edos, Ejercicios de Ingeniería Química. Universidade de Santiago de Compostela (USC)
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edos, Ejercicios de Ingeniería Química. Universidade de Santiago de Compostela (USC)

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Asignatura: Ecuaciones Diferenciales, Profesor: M.ª Dolores Gómez Pedreira, Carrera: Ing. Química, Universidad: USC
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Ecuaciones Diferenciales

.

. Ecuaciones Diferenciales

Grado en Ingeniería Química

20 de septiembre de 2017

Notas elaboradas en el Departamento de Matemática Aplicada. Facultad de Matemáticas.

Universidade de Santiago de Compostela.

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 1. Definiciones y conceptos básicos

. Definición .

. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita respecto de una o más variables.

La variable (o variables) respecto a la que se deriva se denomina variable independiente La función incógnita se denomina variable dependiente

. Ejemplo . .Ecuación de la desintegración radiactiva:

dy dt

= −k y k > 0

variable independiente: t variable dependiente: y (depende de t)

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 1. Definiciones y conceptos básicos

. Ejemplos . .Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales que se usan en las ciencias:

.1 m d2y dt2

= −mg caída libre de un objeto.

La variable dependiente y(t) es la posición del objeto en el instante t, m es la masa del objeto y g la aceleración de la gravedad.

.2 dy dt

= k (a− y)(b − y) proceso cinético de segundo orden.

La variable independiente es t y la variable dependiente y(t).

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 1. Definiciones y conceptos básicos

.3 Drenado de un tanque

dh dt

= − Ah Aw

√ 2gh

• h: altura del agua en el depósito en el instante t • Ah: área de la sección transversal del agujero de salida • Aw : área de la superficie exterior del agua

.4 Primera Ley de Fick (en una dimensión)

JA = −D dCA dx

• JA: flujo de la especie A • D: coeficiente de difusión o difusividad molecular • CA(x): es la concentración de sustancia A, que depende de la posición x

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 1. Definiciones y conceptos básicos

.5 Segunda Ley de Fick ∂C ∂t

= D ∂2C ∂x2

• D: coeficiente de difusión o difusividad molecular • C (x , t): es la concentración que depende de la posición x y del tiempo t

.6 Ley de Fourier (una dimensión)

qz A

= −αd(ρCpT ) dz

• T (z) temperatura en el punto z • ρ densidad del material, Cp calor específico • α difusividad térmica • qz

A flujo de calor

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 1. Definiciones y conceptos básicos

.7 Ecuación de conducción de calor en dimensión dos

∂T ∂t

= αT + f (x , y , t)

• T (x , y , t) temperatura de la superficie en el punto (x , y) en el instante t

T es el operador laplaciano del campo de temperatura que mide el flujo neto de calor:

T = ( 2T ∂x2

+ 2T ∂y2

) • f (x , y , t) fuente de calor

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 2. Clasificación

Las ecuaciones diferenciales clasifican atendiendo a tres propiedades: tipo, orden y linealidad . Definición .

. El tipo de una ecuación diferencial es el de las derivadas que contiene (ordinarias o parciales)

Una ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo,

dy dt

= −k y ; d 2y

dx2 + y

dy dx

= cos(y); dx dt

+ dy dt

= −ky .

Una ecuación que contiene derivadas parciales se denomina ecuación diferencial parcial o en derivadas parciales (EDP), por ejemplo,

∂T ∂t

− ∂ 2T ∂x2

= f (x , t) Ecuación del calor 1D.

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 2. Clasificación

. Definición .

. El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente al de la derivada más alta que se encuentre en la ecuación.

Las ecuaciones

dy dt

= −k y ; dx dt

+ dy dt

= −ky ,

son de primer orden porque contienen únicamente una derivada primera; la ecuación del calor es de segundo orden y la ecuación

d3y dx3

+ y = 4,

es de orden tres.

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 2. Clasificación

. Definición .

.

Una ecuación diferencial se dice lineal si se puede expresar de la forma

an(x) dny dxn

+ . . .+ a2(x) d2y dx2

+ a1(x) dy dx

+ a0(x) y = g(x)

Nótese que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:

.1 La variable dependiente, en este ejemplo “y ”, junto con todas sus derivadas son de 1er grado, esto es, la potencia de cada término en “y ” es 1.

.2 Los coeficientes aj y la función del segundo miembro g dependen a lo sumo de la variable independiente “x”.

Una ecuación que no verifica alguna de estas propiedades es no lineal.

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 2. Clasificación

. Ejemplos . .Clasificar las siguientes ecuaciones

dy dt

+ k y = 0

d2y dx2

+ x y = 3 x2

d3y dx3

+ cos(x) sen(y) = 3

d4y dx4

+ y d3y dx3

= sen(x2)

d3y dx3

+ y2 = 0

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 3. EDO’s de orden n

. Definición .

.

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n, con función incógnita y(x) dependiente de la variable x, tiene la siguiente expresión general

F ( x , y ,

dy dx

, d2y dx2

, . . . , dny dxn

) = 0 (1)

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 4. Concepto de solución

Nuestro objetivo en esta materia es resolver ecuaciones diferenciales, es decir, encontrar sus soluciones. . Definición .

.

Una solución de una ecuación diferencial ordinaria con incógnita y(x) es una función derivable y = y(x) definida en un intervalo I ⊂ R, tal que, que al sustituirla en la ecuación, la verifica para todo valor de x en ese intervalo I .

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 5. Concepto de solución

. Ejemplo .

.

