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¡Descarga transferencia de calor y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, julio 2023 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 14 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval SEMANA N° 01 – MATEMÁTICA BÁSICA Escuela Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias Carrera Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias 2 ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4 2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 5 3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 5 3.1. Presentación de sílabos: ......................................................................................................................... 5 3.2. LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................................................................ 5 3.2.1. Lógica Matemática ................................................................................................................ 5 3.2.2. Enunciado .............................................................................................................................. 5 3.2.3. Proposición. ........................................................................................................................... 6 3.2.4. Enunciados abiertos............................................................................................................... 7 3.2.5. Proposiciones simples y compuestas ..................................................................................... 7 3.2.6. Conectivos lógicos ................................................................................................................ 8 3.2.7. Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas. .................................................. 8 3.2.8. La conjunción ........................................................................................................................ 8 3.2.9. La disyunción inclusiva ......................................................................................................... 9 3.2.10. La disyunción exclusiva ................................................................................................. 10 3.2.11. La negación..................................................................................................................... 11 3.2.12. La condicional ............................................................................................................... 12 3.2.13. Proposición Recíproca .................................................................................................... 13 3.2.14. Proposición Inversa ........................................................................................................ 13 3.2.15. Proposición Contra recíproca. ........................................................................................ 13 3.2.16. La bicondicional ............................................................................................................ 14 3.2.17. Usos de los signos de agrupación ................................................................................... 14 3.2.18. Ejercicio de aplicación .................................................................................................... 15 3.2.19. Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores ............................................ 18 3.2.20. Implicación lógica .......................................................................................................... 19 3.2.21. Equivalencia lógica ......................................................................................................... 20 3.2.22. Leyes lógicas .................................................................................................................. 20 4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 21 Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, abril 2022 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 01 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval Índice 1. Introducción 2 2. Objetivos Educacionales y resultados del estudiante 2 2.1. Objetivos Educacionales del programa . . . . . . . . . . . 2 2.2. Resultados del estudiante (RE): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Desarrollo 3 3.1. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2. Cálculo de volumen, masa, centro de masa de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. Actividades y evaluación 11 4.1. Evaluación de la Actividad1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2. Evaluación procedimental de la Actividad1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3. Rúbrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4. Evaluación actitudinal del curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5. Glosario 13 6. Referencia Bibliográfica 14 SEMANA No. 14 – Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables 1 SEMANA N° 01 – MATEMÁTICA BÁSICA Escuela Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias Carrera Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias 2 ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4 2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 5 3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 5 3.1. Presentación de sílabos: ......................................................................................................................... 