Dossier-Models-Matricials-2017.2018, Ejercicios de Química. Universitat de Girona (UdG)
miriamelhilali
miriamelhilali

Dossier-Models-Matricials-2017.2018, Ejercicios de Química. Universitat de Girona (UdG)

25 páginas
7Número de visitas
Descripción
Asignatura: Mètodes matemàtics aplicats a la química, Profesor: Narcís Clara, Carrera: Química, Universidad: UdG
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 25
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 25 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 25 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 25 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 25 páginas totales
Descarga el documento
Dossier-Models-Matricials-2017.2018.pdf

Matemàtiques

Grau en Biotecnologia/Qúımica

Dossier d’exercicis de Models Matricials

Curs 2017/2018

Índex de continguts

1 Matrius, sistemes d’equacions lineals, i valors i vectors propis 1

1.1 Matrius i determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Valors i vectors propis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Solucions dels exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Preguntes d’elecció múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Solucions de les preguntes d’elecció múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Models matricials 13

2.1 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Preguntes d’elecció múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Solucions dels exercicis de models matricials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Solucions a les preguntes d’elecció múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1 Matrius, sistemes d’equacions lineals, i valors i vectors propis

1.1 Matrius i determinants

1. Calcula:

(a)

( 1 2 2 4

) · (

3 −1 3 1 2 6

) + 5

( 1 2 −1

−1 0 3

)

(b) ( 2 3 7

) ·

⎝ −1 0 4 1 1 1 5 0 2 3 3 1

⎠+ 2 ( 6 0 1 3

)

2. Calcula

∣∣∣∣∣∣

a b c d− 3a e− 3b f − 3c 2g 2h 2i

∣∣∣∣∣∣ suposant que

∣∣∣∣∣∣

a b c d e f g h i

∣∣∣∣∣∣ = 5

3. Troba els valors de λ tals que det(A) = 0 essent A la matriu:

a)

( λ− 1 −2 1 λ− 4

) , b)

⎝ λ− 6 0 0 0 λ −1 0 4 λ− 4

⎠ .

4. Calculant un determinant, troba el volum de la piràmide de base triangular (tetraedre) de vèrtexs A = (1,−2, 1), B = (2, 3,−1), C = (−3, 2, 3) i D = (2, 3, 6). Ajut: El volum del tetraedre és igual a 1/6 del volum paral·leleṕıpede determinat pels vectors que formen tres costats de la piràmide incidents en un mateix vèrtex.

5. Comprova que (A ·B)t = Bt ·At per a les matrius següents:

A =

( 1 2 0 −2

) , B =

( −3 −1 2 1

) .

6. Si A · C = B · C, podem assegurar que A = B? Comprova què passa amb les matrius

A =

⎝ 1 2 3 0 5 4 3 −2 1

⎠ , B =

⎝ 4 −6 3 5 4 4

−1 0 1

⎠ , C =

⎝ 0 0 0 0 0 0 4 −2 3

⎠ .

7. Donades les matrius A =

( 1 1 2 1

) i B =

( −1 1 1 −5

) , resol l’equació matricial

A ·X ·BT = I

1

8. Calcula les inverses de les següents matrius comprovant que efectivament ho són:

A =

⎝ 5 3/2 −1 4 5 2 −3 0 1

⎠ , B =

⎝ 0 7 1/2 2 1/2 3 4 1/2 1/3

⎠ ,

9. Siguin A,B ∈ M(n) inversibles. Justifica les següents igualtats: a) (A−1)−1 = A

b) (AB)−1 = B−1A−1

10. Sigui A(θ) =

( cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)

) amb θ ∈ R. Es demana:

a) Calcula A(θ)A(θ′) amb θ, θ′ ∈ R b) Calcula (A(θ))−1

c) Calcula (A(θ))n amb n ∈ N

11. Què podem dir d’una matriu A ∈ M(n) que compleix tr(AAt) = 0?

12. Sigui A =

⎝ 1 0 2 0 −1 1 1 −2 0

⎠. Es demana:

a) Calcula A3 −A. b) A partir de l’apartat anterior deduir que A és inversible i calcular A−1.

13. Troba A,B ∈ M(2) tals que AB = 0 i BA ̸= 0.

1.2 Sistemes d’equacions lineals

1. Estudia la compatibilitat i resol, si és possible, els sistemes següents:

a)

⎧ ⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

2y − z = a 3x− 2z = 11

y + z = 6 2x+ y − 4z = a

b)

⎧ ⎨

ax+ y + z = 1 x+ ay + z = 1 x+ y + az = 1

c)

⎧ ⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

2x− ay + z = 0 2x− 2y + z = 0 bx− 2y − 4z = 0 4x+ 2y + 7z = 0

d)

⎧ ⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

x+ 2y + at = 0 −y − z + t = 0

ax+ t = 0 2z − 4t = 0

2. Un vehicle automatitzat puja els pendents a 20 km/h, els baixa a 60 km/h i, en pla, circula a 40 km/h. Si sabem que per anar d’un lloc A a un lloc B triga 14 hores i que, per tornar

2

de B a A, en triga 21, quina és la distància (en km) que separa aquests dos llocs si la longitud del recorregut en pla (sense pendents) entre A i B és la meitat del total?

3. Una empresa farmacèutica distribueix un producte en tres tipus d’envasos, A, B i C, els preus i els pesos dels quals són:

Pes (g) Preu (euros) A 250 1.00 B 500 1.80 C 1000 3.30

A una farmàcia se li ha subministrat una comanda de 50 envasos amb un pes total de 25 kg per un import de 89 euros. Quants envasos de cada tipus ha comprat la farmàcia?