Comprobar que y(x) = x4

16 es solución de la ecuación

dy dx

− x y1/2 = 0 (2)

en R

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 6. Solución general y solución particular

. Definición .

.

En general, al resolver una EDO de orden n se obtendrá una solución en función de n constantes arbitrarias (o parámetros). Dicha solución se denomina solución general de la EDO.

Por ejemplo, y(t) = C e−4t

es la solución general de la EDO y ′(t) = 4 y .

En efecto: y ′(t) = 4C e−4t = 4y(t)

(Dicha ecuación modela la desintegración de una sustancia radiactiva y la constante de velocidad de reacción es k = 4.)

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 6. Solución general y solución particular

En general, el número de constantes arbitrarias que aparecen en la expresión de la solución general de una EDO coincide con el orden de la EDO. Por tanto, dicha EDO posee infinitas soluciones (tantas como valores puedan tomar las constantes que aparecen en la expresión de la solución general).

. Definición .

. Una solución que no contiene constantes arbitrarias se denomina solución particular de la EDO.

Una manera de obtener soluciones particulares es dar valores específicos a las constantes de la solución general. Así, en el ejemplo anterior, se tiene que

C = 2 → y(t) = 2 e−4t C = 1 → y(t) = e−4t C = 2 → y(t) = 2 e−4t

son soluciones particulares de la EDO y ′(t) = 4 y . Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 6. Solución general y solución particular

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

c=2 c=1 c=−2

Gráfica de las funciones

y(x) = C exp(4x)

solución general explícita de la EDO

dy dx

+ 4y = 0 C = 2 sol. particular con C.I.

y(0) = 2 C = 1 sol. particular con C.I.

y(0) = 1 C = 2 sol. particular, C.I.

y(0) = 2

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 7. Soluciones explícitas e implícitas

Podemos distinguir además entre soluciones explícitas, que son aquellas en las que la variable dependiente se escribe en función de la variable independiente

y(x) = x4

16 ,

y soluciones implícitas definidas mediante ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación

x2 + y2 = 4, define implícitamente una solución de la EDO

dy dx

= −x y ,

pues si derivamos, respecto de x , implícitamente la ecuación

x2 + y(x)2 = 4

se tiene 2 x + 2 y y ′ = 0 ⇒ y ′ = 2x

2y = −x

y .

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 6. Solución general y solución particular

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y(0)=2 y(0)=1

Gráficas de

x2 + y2 = C > 0

solución general implícita de la EDO

ydy + xdx = 0 C = 4 corresponde a la C.I. y(0) = 2 C = 1 corresponde a la C.I. y(0) = 1

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 7. Soluciones explícitas e implícitas

. Ejemplo .

.

Comprobar que x y = ln y + C es solución implícita de la EDO

dy dx

= y2

1− x y . ( EDO, orden1, no lineal)

Suponer 1− x y ̸= 0.

. Definición .

. A una solución de una EDO que es idénticamente cero en un intervalo se le denomina solución trivial.

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 8. Problema de valor inicial de orden uno

. Definición .

.

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden es una ecuación de la forma

dy dx

= f (x , y), (3)

donde f (x , y) es una función de x e y, siendo y = y(x) una función de x.

. Definición .

.

En general lo que interesa resolver un problema del tipo

dy dx

= f (x , y)

y(x0) = y0

 (PVI) (4) denominado problema de valor inicial. Es una ecuación diferencial de primer orden sujeta la condición inicial (x0, y0).

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 9. Existencia y unicidad de solución

. Teorema de Picard .

.

Supongamos que las funciones f y ∂f ∂y

son continuas en un rectángulo

R = [a, b]× [c, d ] que contiene al punto (x0, y0), en su interior entonces existe una única solución y = y(x) del problema (4), definida en un intervalo abierto I = (x0 − h, x0 + h) centrado en x0 y contenido en [a, b].

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 9. Existencia y unicidad de solución

. Ejemplo ..

Es la gráfica de la función

y(x) = x + 11 3 ex

solución particular explícita del PVI

dy dx

= y − x

y(0) = 2 3



Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 10. Isoclinas y campos de direcciones

Resolver una ecuación diferencial analíticamente puede ser difícil o casi imposible. Sin embargo, existe una aproximación gráfica que se puede usar para aprender mucho acerca de la naturaleza solución, como por ejemplo las zonas donde crece o decrece, los puntos donde la solución alcanza un valor máximo, etc.

Consideremos la ecuación diferencial

dy dx

= f (x , y).

Geométricamente, en la ecuación se afirma que, en cualquier punto (x , y) la pendiente y ′(x) de la solución en ese punto está dada por f (x , y). Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento rectilíneo que pase por el punto (x , y) con pendiente f (x , y).

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 10. Isoclinas y campos de direcciones

. Definición .

.

Dada una EDO, y ′(x) = f (x , y), se llama isoclina (’de igual inclinación’) al lugar geométrico de los puntos del plano donde la pendiente de las curvas solución es constante, siendo su ecuación f (x , y) = C.

. Definición .

.

Dada una EDO, y ′(x) = f (x , y), se llama mapa de direcciones a la representación gráfica de una muestra de pequeños segmentos de rectas tangentes a las curvas solución, dibujados sobre los puntos de corte de éstas con las isoclinas.

El campo de direcciones de la ecuación diferencial indica el “flujo de las soluciones” y facilita el trazo de cualquier solución particular.

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 10. Isoclinas y campos de direcciones

. Ejemplo . .Consideremos la EDO y

(x) = 2x.

Grado en Ingeniería Química Ecuaciones Diferenciales

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