Geometría Descriptiva, Apuntes de Geometría Descriptiva

¡Descarga Geometría Descriptiva y más Apuntes en PDF de Geometría Descriptiva solo en Docsity! GASPARD MONGE Gaspard Monge (9 de mayo de 17461 - 28 de julio de 1818) fue un matemático francés, inventor de la geometría descriptiva. Nació en Beaune hijo de un vendedor ambulante. Estudió en las escuelas de Beaune y Lyon y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Entró en la Academia Real de Ciencias en 1780 y publicó ocho años más tarde su Traité de statistique. Nombrado Ministro de Marina - agosto de 1792 - abril de 1793- por la Convención, se le pidió reorganizar los arsenales y a interesarse por las fábricas de cañones. Contribuyó a fundar la École Polytechnique en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Entró en el instituto de Francia (1795). Durante la campaña de Italia conoce a Napoleón, mientras busca obras de arte, quien le encarga junto con Claude Louis Berthollet, que lleve al Directorio la ratificación del Tratado de Campo Formio. Por orden de Napoleón se apropia de tres imprentas en el Vaticano que les ayudarán en su nueva expedición. Es invitado a participar en la expedición a Egipto, pero alega que ya esta muy avanzado de edad para participar en esta empresa. Sin embargo, Napoleón lo logra persuadir y cambia de opinión. Se convierte en uno de los confidentes del joven general en Egipto y se convirtió en el primer presidente del Instituto de Egipto, fundado en agosto de 1789. Además, preparó un trabajo sobre los espejismos durante su estadía en el oriente. Regresó a Francia con Napoleón el 23 de agosto de 1799, año en que publica su famosa obra Geometrie descriptive. Es nombrado miembro del Senado, director de la Escuela Politécnica (1802) y conde de Pelusio. La caída de Napoleón hace que le excluyan del Instituto y de la escuela Politécnica. Murió en París el 28 de julio de 1818 y fue enterrado en el cementerio del Père-Lachaise. En 1989, sus cenizas fueron trasladadas al Panteón de París. Mausoleo de Gaspar Monge en El cementerio del Père-Lachaise. La geometría descriptiva Monge es considerado el inventor de la geometría descriptiva.2 3 La geometría descriptiva es la que nos permite representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional. Existen diferentes sistemas de representación que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, también conocido como sistema Monge, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799. ÍNDICE MAPA CONCEPTUAL INTRODUCCIÓN UNIDAD 1 1.1 EL PUNTO 1.2 LA LÍNEA 1.3 EL PLANO 1.4 EL VOLUMEN Y EL ESPACIO 1.5 PROPIEDADES VISUALES DE LAS FORMAS GEOMÉTRICAS 1.6 DIFERENCIA ENTRE ELEMENTOS DE DISEÑO Y ELEMENTOS CONCEPTUALES 1.7 IDENTIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE DISEÑO 25 UNIDAD 2 2.1 PRISMAS 2.2 PIRÁMIDES 2.3 DIFERENTES TIPOS DE SÓLIDOS PLATÓNICOS 2.4 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS 2.5 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN 2.6 PLANOS SERIADOS El encuentro de líneas en la arista de un plano o volumen. El dentro de un campo. 1.1.2 Características El punto, como todo elemento de diseño, tiene algunas características. Las más importantes, referentes a sí mismo e independientes al lugar que el punto ocupa dentro del proyecto, son las que ya se mencionaron anteriormente: Carece de anchura, profundidad y longitud, y se limita a ocupar una posición en el espacio. Técnicamente se podría decir que, como el punto no tiene ninguna dimensión, el punto es invisible, y para indicar su posición debe proyectarse sobre algún elemento visual vertical, como es el caso de un obelisco o una torre. En este apartado, es importante hacer notar que, dentro de una planta arquitectónica, una columna u otro elemento vertical se percibirán como un punto, y por lo tanto tendrás las propiedades visuales del punto. Otra característica importante del punto es que aunque éste no tiene forma, comienza a manifestarse cuando se sitúa dentro de un campo visual. En este caso, el punto se volverá estable, si ocupa el centro del espacio, y en todo caso comenzará a establecer cierto orden espacial dentro del proyecto. Por el contrario, cuando el punto se desplaza del centro, se convierte en algo más agresivo y empieza a establecer una lucha por la supremacía visual con el campo. 