5 3.2. LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................................................................ 5 3.2.1. Lógica Matemática ................................................................................................................ 5 3.2.2. Enunciado .............................................................................................................................. 5 3.2.3. Proposición. ........................................................................................................................... 6 3.2.4. Enunciados abiertos............................................................................................................... 7 3.2.5. Proposiciones simples y compuestas ..................................................................................... 7 3.2.6. Conectivos lógicos ................................................................................................................ 8 3.2.7. Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas. .................................................. 8 3.2.8. La conjunción ........................................................................................................................ 8 3.2.9. La disyunción inclusiva ......................................................................................................... 9 3.2.10. La disyunción exclusiva ................................................................................................. 10 3.2.11. La negación..................................................................................................................... 11 3.2.12. La condicional ............................................................................................................... 12 3.2.13. Proposición Recíproca .................................................................................................... 13 3.2.14. Proposición Inversa ........................................................................................................ 13 3.2.15. Proposición Contra recíproca. ........................................................................................ 13 3.2.16. La bicondicional ............................................................................................................ 14 3.2.17. Usos de los signos de agrupación ................................................................................... 14 3.2.18. Ejercicio de aplicación .................................................................................................... 15 3.2.19. Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores ............................................ 18 3.2.20. Implicación lógica .......................................................................................................... 19 3.2.21. Equivalencia lógica ......................................................................................................... 20 3.2.22. Leyes lógicas .................................................................................................................. 20 4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 21 Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, abril 2022 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 01 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval Suele tomarse y Además, puesto que 0¡OQ 0 = r sen f = r, las fórmulas (4) nos permiten transformar las coordenadas esféricas en coordenadas cilíndricas EJEMPLO 5 Centro de masa Convierta las coordenadas esféricas en a) coordenadas rectangulares y b) coorden das cilín ricas. Solución a) Identificando f = p 4 y encontramos de (3) que Las coordenadas rectangulares del punto son b) De (4) obtenemos De tal modo, las coordenadas cilíndricas del punto son Coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas Para convertir las coordenadas rectan- gulares en coordenadas esféricas usamos (5) Integrales triples en coordenadas esféricas Como se observa en la FIGURA 14.8.7, el volumen de una “cuña esférica” está dado por la aproximación De tal modo, en una integral triple de una función continua en coordenadas esféricas la diferencial volumen es Por consiguiente, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma EJEMPLO 6 Centro de masa Emplee coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido del ejemplo 3. Solución Empleando (3), dV f (r, f, u), (r, f, u),(x, y, z) A312, p>3, 312B. A 3212, 3216, 312 B. u  p>3,>r  6, (6, p>4, p>3) (r, u, z).(r, f, u) 0  f  p.r  0 14.