Ejercicios cinetica, Ejercicios de Física. Universidad Rey Juan Carlos (URJC)
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Ejercicios cinetica, Ejercicios de Física. Universidad Rey Juan Carlos (URJC)

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Asignatura: Física aplicada a la Ingeniería, Profesor: Javier Used, Carrera: Ingeniería en Organización Industrial, Universidad: URJC
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F́ısica Aplicada a la Ingenieŕıa Hoja 1

Ingenieŕıa Organización Industrial Cinemática-Dinámica

1. El vector posición de una part́ıcula viene dado por ~r(t) = (2t2 − 3)̂i+ (4t+ 4)ĵ + (t3 + 2t2)k̂. Calcule:

La posición y la distancia al origen cuando t = 0.

La velocidad de la part́ıcula cuando t = 1.

La aceleración y sus componentes intŕınsecas (tangencial y normal) para t = 2 .

2. Un cuerpo se mueve en el plano XY según el siguiente vector posición ~r(t) = (t+ 4t4)̂i+ (18− 3t2)ĵ en el S.I. Calcule para t = 1s:

su vector velocidad.

las componentes cartesianas y las componentes intŕınsecas de la aceleración.

los vectores ~ut y ~un. Compruebe que son perpendiculares.

el radio de curvatura.

el centro de curvatura.

3. Determine la trayectoria descrita por una part́ıcula que se mueve con una aceleración tangencial ~at = 4t î+3t ĵ, sabiendo que para t = 0, la part́ıcula está en reposo en el origen de coordenadas. ¿Cuánto vale la aceleración normal?

4. La trayectoria de una part́ıcula cargada moviéndose en el seno de un campo magnético viene dado por:

~r(t) = b cosΩt î+ b sinΩt ĵ + ct k̂ donde b, c y Ω son constantes positivas.

Demuestre que la part́ıcula se está moviendo con celeridad constante y calcule el valor de la aceleración.

5. Un punto P que parte del reposo se mueve sobre una curva cuyas ecuaciones paramétricas vienen dadas por:

x = R(ωt+ sen(ωt)) y = R(1 + cos(ωt))

donde R y ω son constantes positivas. Determine

ecuación de la trayectoria.

vectores velocidad y aceleración.

componentes intŕınsecas de la aceleración.

radio de curvatura

6. Desde lo alto de un acantilado de 100 m de altura se dispara un proyectil con una velocidad de 500 m/s y con una inclinación de 60o. Supuesto despreciable el rozamiento con el aire, calcule:

tiempo que tarda el proyectil en impactar con la superficie del mar.

Distancia que alcanza el proyectil.

Velocidad en el momento del impacto. (módulo y dirección)

Componentes intŕınsecas de la aceleración cuando el proyectil se encuentra:

a) a 100 m de altura y bajando.

b) en el punto de altura de altura máxima.

Sol:tv = 88,6 s; d = 22150 m; v = 501,96 m/s, α = −60,13◦; 100 m subiendo: at = 8,48 m/s2; an = 4,89m/s2;Hmax : at = 0 m/s

2; an = 9,8m/s 2

7. Se lanza un proyectil desde el suelo a una distancia D de un edificio. El edificio tiene una ventana a una altura h del suelo y el lanzador quisiera que entrara de forma horizontal. Obtenga el valor del ángulo con el que se debe lanzar el proyectil y la velocidad incial v0. Sol:tgα = 2h/D; v0 =

√ (g(4h2 +D2)/2h

8. Calcule el ángulo α con el que se debe lanzar una jabalina para que la distancia recorrida sea máxima. Sol:α = 45◦

9. Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana colocada en la cabeza de su hijo a cierta distancia horizontal d del punto de disparo y a 50 cm por debajo del punto de lanzamiento de la flecha. La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s y una elevación de 30◦ sobre la horizontal. El viento produce una aceleración horizontal de 2 m/s2 que frena la flecha. Considerando g = 10m/s2, calcular: a) la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para ensartar la manzana; b) la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento; c) calcule las componentes intŕınsecas de la aceleración cuando el cuerpo alcanza una altura de 25 metros respecto del suelo y está bajando. Considere que el punto de salida de la flecha está a 1.8 m del suelo. Sol:d = 192,17 m;hmax = 31,25 m; at = 1,36 m/s

2; an = 9,91m/s 2

10. Desde el punto P de la ladera de una montaña que tiene una inclinación α respecto de la horizontal, se lanza con una velocidad inicial v0 y perpendicularmente a la ladera una bola de acero. Determine: a) el tiempo que está la bola en el aire; b) la distancia, d, medida sobre la ladera entre el punto de lanzamiento y el punto de impacto de la bola con el suelo; c) la altura máxima, H, que alcanza la bola.

11. Un móvil recorre una circunferencia de radio r con celeridad constante (|~v| = cte = v). Razone cómo se ve afectada su aceleración en cada uno de los siguientes supuestos:

su celeridad se dobla.

el radio de la circunferencia se dobla.

12. Una part́ıcula se mueve a lo largo de una trayectoria en tres dimensiones con celeridad constante. Demuestre que sus vectores velocidad y aceleración son siempre perpendiculares.