1.1.3 Comportamiento y uso en el proyecto El punto puede ser utilizado dentro del proyecto arquitectónico como elemento para marcar un nicho. En el caso de que el punto ocupe el centro del espacio, como sucede, por ejemplo, en la plaza de la basílica de San Pedro, en Roma, donde puede encontrarse un punto conformado por un obelisco, que al ser visto en planta deja de percibirse como línea y se comporta como un punto dentro de un espacio. Aquí el punto marca el centro del proyecto, de tal modo que todo el movimiento en la plaza se organiza en torno al obelisco. El caso contrario puede encontrarse en el museo de antropología de la ciudad de México, el cual fue proyectado por el arquitecto Pedro Ramírez Vásquez. Cuenta con una cubierta para su patio que está sostenida por una única columna, la cual además se encuentra desfasada respecto al centro de la cubierta. Para el espectador, que está bajo esta techumbre, el punto señalado por la columna que sostiene toda la estructura llama la atención, desplazando el centro del patio de su verdadero centro geométrico, hasta el centro psicológico representado por la columna. En todo caso, es cierto que el punto servirá como un referente que atraerá la atención en el espacio. Otro uso del punto es su uso en series: cuando se contemplan elementos geométricos similares, colocados cerca uno de los otros y manteniendo entre sí una distancia constante, entonces estas formas, que originalmente se comportaban como puntos, se unirán en la apreciación del espectador y se comportarán como una línea continua. Para estudiar el uso del punto en la arquitectura, un buen ejemplo es el que otorga la avenida del Paseo de la Reforma, en la ciudad de México: la avenida es una larga línea a lo largo de la cual se encuentran distribuidos puntos de interés como el ángel de la independencia, el monumento a Colón o la estatua de la Diana. Todos estos puntos, al unirse, crean el trazo del paseo; son los nichos cuya unión, como se dijo antes, generan una línea. Por otro lado, estos puntos llaman la atención del usuario: actúan como reguladores de la composición urbana, funcionando como centros de reunión desde los cuales la atención del espectador se dispersa, manteniéndose, no obstante, enfocada a estos puntos importantes. 1.2 LA LÍNEA 1.2.1 Definición La línea se define como la extensión en una dimensión del punto o, en otra forma, una sucesión ininterrumpida de puntos.5 A diferencia del punto, que solamente marca una posición dentro del espacio, la línea tiene una dimensión, la longitud, aunque carece de anchura y de profundidad. Al contar con una dimensión, la línea adquiere otras propiedades: expresa un movimiento y, por lo tanto, una dirección. Al igual que el punto, la línea puede servir para diferentes propósitos, entre los que destacan: Unir dos o más elementos. Rodear elementos diferentes para formar un conjunto. Definir un perímetro o una arista de un cuerpo. Señalar un recorrido. Una repetición de líneas puede señalar la superficie de un plano, o articular el mismo. 1.2.2 Características Se dice que una línea sólo tiene una dimensión. Esta característica, aún cuando es generalmente aceptada, no es completamente cierta: la línea tiene cierto grosor, el cual puede ser variable. Sin embargo, este grosor debe ser superado por la longitud, de modo que la línea siga distinguiéndose como un elemento de una sola dimensión. Como ya se ha dicho, la repetición de elementos similares puede servir para marcar una línea. Sin embargo, en este caso es importante que los elementos sean continuos y puedan identificarse como un conjunto. En este caso, la línea tendrá una calidad de textura más grande que en el caso de una línea recta. Una característica muy importante de la línea es que su significado psicológico varía mucho en proporción a la posición que ostente: así es que una línea vertical, por ejemplo, expresará un equilibrio muy fuerte en relación a las fuerzas de gravedad, en tanto que cuando la línea se presenta de forma horizontal será un línea estable, en reposo y con poco movimiento. Caso especial son las líneas oblicuas, es decir, las que presentan una inclinación marcada con respecto al horizonte. En este caso, la línea presentará un comportamiento dinámico, que generará una impresión de movimiento y de dinamismo muy fuertes. 1.2.3 Comportamiento y uso en el proyecto En el proyecto arquitectónico es fácil encontrar todo tipo de líneas, cumpliendo los más variados propósitos. Como ya se ha dicho, la línea sirve para delimitar los límites de los muros y los perímetros de los edificios. Este uso es demasiado general y, como se puede ver en todos los proyectos arquitectónicos, no vale la pena detenerse en él. Más interesante es el uso de la línea como elemento que rige un recorrido dentro del proyecto. En este rol cabe señalar dos ejes lineales que, si bien están ampliamente separados tanto geográfica como temporal e ideológicamente, comparten rasgos en común: la avenida de los Campos Elíseos, en París, y la Calzada de los muertos, en Teotihuacan. En ambos casos es posible encontrar un recorrido programado por estas dos líneas: en el caso de la avenida parisina, ésta recorre los barrios de la ciudad, mostrando algunos monumentos importantes como el arco del triunfo de Napoleón, el