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 787 FIGURA 14.8.7 Cuña esférica       sen   sen  z y  x   r r sen f, u u, z r cos f z 6 cos p 4 6a1 2 12b 312. u p 3 r 6 sen p 4 6 a1 2 12b 312 z 6 cos p 4 6a1 2 12b 312. y 6 sen p 4 sen p 3 6a1 2 12ba1 2 13b 3 2 16 x 6 sen p 4 cos p 3 6a1 2 12b a1 2 b 3 2 12 D f (r, f, u) dV b a g2(u) g1(u) h2(f, u) h1(f, u) f (r, f, u) r2 sen f dr df du. dV r2 sen f dr df du. ¢V r2 sen f ¢r ¢f ¢u. r2 x2 y2 z2, tan u y x , cos f z 2x2 y2 z2 . z 2x2 y2 se vuelve f p>4. z 1 se vuelve r cos f 1 o r secf, 14Zill784-800.qxd 7/10/10 14:06 Página 787 Coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares Para convertir las coordenadas rectangulares (x, y, z) en coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) usamos ρ2 = x2 + y2 + z2, tan θ = y x , cosφ = z√ x2 + y2 + z2 Integrales triples en coordenadas esféricas Como se observa en l Figura 2, el volume de a “cuña esférica” está dado por la ap oximación ∆V ≈ ρ2 senφ∆ρ∆φ∆θ De tal modo, una integral triple d una función continua en coo denadas sféricas f(ρ, φ, θ) la diferencial de volumen dV es dV = ρ2 senφdρdφdθ Por consiguiente, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma∫∫∫ D f(ρ, φ, θ)dV == ∫ β α ∫ g2(θ) g1(θ) ∫ h2(φ,θ) h1(φ,θ) f(ρ, φ, θ)ρ2 senφdρdφdθ SEMANA No. 14 – Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables 4 SEMANA N° 01 – MATEMÁTICA BÁSICA Escuela Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias Carrera Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias 2 ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4 2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 5 3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 5 3.1. Presentación de sílabos: ......................................................................................................................... 5 3.2. LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................................................................ 5 3.2.1. Lógica Matemática ................................................................................................................ 5 3.2.2. Enunciado .............................................................................................................................. 5 3.2.3. Proposición. ........................................................................................................................... 6 3.2.4. Enunciados abiertos............................................................................................................... 7 3.2.5. Proposiciones simples y compuestas ..................................................................................... 7 3.2.6. Conectivos lógicos ................................................................................................................ 8 3.2.7. Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas. .................................................. 8 3.2.8. La conjunción ........................................................................................................................ 8 3.2.9. La disyunción inclusiva ......................................................................................................... 9 3.2.10. La disyunción exclusiva ................................................................................................. 10 3.2.11. La negación..................................................................................................................... 11 3.2.12. La condicional ............................................................................................................... 12 3.2.13. Proposición Recíproca .................................................................................................... 13 3.2.14. Proposición Inversa ........................................................................................................ 13 3.2.15. Proposición Contra recíproca. ........................................................................................ 13 3.2.16. La bicondicional ............................................................................................................ 14 3.2.17. Usos de los signos de agrupación ................................................................................... 14 3.2.18. Ejercicio de aplicación .................................................................................................... 15 3.2.19. Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores ............................................ 18 3.2.20. Implicación lógica .......................................................................................................... 19 3.2.21. Equivalencia lógica ......................................................................................................... 20 3.2.22. Leyes lógicas .................................................................................................................. 20 4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 21 Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, abril 2022 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 01 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval Figura 2: Cuña esférica Suele tomarse y Además, puesto que 0¡OQ 0 = r sen f = r, las fórmulas (4) nos permiten transformar las coordenadas esféricas en coordenadas cilíndricas EJEMPLO 5 Centro de masa Convierta las coordenadas esféricas en a) coordenadas rectangulares y b) coordenadas cilíndricas. Solución a) Identificando f = p 4 y encontramos de (3) que Las coordenadas rectangulares del punto son b) De (4) obtenemos De tal modo, las coordenadas cilíndricas del punto son Coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas Para convertir las coordenadas rectan- gulares en coordenadas esféricas usamos (5) Integrales triples en coordenadas esféricas Como se observa en la FIGURA 14.8.7, el volumen de una “cuña esférica” está dado por la aproximación De tal modo, en una integral triple de una función continua en coordenadas esféricas la diferencial de volumen es Por consiguiente, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma EJEMPLO 6 Centro de masa Emplee coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido del ejemplo 3. Solución Empleando (3), dV f (r, f, u), (r, f, u),(x, y, z) A312, p>3, 312B. A 3212, 3216, 312 B. u  p>3,>r  6, (6, p>4, p>3) (r, u, z).