¡Descarga examen sustitutorio mecanica vectorial dinamica y más Exámenes en PDF de Mecánica solo en Docsity! Segunda Prueba de desarrollo de Mecánica Vectorial DINÁMICA PROBLEMA 1) El cilindro homogéneo sólido se libera del reposo en la rampa. Si 𝜽 = 𝟒𝟎° , 𝝁𝒔 = 𝟎. 𝟑𝟎 y 𝝁𝒌 = 𝟎. 𝟐𝟎 Determine: a) La aceleración del centro de masa 𝑮 (3 Puntos) y b) La fuerza de fricción ejercida por la rampa en el cilindro (2 Puntos). Considere los diagramas (2 Puntos) Solución Tipo de movimiento: Plano general Diagramas Ecuaciones de movimiento ↘ +∑𝑭𝒙 = 𝒎(𝒂𝑮)𝒙⏟ 𝒂 𝑾𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎° − 𝑭𝒓 = 𝒎𝒂 𝑭𝒓 = 𝑾𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎° −𝒎𝒂 𝑭𝒓 = 𝟑𝟓. 𝟔𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎° − 𝟑𝟓. 𝟔 𝟗. 𝟖𝟏 𝒂 𝑭𝒓 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖 − 𝟑. 𝟔𝟑𝒂 (𝟏) ↗ +∑𝑭𝒚 = 𝒎(𝒂𝑮)𝒚⏟ 𝟎 𝑵−𝑾𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎° = 𝟎 𝑵 = 𝟑𝟓. 𝟔𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎° ⟹ 𝑵 = 𝟐𝟕. 𝟐𝟕 𝑵 ↻ +∑𝑴𝑮 = 𝑰𝑮⏟ 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝜶 Rodadura pura: 𝒂 = 𝜶𝒓 ⟹ 𝜶 = 𝒂 𝒓 𝑭𝒓 ∗ 𝒓 = ( 𝟏 𝟐 𝒎𝒓𝟐) ( 𝒂 𝒓 ) 𝑭𝒓 = 𝟏 𝟐 𝒎𝒂 𝑭𝒓 = 𝟏 𝟐 ( 𝟑𝟓. 𝟔 𝟗. 𝟖𝟏 )𝒂 𝑭𝒓 = 𝟏. 𝟖𝟏𝒂 (𝟐) Igualando (1) = (2) 𝟐𝟐. 𝟖𝟖 − 𝟑. 𝟔𝟑𝒂 = 𝟏. 𝟖𝟏𝒂 𝒂 = 𝟒. 𝟐 𝒎 𝒔𝟐⁄ En (2) 𝑭𝒓 = 𝟏. 𝟖𝟏 ∗ 𝟒. 𝟐 𝑭𝒓 = 𝟕. 𝟔𝟎𝟐 𝑵 También 𝜶 = 𝒂 𝒓 = 𝟒. 𝟐 𝟎. 𝟏𝟓 𝜶 = 𝟐𝟖 𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ 𝑭𝒎𝒂𝒙 = 𝑵𝝁𝒔 = 𝟐𝟕. 𝟐𝟕 ∗ 𝟎. 𝟑 𝑭𝒎𝒂𝒙 = 𝟖. 𝟏𝟖 𝑵 Conclusión Como 𝑭𝒎𝒂𝒙 = 𝟖. 𝟏𝟖 𝑵 > 𝑭𝒓 = 𝟕. 