geometria descriptiva, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga geometria descriptiva y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! 1 Geometría, Álgebra y Algoritmos 1.1 Polinomios en varias indeterminadas La geometría está interesada en lo que concierne a las variedades a…nes, que son curvas y super…cies de…nidas por ecuaciones polinomiales. Para comprender las variedades a…nes necesitaremos algo de álgebra y en particular, estudiar ideales en el anillo polinomial K [x1; x2; :::; xn] : Comencemos dando algunas de…niciones básicas. Monomio [Definicion 1] Un monomio en x1; x2; :::; xn es un producto de la forma x 11
x 22
:::
x nn donde todos los exponentes 1; 2; :::; n son enteros no negativos. El grado total de este monomio es la suma 1 + 2 + :::+ n: Escribiremos x por x 11
x 22
:::
x nn ; donde = ( 1; 2; :::; n) es una nupla de enteros no negativos. Si = (0; 0; :::; 0) ; x = 1: Además, j j = nX i=1 denota el grado total del monomio x : Polinomio [Definicion 2] Sea K un campo. Un polinomio f en x1; x2; :::; xn con coe…cientes en K es una combinación lineal …nita (con coe…cientes en K) de monomios. Escribire- mos un polinomio f en la forma f = X a x ; a 2K donde la suma se realiza sobre un número …nito de nuplas = ( 1; 2; :::; n) : El conjunto de todos los polinomios en x1; x2; :::; xn se denotará por K [x1; x2; :::; xn] : T erminos; Coeficientes [Definicion 3] Sea f = P a x un polinomio en K [x1; :::; xn] : (i) Llamaremos a a el coe…ciente del monomio x : (ii) Si a 6= 0; a x es un término de f: 1 (iii) El grado total de f denotado grad (f) es el máximo j j entre todos los monomios cuyos coe…cientes a son distintos de cero. La suma y el producto de dos polinomios es de nuevo otro polinomio. Diremos que un polinomio f divide al polinomio g si g = fh para algún h 2K [x1; :::; xn] : Espacio Af{n [Definicion 4] Dados el campo K y un entero positivo n, de…nimos el espacio afín ndimensional sobre K como Kn = f(a1; :::; an) : a1; :::an 2Kg Relaciones entre polinomios y espacios a…nes. La idea central es que un polinomio f = X a x 2K [x1; :::; xn] da lugar a la función f :Kn !K de…nida como sigue: dado (a1; :::; an) 2 Kn, reemplazar cada xi por ai en la expresión para f . Como todos los coe…cientes de este pertenecen a K; f (a1; :::; an) 2K: Proposicion [5] Sea K un campo in…nito y f 2 K [x1; :::; xn] : Entonces f = 0 en K [x1; :::; xn] si y sólo si f :K n !K es la función nula. Esto nos permite dar el siguiente resultado: Corolario [6] Sea K un campo in…nito y sean f; g 2 K [x1; :::; xn] : Entonces f = g en K [x1; :::; xn] si y sólo si f :K n !K y g :Kn !K son la misma función. Teorema Fundamental del Algebra [7] Todo polinomio no constante f 2 C [x] tiene una raíz en C: Decimos, además que un campo es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante en K [x] tiene una raíz en K: 2 1.4 Ideales Ideal [Definicion 11] Un subconjunto I K [x1; :::; xn] es un ideal si satisface: i) 