(r, f, u) 0  f  p.r  0 14.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 787 FIGURA 14.8.7 Cuña esférica       sen   sen  z y  x   r r sen f, u u, z r cos f z 6 cos p 4 6a1 2 12b 312. u p 3 r 6 sen p 4 6 a1 2 12b 312 z 6 cos p 4 6a1 2 12b 312. y 6 sen p 4 sen p 3 6a1 2 12ba1 2 13b 3 2 16 x 6 sen p 4 cos p 3 6a1 2 12b a1 2 b 3 2 12 D f (r, f, u) dV b a g2(u) g1(u) h2(f, u) h1(f, u) f (r, f, u) r2 sen f dr df du. dV r2 sen f dr df du. ¢V r2 sen f ¢r ¢f ¢u. r2 x2 y2 z2, tan u y x , cos f z 2x2 y2 z2 . z 2x2 y2 se vuelve f p>4. z 1 se vuelve r cos f 1 o r secf, 14Zill784-800.qxd 7/10/10 14:06 Página 787 Fuente:Zill (2011) 3.2. Cálculo de volumen, masa, centro de masa de un sólido EJEMPLO 2. centro de masa Un sólido en l primer octante tiene la forma determinada por la gráfica del cono de un solo manto z =√ x2 + y2 y los planos z = 1, x = 0 y y = 0. Determinar el centro de masa si la densidad est’a dada por ρ(r, θ, z) = r Solución Utilizando las coordenadas cilı́ndricas La ecuación del cono z = r. Por consiguiente, vemos de la Figura que Figura 3: Sólido Entonces, si es una función continua sobre la región D, como se ilustra en la figura 14.8.3b), la integral triple de F sobre D está dada por EJEMPLO 3 Centro de masa Un sólido en el primer octante tiene la forma determinada por la gráfica del cono de un solo manto y los planos z = 1, x = 0 y Determine el centro de masa si la den- sidad está dada por Solución En vista de (2), la ecuación del cono es Por consi uiente, vemos de la FIGURA 14.8.4 que Empleando y = r sen u y x = r cos u, tenemos también que Por consiguiente, El centro de masa tiene las coordenadas aproximadas (0.38, 0.38, 0.8). z  Mxy m  1 30 p 1 24 p  4 5  0.8. y  Mxz m  1 20 1 24 p  6 5p  0.38, x  Myz m  1 20 1 24 p  6 5p  0.38,  1 2  p>2 0  1 0 (r2  r4) dr du  1 30 p.   p>2 0  1 0 1 2 z2r2 d 1 r dr du Mxy   D zr dV   p>2 0  1 0  1 r zr2 dz dr du   p>2 0  1 0 (r2  r3) dr du  1 24 p,   p>2 0  1 0 r2z d 1 r dr du m   D r dV   p>2 0  1 0  1 r r (r dz dr du) z  r. r(r, u, z)  r. y  0.z  2x2  y2 f(r, u, z) 14.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 785 FIGURA 14.8.4 Sólido del ejemplo 3 z D x y z  r z  1 r  1  0  2  D f (r, u, z) dV R c h2(r, u) h1(r, u) f (r, u, z) dz d dA b a g2(u) g1(u) h2(r, u) h1(r, u) f (r, u, z) r dz dr du. Myz D r2 cos u dV p>2 0 1 0 1 r r3 cos u dz dr du 1 20 . p>2 0 1 0 (r3 r4) sen u dr du 1 20 , p>2 0 1 0 r3z sen u d 1 r dr du Mxz D r2 sen u dV p>2 0 1 0 1 r r3 sen u dz dr du 14Zill784-800.qxd 7/10/10 14:06 Página 785 Fuente:Zill (2011) SEMANA No. 14 – Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables 5 SEMANA N° 01 – MATEMÁTICA BÁSICA Escuela Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias Carrera Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias 2 ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4 2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 5 3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 5 3.1. Presentación de sílabos: ......................................................................................................................... 5 3.2. LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................................................................ 5 3.2.1. Lógica Matemática ................................................................................................................ 5 3.2.2. Enunciado .............................................................................................................................. 5 3.2.3. Proposición. ........................................................................................................................... 6 3.2.4. Enunciados abiertos............................................................................................................... 7 3.2.5. Proposiciones simples y compuestas ..................................................................................... 7 3.2.6. Conectivos lógicos ................................................................................................................ 8 3.2.7. Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas. .................................................. 8 3.2.8. La conjunción ........................................................................................................................ 8 3.2.9. La disyunción inclusiva ......................................................................................................... 9 3.2.10. La disyunción exclusiva ................................................................................................. 