obelisco que este emperador hizo traer de Egipto y la torre Eiffel hasta llegar al palacio de Louvre, antigua residencia real y remate de la gran avenida. En el caso de la calzada de los muertos, el trazo lineal hay que buscarlo en la cosmogonía teotihuacana: la calzada viaja de sur a norte, es decir, desde la zona de donde viene la vida (el sur) hasta las regiones de la muerte (el norte). Las construcciones de todo el antiguo centro ceremonial se alinean con la calzada siguiendo también un sentido cosmogónico que no se va a estudiar en este curso, pero que en todo caso dan una muestra clara de un elemento linean en una composición arquitectónico. Las posiciones vertical, horizontal y oblicua de una línea se pueden estudiar en otros proyectos, como el Empire State en Nueva York y el Taliesin Building de Frank Lloyd 1.4 EL VOLUMEN Y EL ESPACIO 1.4.1 Definición El volumen es la figura en tercera dimensión, que surge cuando el plano se prolonga en una dirección diferente de la que tiene. Como se ha dicho, tiene tres dimensiones: longitud, anchura y profundidad. Dentro de la arquitectura, el plano es un elemento fundamental ya que, aunque estructuralmente todos los edificios están compuestos por muros, pisos y techos (que son elementos planos) visualmente la unión de estos planos forma un solo conjunto que se percibe como una figura completa. En el cuerpo con volumen se pueden percibir todos los anteriores elementos de diseño: Punto: presente en los vértices donde se unen varios planos. Líneas: las aristas donde se cortan los planos. Planos: límites o márgenes del volumen. 1.4.2 Características La característica más importante del volumen es que tiene forma. Esto significa que se puede identificar como un cuerpo definido, con límites marcados que lo separan del espacio libre que lo circunda. Otras características importantes del volumen son: Contorno: una forma se distingue por su contorno, es decir, por la silueta que proyecta visualmente en el espectador y que se puede distinguir como una figura individual. Tamaño: el tamaño es la forma absoluta que tiene el volumen, es decir, la magnitud de su longitud, anchura y profundidad. Sin embargo, el tamaño también está determinado por la escala, es decir, la comparación de sus medidas con las de otros cuerpos próximos. Color: color significa el matiz, la intensidad y el valor de tono que posee el cuerpo. Es el elemento que más fácilmente se evidencia en un volumen y que más influye en el valor visual de ésta. Textura: es la característica de la superficie de la forma y afecta la forma en la que se percibe la misma. Posición: es la localización de la forma respecto a su entorno o su campo de visión. Orientación: es la posición de la forma respecto al plano de sustentación y respecto a los puntos cardinales. Inercia visual: es el grado de concentración y estabilidad visual de la forma. Depende de su orientación, su geometría, su relación con el plano de sustentación y la visual que tenga el propio observador del cuerpo. 1.4.3 Comportamiento y uso en el proyecto Como ya se ha dicho, el volumen está presente en toda la arquitectura. Sin embargo, hay algunos proyectos que se destacan por una composición formal compleja, en la cual es posible estudiar efectos importantes de sus volúmenes. Uno de tales proyectos es la Casa de la Ópera, en Sydney. Este edificio se compone de varias formas figuras semiesféricas integradas unas con otras de forma que se crea un todo. Como se ha dicho antes, el espacio arquitectónico en realidad está conformado por planos interconectados, pero debido a la unión de éstos la mente los registra como una sola forma. En el caso de la Casa de la Ópera, el proceso mental es similar: una multitud de formas menores se unen para generar una figura mayor y más grande, que domina a las demás. Otro ejemplo que vale la pena mencionar es el de la famosa casa de la cascada, de Frank Lloyd Wright. Esta casa es una conjunción de elementos con forma prismática regular, lo cual contrasta con el medio natural de árboles y agua en el cual está ubicada. Respecto a las cualidades formales de la obra, los prismas que componen el proyecto se encuentran básicamente en posición horizontal, pero un elemento vertical más grande y con una textura más pesada hace que el conjunto quede en equilibrio. Esta casa es interesante también por el juego de materiales que hace, color y textura, de tal modo que sólidos aparentemente sencillos forman un conjunto armónico y lleno de interés. 