𝟔𝟎𝟐 𝑵 Entonces la suposición es válida. PROBLEMA 2) El sistema de la figura consiste en un carrete que puede rodar sin deslizar sobre un riel horizontal. Si el sistema se libera del reposo, a) determinar la rapidez del bloque de masa 𝒎 = 𝟓 𝒌𝒈, 𝟐 𝒔 después de iniciado el movimiento. El carrete tiene una masa 𝑴 = 𝟏𝟓 𝒌𝒈 y un radio de giro centroidal 𝒌𝑮 = 𝟎, 𝟒𝟎 𝒎. Despreciar la masa de la polea y de las cuerdas además 𝑹 = 𝟎, 𝟔𝟎 𝒎; 𝒓 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝒎 (3 puntos); b) Para dicho instante calcular la cantidad de movimiento angular (2 puntos). Incluir diagramas (2 puntos) Solución: Carrete C y Bloque B Datos 𝑾𝑩 = 𝟓 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ⟹ 𝑾𝑩 = 𝟒𝟗. 𝟎𝟓 𝑵 𝑾𝑪 = 𝟏𝟓 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ⟹ 𝑾𝑩 = 𝟏𝟒𝟕. 𝟏𝟓 𝑵 DCL para bloque y carrete Tomando como centro de rotación el punto 𝑨, se tiene que: 𝒗𝑮 = 𝝎 ∗ 𝒓 ⟹ 𝒗𝑮 = 𝟎. 𝟑𝟎𝝎 (𝟏) 𝐯 = 𝝎 ∗ 𝑹⟹ 𝐯 = 𝟎. 𝟗𝟎𝝎 (𝟐) Bloque: Principio de Impulso y cantidad de movimiento lineal Eje Y (↑ +) 𝒎𝑩 (𝒗𝑩𝒚)𝟏⏟ 𝟎 +∑∫ 𝑭𝒚𝒅𝒕 𝒕𝟐 𝒕𝟏 = 𝒎𝑩 (−𝒗𝑩𝒚)𝟐 𝑻 ∗ 𝒕 −𝑾𝑩 ∗ 𝒕 = 𝟓(𝒗𝑩𝒚)𝟐 𝑻 ∗ 𝟐 − 𝟒𝟗. 𝟎𝟓 ∗ 𝟐 = −𝟓𝐯 𝑻 − 𝟒𝟗. 𝟎𝟓 = −𝟐. 𝟓𝐯 𝑻 − 𝟒𝟗. 𝟎𝟓 = −𝟐. 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟗𝟎𝝎 𝑻 = 𝟒𝟗. 𝟎𝟓 − 𝟐. 𝟐𝟓𝝎 (𝟑) Carrete: Principio de Impulso y cantidad de movimiento angular, tomando como centro de momentos el punto A Momentos 𝑴𝑨 (↺ +) 𝑰𝑨𝝎𝟏⏟ 𝟎 +∑ ∫ 𝑴𝑨𝒅𝒕 𝒕𝟐 𝒕𝟏 = 𝑰𝑨𝝎𝟐 (𝟒) Donde: 𝑰𝑨 = 𝑰𝑮 +𝑴𝒓 𝟐 = 𝑴𝒌𝑮 𝟐 +𝑴𝒓𝟐 𝑰𝑨 = 𝟏𝟓(𝟎. 𝟒𝟎 𝟐 + 𝟎. 𝟑𝟎𝟐) 𝑰𝑨 = 𝟑. 𝟕𝟓 𝑲𝒈 𝒎 𝟐 En (4) 𝟎 + 𝑻 ∗ 𝟎. 𝟗 ∗ 𝒕 = 𝟑. 𝟕𝟓𝝎 𝑻 ∗ 𝟎. 𝟗 ∗ 𝟐 = 𝟑. 𝟕𝟓𝝎 𝑻 = 𝟐. 𝟎𝟖𝝎 (𝟓) Igualando (3) = (5) 𝟒𝟗. 𝟎𝟓 − 𝟐. 𝟐𝟓𝝎 = 𝟐. 𝟎𝟖𝝎 𝝎 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ En (2) la rapidez del bloque 𝐯 = 𝟎. 𝟗𝟎 ∗ 𝟏𝟏. 𝟑𝟑 𝐯 = 𝟏𝟎. 𝟐𝟎 𝒎 𝒔⁄ Cantida de movimiento angular 𝑰𝑨𝝎𝟐⏟ 𝝎 = 𝟑. 𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟏. 𝟑𝟑 𝑰𝑨𝝎𝟐 = 𝟒𝟐. 𝟒𝟗 𝑲𝒈 𝒎 𝟐 𝟏 𝒔