4. (a) Tres espècies d’insectes es crien juntes en un laboratori. Cada dia se’ls subministren dos aliments, A i B, diferents. Cada individu de l’espècie 1 consumeix 3 unitats d’aliment A i 5 unitats d’aliment B. Cada individu de l’espècie 2 consumeix 2 unitats d’A i 3 unitats de B. Per últim, cada individu de l’espècie 3 consumeix 1 unitat d’A i 2 unitats de B. Si cada dia se subministren 500 unitats d’aliment A i 900 unitats de B, quants individus de cada espècie es crien junts? Existeix més d’una solució?

(b) Si, a més, s’hi afageixen diàriament 550 unitats d’un tercer aliment C, i cada individu de l’espècie 1 consumeix 2 unitats, cada individu de l’espècie 2 en consumeix 4, i cada individu de l’espècie 3 en consumeix 1, quants individus de cada espècie es crien junts? Existeix més d’una solució?

5. Una indústria fabrica tres tipus de productes, P1, P2 i P3. Per produir una unitat de P1, es necessita 1 unitat del compost A, 1 del compost B i 2 del compost C. Per produir una unitat de P2, es necessiten 3 unitats d’A, 4 de B i 5 de C. Per produir-ne una de P3, calen 2 unitats d’A, 1 de B i 5 de C. També sabem que al magatzem hi ha 25000 unitats del compost A, 20000 del B i 55000 del C

(a) Prova que, a partir de les unitats d’A, B i C emmagatzemades, hi ha més d’una manera de fabricar unitats dels productes P1, P2 i P3.

(b) Quantes unitats de cada tipus de producte es poden fabricar en funció de la quantitat d’unitats de P3? Podem deduir algunes limitacions en la producció de P3?

6. Dos amics inverteixen 20.000 euros casdascun. El primer col·loca una quantitat x al 4%, una quantitat y al 5% i la resta al 6%. L’altre amic inverteix la mateixa quantitat x al 5%, la mateixa quantitat y al 6% i la resta al 4%. Si sabem que el primer amic obté uns interessos de 1050 euros i que el segon n’obté 950 euros, quant valen x i y?

3

1.3 Valors i vectors propis

1. Sigui A=

⎝ −3 a 0 −10 7 −5 b 10 −8

⎠ Determina a i b sabent que (1,1,0) és un vector propi.

2. La matriu A=

⎝ a 1 1 b 2 0.5 c −1 0.5

⎠ té com a vectors propis (1,1,0), (-1,0,2) i (0,1,-1).

Calcula la matriu i els seus valors propis.

3. Calcula el polinomi caracteŕıstic, els valors propis i els vectors propis associats a cada valor propi de les matrius:

a)

⎝ 2 0 4 3 −4 12 1 −2 5

⎠ , b)

⎝ −2 −2 1 −2 1 −2 1 −2 −2

⎠ , c)

⎝ 5 −6 −6

−1 4 2 3 −6 −4

⎠ ,

d)

⎝ 4 1 1 1 4 1 1 1 4

⎠ , e)

⎜⎜⎝

1 3 0 0 4 2 0 0 1 −1 5 −3 2 0 4 −2

⎟⎟⎠ , f)

⎜⎜⎝

1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1

⎟⎟⎠ .

4. Troba els valors i vectors propis de la matriu

A =

⎝ 1 0 1 0 1 1 1 1 0

⎠ .

5. Expressa el vector

( 7 8

) com a combinació lineal dels vectors propis de la matriu

A =

( −1 1 −6 4

) .

6. Sigui A ∈ M(3). Es demostra que el seu polinomi caracteŕıstic ve donat per la fórmula:

p(λ) = −λ3 + tr(A)λ2 −∆λ+ det(A)

on ∆ és la suma dels menors d’ordre 2 centrats a la diagonal principal. Comprova-ho per a la matriu

A =

⎝ 4 −2 2

−4 2 8 −2 1 9

4

7. Calcula per a quins valors d’θ ∈ [0, 2π] la matriu A(θ) = (

cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)

) és diago-

nalitzable.

8. Sigui A =

( 0 2 −3 5

) . Es demana:

a) Calcula els valors propis i els vectors propis d’A.

b) Troba P i D (diagonal) tals que P−1AP = D i comprova-ho.

c) Calcula de forma expĺıcita A100 a partir dels resultats obtinguts en l’apartat anterior.

9. Una població animal està dividida en dues classes d’edat essent la seva matriu de projecció diària:

L =

⎜⎜⎜⎜⎝

5

4 1

1

2

3

4

⎟⎟⎟⎟⎠

Troba la matriu de projecció mensual.

1.4 Solucions dels exercicis

Matrius i determinants

1. (a)

( 10 13 10 5 6 45

) , (b)

( 27 24 46 15

) .