1.5 PROPIEDADES VISUALES DE LAS FORMAS GEOMÉTRICAS Los estudios de las propiedades visuales de las formas son extensos y muy antiguos. Ya en la edad media, por ejemplo, se concedía cierto valor espiritual a los números, de modo que se buscaba que éstos estuvieran presentes en la arquitectura: los números 3, 4, 7 y 9, entre otros, eran muy apreciados por los constructores, de modo que se hacían iglesias poligonales, con remates triangulares y fachadas con repeticiones constantes de círculos y cuadrados, como se puede ver en las catedrales francesas. Estos proyectos, pese a su valor espiritual (al menos desde un punto de vista católico) no tienen un verdadero estudio de las propiedades visuales de la forma, de modo que el mensaje que transmiten no puede ser comprendido más que por los “iniciados”, hecho que ha provocado que estas estructuras se vean rodeadas de un sinfín de especulaciones. A principios del siglo XX surge en Alemania la escuela de diseño de la Bauhaus. Esta escuela pugnaba por una arquitectura moderna, en la cual elementos entonces nuevos en la construcción, como el acero, el hormigón armado y el vidrio, fueran utilizados. También buscaba apartar la arquitectura de sus formas “artesanales”, industrializándola. El movimiento de la Bauhaus provocó un rompimiento con el antiguo lenguaje de la arquitectura, buscando uno nuevo que no dependiera de reglas antiguas. Al mismo tiempo, los profesores de esta escuela se dieron cuenta que, si querían que la arquitectura siguiera transmitiendo ideas, era importante analizar qué mensaje portaría. De este modo se hicieron los primeros estudios de las propiedades visuales de las formas geométricas: ángulos rectos o agudos, líneas verticales u horizontales, todo ello tenía un significado intrínseco, uno que la psique humana podía reconocer aunque no fuera conciente de ello. 1.5.1 Propiedades visuales del cuadrado y del rectángulo Se ha englobado al cuadrado y al rectángulo en el mismo apartado por que, al ser ambos figuras de cuatro lados y de ángulos rectos, comparten muchas propiedades visuales. En las siguientes secciones se hablará de las figuras como si fueran formas planas, pero es importante pensar también en tercera dimensión: las mismas características que tiene el cuadrado las tiene el cubo y el prisma cuadrangular. El cuadrado y el rectángulo son figuras estables cuando reposan en uno de sus lados, y se convierten en dinámicas cuando se apoyan en alguno de sus vértices. Son figuras puras y racionales, estáticas y neutras visualmente hablando. Intrínsecamente el cuadrado no tiene una dirección concreta, ya que todos sus lados son iguales, en tanto que el rectángulo varía en este aspecto, pues sí tiene una dirección. El trapecio y el rombo son figuras también de cuatro lados y que, por esta razón, serán tratados en este apartado. El trapecio se comporta como una pirámide truncada (cortada en su parte superior) y, como en el caso de éstas, resulta estable cuando descansa sobre su base mayor e inestable cuando lo hace sobre uno de sus lados o sobre la base menor. Respecto al rombo, se trata de un cuadrado o de un rectángulo “torcido”, con una deformación en sus ángulos y lados. Esto hace que, a diferencia de las figuras regulares, el rombo pierda equilibrio; visualmente esta figura se “inclina” hacia algún lado y resulta agresiva en sus ángulos agudos, y pasiva en los obtusos. 1.5.2 Propiedades visuales del triángulo El triángulo es una figura formada por tres lados unidos en los vértices. Ver un triángulo conlleva un mensaje de estabilidad: cuando el triángulo se apoya en uno de sus lados, el resultado es una figura muy estable, pero cuando lo hace sobre uno de los vértices su equilibrio visual resulta precario y la forma tendrá una fuerte tendencia a caer hacia alguno de los lados. Al tener pocos lados, los triángulos resultan figuras en las cuales los ángulos están muy marcados. Esto tiene como resultado que resulte también una figura más agresiva; psicológicamente, la mente considera agresivos los ángulos agudos, en tanto que los obtusos son ángulos “pacíficos”, y los rectos de consideran neutros. Dado que un triángulo puede conjugar aberturas de distinta estas dos líneas se crea un plano (el camino) que tampoco “existe”; está formado por dos elementos externos. Es importante, cuando se habla de percepción, reconocer que ésta es esencialmente inconciente. Incluso durante el proyecto creativo, la percepción inconciente está activa, ya que el arquitecto agrupa objetos, traza líneas y crea visuales sabiendo qué efecto tendrán en el espectador. 