13. Establezca la importancia relativa de las resistencias lineal y cuadrática sobre una pelota de béisbol de diáme- tro D = 7 cm, que viaja una velocidad v = 5m/s. Haga lo mismo para una gota de lluvia (D = 1mm y v = 0,6m/s) y para una gota de aceite utilizada en el experimento de Millikan (D = 1,5µm y v = 5× 10−5m/s).

14. Para una pelota de béisbol de diámetro D = 7 cm determine la velocidad de vuelo v para la cual las fuerzas fcuad y flin son igual de importantes. ¿Y para una pelota de playa de diámetro D = 70 cm?.

15. Halle la velocidad ĺımite de una gota de aceite en el experimento de Millikan (D = 1,5µm; ρaceite = 840 kg/m3). Haga lo mismo para una gota de niebla de diámetro D = 0,2µm.

16. Supongamos que un proyectil sometido a una fuerza lineal resistiva es arrojado verticalmente hacia abajo con una velocidad vy0 que es mayor que la velocidad ĺımite vlim. Describir y explicar cómo vaŕıa la velocidad con el tiempo, y hacer una gráfica de vy frente a t para el caso en que vy0 = 2vlim.

17. Halle los tiempos caracteŕısticos, τ , para la gota de aceite y la gota de niebla del ejercicio anterior.

18. Golpeamos una diminuta bola de diámetro d = 0,2mm, de modo que sale con una velocidad v = 1m/s formando un ángulo de 45◦. Halle el alcance horizontal de dicha bola suponiendo que la bola es de oro (ρ = 16 g/cm3). ¿Qué ocurriŕıa si la bola fuese de aluminio (ρ = 2,7 g/cm3)?.Sol:dAu = 9,73 cm; dAl = 7,44 cm

19. Halle la velocidad ĺımite en el aire de una pelota de béisbol (m = 0,15 kg y diámetro D = 7 cm) y de un rodamiento de bola de acero de diámetro D = 3mm (ρacero = 8 g/cm

3) cuando se dejan caer desde lo alto de una torre. Considere únicamente el término cuadrático de la fuerza de rozamiento.Sol:Pelota : vlim = 34,64 m/s;Rodamiento : vlim = 22,19 m/s

20. Un valor t́ıpico para el coeficiente de resistencia cuadrática del aire sobre un ciclista está alrededor de c = 0,2N/(m/s)2. Suponiendo que la masa total del ciclista (ciclista más bicicleta) es m = 80 kg y que en t = 0 el ciclista rueda a una velocidad v0 = 20m/s(72 km/h), calcule el tiempo caracteŕıstico. ¿Cuánto tardará en re- ducir la velocidad a 15m/s? ¿Y a 10m/s y a 5m/s?.Sol:τ = 20 s; t15m/s = 6,66 s; t10m/s = 20 s; t5m/s = 60 s

21. Consideremos el ciclista del problema anterior, pero sobre el cual además de la fuerza de resistencia del aire consideramos una fuerza de rozamiento entre las ruedas y el suelo y cuyo valor aproximado es de froz = 3N . Escriba la ecuación de movimiento cuando el ciclista deja de pedalear. ¿Cuánto tardará en reducir la velocidad a 15m/s? ¿Y a 10m/s y a 5m/s? ¿Cuánto tardará en detenerse por completo?.Sol:t15m/s = 6,34 s; t10m/s =

18,4 s; t5m/s = 48,31 s; t0m/s = 142,47 s

22. Se lanza una pelota de béisbol verticalmente hacia arriba con velocidad v0 y sometida a una resistencia cuadrática de magnitud f(v) = cv2. Escriba la ecuación de movimiento para el viaje de subida y muestre que se puede escribir como v̇ = −g[1 + (v/vlim)2]. Obtenga la velocidad de la pelota en función de la posición y demuestre que la altura máxima de la pelota es:

ymax = v2lim 2g

ln( v2lim + v

2 0

v2lim ).

(Para este apartado transforme v̇ como v dv/dy y resuelva la ecuación del movimiento).

Si v0 = 20 m/s y considerando las caracteŕısticas f́ısicas de la pelota de los problemas anteriores, calcule la altura máxima de la pelota y compare con el valor que obtendŕıa en el caso de que no se considerase el rozamiento con el aire. Sol:Hmax = 17,61 m; Sin rozamiento Hmax = 20,4 m

23. Una esfera de titanio (ρtitanio = 4,5 g/cm 3) y de diámetro D = 0,3mm se deja caer desde lo alto de la Torre

Eiffel altura h = 300m. Si únicamente consideramos el término lineal de rozamiento con el aire obtenga la velocidad ĺımite de dicha part́ıcula.

Una vez que ha transcurrido un tiempo t = 4τ (τ es el tiempo caracteŕıstico del movimiento) ya podemos suponer que la velocidad ĺımite ha sido alcanzada. Calcule el tiempo que tardará la part́ıcula en llegar al suelo. Sol:t = 24,4 s

24. La fuerza de amortiguamiento que el aire en reposo ejerce sobre una part́ıcula contaminante de masa 1·10−11kg que se mueve con velocidad v viene dada por ~Fr = −b~v, donde b = 3× 10−9N · s/m. Determine la velocidad ĺımite de cáıda de la part́ıcula contaminante. Estime el tiempo que tarda en depositarse en el suelo una de estas part́ıculas si ha sido emitida por una chimenea de 100 m de altura y parte con una velocidad inicial v0 = 2 m/s vertical hacia arriba.

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