2. 10

3. (a) λ = 2, 3 (b) λ = 2, 6

4. El volum de la piràmide és 28 u3.

6. No ho podem assegurar. Només si la matriu C té inversa.

7. X =

( 1 0

−9/4 −1/4

)

8. A−1 =

⎝ −1 3/10 −8/5 2 −2/5 14/5

−3 9/10 −19/5

⎠, B−1 = 1 473

⎝ −8 −25/2 249/2 68 −12 6 −6 168 −84

⎠ ,

5

Sistemes d’equacions lineals

1. (a) Si a ̸= 6: S.I. Si a = 6: S.C.D. → x = 5, y = 4, z = 2

(b) Si a ̸= −2, 1: S.C.D. → x = 1 a+ 2

, y = 1

a+ 2 , z =

1

a+ 2 Si a = −2: S.I. Si a = 1: S.C.I. → x = 1− λ− µ, y = λ, z = µ amb λ, µ ∈ R

(c) Si a ̸= 2 i/o b ̸= −7/4: S.C.D. → x = 0, y = 0, z = 0 Si a = 2 i b = −7/4: S.C.I. → x = −4

3 λ, y = −5

6 λ, z = λ amb λ ∈ R

(d) Si a ̸= 1 + √ 2, 1−

√ 2: S.C.D. → x = 0, y = 0, z = 0, t = 0

Si a = 1 + √ 2: S.C.I. → x = (1−

√ 2)λ, y = −λ, z = 2λ, t = λ amb λ ∈ R

Si a = 1− √ 2: S.C.I. → x = (1 +

√ 2)λ, y = −λ, z = 2λ, t = λ amb λ ∈ R

2. 600

3. 20 envasos dels tipus A i B, i 10 envasos del tipus C.

4. (a) Si z és el nombre d’individus de l’espècie 3, llavors de l’espècie 1 n’hi ha 300− z i, de l’espècie 2, n’hi ha z − 200. Hi ha solució positiva per a cada 200 < z < 300.

(b) Hi haurà 50 individus de les espècies 1 i 2, i 250 de la 3.

5. (a) Si x, y i z són les unitats prodüıdes de P1, P2 i P3, respectivament, llavors el sistema que en resulta per a aquestes variables és compatible indeterminat. Per tant, hi ha moltes maneres (infinites si acceptem que x, y i z no siguin enters) de produir unitats de P1, P2 i P3 a partir de les quantitats d’A, B i C emmagatzemades.

(b) En termes de z (unitats prodüıdes de P3), la producció de P1 i P2 és, respectivament, x = 40000− 5z i y = z − 5000. Per tant, cal que 5000 < z < 8000.

6. x = y = 5000

Problemes de valors i vectors propis

1. a = 0, b = −10

2. a = 2, b = 1, c = 1. Valors propis: 3, 0, 3/2

3. (a) P (λ) = −λ3 + 3λ2 − 2λ, λi = 0, 1, 2, vi = (−4, 3, 2), (−4, 0, 1), (2, 1, 0) (b) P (λ) = −λ3 − 3λ2 + 9λ+ 27, λi = 3,−3, vi = (1,−2, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 2) (c) P (λ) = −λ3 + 5λ2 − 8λ+ 4, λi = 1, 2, vi = (3,−1, 3), (2, 1, 0), (2, 0, 1) (d) P (λ) = −λ3 + 12λ2 − 45λ+ 54, λi = 3, 6, vi = (1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1) (e) P (λ) = λ4 − 6λ3 + λ2 + 24λ− 20, λi = −2, 1, 2, 5,

vi = (−2, 2, 1, 1), (0, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 1), (36, 48,−25,−4)

6

(f) P (λ) = λ4 − 4λ3 + 6λ2 − 4λ+ 1, λi = 1 amb multiplicitat 4, vi = (1, 0, 0, 0)

4. λi = −1, 1, 2, vi = (1, 1,−2), (−1, 1, 0), (1, 1, 1).

5. Els coeficients de la combinació lineal són 13 i −6.

8. A100 =

( 3 · 2100 − 2 · 3100 −2101 + 2 · 3100 3 · 2100 − 3101 −2101 + 3101

)

9. Lsemestre =

( (1/4)30 + 2(7/4)30 −2(1/4)30 + 2(7/4)30 −(1/4)30 + (7/4)30 2(1/4)30 + (7/4)30

)

1.5 Preguntes d’elecció múltiple

1. Si A és una matriu 4× 4 les columnes de la qual són els vectors v⃗1, v⃗2, v⃗3 i v⃗4 de manera que v⃗3 = 2v⃗1 − v⃗2 i v⃗4 = v⃗3 + 3v⃗2, llavors el rang d’A és, com a màxim,

⃝ 4 ⃝ 2 ⃝ 3 ⃝ Cap de les anteriors

2. El determinant de la matriu

⎜⎜⎝

3 0 1 2 0 2 3 1 0 0 3 2 1 2 1 0

⎟⎟⎠ és

⃝ 6 ⃝ -2 ⃝ −3 ⃝ Cap de les anteriors

3. Per a quins valors del paràmetre λ el sistema

⎧ ⎨

λx+ 2z = 2 x− 3y − z = 2 3x+ y + z = λ

té més d’una solució?

⃝ λ = 10 ⃝ λ = 0, −1 ⃝ λ = 3, 4 ⃝ Per a cap valor de λ

4. Si A =

⎝ 1 0 −2 3 2 −1 3 0 4 a −1 6

⎠, per quin valor d’a el rang d’A és igual a 2?

⃝ a = 4 ⃝ a = 2 ⃝ a = 1 ⃝ Cap de les anteriors

5. Si A =

( x y r s

) té determinant 10 i B =

( x+ 4y r + 4s 3y 3s

) , llavors

⃝ det(B) = 0 ⃝ det(B) = 30 ⃝ det(B) = 10 ⃝ Cap de les anteriors

7

6. Per a quin o quins valors de λ el sistema

⎧ ⎨

λx+ 2y − z = 2

2x+ λy + z = 3 és incompatible?