10 3.2.11. La negación..................................................................................................................... 11 3.2.12. La condicional ............................................................................................................... 12 3.2.13. Proposición Recíproca .................................................................................................... 13 3.2.14. Proposición Inversa ........................................................................................................ 13 3.2.15. Proposición Contra recíproca. ........................................................................................ 13 3.2.16. La bicondicional ............................................................................................................ 14 3.2.17. Usos de los signos de agrupación ................................................................................... 14 3.2.18. Ejercicio de aplicación .................................................................................................... 15 3.2.19. Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores ............................................ 18 3.2.20. Implicación lógica .......................................................................................................... 19 3.2.21. Equivalencia lógica ......................................................................................................... 20 3.2.22. Leyes lógicas .................................................................................................................. 20 4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 21 Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, abril 2022 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 01 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval m = ∫∫∫ D rdV = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 ∫ 1 r r(rdzdrdθ) = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 [ r2z ]1 r drdθ = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 (r2 − r3)drdθ = ∫ π/2 0 [ r3 3 − r4 4 ]1 0 dθ = ∫ π/2 0 ( 1 12 )dθ = 1 12 [θ] π/2 0 = π 24 El primer momento con respecto al plano yz es Mxy = ∫∫∫ D zrdV = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 ∫ 1 r zr2dzdrdθ = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 [ 1 2 z2r2 ]1 r drdθ = 1 2 ∫ π/2 0 ∫ 1 0 (r2 − r4)drdθ = 1 30 π Empleando y = r sen θ y x = r cos θ, tenemos también que Mxz = ∫∫∫ D r2 sen θdV = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 ∫ 1 r r3 sen θdzdrdθ = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 [ r3z sen θ ]1 r drdθ = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 (r3 − r4) sen θdrdθ = 1 20 El tercer momento con respecto al plano yz es hacer el mismo procedimiento Myz = ∫∫∫ D r2 cos θdV = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 ∫ 1 r r3 cos θdzdrdθ = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 [ r3z sen θ ]1 r drdθ = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 (r3 − r4) sen θdrdθ = 1 20 SEMANA No. 14 – Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables 6 SEMANA N° 01 – MATEMÁTICA BÁSICA Escuela Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias Carrera Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias 2 ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4 2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 5 3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 5 3.1. Presentación de sílabos: ......................................................................................................................... 5 3.2. LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................................................................ 5 3.2.1. Lógica Matemática ................................................................................................................ 5 3.2.2. Enunciado .............................................................................................................................. 5 3.2.3. Proposición. ........................................................................................................................... 6 3.2.4. Enunciados abiertos............................................................................................................... 7 3.2.5. Proposiciones simples y compuestas ..................................................................................... 7 3.2.6. Conectivos lógicos ................................................................................................................ 8 3.2.7. Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas. .................................................. 8 3.2.8. La conjunción ........................................................................................................................ 8 3.2.9. La disyunción inclusiva ......................................................................................................... 9 3.2.10. La disyunción exclusiva ................................................................................................. 10 3.2.11. La negación..................................................................................................................... 