0 2 I ii) Si f; g 2 I, entonces f + g 2 I iii) Si f 2 I y h 2K [x1; :::; xn] entonces hf 2 I La importancia real de los ideales es que ellos nos darán un lenguaje para cálculos con variedades a…nes. El primer ejemplo natural de un ideal es el generado por un número …nito de polinomios. Suma y Producto de Ideales [Definicion 12] Si I y J son ideales, entonces los conjuntos I + J = ff + g : f 2 I; g 2 Jg IJ =  nP k=1 fkgk : fk 2 I; gk 2 J con n 2 N; 1  k  n  son ideales. Ideal Generado (Lema [13]) Si f1; :::; fs 2K [x1; :::; xn] ; entonces hf1; :::; fsi = ( sX i=1 hifi : h1; :::; hs 2K [x1; :::; xn] ) es un ideal de K [x1; :::; xn] llamado el ideal generado por f1; :::; fs: El ideal hf1; :::; fsi tiene una bonita interpretación en términos de ecua- ciones polinomiales. Dados f1; :::; fs 2 K [x1; :::; xn] ; tenemos el sistema de ecuaciones f1 = 0 ... fs = 0 De estas ecuaciones, uno puede derivar otros usos del álgebra. Por ejemplo, si multiplicamos la primera ecuación por h1 2K [x1; :::; xn] ; la segunda por h2 2 K [x1; :::; xn] ; etc, y luego añadimos las ecuaciones resultantes, obtenemos h1f1 + h2f2 + :::+ hsfs = 0; lo cual es una consecuencia de nuestro sistema original. 5 Ideal F initamente Generado [Definicion 14] Un ideal I es …nitamente generado si existen f1; :::; fs 2K [x1; :::; xn] tales que I = hf1; :::; fsi ; en este caso decimos que f1; :::; fs es una base de I: Proposicion [15] Si f1; :::; fs y g1; :::; gt son bases del mismo ideal en K [x1; :::; xn] con hf1; :::; fsi y hg1; :::; gti iguales. Entonces V (f1; :::; fs) = V (g1; :::; gt) Cambiando la base del ideal, podemos hacer más fácil la determinación de la variedad. La habilidad para cambiar las bases sin afectar la variedad es muy importante, pues las variedades a…nes son determinadas por ideales no por ecuaciones. Ideal de una V ariedad [Lema 16] Sea V Kn una variedad afín. Establezcamos que I (V ) = ff 2K [x1; :::; xn] : f (a1; :::; an) = 0;8 (a1; :::; an) 2 V g Si V  Kn es una variedad afín, entonces I (V )  K [x1; :::; xn] es un ideal, llamado el ideal de V : Tomemos f1; :::; fs 2K [x1; :::; xn] : Esto nos da Polinomios V ariedad Ideal f1; :::; fs ) V (f1; :::; fs) ) I (V (f1; :::; fs)) y la natural pregunta de que si I (V (f1; :::; fs)) = hf1; :::; fsi : La respuesta desafortunadamente, no siempre es sí. La mejor respuesta en este punto es: Lema [17] Si f1; :::; fs 2K [x1; :::; xn] ; entonces hf1; :::; fsi  I (V (f1; :::; fs)) ; en general, la igualdad no siempre ocurre. Proposicion [18] Sean V y W variedades a…nes en Kn. Entonces V W , I (W )  I (V ) V =W , I (V ) = I (W ) 6 Por ahora, enlistemos 3 preguntas más, conciernentes a ideales en K [x1; :::; xn] :
Descripción del Ideal: ¿Puede todo ideal I  K [x1; :::; xn] ser escrito como hf1; :::; fsi para algunos f1; :::; fs 2K [x1; :::; xn]?
Pertenencia a un ideal: Si f1; :::; fs 2 K [x1; :::; xn] ; ¿hay algún algo- ritmo para decidir si un f 2K [x1; :::; xn] está en hf1; :::; fsi?