⃝ λ = ±2 ⃝ λ = 2 ⃝ λ = −2 ⃝ λ = 1

7. Per a quin valor del paràmetre a el determinant de la matriu

A =

⎜⎜⎝

1 −2 0 0 2 1 0 0 0 0 a 1 0 0 2 1

⎟⎟⎠

és igual a 10?

⃝ a = 1/2 ⃝ a = 4 ⃝ a = 2 ⃝ Cap de les anteriors

8. Per a quin valor del paràmetre λ el sistema té una solució amb y = 0? ⎧ ⎨

2x+ λy − z = 4, x+ λy − 2z = −1, x − z = λ,

⃝ λ = 1 ⃝ λ = 3 ⃝ Per a cap λ ⃝ Cap de les anteriors

9. Calculant un determinant, troba el volum de la piràmide de base triangular (tetraedre) tres costats de la qual vénen donats pels vectors A⃗B = (1, 5,−2), A⃗C = (−4, 4, 2) i A⃗D = (1, 5, 5). Ajut: El volum del tetraedre és igual a 1/6 del volum paral·leleṕıpede determinat pels vectors que formen tres costats de la piràmide incidents en un mateix vèrtex.

⃝ 84 ⃝ 168 ⃝ 28 ⃝ Cap de les anteriors

10. Si λ és un paràmetre, aleshores el sistema ⎧ ⎨

x+ 2y + z = 0, 3x+ λy + 2z = 1, 2x+ y + z = λ,

⃝ és incompatible si λ = 3 ⃝ no té solució per a cap λ

⃝ és compatible indeterminat per a λ = 3 ⃝ Cap de les anteriors

11. Per a quin valor del paràmetre a els vectors v⃗1 = (2, a, 1), v⃗2 = (1, 1, 0), v⃗3 = (0, a, 2) són linealment dependents?

⃝ a = 4 ⃝ a = −1 ⃝ a = 2 ⃝ Cap dels anteriors

8

12. Quina és la condició que han de complir a, b i c perquè tingui solució el sistema ⎧ ⎨

x− 4y + 3z = a −4x+ y + 3z = b 2x− 3y + z = c

?

⃝ a− b+ c = 0 ⃝ 2a+ 3b− c = 0

⃝ 2a− b− 3c = 0 ⃝ El sistema sempre té solució

13. El vector

( 3 1

) és vector propi de valor propi 4 de la matriu

⃝ (

7 −2 2 2

) ⃝

( 4 0 0 −2

) ⃝

( 7 −9 3 −5

) ⃝

( −7 9 −3 5

)

14. El vector

( −1 1

) és vector propi de valor propi 2 de la matriu

⃝ (

1 −3 −3 1

) ⃝

( −2 0 0 2

) ⃝

( 1/2 −3/2 −3/2 1/2

) ⃝ Cap de les anteriors

15. Els valors propis de la matriu

⎝ 1 0 2 4 −1 −4 0 0 3

⎠ són

⃝ −2, 1, 3 ⃝ −1, 1, 3 ⃝ 0, 1, 2 ⃝ Cap de les anteriors

16. Si A =

( 2 3 1 a

) , per a quin dels valors següents d’a es compleix que A2 té λ = 9 com a

valor propi?

⃝ a = 3 ⃝ a = −2 ⃝ a = 0 ⃝ Cap de les anteriors

17. Si v⃗ =

( 4 2

) és un vector propi de valor propi 2 de la matriu A =

( a b c 0

) , aleshores

⃝ b = 1, a = 2 ⃝ b = 4− 2a ⃝ c = 2 ⃝ Cap de les anteriors

18. Els valors propis de la matriu

⎝ 1 0 1 0 1 −1 1 0 1

⎠ són:

⃝ 1/2, 1, 3 ⃝ 0, 1, 2 ⃝ 0, 1, -1 ⃝ Cap dels anteriors

9

19. Els valors propis de la matriu

⎝ 3 0 0 1 3 1 4 −1 1

⎠ són

⃝ 2, 3, 4 ⃝ 2, 3 ⃝ 1, 2, 5 ⃝ Cap de les anteriors

20. Si v⃗ =

( 4 1

) és un vector propi de la matriu A =

( 0 a

1/2 0

) , aleshores

⃝ a = 2 ⃝ a = 4 ⃝ a = 8 ⃝ Cap de les anteriors

21. Donada la matriu A =

⎜⎜⎝

a c 0

1− a 1 0

0 a− 1 b

⎟⎟⎠, on a, b i c són nombres reals. Determina per

a quins valors d’a, b, c existeixen dos, i només dos, vectors propis independents del mateix valor propi.

A⃝ a = b = 1, c = 0 B⃝ a = b = c = 1 C⃝ a = b = c = 0 D⃝ a = b = 0, c = 1

22. Sigui A ∈ M(3), p(λ) el seu amb polinomi caracteŕıstic i u⃗, v⃗, w⃗ ∈ R3 vectors linealment independents tals que Au⃗ = 2u⃗, Av⃗ = 2v⃗ i Aw⃗ = −3w⃗. Determina quina de les següents afirmacions és falsa:

A⃝ p(λ) = −λ3 + λ2 + 8λ− 12 B⃝ u⃗+ v⃗ és un vector propi de valor propi 2 C⃝ rang(A) = 3 D⃝ 3u⃗ és un vector propi de valor propi 6.

