; y
2 ) a través del
semielipsoide superior 2 x^2 + 3 y^2 + z^2 = 6, z ≥ 0 con su normal apuntando hacia
arriba.
S OLUCIÓN
Resolveremos este problema por el teorema de la
divergencia. Si observamos que div F = 0, y
llamando (ver figura) S = S 1 ∪ S 2 y V el volumen
encerrado por S , podemos plantear:
por teor.div.
porser 0
↓
↓
∇⋅ =
S
V S
V
dV
dV
F dS
F F dS
F
F
(1)
Nos interesa la integral no sobre toda la superficie
S , sino sólo sobre S 2. Puesto que la integral es un
concepto aditivo respecto al dominio de
integración, tendremos
∫∫ ⋅^ =∫∫ ⋅ +∫∫ ⋅ = ⇒∫∫ ⋅ =− ∫∫ ⋅
↓
1 2 2 1
porec.(1)
S S S S S
F dS F dS F dS F dS F dS
(2)
Vemos que la integral sobre S 2 es la misma que la integral sobre S 1 cambiada de
signo. Calcularemos, pues, esta última, que aparenta ser más sencilla, dado que la
normal es un vector vertical y además la superficie carece de componente z. S 1 es
una elipse sobre el plano xy , 2 x^2 + 3 y^2 = 6, que puede ser parametrizada
directamente en coordenadas cartesianas como T ( x ; y ) = ( x ( x ; y ); y ( x ; y ); z ( x ;
y )), donde:
2 3
(^22) 3
2 -^2 2 -
x y x
x
z
y y
x x
,
donde los límites para x y y han sido despejados de la ecuación de la elipse. Para
esta parametrización, tenemos que el producto vectorial fundamental será:
k
i j k
N = T × T = =
0 1 0
x y^100
Si ejecutáramos el PVF en el orden inverso, nos daría - k. ¿Cuál debemos elegir? El
enunciado nos pide que la normal de la superficie elipsoidal apunte hacia arriba, lo
cual significa que apunte hacia el exterior del volumen indicado en la figura, que es
el que usamos para plantear el teorema de la divergencia. Por lo tanto, para la base
también deberemos tomar la normal exterior a dicho volumen, esto es, - k.
O
y
z
x
S 1
S 2
Por lo tanto la integral que buscamos vendrá expresada por:
( ) ( )
94 32 278 π^23 π
3
3
3 / 2 2 3 /^2 3
2 3
1
2 / 3 3 -
2 / 3 3 -
(^33)
3 3
1
3
3
2 / 3 3 -
2 / 3 3 -
2
3
3
2 - (2/3)
2 - (2/3)
(^32)
3
2 - (2/3)
2 - (2/3)
2
tablas
2
2
2
2
2
2 1
2
2 1
↓
− − − − −
− − − −
y dydx y dydx x dx
dS y dydx y dydx
x
x
x
x
x
x S
x
x S
F dS F N
Luego, reemplazando en (2) tenemos
2 1
∫∫ ⋅^ =−∫∫ ⋅^ =
S S
F dS F dS
Que es el resultado que buscábamos. Podrían haberse utilizado también
coordenadas elípticas, que hubieran simplificado la integral pero a costa de una
mayor complejidad en el cálculo del PVF, lo que significaba aproximadamente el
mismo trabajo que operando en cartesianas.