1.7 IDENTIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE DISEÑO La diferencia entre los elementos de diseño suele ser difusa, como ya se dijo. El punto puede generar una línea; la línea vertical se comporta como un punto en planta y cuatro puntos generan las esquinas de un cuadrado imaginario. Todos estos elementos se conjugan para formar un todo, del mismo modo que, como se ha dicho, en un volumen están presentes todos los elementos de diseño: punto, línea y plano. A veces surgen dudas al identificar elementos de diseño. Por ejemplo, si se analiza el Taj Mahal, podría dudarse, al ver los cuatro minaretes que definen su perímetro, si éstos son líneas rectas o puntos, y en todo caso ambas respuestas estarían correctas: son líneas verticales que se comportan como puntos cuando se miran en planta y que, a su vez, general un espacio cúbico entre ellos. La diferencia está en que mientras las líneas son elementos tangibles, los puntos y el espacio son elementos conceptuales. INTRODUCCIÓN Se ha hecho ya alusión a los cuerpos sólidos, y se ha visto también que éstos poseen una forma determinada. Ahora bien, según su forma, los sólidos adquieren distintas propiedades no tan sólo visuales, si no también mecánicas y estructurales. Puesto que el trabajo del arquitecto incluye transmitir mensajes a través del espacio, es importante que conozca cuáles son estas propiedades visuales, ya que ellas harán que el mensaje de su proyecto varíe considerablemente. Por otra parte, el arquitecto debe construir de tal modo que sus edificios resulten firmes y confiables para el usuario, por lo cual es importante que conozca las propiedades mecánicas de los sólidos con los cuales construye. 2.1 PRISMAS 2.1.1 Definición Los prismas surgen del movimiento de un plano. Si se tiene un plano con cualquier forma colocado a manera de planta, y a éste se le dota de una altura, se obtiene un prisma. Cualquier tipo de figura plana puede convertirse en un prisma si se les dota de altura. Es por ello que existen prismas triangulares, cuadrangulares, rectangulares o poligonales, y todos ellos tienen comportamientos estructurales similares, variando tan sólo sus características visuales. 2.1.2 Características Los prismas pueden tener una base con prácticamente cualquier forma, siempre y cuando ésta sea cerrada, y su altura puede ser desde casi igual a cero hasta crecer de modo infinito. Esto provoca que la cantidad de prismas que existan pueda ser muy grande, si bien hay que tener en cuenta una cosa: como en el caso de los polígonos, mientras mayor sea el número de lados del prisma, éste se comportará más como un círculo. Con frecuencia las paredes de los prismas son rectangulares. Es importante aquí hacer una diferencia entre los distintos prismas: cuando tienen todos los lados cuadrados y su altura no es variable, siendo su magnitud igual a la del largo de uno de los lados de su superficie. Entonces se tratará de un prisma regular, en tanto que los prismas en los cuales la altura varíe y los lados no sean cuadrados serán considerados prismas irregulares. Existe también una tercera división: ésta es la de los prismas semirregulares, en los cuales la altura es variable, pero las caras están constituidas por rectángulos. En la familia de los prismas, las formas cúbicas (con sus lados formados por cuadrados) son las de más eficiente contenido de volumen. Mientras más se separa un prisma de estas proporciones, mayor será el área de superficie necesaria para contener un volumen dado. Cuando es importante conocer la capacidad de volumen de un prisma, hay una regla sencilla que se puede seguir: esta capacidad será mayor cuando el área de las paredes del prisma sea 4 veces el área de la base. Por el contrario, cuando es importante la superficie expuesta, hay que considerar que ésta será menor cuando el área de las paredes sea el doble que el área de la base. Los primas regulares o semirregulares son los más fáciles de analizar. Cuando, por el contrario, se trate de las propiedades de los prismas irregulares, éstas serán más difíciles de determinar ya que, al no seguir éstos leyes establecidas formalmente, también sus propiedades carecerán de relaciones directas entre sí. Constructivamente, el comportamiento de los prismas regulares y semirregulares es sencillo: el peso de la estructura completa baja de modo recto hasta la base de la figura. En este caso, el arquitecto debe cuidar que la estructura sea capaz de soportar el peso de la forma, pero no tendrá problemas con ésta salvo en el caso de que en algún punto de la forma se concentre un peso irregular. En cuanto a los prismas irregulares, en este caso el comportamiento de su peso estará determinado por la forma que tengan y, dado el número casi infinito de variables que ello produce, no puede ser examinadas en este libro. Un caso concreto hay que resaltar, y es el que presentan los prismas irregulares en los cuales el cerramiento superior del prisma esté desfasado con respecto a la base. En este caso, se estará hablando de un prisma con inclinación hacia alguno de sus lados, y su comportamiento estructural será difícil de tratar por el arquitecto, ya que la figura resultará inestable tanto visual como geométricamente: el peso se “cargará” hacia el lado que quede inclinado, por lo que la estructura en este punto deberá