23. Donada la matriu A =

⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a

⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , on a ∈ R. Quàntes solucions diferents té

l’equació det(A) = 0 ?

A⃝ Una B⃝ Dues C⃝ Tres D⃝ Cap de les anteriors

24. Si v⃗ =

( 2 −5

) és un vector propi de la matriu A =

( 1 −4 a 11

) , aleshores

A⃝ Av⃗ = 0⃗ B⃝ Av⃗ = −11v⃗ C⃝ Av⃗ = 11v⃗ D⃝ Cap de les anteriors

25. Siguin A la matriu del sistema i B la matriu ampliada d’un sistema de quatre equacions lineals amb quatre incògnites (x, y, z, t). Sabent que (x, y, z, t) = z(−1, 1, 1, 0)+ t(2, 3, 0, 1) és la solució del sistema, determina quina de les següents afirmacions és certa:

A⃝ rang(A) = 3 = rang(B) B⃝ No és un sistema homogeni C⃝ rang(A) = 2 i rang(B) = 3 D⃝ Cap de les anteriors

10

26. Siguin A =

( −1 −2 2 3

) i B =

( 4 −6 −1 2

) . Calcula X tal que A−1X−1B−1 = I.

A⃝ X = 12

( −6 2 5 −2

) B⃝ X = 12

( 6 −2 −5 2

)

C⃝ X = 12

( −6 −2 −5 −2

) D⃝ Cap de les anteriors

27. Sigui x un nombre real, quantes solucions diferents té l’equació

∣∣∣∣∣∣

x x x2

x x x x2 x x

∣∣∣∣∣∣ = 0 ?

A⃝ 0 B⃝ 1 C⃝ 2 D⃝ 3

28. Troba els valors propis de la matriu

⎝ 6 −1 −2 10 −1 −4 5 −1 −1

⎠.

A⃝ −2, 1, 5 B⃝ 1, 2 C⃝ −1, 1, 4 D⃝ Cap de les anteriors

29. Sigui A una matriu quadrada invertible tal que A8 = A3. Determina quina de les següents afirmacions és certa:

A⃝ det(A) = −1 B⃝ det(A−1) = 1 C⃝ A−1 = A5 D⃝ Cap de les anteriors

30. Sigui A una matriu quadrada d’ordre n tal que det(A) = 0.00390625 i det(2A) = 0.015625. Calcula el valor d’n.

A⃝ 4 B⃝ 2 C⃝ 8 D⃝ Cap de les anteriors

1.6 Solucions de les preguntes d’elecció múltiple

1. 2

2. -2

3. Per a cap valor de λ

4. Cap de les anteriors

5. det(B) = 30

6. λ = −2

7. a = 4

8. λ = 1

11

9. 28

10. És incompatible si λ = 3

11. a = 4

12. 2a− b− 3c = 0

13.

( 7 −9 3 −5

)

14.

( 1/2 −3/2 −3/2 1/2

)

15. -1,1,3

16. a = 0

17. b = 4− 2a

18. 0,1,2

19. 2,3

20. a = 8

21. a = b = c = 1

22. 3u⃗ és un vector propi de valor propi 6

23. Dues

24. Av⃗ = 11v⃗

25. Cap de les anteriors

26. X = 12

( −6 −2 −5 −2

)

27. 2

28. 1,2

29. det(A−1) = 1

30. 2

12

2 Models matricials

2.1 Exercicis

1. En una acadèmia on s’imparteixen uns estudis de tres anys, hi ha 240 estudiants a primer curs, 160 a segon curs i 120 a tercer. Si, per altres anys, se sap que els estudiants que repeteixen són un 30% a primer, un 25% a segon, i un 10% a tercer,

(a) Quants estudiants hi haurà l’any següent si no se’n matriculen de nous?

(b) Quina és la matriu que ens dóna el pas d’estudiants d’un any per l’altre suposant que no es matriculen estudiants nous?

(c) Amb l’ajut de la matriu de l’apartat anterior, troba quants estudiants hi hauran després de tres anys si no se’n matricula cap de nou.

2. La matriu de projecció A d’un model matricial per a la dinàmica de la població d’un determinat insecte els individus de la qual s’estructuren en els estats de larva, crisàlide i adult ve donada per la matriu de Leslie

A =

⎝ 0 0 16 1/4 0 0 0 1/2 0

⎠ .

(a) Interpreta cadascun dels elements de la matriu.

(b) Mostra que al cap de tres anys la població total s’haurà duplicat però que la proporció d’individus a cada nivell és la mateixa que la inicial.

(c) Resol l’apartat anterior calculant A3 i veient que és igual a 2I.

3. Considera, per al model anterior, la matriu de projecció

A =

⎝ 0 0 32 a 0 0 0 b 0

⎠ .

Se sap que si en un determinat any hi ha 6000 larves, aleshores a l’any següent hi haurà 750 crisàlides. A més, també se sap que si en un any hi ha un determinat nombre de larves, crisàlides i adults, aleshores al cap de tres anys tornarà a haver-hi exactament el mateix nombre de crisàlides, larves i adults.

(a) Calcula quin ha de ser el valor dels elements a i b de la matriu perquè això passi.

(b) Per a aquests valors que has trobat, comprova que A3 = I.

13

4. Durant una epidèmia la transició entre els estats sa i malalt, d’un dia per altre, ve donada per la matriu de transició (

5/8 1/8 3/8 7/8

) .

