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Matemáticas
TEOREMA DE STOKES
Ejercicios Resueltos
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R^3 que contiene a S. Entonces:
∫ C F^ ⋅^ dr =∫∫ S rot F ⋅ dS = ∫∫ S ∇× F ⋅ dS
PROBLEMAS RESUELTOS
- Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F ( x ; y ; z ) = 3 y i + 4 z j - 6 x k y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x^2 - y^2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba.
S OLUCIÓN
Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:
3 sen
3 cos ≤ ≤
z
y
x
Con esta parametrización tenemos:
F ( θ) = 9sen θ i + 0 j − 18cos θ k
r ´( θ) = −3sen θ i + 3cos θ j + 0 k
r ´( θ) = −27sen^2 θ
π
π π π
sen 2
( ) ( ) 27 sen 271 cos^2 2
0
(^272)
2 0
2 0
(^22) 0
=^ −
=− ^ −
⋅ = ⋅ ′ = − = − ^ −
∫ C F dr ∫ F r d ∫ d ∫ d
Cálculo como integral de superficie : Primero evaluamos el rotacional.
(^3) y
z
x C
S
i j k
i j k rot F 4 6 3 3 4 6
y z x
x y z
Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:
sen
cos ( ; ) 2 ≤ ≤
r z r
y r
x r r r
El producto vectorial fundamental será:
i j k
i j k r r 2 cos 2 sen sen cos 0
cos sen 2 r^2 r^2 r r r
r r = + + −
× = − θ θ
Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva.
Usando entonces esta parametrización, tenemos:
π
π θ
rot rot ( ) ( 8 cos 12 sen 3 )
2 0
3
0
2
2 0
3 0
2 2
⋅ = ⋅ × = + − =
r
drd r r rdrd D
r S
F dS F r r
Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.
i j k i j k
i j k F^2 ( 2 ) ( )^2 ( ) ( ) 2
lareemp. param.por(1) x z xy xyz y xz x xy y x xyz xy x yz
x y z
∇ × = ∂ ↓
Por lo tanto la integral que buscamos será:
∫∫ ∇^ × ⋅ =∫∫∇× ⋅ =∫∫ − + − ⋅ = ∫ ∫− − − =
1 1
1 '^1
2 ' '
dS ( x xy ( y x ) ) dS ( y x ) dxdy 0 S S S
F dS F N i j k k
En este problema vemos que el teorema de Stokes permite no sólo transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones dependerá del problema particular.
- Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F ( x ; y ; z ) = (tan-1( x^2 ); 3 x ; e^3 z^ tan z ) a lo largo de la intersección de la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 con el cilindro x^2 + y^2 =1, con z > 0.
S OLUCIÓN
La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará. Prima facie vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable.
i j k
i j k rot F 0 0 3 tg 1 (^2 ) 3 3 tg
− (^) x x e z
x y z z
En efecto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante.
Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:
θ π θ
θ θ 0 2
sen
cos ( ; ) 2 ≤ ≤
r z r
y r
x r r r
Y hallando el producto vectorial fundamental:
i j k
i j k r r sen 4
cos 4 sen cos 0
cos sen 2 2 2 r r
r r
r
r r
r
r r + −
× = − θ θ
Vemos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular ahora:
x
y
z