contar con refuerzos considerables para que no colapse. Respecto a su uso en la arquitectura, los prismas son estructuras que se encuentran cotidianamente en todo tipo de construcciones. Sin embargo, una corriente que se caracteriza por el uso constate que hace de primas semirregulares es la promovida por escuela de la Bauhaus y que se conoce como “arquitectura internacional”. Los arquitectos de este periodo pensaban que la arquitectura debía ser racional, sin ornamentos ni otros artículos que, a su juicio, eran superfluos. También hablaban de la ocupación racional del espacio, lo cual daba como resultado plantas cuadrangulares que, al adquirir altura, daban como resultado prismas semirregulares. Algunos ejemplos de este tipo de arquitectura son el edificio de la universidad Bauhaus, en Alemania, el pabellón para exposición de Berlín, de 1939 y el Seagram Building, en Nueva York. 2.2 PIRÁMIDES 2.2.1 Definición Al igual que los prismas, las pirámides también pueden tener una base formada por cualquier tipo de polígonos. Sin embargo, a diferencia de éstos, las paredes de la pirámide se inclinan y cortan hasta llegar a un vértice, que puede o no estar alineado con el centro geométrico de la base. sustituyan completamente a las pentagonales, se conseguirá una figura de veinte lados: el icosaedro. 2.3.2 Características Como se ha dicho ya, los sólidos platónicos están constituidos por figuras regulares: triángulos equiláteros, cuadrados y pentágonos regulares. Se ha dicho ya que los triángulos constituyen figuras estructuralmente estables; esto hace que los sólidos platónicos constituidos por triángulos “hereden” la capacidad estructural de éstos, de modo que el octaedro, el icosaedro y el tetraedro son igualmente figuras estables. Por otro lado, en lo que respecta al icosaedro y al dodecaedro, las cargas que surgen en la figura se transmiten, a través de las aristas y vértices del cuerpo, hacia la base, de modo que aunque ésta soporta una gran tensión de carga es fácil transmitirla hacia el suelo. En arquitectura los sólidos platónicos son poco usuales. Si se toman, por ejemplo, las figuras triangulares como el tetraedro y el octaedro, es fácil darse cuenta que en los vértices se generan espacios poco aprovechables, lo cual en un proyecto arquitectónico resultará poco funcional. Respecto al icosaedro y el dodecaedro, sus formas irregulares hacen que pocos espacios se puedan adecuar a éstas, por lo cual su uso está limitado. En cuanto a los cubos o hexaedros, su forma es más adaptable pero, a la vez, poco realista para la arquitectura. Hay que considerar que los espacios rara vez tienen la planta completamente cuadrada, y que es aún improbable que tengan una altura similar a la longitud de su planta; imagínese, por ejemplo, una recámara regular de 4 metros de lado: un techo colocado a esa altura sería poco práctico. Generalmente se puede utilizar cubos cuando la altura no es una limitante en el problema o cuando se pueden forzar un poco las dimensiones: el centro Calakmul, diseñado por el arquitecto mexicano Agustín Hernández es un buen ejemplo de esto. 2.3.3 Propiedades de los sólidos platónicos Se ha observado ya que los sólidos platónicos tienen la propiedad de transformarse unos en los otros. También es fácil notar que cada uno de éstos contiene, de manera intrínseca, todos los de su misma serie. Es interesante también observar que, cuando se forma un hexaedro a partir de un octaedro, o éste a partir de un tetraedro, el centro geométrico de los tres seguirá siendo el mismo. Respecto a su capacidad de contenido volumétrico, el cubo es, de los prismas regulares, el que mejor capacidad de contenido tiene, pero ésta es débil si se compara con los otros sólidos platónicos como el dodecaedro o el icosaedro, aunque mayor que la capacidad del octaedro o el tetraedro. Estructuralmente, se ha dicho ya que estas figuras resultan estables aunque poco prácticas. Hay que notar que, mientras más se acerque una figura a la forma de una esfera, resultará más estable y más resistente. Un dato interesante respecto a los sólidos platónicos es que éstos ayudaron al filósofo griego a desarrollar sus teorías de pensamiento. Platón creía que el mundo de las ideas es un mundo superior al mundo físico, un mundo más puro y en el cual reinaba la perfección. Al estudiar la geometría, Platón buscaba una confirmación a esta idea, y la encontró en los sólidos platónicos: la relación perfecta entre las caras de una figura con las otras, la capacidad de transformarse que tienen los sólidos platónicos y la regularidad con la cual se acomodan sus caras sirvió a Platón como una prueba de la perfección divina existente, y que se puede encontrar en un reino más perfecto que el físico. 