Els elements de la primera columna són les probabilitats que una persona sana continüı sana o es posi malalta, respectivament. Els elements de la segona columna són les prob- abilitats que una persona malalta guareixi o continüı malalta, respectivament. Admetem que la malaltia és benigna i que una persona que ha tingut la malaltia la pot tornar a agafar. Si un dia la població d’un poble era de 1536 persones sanes i 512 de malaltes, quants malalts hi haurà al cap d’una setmana? Què passa si la proporció d’individus sana a malalts és de 1:3?

5. Suposa que una població animal està dividida en dues classes d’edat i que la seva matriu de Leslie és

L =

( 1 3/2 1/2 0

) .

(a) Calcula el valor propi positiu λ1 de L i el vector propi corresponent v.

(b) Prenent com a vector inicial de la distribució d’edats el vector

x0 =

( 100 0

) ,

calcula x1, x2, x3, x4 i x5, arrodonint a l’enter més proper quan calgui.

(c) Calcula x6 de manera exacta i, de manera aproximada, fent x6 = λ1x5.

6. En una determinada població d’animals, l’edat màxima que poden assolir les femelles és de 15 anys. Si dividim la població en tres classes d’edat amb intervals de 5 anys, la matriu de Leslie per a la població de femelles d’aquesta població és

L =

⎝ 0 4 3 1/2 0 0 0 1/4 0

⎠ .

(a) En el ĺımit, quin és el percentatge d’augment de femelles cada 5 anys?

(b) Quina és la distribució ĺımit (en percentatges) de femelles de les tres classes d’edat?

7. Contesteu les mateixes preguntes del problema anterior però ara amb la matriu de Leslie:

L =

⎝ 1 4 0 1/2 0 0 0 1/4 0

⎠ .

8. Per als valors d’a i b obtinguts al problema 3, dóna una explicació al comportament de les iteracions resultants del model amb la matriu de Leslie corresponent. Per què no hi ha una distribució ĺımit d’estats?

14

9. A partir dels valors propis de la matriu del problema 1, dóna una explicació del fet que, si ningú més no es matricula, acabarà no havent-hi cap estudiant.

10. A partir dels valors i vectors propis de la matriu del problema 4, dóna una explicació dels resultats obtinguts.

11. En una certa regió i durant una època de l’any, les probabilitats de les condicions me- tereològiques en un lloc qualsevol de la regió, donat el temps del dia anterior, poden representar-se mitjançant la matriu de transició:

P =

( 0.9 0.5 0.1 0.5

) .

L’element Pij és la probabilitat que, donat un dia del tipus j, el dia següent sigui de tipus i. Aix́ı, hi ha una probabilitat igual a 0.9 que un dia assolellat vingui seguit d’un altre dia assolellat, i una probabilitat igual a 0.5 que un dia plujós segueixi a un altre també plujós. Si en la regió hi ha una xarxa de 100 observatoris distribüıts pel territori, quin és el percentatge d’observatoris que tindran un dia assolellat un dia qualsevol de l’estació?

12. El risc d’incendi d’un bosc mediterrani a l’estiu pot ser mitjà o alt. Se sap que si el risc en un dia determinat és alt, seguirà essent alt el dia següent amb una probabilitat de 1/3. Si el risc és mitjà, l’endemà el risc seguirà essent mitjà amb un 80% de probabilitat. A llarg termini, quin percentatge haurà de boscos amb un risc alt d’incendi?

2.2 Preguntes d’elecció múltiple

1. D’un any per l’altre, en una població d’una certa espècie el 75% dels individus joves moren abans d’arribar a ser adults, mentre que només un 20% dels adults sobreviu. Si els individus joves no es reprodueixen i la fecunditat mitjana per adult és de 4 descendents, quina de les matrius de projecció següents descriu la dinàmica d’aquesta població?

⃝ (

0 4 3/4 1/5

) ⃝

( 4 0

1/4 1/5

) ⃝

( 0 4 3/4 4/5

) ⃝

( 0 4

1/4 1/5

)

2. D’un any per l’altre, en una població d’una certa espècie el 80% dels individus joves moren abans d’arribar a ser adults, mentre que només moren un 40% dels adults. Si la fecunditat mitjana dels individus joves és de 2 descendents i la dels adults és de 4 descendents, quina de les matrius de projecció següents descriu la dinàmica d’aquesta població?

⃝ (

2 4 1/5 3/5

) ⃝

( 4 2 2/5 1/5

) ⃝

( 2 4

4/5 2/5

) ⃝

( 2 4

3/5 1/5

)

15

3. Sabem que el vector propi associat al valor propi dominant d’una matriu de projecció és

v⃗ =

( 3 4

) . Quina serà aproximadament la composició joves : adults d’una població que,

després de moltes iteracions, està formada per un total de 21000 individus?

⃝ 7000 : 14000 ⃝ 12000 : 9000 ⃝ 8000 : 13000 ⃝ Cap de les anteriors

4. Si la matriu de projecció d’una població és P =

( 1 2

1/2 1/3

) i la seva composició en una

certa iteració és de 34 joves i 9 adults, llavors la composició de la població en la iteració anterior és?