Nullstellensatz: Dados f1; :::; fs 2 K [x1; :::; xn] : ¿Cuál es la relación exacta entre hf1; :::; fsi y I (V (f1; :::; fs))? Como lo mencionamos antes se irán respondiendo en el transcurso del documento. 1.5 Polinomios en una variable Discutiremos polinomios de una variable y estudiaremos el algoritmo de la di- visión que lo usaremos para determinar la estructura de ideales de K [x] y explorar la idea del máximo común divisor (mcd). También, comenzaremos a comprender el importante rol jugado por los algoritmos. Informalmente, un algoritmo es un conjunto especí…co de instrucciones para manipular datos numéricos y simbólicos. Son ejemplos las fórmulas de derivación del Cálculo y el método de reducción de …las del Álgebra Lineal. Un algo- ritmo tendrá inputs (entradas) los cuales son objetos usados por el algoritmo, y outputs (salidas) que son los resultados del algoritmo. En cada etapa de ejecución, el algoritmo debe especi…car exactamente el siguiente paso a seguir. Comenzaremos discutiendo el algoritmo de la división para polinomios en K [x] : T ermino Principal [Definicion 19] Dado un polinomio no nulo f 2K [x] ; sea f = a0x m + a1x m1 + am donde ai 2 K y a0 6= 0 (es decir, m = grad (f)) : Decimos entonces que a0xm es el término principal de f y se escribe tp (f) = a0xm: Si f y g son polinomios no nulos, entonces grad (f)  grad (g), tp (f) j tp (g) 7 2 Bases de Groebner 2.1 Introducción En la sección anterior vimos como el álgebra de los anillos polinomiales K [x1; :::; xn] y la geometría de variedades algebraicas a…nes están relacionadas. En esta sección estudiaremos el método de las Bases de Groebner que nos per- mitirá resolver problemas (algunos ya planteados) acerca de ideales polinomiales en una forma algorítmica o computacional. Problemas: a) El problema de la descripcion de un ideal: ¿Todo ideal I  K [x1; :::; xn] tiene un conjunto generador …nito?, en otras palabras, ¿podemos escribir I = hf1; :::; fsi para algún fi 2 K [x1; :::; xn]? b) El problema de la pertenencia a un ideal: Dados f 2 K [x1; :::; xn] y un ideal I = hf1; :::; fsi ; determine si f 2 I: Geométricamente, esto es, relativo al problema de determinar si V (f1; :::; fs) está en la variedad V (f) : c) El problema de resolver ecuaciones polinomiales: Encontrar todas las soluciones comunes enKn de un sistema de ecuaciones polinomiales f1 (x1; :::; xn) =


= fs (x1; :::; xn) = 0; claro, esto es lo mismo que preguntar por los puntos en la variedad afín V (f1; :::; fs) : 2.2 Órdenes Monomiales en K [x1; :::; xn] Orden Monomial [Definicion 1] Un orden monomial en K [x1; :::; xn] es una relación > en Zn0; o en forma equivalente, una relación en el conjunto de monomios x ; 2 Zn0; tal que: i) > es un orden total (o lineal) en Zn0; ii) si > y 2 Zn0; entonces + > + ; iii) > es un buen orden en Zn0: Esto signi…ca que todo subconjunto no vacío de Zn0 tiene un mínimo elemento bajo > : 10 El siguiente lema nos ayudará a comprender lo que signi…ca la condición de buen orden de la parte iii) de la de…nición. Buen Orden (Lema [2]) Una relación de orden > en Zn0 es un buen orden si y sólo si toda sucesión estrictamente decreciente en Zn0 (1) > (2) > (3) >