11 3.2.12. La condicional ............................................................................................................... 12 3.2.13. Proposición Recíproca .................................................................................................... 13 3.2.14. Proposición Inversa ........................................................................................................ 13 3.2.15. Proposición Contra recíproca. ........................................................................................ 13 3.2.16. La bicondicional ............................................................................................................ 14 3.2.17. Usos de los signos de agrupación ................................................................................... 14 3.2.18. Ejercicio de aplicación .................................................................................................... 15 3.2.19. Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores ............................................ 18 3.2.20. Implicación lógica .......................................................................................................... 19 3.2.21. Equivalencia lógica ......................................................................................................... 20 3.2.22. Leyes lógicas .................................................................................................................. 20 4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 21 Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, abril 2022 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 01 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval Por lo consiguiente, z = Mxy m = 112 3 k 12k = 28 9 Las coordenadas del centro de masa son entonces (0, 0, 289 ) Figura 5: Sólido EJEMPLO 4 Repaso del ejemplo 3 Determine el momento de inercia del sólido del ejemplo 3 alrededor del eje z. Encuentre el radio de giro. Solución Sabemos que Con simetría podemos escribir esta integral triple como Del ejemplo 3 es claro que y por ello se deduce que el radio de giro es El último ejemplo ilustra cómo cambiar el orden de integración en una integral triple. EJEMPLO 5 Cambio del orden de integración Cambie el orden de integración en a Solución Como se observa en la FIGURA 14.7.7a), la región D es el sólido en el primer octante aco- tado por los tres planos de coordenadas y el plano Con referencia a la figu- ra 14.7.7b) y la tabla incluida, concluimos que  6 0  42x>3 0  3x>23y>4 0 f (x, y, z) dz dy dx   3 0  62z 0  42x>34z>3 0 f (x, y, z) dy dx dz. 2x  3y  4z  12. dy dx dz.  6 0  42x>3 0  3x>23y>4 0 f (x, y, z) dz dy dx Rg  A Iz m  A 4k 12k  1 3 13 m  12k  24k c 1 3 x3  1 4 x4  1 12 (1  x)4 d 1 0  4k.  24k 1 0 c x2  x3  1 3 (1  x)3 d dx  24k 1 0 ax2y  1 3 y3b d 1x 0 dx  24k 1 0  1x 0 (x2  y2) dy dx  4k 1 0  1x 0 (x2  y2) 1 2 z2 d 4 2 dy dx Iz  4k 1 0  1x 0  4 2 (x2  y2)z dz dy dx Iz  D(x2  y2)kz dV. FIGURA 14.7.6 Sólido del ejemplo 3 x  y  1 z  2 z  4 x R D y z a) y  1 x y  0 x y b) 14.7 La integral triple 781 14Zill769-783.qxd 7/10/10 13:58 Página 781 Fuente:Zill (2011) EJEMPLO 5. Centro de masa Hallar el centro de masa del cubo nidad mostrado en la Figura(6), dado que la densidad n el punto (x, y, z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Figura 6: Cubo SECCIÓN 14.6 Integrales triples y aplicaciones 1033 EJEMPLO 5 Hallar el centro de masa de una región sólida Hallar el centro de masa del cubo unidad mostrado en la figura 14.61, dado que la densi- dad en el punto (x, y, z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Solución Como la densidad en (x, y, z) es proporcional al cuadrado de la distancia entre (0, 0, 0) y (x, y, z), se tiene Esta función de densidad se puede utilizar para hallar la masa del cubo. Debido a la simetría de la región, cualquier orden de integración producirá integrales de dificultad comparable. El primer momento con respecto al plano yz es Nótese que x puede sacarse como factor fuera de las dos integrales interiores, ya que es constante con respecto a y y a z. Después de factorizar, las dos integrales interiores son iguales con respecto a la masa m. Por tanto, se tiene Así, Por último, por la naturaleza de r y la simetría de x, y y en esta región sólida, se tiene y el centro de masa es s 7 12, 7 12, 7 12d.x 5 y 5 z, z x 5 Myz m 5 7ky12 k 5 7 12 . 5 7k 12 . 5 k3x4 4 1 x2 3 4 1 0 Myz 5 kE1 0 x1x2 1 2 32 dx 5 kE1 0 x3E1 0 E1 0 sx2 1 y2 1 z2d dz dy4 dx. Myz 5 kE1 0 E1 0 E1 0 xsx2 1 y2 1 z2d dz dy dx 5 k3x3 3 1 2x 3 4 1 0 5 k 5 kE1 0 1x2 1 2 3 2 dx 5 kE1 0 31x2 1 1 32y 1 y3 3 4 1 0 dx 5 kE1 0 E1 0 1x2 1 y2 1 1 3 2 dy dx 5 kE1 0 E1 0 3sx2 1 y2dz 1 z3 3 4 1 0 dy dx m 5 E1 0 E1 0 E1 0 ksx2 1 y2 1 z2d dz dy dx rsx, y, zd 5 ksx2 1 y2 1 z2d. Densidad variable: Figura 14.61 rsx, y, zd 5 ksx2 1 y2 1 z2d x y 1 1 1 (x, y, z) z 14-6.qxd 3/12/09 18:32 Page 1033 Fuente:Larson (2010) Solución Como la densidad en (x, y, z) es proporcional al cuadrado de la distancia entre (0, 0, 0) y (x, y, z), se tiene ρ(x, y, z) = k(x2 + y2 + z2) Esta función de densidad se puede utilizar para hallar la masa del cubo. Debido a la simetrı́a de la región, SEMANA No. 14 – Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables 9 SEMANA N° 01 – MATEMÁTICA BÁSICA Escuela Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias Carrera Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias 2 ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4 2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 5 3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 5 3.1. Presentación de sílabos: ......................................................................................................................... 