⃝ la mateixa ⃝ 5 joves i 10 adults

⃝ 10 joves i 12 adults ⃝ Cap de les anteriors

5. Quina de les següents matrius de projecció dóna lloc a poblacions amb una taxa de creix- ement asimptòtic més gran?

⃝ (

1 2 2/5 1/5

) ⃝

( 1 2 1/5 1/5

) ⃝

( 1 1

2/5 1/5

) ⃝

( 1 2

2/5 2/5

)

6. Si el valor propi dominant d’una matriu de projecció és λ1 i, després de moltes iteracions,

la composició de la població satisfà que u⃗k+1 = 5

2 u⃗k, llavors

⃝ λ1 = 2.5 ⃝ λ1 = 3.5 ⃝ λ1 = 1.5 ⃝ λ1 no es pot determinar

7. Donada la matriu de projecció P =

( 0 a

1/3 1/3

) , per a quin valor del paràmetre a la

proporció entre els individus de les dues classes d’edat en la distribució ĺımit serà de 3 joves per cada adult?

⃝ a = 1/4 ⃝ a = 4 ⃝ a = 2 ⃝ a = 3/2

8. Donada la matriu de projecció P =

( 1 a

1/2 3/4

) i després de moltes iteracions, per a

quin valor del paràmetre a la població total creixerà un 100% d’una iteració a la següent?

⃝ a = 1 ⃝ a = 5/2 ⃝ a = 3 ⃝ a = 2/3

9. La dinàmica d’una població on els individus es classifiquen en joves (x) i adults (y) ve donada per una matriu de projecció L. Si sabem que la matriu té un valor propi dominant i que, després de fer moltes iteracions a partir d’una composició inicial (x0, y0), la població està formada per de 2400 joves i 3600 adults, quin dels següents vectors pot correspondre al vector propi associat al valor propi dominant?

16

⃝ v⃗ = (2, 3) ⃝ v⃗ = (1, 4) ⃝ v⃗ = (3, 2) ⃝ No es pot saber

10. Una població està formada per individus immadurs i madurs. Se sap que els individus immadurs, si no moren, triguen un any a madurar i que la fertilitat mitjana dels individus madurs és de 5 de fills per individu. A l’inici d’un estudi de dos anys, la població estava formada per 20 individus immadurs i 40 de madurs. Al primer any, la supervivència dels immadurs va ser de 0.25 i la dels madurs 0.5. Al segon any les condicions ambientals van fer que les supervivències fossin 0.1 per als immadurs i i 0.2 per als madurs. Si la fertilitat es va mantenir constant durant els dos anys, el nombre d’immadurs (i) i el de madurs (m) al final de l’estudi va ser?

⃝ 200 i, 25 m ⃝ 125 i, 25 m ⃝ 200 i, 10 m ⃝ 50 i, 55 m

11. La matriu

( f 6 1/3 1/2

) és la matriu de projecció d’un model matricial per al creixement

d’una població d’individus classificats en dos grups d’edats. Per a quin valor de f el percentatge d’augment asimptòtic de la població serà del 150 %?

⃝ 3/2 ⃝ 2 ⃝ 7/4 ⃝ Cap de les anteriors

12. En una regió on viu una certa especie d’aus se sap que, en passar d’un any a l’altre, la meitat dels joves de l’especie sobreviuen i passen a adults i que tres quartes parts dels adults moren. També se sap que la taxa de fecunditat per càpita dels adults és igual a 3/2 mentre que els joves no es reprodueixen. Segons aquesta informació, després de molts anys, el percentatge de joves serà:

⃝ 60% ⃝ 50% ⃝ 25% ⃝ Cap dels anteriors

13. La matriu de transició entre ”sa” i ”malalt” d’una setmana a la següent durant una

epidèmia és

( 1/4 1/8 3/4 7/8

) . Si en un cert moment de l’epidèmia, en una població hi ha

752 persones sanes i 448 malaltes, quin serà el percentatge (arrodonit) de persones sanes dues setmanes després?

⃝ 20% ⃝ 70% ⃝ 15% ⃝ Cap dels anteriors

14. La dinàmica d’una població on els individus es classifiquen en joves i adults ve donada per una matriu de projecció L. Si sabem que L té un valor propi dominant igual a 4/3 i que, després de fer moltes iteracions a partir d’una certa composició inicial, la població està formada per 2400 joves i 3600 adults, quina serà la seva composició (joves : adults) a la següent iteració?

⃝ 3200 : 4800 ⃝ 5000 : 8000 ⃝ la mateixa ⃝ Cap de les anteriors

17

15. Durant una epidèmia, els individus d’una població es classifiquen en sans i malalts. Se sap que la probabilitat que un individu sa continui sa a l’endemà és igual a 1/2, i que la probabilitat que un individu malalt ho continui estant al dia següent és igual a 3/4. Segons això i després de molts dies de patir l’epidèmia, el nombre de malalts en una població de 9000 persones serà aproximadament igual a

⃝ 4000 ⃝ 6000 ⃝ 3000 ⃝ Cap de les anteriors

16. La matriu

( 1 f

1/3 0

) és la matriu de projecció d’un model matricial per al creixement

d’una població d’individus classificats en dos grups d’edat. Per a quin valor de f el percentatge d’augment asimptòtic de la població serà del 100 %?

⃝ 3/2 ⃝ 2 ⃝ 4 ⃝ Cap de les anteriors

17. Els individus d’una població d’insectes que no sobreviuen als tres anys i amb cicle vital anual estan estructurats en els estats de larva, crisàlide i adult. D’un any per l’altre les larves no tenen descendència, les crisàlides tenen 19 descendents, els adults 240 descendents i la mortalitat de les larves és del 75%. Sabent que al cap de molts anys el creixement total de la població és del 300% anual (percentatge d’augment asimptòtic), calcula la mortalitat de les crisàlides.