es …nita. Orden Lexicografico [Definicion 3] Sea = ( 1; :::; n) y = ( 1; :::; n) 2 Zn0: Decimos que >lex si en la diferencia vectorial 2 Zn; la primera componente no nula por la izquierda es positiva. Escribiremos x >lex x si >lex Proposicion [4] El orden lexicográ…co en Zn0 es un orden monomial. Es importante recalcar que hay muchos órdenes lex, correspondientes a como las variables son ordenadas. Por ejemplo, si las variables son x y y, entonces obtenemos un orden lex con x > y y un segundo con y > x: En el caso general de n variables hay n! órdenes lex: En el órden lex notemos que una variable domina cualquier monomio que involucre sólo variables menores, sin importar su grado total. Así, para el orden lex con x > y > z tenemos que x > y5z3: Para algunos propósitos, podemos también querer tomar los grados totales de los monomios para ordenarlos por el grado mayor. Una manera de hacer esto es con el orden lexicográ…co graduado (lexgr) : Orden Lexicografico Graduado [Definicion 5] Sean ; 2 Zn0: Decimos que >lexgr si j j > j j ó j j = j j y >lex donde j j = nP i=1 i y j j = nP i=1 i: 11 Orden Lexicografico Graduado Revertido [Definicion 6] Sean ; 2 Zn0: Decimos que >lexgrev si j j > j j ó j j = j j y en 2 Zn la primera componente no nula por la derecha es negativa. Definicion [7] Sea f = P a x un polinomio no nulo en K [x1; :::; xn] y sea > un orden monomial. i) el multigrado de f es multi grad (f) = max  2 Zn0 : a 6= 0 (el máximo es tomado con respecto a >); ii) el coe…ciente principal de f es cp (f) = amulti grad(f) 2K; iii) el monomio principal de f es mp (f) = xmulti grad(f) (con coe…ciente 1), iv) el término principal de f es tp (f) = cp (f)
mp (f) : Lema [8] Sean f; g 2K [x1; :::; xn] polinomios no nulos. Entonces 1. multi grad (fg) = multi grad (f) +multi grad (g) 2. si f+g 6= 0; entoncesmulti grad (f + g)  max fmulti grad (f) ;multi grad (g)g : Si además, multi grad (f) 6= multi grad (g) ; entonces se cumple la igualdad. 12 3. f es una combinación K lineal de los monomios en I: Una consecuencia inmediata de la parte 3 del lema es que un ideal monomial está únicamente determinado por sus monomios. Corolario [13] Dos ideales monomiales son iguales si y sólo si contienen los mismos monomios. El resultado principal de esta parte es que todo ideal monomial deK [x1; :::; xn] es …nitamente generado: Lema de Dickson (Teorema [14]) Un ideal monomial I = hx : 2 Ai  K [x1; :::; xn] puede expresarse en la forma I = D x (1); x (2); :::x (s) E ; donde (1) ; (2) ; :::; (s) 2 A: En particular, I tiene una base …nita. El Teorema [14] soluciona la descripción ideal para ideales monomiales, pues dice que un tal ideal tiene una base …nita. Esto, a la vez, nos permite resolver el problema de la pertenencia a un ideal para ideales monomiales. Es decir, si I = D x (1); x (2); :::x (s) E ; entonces uno puede fácilmente mostrar que un polinomio dado f está en I si y sólo si el residuo de f al dividirlo por x (1); x (2); :::; x (s) es cero. Corolario [15] Sea > una relación en Zn0 que satisface: 1. > es un orden total en Zn0 2. si > y 2 Zn0; entonces + > + : Entonces > es un buen orden si y sólo si  0; 8 2 Zn0: Como un resultado de este corolario, la de…nición de orden monomial puede ser simpli…cada, las condiciones (i) y (ii) quedan igual y reemplazamos (iii) por la simple condición que  0; 8 2 Zn0: Esto hace mucho más fácil veri…car que un orden dado es un orden monomial. 