5 3.2. LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................................................................ 5 3.2.1. Lógica Matemática ................................................................................................................ 5 3.2.2. Enunciado .............................................................................................................................. 5 3.2.3. Proposición. ........................................................................................................................... 6 3.2.4. Enunciados abiertos............................................................................................................... 7 3.2.5. Proposiciones simples y compuestas ..................................................................................... 7 3.2.6. Conectivos lógicos ................................................................................................................ 8 3.2.7. Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas. .................................................. 8 3.2.8. La conjunción ........................................................................................................................ 8 3.2.9. La disyunción inclusiva ......................................................................................................... 9 3.2.10. La disyunción exclusiva ................................................................................................. 10 3.2.11. La negación..................................................................................................................... 11 3.2.12. La condicional ............................................................................................................... 12 3.2.13. Proposición Recíproca .................................................................................................... 13 3.2.14. Proposición Inversa ........................................................................................................ 13 3.2.15. Proposición Contra recíproca. ........................................................................................ 13 3.2.16. La bicondicional ............................................................................................................ 14 3.2.17. Usos de los signos de agrupación ................................................................................... 14 3.2.18. Ejercicio de aplicación .................................................................................................... 15 3.2.19. Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores ............................................ 18 3.2.20. Implicación lógica .......................................................................................................... 19 3.2.21. Equivalencia lógica ......................................................................................................... 20 3.2.22. Leyes lógicas .................................................................................................................. 20 4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 21 Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, abril 2022 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 01 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval cualquier orden de integración producirá integrales de dificultad comparable. m = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 k(x2 + y2 + z2)dzdydx = k ∫ 1 0 ∫ 1 0 [ (x2 + y2)z + z3 3 ]1 0 dydx = k ∫ 1 0 ∫ 1 0 ( x2 + y2 + 1 3 ) dydx = k ∫ 1 0 [ (x2 + 1 3 )y + y3 3 ]1 0 dx = k ∫ 1 0 ( x2 + 2 3 ) dx = k [ x3 3 + 2x 3 ]1 0 = k El primer mome to con respecto al plano yz es Myz = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 xk(x2 + y2 + z2)dzdydx = k ∫ 1 0 x [∫ 1 0 ∫ 1 0 (x2 + y2 + z2)dzdy ] dx = k ∫ 1 0 x [∫ 1 0 ( (x2 + y2)z + z3 3 )1 0 dy ] dx = k ∫ 1 0 x [∫ 1 0 ( x2 + y2 + 1 3 ) dy ] dx = k ∫ 1 0 x [( x2 + 1 3 ) y + y3 3 ]1 0 dx = k ∫ 1 0 x [( x2 + 1 3 ) + 1 3 ] dx = k ∫ 1 0 x ( x2 + 2 3 ) dx = k ∫ 1 0 ( x3 + 2 3 x ) dx = k [ x4 4 + x2 3 ]1 0 = k ( 1 4 + 1 3 ) = 7k 12 El segundo momento con respecto al plano xz es Mxz = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 yk(x2 + y2 + z2)dzdydx = k ∫ 1 0 ∫ 1 0 y [∫ 1 0 (x2 + y2 + z2)dz ] dydx = k ∫ 1 0 ∫ 1 0 y [ (x2 + y2)z + z3 3 ]1 0 dydx = k ∫ 1 0 [∫ 1 0 y ( x2 + y2 + 1 3 ) dy ] dx = k ∫ 1 0 ∫ 1 0 [( x2 + 1 3 ) y + y3 ] dydx = k ∫ 1 0 [( x2 + 1 3 ) y2 2 + y4 4 ]1 0 dx = k ∫ 1 0 [( x2 + 1 3 ) 1 2 + 1 4 ] dx = k ∫ 1 0 ( 1 2 x2 + 5 12 ) dx = k [ x3 6 + 5x 12 ]1 0 = k ( 1 6 + 5 12 ) = 7k 12 El tercer momento con respecto al plano yz es hacer el mismo procedimiento, se tine Myz = 7k 12 Ası́ x̄ = Myz m = 7k/12 k = 7 12 SEMANA No. 14 – Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables 10 SEMANA N° 01 – MATEMÁTICA BÁSICA Escuela Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias Carrera Profesional de Ingeniería de Industrias Alimentarias 2 ÍNDICE Pág. 