A⃝ 75% B⃝ 50% C⃝ 25% D⃝ Cap de les anteriors

18. Una població està estructurada en dues classes d’edat: joves i adults. La matriu de pro-

jecció d’aquesta població és P =

( 1 3/2 1/2 0

) . Quin és el percentatge d’adults després

de moltes iteracions?

A⃝ 75% B⃝ 50% C⃝ 25% D⃝ Cap de les anteriors

19. Els individus d’una població afectada per una epidèmia (causada per una mosca) estan classificats en els estats de sa i malalt. La dinàmica d’aquesta malaltia és tal que, d’una setmana a la següent, el 50% d’individus sans continuen sans i el 12.5% de malalts sanen. Calcula el nombre de sans (s) i malalts (m) que hi havia el 22 d’octubre, sabent que el 29 d’octubre hi ha 600 individus sans i 1800 malalts.

A⃝ s = 800,m = 1600 B⃝ s = 1200,m = 1200 C⃝ s = 1000,m = 1400 D⃝ Cap de les anteriors

20. La matriu de projecció d’una població estructurada en tres classes ve donada per la matriu

P =

⎝ 6 45 0

1/4 0 0 0 3/5 0

⎠. Troba el percentatge d’augment assimptòtic de la població.

A⃝ 950% B⃝ 850% C⃝ 750% D⃝ 650%

18

21. Una població de mosques x⃗(t) =

⎜⎜⎝

x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)

⎟⎟⎠ està estructurada en quatre classes d’edat,

essent x1(t), x2(t), x3(t) i x4(t) el nombre d’ous, larves, pupes i adults al moment t,

respectivament. Se sap que el vector v⃗ =

⎜⎜⎝

11 9 7 5

⎟⎟⎠ és vector propi de valor propi dominant

de la seva matriu de projecció. Determina el nombre de pupes (arrodonit a les unitats) per a t molt gran, sabent que el nombre total de mosques és de 7000.

A⃝ 1969 B⃝ 1531 C⃝ 1750 D⃝ Cap de les anteriors

22. Quatre poblacions P1, P2, P3 i P4 estan classificades en joves i aduts. A la Taula 1 es troben alguns dels valors rellevants de les poblacions: la fecunditat dels joves (fj), la fecunditat dels adutls (fa), la mortalitat dels joves (mj), la mortalitat dels adults (ma), els valors propis de la matriu de projecció (λ1,λ2), la traça de la matriu de projecció (tr(A)) i el seu determinant (det(A)). Determina quina de les poblacions creix més depressa quan el nombre d’iteracions és molt gran.

fj fa mj ma λ1 λ2 tr(A) det(A) P1 1.981 0.018 P2 1.70 0.85 0.45 0.80 P3 1.800 -1.260 P4 -0.236 -0.457

Taula 1. Taula de valors rellevants de les poblacions

A⃝ P1 B⃝ P2 C⃝ P3 D⃝ P4

2.3 Solucions dels exercicis de models matricials

1. (a) 72 estudiants a primer, 208 a segon i 132 a tercer.

(b) T =

⎝ 0.3 0 0 0.7 0.25 0 0 0.75 0.1

(c) Després de tres anys hi hauran 6 estudiants a primer, 41 a segon, i 94 a tercer (resultats arrodonits a l’enter més proper).

3. a = 1/8, b = 1/4.

4. (a) v7 = A7v0 =

( 520 1528

) (b) La proporció no canvia.

19

5. (a) λ1 = 3/2, v = (3, 1)

(b) x5 ≈ (567, 190) (c) x6 = (13675/16, 2275/8) = (854.6875, 284.375), x6 ≈ (850, 285)

6. (a) En el ĺımit la població creixerà 50% cada 5 anys (λ1 = 1.5).

(b) La distribució ĺımit de femelles és proporcional a v1 i, en percentatges, és (72, 24, 4).

7. (a) En el ĺımit la població creixerà 100% cada 5 anys (λ1 = 2).

(b) La distribució ĺımit de femelles és proporcional a v1 i, en percentatges, és (78, 19.5, 2.5) aproximadament.

8. Perquè no existeix un valor propi amb mòdul estrictament més gran que els de la resta de valors propis (|λ1| = |λ2| = |λ3| = 1).

9. Com que la matriu de transicions entre cursos té un valor propi dominant λ1 = 0.3 que és menor que 1, la població d’estudiants a l’acadèmia acaba tendint a zero.

10. Com que λi = 1, 1/2, la matriu té un valor propi (estrictament) dominant ⇒ la composició ĺımit de la població ve donada pel vector propi associat a λ1 = 1: v1 = (1, 3): a la llarga, el 25% de la població estarà sana i el 75% restant estarà malalta.

11. En el 83% dels observatoris el temps serà assolellat.

12. Un 23% dels boscos tindrà un risc alt d’incendi.

2.4 Solucions a les preguntes d’elecció múltiple

1.

( 0 4 1/4 1/5

)

2.

( 2 4 1/5 3/5

)

3. Cap de les anteriors

4. 10 joves i 12 adults

5.

( 1 2 2/5 2/5

)

6. λ1 = 2.5

7. a = 4

8. a = 5/2

9. v⃗ = (2, 3)

10. 125 i, 25 m

11. 3/2

20

12. 60%

13. 15%

14. 3200 : 4800

15. 6000

16. Cap de les anteriors

17. 25%

18. 25%

19. s = 800,m = 1600

20. 650%

21. 1531

22. P3

21

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 25 páginas totales
Descarga el documento