15 2.5 El Teorema de la Base de Hilbert y Bases de Groebner En esta parte daremos una solución completa al problema de la descripción de ideales. Nuestro estudio nos llevará también a las bases de ideles con "buenas" propiedades en relación al algoritmo de la división introducido en 2:3. La idea principal que usaremos es que cuando se escoge un orden monomial cada f 2K [x1; :::; xn] tiene un único término principal tp (f) : Por tanto, dado un ideal I, podemos de…nir el ideal de términos principales como sigue: Ideal de T erminos Principales [Definicion 16] Sea I K [x1; :::; xn] un ideal distinto de f0g : i) denotaremos por tp (I) al conjunto de todos los términos principales de los elementos de I, es decir, tp (I) = fcx : existe f 2 I con tp (f) = cx g ; ii) denotaremos por htp (I)i al ideal generado por los elementos de tp (I) : Notemos que dado I = hf1; :::; fsi ; htp (f1) ; :::; tp (fs)i y htp (I)i pueden ser ideales diferentes. htp (I)i puede ser mayor. Proposicion [17] Sea I K [x1; :::; xn] un ideal. i) htp (I)i es un ideal monomial ii) existen g1; :::; gs 2 I tal que htp (I)i = htp (g1) ; :::; tp (gs)i La proposicion [17] y el algoritmo de la división pueden ser utilizados ahora para demostrar la existencia de un conjunto generador …nito para todo ideal polinomial, dando con esto una respuesta positiva al problema de la descripción de un ideal. Teorema de la Base de Hilbert [Teorema 18] Todo ideal I  K [x1; :::; xn] tiene un conjunto generador …nito, es decir, I = hg1; :::; gsi para algunos g1; :::; gs 2 I: Además de responder a la pregunta de la descripción de un ideal, la base fg1; :::; gsg utilizada en la demostración del teorema anterior tiene la propiedad notable de que htp (I)i = htp (g1) ; :::; tp (gs)i : No todas la bases de un ideal tienen esta propiedad. A estas bases especiales les daremos el siguiente nombre: 16 Bases de Groebner [Definicion 19] Fijemos un orden monomial. Un subconjunto …nito G = fg1; :::; gsg de un ideal I es una base de Groebner (o base estándar) si htp (g1) ; :::; tp (gs)i = htp (I)i Equivalentemente, pero muy informal, un conjunto fg1; :::; gsg  I es una base de Groebner de I si y sólo si el término principal de cualquier elemento de I es divisible por uno de los tp (gi) (esto se desprende del lema [11]). La demostración del teorema de la base de Hilbert establece el siguiente resultado: Corolario [20] Fijemos un orden monomial. Entonces todo ideal I K [x1; :::; xn] distinto de f0g tiene una base de Groebner. Además, toda base de Groebner de un ideal I es una base de I: Concluiremos esta parte con dos aplicaciones del teorema de la base de Hilbert. La primera es un resultado algebraico sobre ideales en K [x1; :::; xn]. Una cadena ascendente de ideales es una sucesión creciente y anidada I1  I2 


: Si quisieramos extender la cadena ocurrirían dos alternativas, en ambas la cadena se estabiliza después de un número …nito de pasos. La Condicion de la Cadena Ascendente (Teorema [21]) Sea I1  I2  I3 


una cadena ascendente de ideales en K [x1; :::; xn] : Entonces existe N  1 tal que IN = IN+1 = IN+2 =


La segunda consecuencia es de índole geométrica. Hasta aquí hemos considerado a las variedades a…nes como conjuntos de soluciones de conjuntos …nitos de ecuaciones polinomiales: V (f1; :::; fs) = f(a1; :::; an) 2Kn : fi (a1; :::; an) = 0; 8ig : El teorema de la base de Hilbert permite darle sentido al concepto de variedad de…nida por un ideal I K [x1; :::; xn] : V ariedad de un Ideal [Definicion 22] Sea I K [x1; :::; xn] un ideal. Denotemos por V (I) al conjunto V (I) = f(a1; :::; an) 2Kn : f (a1; :::; an) = 0; 8f 2 Ig : 17 Lema [28] Supongamos que tenemos una suma sP i=1 cifi donde ci 2 K y el multi grad (fi) =  2 Zn0 para todo i: Si multi grad  sP i=1 cifi  < ; entonces sP i=1 cifi es una combinación lineal, con coe…cientes en K de los Spolinomios S (fj ; fk), 1  j; k  s: Además, cada S (fj ; fk) tiene multigrado menor que : Usando los Spolinomios y el lema [28] se prueba el siguiente criterio de Buchberger para saber si la base de un ideal es una base de Groebner. Criterio de los S pares de Buchberger (Teorema [29]) Sea I un ideal polinomial. Entonces una base G = fg1; :::; gsg de I es una base de Groebner para I si y sólo si para todos los pares fgi; gjg con i 6= j; el residuo de dividir S (gi; gj) por G (ordenado de alguna manera) es cero. El Teorema [29] es uno de los principales resultados de las bases de Groeb- ner. Usando este criterio es fácil demostrar que una base dada es de Groebner. 