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4 2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 5 3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 5 3.1. Presentación de sílabos: ......................................................................................................................... 5 3.2. LÓGICA PROPOSICIONAL ................................................................................................................ 5 3.2.1. Lógica Matemática ................................................................................................................ 5 3.2.2. Enunciado .............................................................................................................................. 5 3.2.3. Proposición. ........................................................................................................................... 6 3.2.4. Enunciados abiertos............................................................................................................... 7 3.2.5. Proposiciones simples y compuestas ..................................................................................... 7 3.2.6. Conectivos lógicos ................................................................................................................ 8 3.2.7. Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas. .................................................. 8 3.2.8. La conjunción ........................................................................................................................ 8 3.2.9. La disyunción inclusiva ......................................................................................................... 9 3.2.10. La disyunción exclusiva ................................................................................................. 10 3.2.11. La negación..................................................................................................................... 11 3.2.12. La condicional ............................................................................................................... 12 3.2.13. Proposición Recíproca .................................................................................................... 13 3.2.14. Proposición Inversa ........................................................................................................ 13 3.2.15. Proposición Contra recíproca. ........................................................................................ 13 3.2.16. La bicondicional ............................................................................................................ 14 3.2.17. Usos de los signos de agrupación ................................................................................... 14 3.2.18. Ejercicio de aplicación .................................................................................................... 15 3.2.19. Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores ............................................ 18 3.2.20. Implicación lógica .......................................................................................................... 19 3.2.21. Equivalencia lógica ......................................................................................................... 20 3.2.22. Leyes lógicas .................................................................................................................. 20 4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 21 Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Jaén – Perú, abril 2022 GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N° 01 CURSO: Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables DOCENTE: Juan Carlos Damián Sandoval ȳ = Mxz m = 7k/12 k = 7 12 z̄ = Mxy m = 7k/12 k = 7 12 Por lo tanto el centro de masa es ( 7 12 , 7 12 , 7 12 ) 4 Actividades y evaluación 4.1. Evaluación de la Actividad1 1. Calcular el volumen de la región delimitada por el cono z = √ 3(x2 + y2) y la semiesfera z =√ 4− x2 − y2, aplicando coordenadas esféricas. 2. Calcular el volumen del sólido que está acotado por x2 + y2 + z2 = 4, y = x, y = √ 3x, z = 0, en el primer octante, aplicando coordenadas esféricas. 3. Calcular ∫∫∫ R e(x 2+y2+z2)3/2dV , donde R es una esfera centrada en el origen de coordenadas, de radio unit ri , apl cando coordenadas esféricas. 4. Calcule el volumen del sólido que yace arriba del cono z = √ x2 + y2, y debajo de a esfera x2 +y2 + z2 = z. 5. Utilice coordenadas esféricas para evaluar.∫ 2 −2 ∫ √4−x2 − √ 4−x2 ∫ √4−x2−y2 0 z2 √ x2 + y2 + z2dzdydx 4.2. Evaluación procedimental de la Actividad1 En la actividad 1 se prese tan cinco ejercicios para su desarrollo haciendo el uso complementario como las definiciones y propiedades, teniendo en cuenta las siguientes instrucciones: Realizar en un papel limpio sin manchas, una vez realizada tomarle una foto a su trabajo. El desarrollo de los ej rcicios dar a soluci´n de acorde a los criterios dados en la rúbrica. SEMANA No. 14 – Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables 11