2.4 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS 2.4.1Definición de los sólidos arquimedianos A diferencia de los sólidos platónicos, que están constituidos por figuras iguales, los sólidos arquimedianos conjugan dos tipos de polígonos en las superficies de sus caras. Tradicionalmente, se considera que los sólidos arquimedianos son aquéllos productos del truncamiento de los vértices de los sólidos platónicos. Es decir, cuando se tiene un octaedro truncado, por ejemplo, se tratará de un sólido arquimediano. Sin embargo, resulta un error pensar en los sólidos arquimedianos como “accidentes” de los sólidos platónicos. Cuando se trata de un sólido platónico truncado, las características de la figura original se mantienen en condiciones relativamente iguales. En ocasiones el truncamiento de las figuras se lleva hasta un punto en el que una de éstas se confunde con la siguiente. Cuando sucede esto se crean nuevas figuras: Hexaoctaedro. Tetraoctaedro. Icosadodecaedro. 2.4.2 Características de los sólidos arquimedianos Como se ha dicho, los sólidos arquimedianos son, como los sólidos platónicos, son figuras estables geométricamente y con una gran capacidad de carga. Sin embargo, como en el caso de los primeros, su forma irregular hace que sean poco adaptables para su uso en la arquitectura y resulta raro encontrarlos en la geometría de los edificios, a menos que se trate de proyectos muy grandes. Un icosadodecaedro puede funcionar bien en estructuras semiesféricas destinadas a contener grandes espacios. 2.4.3 Propiedades de los sólidos arquimedianos A diferencia de los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos no se contienen mutuamente. Son figuras que, como ya se dijo, están ligadas a dos sólidos y se encuentran a medio camino entre éstos. 2.5 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN 2.5.1 Definición Las superficies de revolución son figuras tridimensionales que surgen a raíz de un movimiento de rotación. Se ha dicho ya que el volumen surge cuando un plano adquiere movimiento; en el caso de las superficies de revolución este movimiento será en forma circular. 2.5.2 Origen de la superficie de revolución Se ha dicho ya que las superficies de revolución surgen del giro de una curva en torno a un eje. Matemáticamente, se dice que la línea que gira es la línea generatriz, en tanto que el eje de rotación será conocido como directriz. Los conceptos de directriz y generatriz no son exclusivos de las superficies de revolución; toda línea que genera una forma es conocida como generatriz, en tanto que las que marcan una dirección son directrices. Muchas veces en la arquitectura se utilizan generatrices para crear formas caprichosas o con una geometría irregular. Es importante conocer el concepto de directriz y generatriz porque, aunque en general se tiene una tipología de las superficies de revolución, es posible encontrar formas que no se ajustan a las establecidas; para analizar estos casos lo que debe hacerse es determinar el contorno de la figura y, dividiéndolo en base al eje de rotación, se tendrá la forma generatriz. 2.5.3 Diferentes tipos de superficies de revolución El ejemplo más conocido de una superficie de revolución es la esfera. Ésta es una figura que tiene todos sus puntos equidistantes al centro, y es el producto de la rotación de un círculo sobre su propio eje. En algunos casos, la figura que gira en torno a su diámetro no es un círculo perfecto, si no una elipse y otra figura de contorno oval. En este caso no se obtendrá una esfera, si no un geoide. El cono es otra superficie de revolución, que se genera cuando un triángulo gira sobre su base. El cono se rige por las mismas leyes que las pirámides, de modo que un cono también estará sujeto a las consideraciones de área mínima o área mínima expuesta. En este caso, el área será mínima cuando la altura del cono sea igual diámetro de su base multiplicado por la raíz cuadrada de 2. Si no se toma en cuenta la base, la superficie será mínima cuando la altura sea igual al radio de la base multiplicado por la raíz cuadrada de 2. Un dato interesante referente al cono es que todas las líneas curvas estudiadas matemáticamente se hayan presentes en este sólido. En algunos casos, puede darse el caso de que un trapecio rote sobre su eje. En este caso el cono quedará truncado, y será conocido como toro truncado. formas geométricas, los planos seriados pueden ser variados y juntar en una sola superficie cualquier número de polígonos. Estructuralmente, los planos seriados transmitirán las fuerzas aplicadas en uno de los planos a los adyacentes a éste, de modo que los pesos se distribuyen uniformemente por toda la superficie. Esto hace que una estructura de planos seriados resulte estable. En la arquitectura hay varios buenos ejemplos de planos seriados. Uno de ellos, localizado en la ciudad de México, es el Palacio