20 2.7 El Algoritmo de Buchberger Hemos visto que todo ideal de K [x1; :::; xn] diferente de f0g tiene una base de Groebner. Dado un ideal I  K [x1; :::; xn] ; ¿cómo construir una base de Groebner para I? Se sugiere que, en general, se podría extender una base F = ff1; :::; fsg a una base de Groebner agregando a F sucesivamente los residuos no nulos S (fi; fj) F : Esta idea es una consecuencia natural del criterio de los spares de 2:6 la cual conduce al siguiente algoritmo para calcular las bases de Groebner, debido a Bruno Buchberger: Algoritmo de Buchberger (Teorema [30]) Sea I = hf1; :::; fsi 6= f0g un ideal polinomial. Entonces se puede construir una base de Groebner para I en un número …nito de pasos, por medio del siguiente algoritmo: Inputs : F = hf1; :::; fsi Outputs : a Groebner basis G = (g1; :::; gt) for I; with F  G G := F REPEAT G0 := G FOR each pair fp; qg ; p 6= q in G0 DO S := S (p; q) G0 IF S 6= 0 THEN G := G[fSg UNTIL G = G0 En conjunto, el criterio de los spares (teorema [29]) y el algoritmo de Buchberger (teorema anterior) dan un recurso algorítmico para la teoría de las bases de Groebner. Las bases de Groebner así obtenidas son a menudo más extensas de lo necesario, pudiéndose eliminar algunos generadores innecesarios usando el sigu- iente hecho: Lema [31] Sea G una base de Groebner para el ideal polinomial I. Sea p 2 G un polinomio tal que tp (p) 2 htp (G fpg)i : Entonces G fpg también es una base de Groebner para I: Si ajustamos las constantes para hacer los coe…cientes principales iguales a 1 y si eliminamos todos los p con tp (p) 2 htp (G fpg)i en G, obtenemos lo que llamaremos una base minimal de Groebner. 21 Base Minimal de Groebner [Definicion 32] Una base minimal de Groebner para un ideal polinomial I es una base de Groebner para I tal que i) cp (p) = 1 8p 2 G ii) 8p 2 G : tp (p) =2 htp (G fpg)i : Se puede construir una base minimal de Groebner para un ideal no nulo, aplicando el algoritmo del teorema [30] y usando después el lema [31] para eliminar los generadores innecesarios que podrían haber sido incluidos. Desafortunadamente, un ideal puede tener muchas bases minimales de Groeb- ner, pero, afortunadamente podemos escoger una base minimal mejor que las otras. La de…nición es la siguiente: Base Reducida de Groebner [Definicion 33] Una base reducida de Groebner para un ideal polinomial I es una base de Groebner G para I tal que: a) cp (p) = 1 8p 2 G b) 8p 2 G; ningún monomio de p pertenece a htp (G fpg)i : En general, las bases reducidas de Groebner tienen la siguiente destacada propiedad: Proposicion [34] Sea I 6= f0g un ideal polinomial. Se cumple que, dado un orden monomial, I tiene una única base reducida de Groebner. Una consecuencia de la unicidad de la proposicion [34] es que nos da un algoritmo para la igualdad de ideales, cuando sea preciso ver si dos conjunto de polinomios ff1; :::; fsg y fg1; :::; gsg generan el mismo ideal: se …ja simplemente un orden monomial y se calculan las bases reducidas de Groebner de ff1; :::; fsg y fg1; :::; gsg : Entonces, dichos ideales son iguales si y sólo si las bases reducidas de Groebner son las mismas. 22