de los Deportes, obra del arquitecto español Félix Candela. La cubierta de este local tiene forma de esfera, pero su superficie no es lisa: está compuesta por planos parabólicos de cobre, unidos entre sí de modo que la vista de éstos parezca una serie de pirámides. En este proyecto también es posible ver cómo los planos pueden adaptarse para cubrir superficies irregulares, en este caso, una forma esférica. Otro ejemplo de planos seriados que está presente en la arquitectura contemporánea es el de la alberca olímpica de Beijing. En realidad la estructura de este proyecto era de un prisma rectangular, pero su acabado superficial estaba constituido por polígonos irregulares que se ensamblaban entre sí hasta cubrir toda la superficie. El resultado final es que parezca que la alberca olímpica está constituida por células o partículas de agua unidas unas a otras. GLOSARIO Bauhaus: escuela de diseño alemana, creada durante la década de 1920 y cerrada por Hitler a su ascenso al poder. Campo visual: área en la cual se concentra la visión, sin necesidad de volver la cabeza para ver todos sus componentes. Centricidad: cualidad de una figura que le permite ocupar el centro de un espacio determinado. Combinación: comparación entre dos o más elementos, en la cual todos ellos se encuentran en condiciones de igualdad relativas. Contorno: línea que separa una forma geométrica de su fondo. Contraste: comparación entre dos o más elementos, en los cuales cada uno de ellos es distinto a los demás y resulta opuesto a éstos. Dimensión: cualidad de un elemento que permite que éste sea medible en términos numéricos. Directriz: línea que marca la dirección a seguir por un recorrido, sea éste real o imaginario. Eje compositivo: línea que regula una composición y en torno a la cual gira la ordenación de un proyecto. Elemento arquitectónico: unidad que puede ser objeto de ser utilizada en el campo de la arquitectura y que es exclusiva de esta arte.159 Elemento conceptual: aquél elemento que se hace presente en un campo visual sin ser físicamente real. Estabilidad visual: se refiere a la capacidad de un cuerpo de mantenerse en equilibrio respecto a la percepción visual de un observador. Generatriz: línea real o imaginaria que genera una forma geométrica. Geoide: forma esférica semirregular. Gestalt: teoría psicológica que estudió las leyes de la percepción visual. Por extensión, conocimiento obtenido en el estudio de esta escuela. Jerarquización: capacidad de los elementos de ser acomodados de acuerdo a su rango dentro de la composición. Lenguaje: conjunto de signos que se emplean para trasmitir una idea dentro de un campo específico de conocimiento. Línea: elemento unidimensional, sensible de ser medido, que presenta una dirección y un movimiento. Modelo de circulación: forma en la cual se distribuyen los espacios de un proyecto arquitectónico en base al comportamiento y el movimiento que se prevea que tendrá lugar dentro de los mismos. Módulo: forma susceptible de ser utilizada en combinación con otras iguales para lograr una composición. Movimiento psicológico: cualidad que tienen las formas geométricas para adoptar movimiento en la percepción del observador, aún cuando este movimiento no se lleve a cabo en el plano físico.160 Ortogonal: forma geométrica o de traza basada en ángulos de 90º o sus múltiplos. Percepción: forma en la que los sentidos interpretan la información que reciben. Plano: forma geométrica de dos dimensiones, que ocupa una posición, tiene área y textura y puede estar sujeta a movimiento. Programa arquitectónico: conjunto de necesidades físicas y psicológicas que son cubiertas por el proyecto arquitectónico. Proporción armónica: proporción que es a la vez geométrica y aritmética. Proporción áurea: proporción en la cual la razón de un número es 1.618 la magnitud de su precedente. Proporción geométrica: aquella proporción en la cual la razón de dos números es igual a la razón de otros dos. Proporción matemática: proporción en la cual un número está dado por la suma algebraica. Proporción: igualdad entre dos razones. Punto: unidad de diseño básica, sin ninguna dimensión, que no ocupa una posición ni tiene movimiento o dirección. Semántica: ciencia que estudia el significado de los símbolos. Semirregularidad: propiedad de los cuerpos físicos que, sin ser geométricamente regulares, hace que parezcan serlo. Supremacía visual: tensión que existe entre los elementos de diseño por ocupar el lugar principal dentro de la composición.161 Textura: cualidad óptico táctil de los planos, que afecta tanto su peso visual como la sensación producida por su superficie al contacto. Volumen: forma tridimensional, que ocupa una posición en el espacio. Puede estar sujeta a movimiento y en ella se concentran todos los demás elementos de diseño.